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考点22 平面的基本性质与空间直线
【考纲要求】
①理解平面的基本性质
②了解空间两条直线、直线与平面、两个平面的位置关系
③了解两条异面直线所成的角，理解直线和平面所成的角、二面角及二面角的平面角的概念
④了解点到平面的距离，点和斜线在平面内的射影，直线与平面的距离，两平面间的距离等概念
⑤理解直线与平面垂直的概念
⑥会用直线与平面、两个平面平行与垂直的判定定理和性质定理解决有关问题
【考向预测】
1．平面的基本性质结合直线、平面平行的判定及性质和直线、平面垂直的判定及性质综合考查．
2．以直线与直线、直线与平面平行的判定及性质求解异面直线所成的角．
3．以直线与直线、直线与平面垂直的判定及性质求解直线与平面所成的角．
4．以直线与平面、平面与平面垂直的判定及性质求解二面角的平面角．
【本节内容结构】
【知识清单】
1．平面的基本性质
性质1：如果直线l上的两点都在平面α内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．用符号语言表达为若A，B∈l，A，B∈α，则l α.
性质2：如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面必相交于经过这点的一条直线，用符号语言表达为若A∈α，A∈β，则α∩β＝l，且A∈l.
性质3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．
推论1：经过一条直线和该直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
性质4：平行于同一直线的两条直线互相平行.
2．空间直线
(1)空间两条直线的位置关系为相交、平行和异面.
(2)不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线.
两条异面直线的特征性质是它们既不平行也不相交．
(3)两条平行直线与两条异面直线的相同之处是无公共点.
(4)异面直线的判定定理：经过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线．
(5)经过空间内任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫作两条异面直线所成的角．
(6)异面直线所成角的范围是，当异面直线所成角等于90°时，两条异面直线互相垂直.
(7)空间两条直线互相垂直，它们的位置关系是相交、异面.
3．空间直线与平面
(1)直线与平面α的位置关系：直线在平面内、直线与平面相交或直线与平面平行.
(2)直线与平面平行的判定与性质
判定 性质8
定义 定理
图形
条件 _∩α＝ _ b α， α，∥b ∥α_ ∥α， β，α∩β＝b_
结论 a∥α a∥α a∩α＝ a∥b
(3)直线与平面垂直的判定与性质
判定 性质8
定义 定理
图形
条件 垂直于α内任意一条直线 b α，c α，b∩c＝O，⊥b，⊥c b⊥α，∥b ⊥α，b⊥α ⊥α，b α
结论 a⊥α a⊥α a⊥α a∥b a⊥b
(4)直线与平面所成的角
①平面的斜线
如图所示，一条直线和一个平面相交，但不和这平面垂直，这条直线叫作这个平面的斜线(如直线AB)，斜线和平面的交点B叫作斜足，从斜线上除斜足外的一点A，向平面引垂线，经过垂足O和斜足B的直线叫作斜线在这个平面内的射影.
②直线和平面所成的角的定义
A.平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫作这条直线和这个平面所成的角．
B.一条直线垂直于一个平面，这条直线与平面所成的角是90°；
一条直线平行于一个平面，这条直线与平面所成的角是0°.
C.直线和平面所成角的取值范围是[0°，90°]，斜线和平面所成角的取值范围是(0°，90°).
(5)三垂线定理及其逆定理
①定理：如图所示，平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
②逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．
4．空间两个平面
(1)空间两个平面的位置关系有平行和相交，两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况．
(2)两个平面平行的判定与性质
判定 性质8
定义 定理 推论
图形
条件 α∩β＝ β，b β，∩b＝P，∥α，b∥α l⊥α，l⊥β α∥β， β∥γ α∥β，α∩γ＝，β∩γ＝b α∥β， β
结论 α∥β α∥β α∥β α∥γ a∥b a∥α
(3)两个平面垂直的判定与性质
判定 性质8
定义 定理
图形
条件 平面α与平面β所成二面角为直角 l⊥β，l α α⊥β，α∩β＝，l β，l⊥
结论 α⊥β α⊥β l⊥α
(4)二面角的定义
平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫作半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面，棱为AB，面分别为α，β的二面角记为二面角α－AB－β.
(5)二面角的平面角
①定义：以二面角的棱上的任意一点为端点，在两个平面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角；
②二面角的平面角的取值范围是[0°，180°].
【考点分类剖析】
考点一平面的基本性质
【例1】下列命题中，正确的个数为(　C　)
①梯形的四个顶点在同一个平面上；
②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路点拨】在②中，两条直线可以平行、相交或异面；在④中，若三点在同一条直线上，则两个平面可能相交；①③正确．
【变式训练1】下列命题正确的是(　C　)
A．一个平面的长为4 m，宽为2 m
B．四边形一定是平面图形
C．一个平面可以把空间分成两部分
D．将书的一角接触课桌面，此时书所在平面和课桌所在平面只有一个公共点
【关键点评】平面的基本性质．
考点二空间位置关系判断
【例2】经过平面β外一点P，且平行于平面β的直线(　C　)
　A．只有一条，且一定在平面β内
B．只有一条，但不一定在平面β内
C．有无数条，但都不在平面β内
D．有无数条，都在平面β内
【思路点拨】由直线与平面平行的性质可知，经过平面外一点与平面平行的直线有无数条，且一定不在平面内．
【举一反三2】下列命题中，正确的是(　B　)
①平行于同一个平面的两直线平行；
②垂直于同一个平面的两直线平行；
③平行于同一直线的两平面平行；
④垂直于同一直线的两平面平行．
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【关键点评】直线与平面位置关系的判定．
【例3】如图所示，在空间四边形ABCD中，已知E，F分别是AB，AD的中点，连接BD.求证：EF∥平面BCD.
【思路点拨】利用线面平行的判定定理：若 α，b α，∥b，则∥α .
【证明】∵在△BAD中，EF为中位线，∴EF∥BD.
∵BD 平面BCD，EF 平面BCD，
∴EF∥平面BCD.
【变式训练3】在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　A　)
【关键点评】直线与平面平行的判定的灵活运用．
考点三两条直线所成角
【例4】在如图所示正方体ABCD-中，先判断各组直线的位置关系，并填写所成夹角的大小：
(1)AD与D_相交_，夹角为_45°_；
(2)A与B__平行__，夹角为__0°__；
(3)B与AC__异面_，夹角为__60°；
(4)B与AC__异面__，夹角为__90°__.
【思路点拨】空间直线位置关系的判别及异面直线夹角确定方法：通过寻找平行线，将异面直线平移后得到相交直线．
【举一反三4】在正方体ABCD-中，与AC成60°角的面对角线有(　D　)
A．0条 B．2条 C．4条 D．8条
【关键点评】直线的位置关系的判别及异面直线夹角的确定方法．
【例5】如图所示，在正方体ABCD-中，已知E是B的中点，求异面直线AE与D所成角的余弦值．
【思路点拨】找异面直线的夹角关键是寻找平行线，而本题是在正方体中，D与A是平行的，∴求异面直线AE与D所成的角就是求直线AE与A所成的角．
【解】如解图所示，连接E.
∵A∥D，∴∠EA是异面直线AE与D所成的角．
∵在△AE中，E＝AE＝AB，
∴cos ∠EA＝∴异面直线AE与D所成角的余弦值为.
【变式训练5】如图所示，在棱长为的正方体ABCD-中，已知E为C的中点，求异面直线A与BE所成角的余弦值．
【关键点评】　利用例5中找平行线的思路，即可得到A的平行线，则异面直线所成的角就出现了．
解：如解图所示，连接B.
∵在正方体ABCD-中，A∥B，
∴∠EB是异面直线A与BE所成的角．
∴在△EB中，BE＝，E＝，B＝，由余弦定理得
cos∠EB＝＝
∴异面直线A与BE所成角的余弦值为.
考点四直线和平面所成角
【例6】如图所示，在正方体ABCD-中，求：
(1)B与底面ABCD所成角的大小；
(2)D与底面ABCD所成角的正弦值．
【思路点拨】经过直线上一点找平面的垂线和射影，以及直线与平面所成的角．
【解】(1)∵在正方体ABCD-中，A⊥底面ABCD，
∴B在底面ABCD的射影为AB，
即∠BA是B与底面ABCD所成的角．
∵∠BA＝45°，∴B与底面ABCD所成角的大小为45°.
(2)连接BD.
∵B⊥底面ABCD，∴D在底面ABCD的射影为BD，
即∠DB是D与底面ABCD所成的角．
∵在Rt△BD中，sin∠DB＝，∴D与底面ABCD所成角的正弦值为.
【举一反三6】如图所示，已知△ABC是边长为2的等边三角形，PC⊥底面ABC，且PC＝，求PA与侧面PBC所成角的大小．
【关键点评】求直线与平面所成的角，关键是找到直线在平面内的射影．
解：如解图所示，取BC的中点D，连接AD，PD.
∵△ABC是正三角形，∴AD⊥BC.
又∵PC⊥底面ABC，
∴PC⊥AD，即AD⊥侧面PBC，
∴PD是PA在侧面PBC上的射影，
∴∠APD是PA与侧面PBC所成的角．
∵在Rt△PDA中，AD＝AB＝，
PD＝＝3，
∴tan∠APD＝，∴∠APD＝30°，
故PA与侧面PBC所成角的大小为30°.
考点五二面角
【例7】如图所示，在三棱锥S－ABC中，已知SA⊥底面ABC，AC⊥BC，且AC＝2，BC＝，SB＝，求二面角S－BC－A的大小．
【思路点拨】求二面角P－AB－C的大小，必须找到其平面角．
【解】∵AC⊥BC，∴AB＝.
∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC，
∴SA＝，SC＝＝4.
又∵＋＝，∴SC⊥BC.
又∵AC⊥BC，∴∠SCA为二面角S－BC－A的平面角．
∵在Rt△SAC中，tan∠SCA＝，
∴∠SCA＝60°，即二面角S－BC－A的大小为60°.
【举一反三7】如图所示，已知P为矩形ABCD所在平面外一点．若PA⊥AD，PA⊥AB，连接AC，求二面角P－AC－B的大小．
解：∵PA⊥AD，PA⊥AB且AD∩AB＝A，AD 平面ABCD，AB 平面ABCD，
∴PA⊥平面ABCD.
又∵PA 平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABCD，
即二面角P－AC－B的大小为90°.
【例8】如图所示，在边长为的正三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，沿AD折成二面角B－AD－C后，BC＝，求二面角B－AD－C的大小．
【思路点拨】确定二面角的平面角，将立体几何问题转化为解三角形问题．
【解】图①中，∵AD⊥平面BDC，∴BD⊥AD，CD⊥AD，
即∠BDC是二面角B－AD－C的平面角．
∵在△BDC中，BD＝CD＝，BC＝，
∴∠BDC＝60°，即二面角B－AD－C的大小为60°.
【举一反三8】如图所示，已知一张正方形纸片ABCD，BD是对角线，经过AB，CD的中点E，F的线段交BD于点O，以EF为棱，将正方形纸片ABCD折成直二面角，求∠BOD的度数．
解：设正方形的边长为，则BO＝DO＝.
∵DA⊥AE，DA⊥BE，AE∩BE＝E，
AE 平面AEB，BE 平面AEB，
∴DA⊥平面AEB.
∵AB 平面AEB，∴DA⊥AB，
∴△DAB为直角三角形，
BD＝＝＝＝，
在△BOD中，由余弦定理得
cos∠BOD＝＝，
∴∠BOD＝120°.考点22 平面的基本性质与空间直线
【考纲要求】
①理解平面的基本性质
②了解空间两条直线、直线与平面、两个平面的位置关系
③了解两条异面直线所成的角，理解直线和平面所成的角、二面角及二面角的平面角的概念
④了解点到平面的距离，点和斜线在平面内的射影，直线与平面的距离，两平面间的距离等概念
⑤理解直线与平面垂直的概念
⑥会用直线与平面、两个平面平行与垂直的判定定理和性质定理解决有关问题
【考向预测】
1．平面的基本性质结合直线、平面平行的判定及性质和直线、平面垂直的判定及性质综合考查．
2．以直线与直线、直线与平面平行的判定及性质求解异面直线所成的角．
3．以直线与直线、直线与平面垂直的判定及性质求解直线与平面所成的角．
4．以直线与平面、平面与平面垂直的判定及性质求解二面角的平面角．
【本节内容结构】
【知识清单】
1．平面的基本性质
性质1：如果直线l上的两点都在平面α内，那么___________________________________________________．
用符号语言表达为______________________________.
性质2：如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面必_______________________________，用符号语言表达为________________________________.
性质3：经过不在____________________上的三点，有且只有一个平面．
推论1：经过一条直线和______________，有且只有一个平面．
推论2：经过两条________直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条________直线，有且只有一个平面．
性质4：平行于同一直线的两条直线__________.
2．空间直线
(1)空间两条直线的位置关系为________、________和________.
(2)不同在任何一个平面内的两条直线叫作__________.
两条异面直线的特征性质是它们既不平行也不相交．
(3)两条平行直线与两条异面直线的相同之处是________.
(4)异面直线的判定定理：经过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内_____________的直线是异面直线．
(5)经过空间内任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫作两条异面直线所成的角．
(6)异面直线所成角的范围是________，当异面直线所成角等于90°时，两条异面直线_________.
(7)空间两条直线互相垂直，它们的位置关系是________、________.
3．空间直线与平面
(1)直线与平面α的位置关系：______________、______________或______________.
(2)直线与平面平行的判定与性质
判定 性质8
定义 定理
图形
条件 ___________ _______________ __________ _________________
结论 a∥α a∥α a∩α＝ a∥b
(3)直线与平面垂直的判定与性质
判定 性质8
定义 定理
图形
条件 ___________ ________________ _________ _________ _________
结论 a⊥α a⊥α a⊥α a∥b a⊥b
(4)直线与平面所成的角
①平面的斜线
如图所示，一条直线和一个平面相交，但不和这平面垂直，这条直线叫作这个平面的________(如直线AB)，________和平面的交点B叫作斜足，从斜线上除斜足外的一点A，向平面引垂线，经过垂足O和斜足B的直线叫作斜线在这个平面内的________.
②直线和平面所成的角的定义
A.平面的一条斜线和__________________所成的锐角，叫作这条直线和这个平面所成的角．
B.一条直线垂直于一个平面，这条直线与平面所成的角是________；
一条直线平行于一个平面，这条直线与平面所成的角是________.
C.直线和平面所成角的取值范围是___________，斜线和平面所成角的取值范围是___________.
(5)三垂线定理及其逆定理
①定理：如图所示，平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
②逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．
4．空间两个平面
(1)空间两个平面的位置关系有________和________，两个平面垂直是两个平面________的特殊情况．
(2)两个平面平行的判定与性质
判定 性质8
定义 定理 推论
图形
条件 _______ _____________ _______ _______ _________ _________
结论 α∥β α∥β α∥β α∥γ a∥b a∥α
(3)两个平面垂直的判定与性质
判定 性质8
定义 定理
图形
条件 平面α与平面β所成二面角为________ __________ _______________
结论 α⊥β α⊥β l⊥α
(4)二面角的定义
平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫作________，从一条直线出发的两个半平面所组成的________叫作二面角，这条直线叫作二面角的________，这两个半平面叫作二面角的________，棱为AB，面分别为α，β的二面角记为二面角α－AB－β.
(5)二面角的平面角
①定义：以二面角的棱上的任意一点为端点，在两个平面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的________；
②二面角的平面角的取值范围是____________.
【考点分类剖析】
考点一平面的基本性质
【例1】下列命题中，正确的个数为(　　)
①梯形的四个顶点在同一个平面上；
②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式训练1】下列命题正确的是(　　)
A．一个平面的长为4 m，宽为2 m
B．四边形一定是平面图形
C．一个平面可以把空间分成两部分
D．将书的一角接触课桌面，此时书所在平面和课桌所在平面只有一个公共点
考点二空间位置关系判断
【例2】经过平面β外一点P，且平行于平面β的直线(　　)
　A．只有一条，且一定在平面β内
B．只有一条，但不一定在平面β内
C．有无数条，但都不在平面β内
D．有无数条，都在平面β内
【举一反三2】下列命题中，正确的是(　　)
①平行于同一个平面的两直线平行；
②垂直于同一个平面的两直线平行；
③平行于同一直线的两平面平行；
④垂直于同一直线的两平面平行．
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【例3】如图所示，在空间四边形ABCD中，已知E，F分别是AB，AD的中点，连接BD.求证：EF∥平面BCD.
【变式训练3】在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)
考点三两条直线所成角
【例4】在如图所示正方体ABCD-中，先判断各组直线的位置关系，并填写所成夹角的大小：
(1)AD与D________，夹角为________；
(2)A与B________，夹角为________；
(3)B与AC________，夹角为________；
(4)B与AC________，夹角为________.
【举一反三4】在正方体ABCD-中，与AC成60°角的面对角线有(　　)
A．0条 B．2条 C．4条 D．8条
【例5】如图所示，在正方体ABCD-中，已知E是B的中点，求异面直线AE与D所成角的余弦值．
【变式训练5】如图所示，在棱长为的正方体ABCD-中，已知E为C的中点，求异面直线A与BE所成角的余弦值．
考点四直线和平面所成角
【例6】如图所示，在正方体ABCD-中，求：
(1)B与底面ABCD所成角的大小；
(2)D与底面ABCD所成角的正弦值．
【举一反三6】如图所示，已知△ABC是边长为2的等边三角形，PC⊥底面ABC，且PC＝，求PA与侧面PBC所成角的大小．
考点五二面角
【例7】如图所示，在三棱锥S－ABC中，已知SA⊥底面ABC，AC⊥BC，且AC＝2，BC＝，SB＝，求二面角S－BC－A的大小．
【举一反三7】如图所示，已知P为矩形ABCD所在平面外一点．若PA⊥AD，PA⊥AB，连接AC，求二面角P－AC－B的大小．
【例8】如图所示，在边长为的正三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，沿AD折成二面角B－AD－C后，BC＝，求二面角B－AD－C的大小．
【举一反三8】如图所示，已知一张正方形纸片ABCD，BD是对角线，经过AB，CD的中点E，F的线段交BD于点O，以EF为棱，将正方形纸片ABCD折成直二面角，求∠BOD的度数．

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