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考点21 解三角形
【考纲要求】
掌握正弦定理、余弦定理，会用它们解斜三角形及简单应用题，会根据三角形两边及其夹角求三角形的面积
【考向预测】
利用正弦定理、余弦定理及其变式或推论的内容求解边或角．
以解三角形为背景的应用问题是高职考命题的趋势，突出生产和生活中的实际运用.
【本节内容结构】
【知识清单】
1．基本概念：由三角形六个元素(三条边和三个角)中的三个已知元素(至少有一个元素是边)，求其余三个未知元素的过程叫作解三角形.
2．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比值相等，即∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.
3．设＝k(k>0)，则＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC；sinA＝，sinB＝，sinC＝.利用正弦定理可实现三角形中的边角互化．
4．利用正弦定理可解决以下两类解斜三角形问题：
(1)已知两角及任意一边，求其他元素；
(2)已知两边及其中一边所对角，求其他元素．
5．余弦定理：＝，＝，.
变式：cosA＝，cosB＝，cosC＝.
6．利用余弦定理可以解以下两类解三角形问题：
(1)已知两边及它们的夹角，求第三边；
(2)已知三边，求角．
7．三角形的面积公式为．
8．实际生活中的角
(1)仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方叫作仰角，目标视线在水平线下方叫作俯角(如图①).
(2)方向角：从正北或正南方向旋转到目标方向所形成的小于90°的角，如图②所示，点B在点A的南偏东30°方向上．
【考点分类剖析】
考点一正弦定理
【例1】在△ABC中，已知∠B＝，∠C＝，c＝5，求边b的长．
【思路点拨】解已知两角及一边的题目，可用正弦定理求解．
【变式训练1】在△ABC中，已知∠B＝，∠C＝，＝3，则b＝.
【关键点评】运用正弦定理解三角形时，能解决两角及一边的题型，注意∠A＋∠B＋∠C＝π的使用．
【提示】∠A＝π－∠B－∠C＝.∵，∴，∴b＝.
【例2】在△ABC中，已知＝1，b＝，∠A＝30°，求∠B，∠C的大小及c的值．
【思路点拨】已知两边及其中一边所对角，可用正弦定理求解．此题可先求∠B.
解：在△ABC中，由正弦定理得，
∴sinB＝.
∵∠B∈(0°，180°)，∴∠B＝60°或120°.
①当∠B＝60°时，∠C＝90°，c＝＝2；
②当∠B＝120°时，∠C＝30°，c＝＝1.
【举一反三2】在△ABC中，已知＝1，b＝，∠B＝60°，求∠C的大小．
【关键点评】先求出∠A，再由三角形的内角和为180°，求出∠C，注意三角形中“大边对大角”．
解：在△ABC中，由正弦定理得，
∴sinA＝.
∵∠A∈(0°，180°)，∴∠A＝30°或150°.
又∵∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°.
考点二余弦定理
【例3】在△ABC中，已知＝3，b＝2，∠C ＝120°，求边c的长．
【思路点拨】已知两边及夹角求第三边的问题，可利用余弦定理进行解题．
解：由余弦定理得＝19，
∴c＝.
【变式训练3】在△ABC中，已知∠A为钝角，sinA＝，AB＝5，AC＝3，求BC的长．
【关键点评】先利用同角三角函数的基本关系式求出余弦值，再利用余弦定理进行解题．
解：∵∠A为钝角，且sinA＝，
∴cosA＝.
在△ABC中，由余弦定理得＝＋－2AB·AC·cosA＝52＋32－2×5×3×(－)＝52，
∴BC＝2.
【例4】在△ABC中，已知∶b∶c＝7∶3∶5，求最大角的度数．
【思路点拨】已知三边之比求角度的问题，通常先设三条边的长，再用余弦定理来解决．
解：设＝7k，b＝3k，c＝5k(k>0)，显然边所对的角A最大，
∴cosA＝.
又∵∠A∈(0°，180°)，
∴∠A＝120°，即最大角为∠A＝120°.
【举一反三4】在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，试判断△ABC的形状．
【关键点评】先运用正弦定理得到三条边之比，再用余弦定理求出最大角的余弦值，进而判断三角形的形状．
解：由正弦定理，∴∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6.
设＝4k，b＝5k，c＝6k(k>0)，显然边c所对的角C最大，
由余弦定理得
cosC＝＞0，
∴∠C为锐角，即△ABC为锐角三角形．
考点三综合应用
【例5】在△ABC中，已知∠B＝30°，＝2，b＝，求△ABC的面积．
【思路点拨】根据已知条件可利用正弦定理求得∠A的值，再根据三角形的内角和180°求得∠C的值，最后利用三角形的面积公式求解．
解：由正弦定理得，即，解得sinA＝.
∴∠A＝45°或135°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝105°或15°，
∴当∠C＝105°时，＝bsinC＝＝；
当∠C＝15°时，＝bsinC＝＝.
综上所述，△ABC的面积为或.
【变式训练5】在△ABC中，已知∠A＝30°，c＝2，，求边的长．
【关键点评】先用三角形的面积公式求得b边的长，再用余弦定理求解．
解：∵＝bc·sinA，∴＝·b·2·sin30°，∴b＝2，
由余弦定理得＝＝12＋4－2×2×2×＝4，∴＝2.
【例6】在△ABC中，已知∠C＝60°，＋b＝4.
(1)试写出△ABC的面积S与之间的函数关系式；
(2)当为何值时，S有最大值？求出；
(3)当为何值时，△ABC的周长L有最小值？求出.
【思路点拨】本题是一个综合性较强的解答题，不仅用到余弦定理求边的长，还要利用二次函数或均值定理求最值，有时还要考虑最值取到的可能性，结合二次函数图像来解决问题．
解：(1)∵b＝4－a，∴S＝bsinC＝(4－)·sin60°＝－＋(0<<4).
(2)由(1)得S＝－＋，当＝2时，＝.
(3)由余弦定理得＝＋－2cos60°＝3－12＋16＝3＋4，
∴当＝2时，＝4，即cmin＝2.
∴当＝2时，＝＋b＋＝4＋2＝6.
【举一反三6】如图所示，已知AB＋BC＝40 m，∠B＝.求：
(1)△ABC的面积y与AB边的长x(10(2)当AB边的长x为多少时，面积y取得最大值？最大面积为多少？
解：(1)设AB＝x(m)时，则BC＝(40－x) m，由题意得＝y＝x(40－x)sin＝－x(x－40)(10(2)y＝－(－40x)＝－＋100.
∴当x＝20时，＝100.
∴当AB的长为20 m时，△ABC取得最大面积为100.
考点四仰角俯角应用
【例7】如图所示，为了测量建筑物AB的高度，在地面上选择C，D两点观察建筑物顶端B，测得CD＝20 m，C和D两点的仰角分别为30°和45°，求建筑物AB的高度．
【思路点拨】本题主要考查仰角、俯角的概念、余弦定理、解直角三角形等知识．
解：由题意得∴CD＝CA－DA＝AB－AB＝(－1)AB，
∴AB＝＝10(＋1)(m).
【举一反三7】如图所示，某人要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，他在点C处测得塔顶A的仰角是45°，在点D处测得塔顶A的仰角是30°，且测得水平面上的角∠BCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔AB的高度．
解：设电视塔AB的高度为h，在Rt△ABC中，可得BC＝h.
在Rt△ABD中，可得BD＝h.
在△BCD中，根据余弦定理得
＝＋－2BC·CD·cos∠BCD，
∴＝＋1 600－2h·40·cos120°，
化简得－20h－800＝0，解得h＝40(h＝－20舍去).
∴电视塔AB的高度为40 m.
考点五航海问题
【例8】如图所示，甲船在A处发现了乙船在北偏东45°且与A处的距离为10海里的C处，正以20海里/时的速度向南偏东75°的方向航行，已知甲船速度是20海里/时．问：甲船沿什么方向，用多长时间才能与乙船相遇？
【思路点拨】灵活地运用正、余弦定理来解决航海问题．
解：设t小时后两船相遇，则BC＝20t，AB＝20t.由图可知∠ACB＝120°.
由余弦定理得＝－2AC·BC·cos∠ACB，
即＝＋－2×10×20t×(－)，
解得t＝或t＝－(舍去).
故AB＝20×＝10，BC＝20×＝10.
由正弦定理得，即sin∠BAC＝.
∴∠BAC＝30°，即所求角为30°＋45°＝75°.
∴甲船应沿北偏东75°方向航行半小时后才能与乙船相遇．
【举一反三8】如图所示，一艘轮船在点B处测得海面上南偏东60°方向上有一口油井P，现以60海里/时的速度向北航行40分钟后到达点A，测得油井P在其南偏东30°方向上，试求此时P和A之间的距离．
解：由题意得AB＝×40＝40(海里)，
BP＝AB＝40海里，∠ABP＝120°，
由余弦定理得
＝＋－2AB·BP·cos∠ABP
＝＋－2×40×40cos120°
＝4800，
∴AP＝40(海里).∴此时P和A之间的距离为40海里．考点21 解三角形
【考纲要求】
掌握正弦定理、余弦定理，会用它们解斜三角形及简单应用题，会根据三角形两边及其夹角求三角形的面积
【考向预测】
利用正弦定理、余弦定理及其变式或推论的内容求解边或角．
以解三角形为背景的应用问题是高职考命题的趋势，突出生产和生活中的实际运用.
【本节内容结构】
【知识清单】
1．基本概念：由三角形六个元素(三条边和三个角)中的三个已知元素(至少有一个元素是边)，求其余三个未知元素的过程叫作_________.
2．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的________的比值相等，即∶b∶c＝________________.
3．设＝k(k>0)，则＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC；sinA＝，sinB＝，sinC＝.利用正弦定理可实现三角形中的边角互化．
4．利用正弦定理可解决以下两类解斜三角形问题：
(1)已知两角及____________，求其他元素；
(2)已知两边及________________，求其他元素．
5．余弦定理：＝_________________，＝___________________，_____________________.
变式：cosA＝________________，cosB＝________________，cosC＝________________.
6．利用余弦定理可以解以下两类解三角形问题：
(1)已知两边及___________，求第三边；
(2)已知________，求角．
7．三角形的面积公式为________________________________．
8．实际生活中的角
(1)仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平线________叫作仰角，目标视线在水平线________叫作俯角(如图①).
(2)方向角：从________或________方向旋转到目标方向所形成的小于90°的角，如图②所示，点B在点A的南偏东30°方向上．
【考点分类剖析】
考点一正弦定理
【例1】在△ABC中，已知∠B＝，∠C＝，c＝5，求边b的长．
【变式训练1】在△ABC中，已知∠B＝，∠C＝，＝3，则b＝________.
【例2】在△ABC中，已知＝1，b＝，∠A＝30°，求∠B，∠C的大小及c的值．
【举一反三2】在△ABC中，已知＝1，b＝，∠B＝60°，求∠C的大小．
考点二余弦定理
【例3】在△ABC中，已知＝3，b＝2，∠C ＝120°，求边c的长．
【变式训练3】在△ABC中，已知∠A为钝角，sinA＝，AB＝5，AC＝3，求BC的长．
【例4】在△ABC中，已知∶b∶c＝7∶3∶5，求最大角的度数．
【举一反三4】在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，试判断△ABC的形状．
考点三综合应用
【例5】在△ABC中，已知∠B＝30°，＝2，b＝，求△ABC的面积．
【变式训练5】在△ABC中，已知∠A＝30°，c＝2，，求边的长．
【例6】在△ABC中，已知∠C＝60°，＋b＝4.
(1)试写出△ABC的面积S与之间的函数关系式；
(2)当为何值时，S有最大值？求出；
(3)当为何值时，△ABC的周长L有最小值？求出.
【举一反三6】如图所示，已知AB＋BC＝40 m，∠B＝.求：
(1)△ABC的面积y与AB边的长x(10(2)当AB边的长x为多少时，面积y取得最大值？最大面积为多少？
考点四仰角俯角应用
【例7】如图所示，为了测量建筑物AB的高度，在地面上选择C，D两点观察建筑物顶端B，测得CD＝20 m，C和D两点的仰角分别为30°和45°，求建筑物AB的高度．
【举一反三7】如图所示，某人要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，他在点C处测得塔顶A的仰角是45°，在点D处测得塔顶A的仰角是30°，且测得水平面上的角∠BCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔AB的高度．
考点五航海问题
【例8】如图所示，甲船在A处发现了乙船在北偏东45°且与A处的距离为10海里的C处，正以20海里/时的速度向南偏东75°的方向航行，已知甲船速度是20海里/时．问：甲船沿什么方向，用多长时间才能与乙船相遇？
【举一反三8】如图所示，一艘轮船在点B处测得海面上南偏东60°方向上有一口油井P，现以60海里/时的速度向北航行40分钟后到达点A，测得油井P在其南偏东30°方向上，试求此时P和A之间的距离．

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