资源简介

多面体、旋转体及有关计算
【考纲要求】
了解直棱柱、正棱柱、正棱锥、圆柱、圆锥、球的概念和性质，会用它们的性质以及表面积、体积公式进行有关计算
【考向预测】
几何体的性质及表面积或体积计算．
【本节内容结构】
【知识清单】
1．棱柱
(1)棱柱的性质
①棱柱的每一个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等；直棱柱的每一个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形；
②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
③经过棱柱不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.
(2)公式：＝C·h；＝·h.
(3)几种六面体的关系(如图所示)：
2．棱锥
(1)正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心，这样的多面体叫作正棱锥．
(2)棱锥的性质
①正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等(它叫作正棱锥的斜高)；
②正棱锥的高、斜高及其底面上的射影组成一个直角三角形，高、侧棱及其在底面上的射影也组成一个直角三角形；
③公式：＝；＝.
3．圆柱
(1)以矩形的一边所在直线为轴，其余三边绕轴旋转一周的曲面所围成的几何体叫作圆柱.
(2)圆柱的轴截面为矩形，侧面展开图为矩形.
(3)公式：＝2πrl；＝πl.
4．圆锥
(1)以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴，其余两边绕轴旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫作圆锥.
(2)圆锥的轴截面为等腰三角形，侧面展开图为扇形.
(3)公式：＝πrl；＝.
5．球
(1)以半圆的直径为轴，旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫作球.
(2)球心到截面圆的距离为d，球的半径R及截面圆半径r之间的关系式为d＝.
(3)公式：＝；＝.
【考点分类剖析】
考点一多面体的相关计算
【例1】如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-中，求三棱锥－BC的体积．
【思路点拨】注意三棱锥底面及高的确定．
【解】＝·＝××2×2×2＝.
【变式训练1】如图所示，已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为6，∠PBD＝45°，求它的体积和全面积．
解：∵在正四棱锥P－ABCD中，底面边长为AB＝6，
∴BD＝，∴BO＝.
∵∠PBD＝45°，∴PO＝，
∴斜高h＝＝＝，
∴＝×6×6×＝，
＝6×6＋4××6×＝36＋.
【例2】如图40－6所示，已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1.
(1)写出四面体D′－ACD中所有不同的二面角；
(2)求点D到平面ACD′的距离．
【思路点拨】利用等积法求点到平面的距离．
【解】(1)四面体D′－ACD中的二面角有：D－AC－D′，C－AD′－D，
A－CD′－D，C－DD′－A，D′－AD－C，A－CD－D′.
(2)设点D到平面ACD′的距离为h，
∵＝，∴××1×1×1＝·h，即＝，解得h＝.
【举一反三2】如图40－7所示，已知直三棱柱ABC－的底面是直角三角形，斜边AB＝2，∠ABC＝30°，D是棱C上的点，且CD＝，经过斜边AB和点D作一个截面．求：
(1)二面角D－AB－C的大小；
(2)点C到平面ABD的距离．
解：(1)如解图所示，经过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接DE.
∵DC⊥平面ABC，
∴CE是DE在平面ABC内的射影．
∵CE⊥AB，∴DE⊥AB，
∴∠DEC是二面角D－AB－C的平面角．
∵在Rt△DCE中，CD＝，CE＝，
∴tan ∠DEC＝＝，∠DEC＝60°，即二面角D－AB－C的大小为60°.
(2)设点C到平面ABD的距离为h.
∵＝，
∴×××1×＝××2××h，
解得h＝，即点C到平面ABD的距离为.
考点二旋转体的相关计算
【例3】如图所示，已知圆柱的侧面展开图是矩形ABCD，AC＝8 cm，∠BAC＝30°，求圆柱的侧面积和体积．
【思路点拨】圆柱的侧面积就是矩形ABCD的面积，求圆柱的体积关键是求出圆柱的底面半径r.
【解】设圆柱的底面半径r，
∵AC＝8 cm，∠BAC＝30°，∴BC＝4 cm，AB＝cm.
又∵2πr＝AB，∴r＝cm，
∴＝AB·BC＝(cm2)，V＝S底·h＝πh＝π·×4＝().
【变式训练3】如图所示，在Rt△ABC中，AB＝20 cm，AC＝15 cm.若以斜边BC为旋转轴，将△ABC旋转一周，求这个旋转体的体积．
解：在Rt△BAC中，AB＝20 cm，AC＝15 cm，∴BC＝25 cm，
如解图所示，作BC边上的高AD，则AD＝12 cm，
∴V＝π·BC＝π××25＝1200π().
【例4】如图所示，已知ABCD是矩形，AB＝4，BC＝2，以BC为直径挖去一个半圆，求以BC为轴旋转一周所得几何体的体积．
【思路点拨】本题主要考查旋转体的体积和球的体积公式．
【解】V＝－＝π××2－π×＝π.
【举一反三4】若将一个棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则此球的表面积为_4π__.
【提示】表面积是4×π×＝4π.
【举一反三5】如图所示，相传这个图形表达了古希腊数学家阿基米德最引为自豪的发现：圆柱内切一个球，球的直径和圆柱的高相等，则圆柱的体积与球的体积之比等于圆柱的表面积与球的表面积之比，这个比值为________.
【提示】 2R＝h，＝2πrh＋2π＝6π，＝＝.多面体、旋转体及有关计算
【考纲要求】
了解直棱柱、正棱柱、正棱锥、圆柱、圆锥、球的概念和性质，会用它们的性质以及表面积、体积公式进行有关计算
【考向预测】
几何体的性质及表面积或体积计算．
【本节内容结构】
【知识清单】
1．棱柱
(1)棱柱的性质
①棱柱的每一个侧面都是______________，所有的侧棱都________且相等；直棱柱的每一个侧面都是________；正棱柱的各个侧面都是______________；
②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是______________；
③经过棱柱不相邻的两条侧棱的截面是______________.
(2)公式：＝________；＝________.
(3)几种六面体的关系(如图所示)：
2．棱锥
(1)正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面正多边形的________，这样的多面体叫作正棱锥．
(2)棱锥的性质
①正棱锥的各侧棱________，各侧面都是________的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高________(它叫作正棱锥的斜高)；
②正棱锥的高、斜高及其底面上的射影组成一个___________，高、侧棱及其在底面上的射影也组成一个____________；
③公式：＝_______________；＝________.
3．圆柱
(1)以矩形的一边所在直线为轴，其余三边绕轴旋转一周的曲面所围成的几何体叫作________.
(2)圆柱的轴截面为________，侧面展开图为________.
(3)公式：＝________；＝________.
4．圆锥
(1)以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴，其余两边绕轴旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫作________.
(2)圆锥的轴截面为___________，侧面展开图为________.
(3)公式：＝________；＝________.
5．球
(1)以半圆的直径为轴，旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫作________.
(2)球心到截面圆的距离为d，球的半径R及截面圆半径r之间的关系式为d＝________.
(3)公式：＝________；＝________.
【考点分类剖析】
考点一多面体的相关计算
【例1】如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-中，求三棱锥－BC的体积．
【变式训练1】如图所示，已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为6，∠PBD＝45°，求它的体积和全面积．
【例2】如图40－6所示，已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1.
(1)写出四面体D′－ACD中所有不同的二面角；
(2)求点D到平面ACD′的距离．
【举一反三2】如图40－7所示，已知直三棱柱ABC－的底面是直角三角形，斜边AB＝2，∠ABC＝30°，D是棱C上的点，且CD＝，经过斜边AB和点D作一个截面．求：
(1)二面角D－AB－C的大小；
(2)点C到平面ABD的距离．
考点二旋转体的相关计算
【例3】如图所示，已知圆柱的侧面展开图是矩形ABCD，AC＝8 cm，∠BAC＝30°，求圆柱的侧面积和体积．
【变式训练3】如图所示，在Rt△ABC中，AB＝20 cm，AC＝15 cm.若以斜边BC为旋转轴，将△ABC旋转一周，求这个旋转体的体积．
【例4】如图所示，已知ABCD是矩形，AB＝4，BC＝2，以BC为直径挖去一个半圆，求以BC为轴旋转一周所得几何体的体积．
【举一反三4】若将一个棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则此球的表面积为________.
【举一反三5】如图所示，相传这个图形表达了古希腊数学家阿基米德最引为自豪的发现：圆柱内切一个球，球的直径和圆柱的高相等，则圆柱的体积与球的体积之比等于圆柱的表面积与球的表面积之比，这个比值为________.

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