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专题02 不等式
一、不等式的基本性质及区间表示
实数大小的基本性质 (1) a - b > 0 a>b ；(2) a - b < 0 a=b ；(3) a - b = 0 a不等式的基本性质 (1)性质1(传递性)： a > b , b > c a>c ；
(2)性质2(加法性)： a > b a + c > b + c ；
推论： a > b , c > d a + c > b + d ；(同向不等式可加性)
(3)性质3(乘法性)： a > b ,c > 0 ac > bc ； a > b ,c < 0 ac < bc ；
推论： a > b >0，c > d >0 ac > bd ；(正数的同向可乘性) a > b >0， an>bn(n∈N，n≥2) ；(正数的乘方法则) a > b >0， > (n∈N，n≥2) ；(正数的开方法则)
区间 有限区间 (1)满足a≤x≤b的全体实数的集合，叫做 闭 区间，记作： [ a , b ] ； (2)满足a无限区间 (1)满足x≤b的全体实数的集合，记作： ( -∞ , b ] ； (2)满足xa的全体实数的集合，记作： ( a , +∞ ) .
（二）一元一次不等式（组）
一元一次不等式 ax>b a>0时，解集是{x|x>}； a<0时，解集是{x|x<}； a=0时，b≥0,则解集是 ； b<0,则解集是 R ；
一元一次不等式组 （a>b） ① 的解集是{x|x>a}; ② 的解集是 {x|x（三）一元二次不等式
△=b2-4ac △>0 △=0 △<0
f(x)=ax2+bx+c
ax2+bx+c=0（a> 0） 两个不相等的实根 x1、x2= x0= 无实数根
一元二次不等式 ax2+bx+c> 0 (a> 0) (-∞ , x1)∪(x2 , +∞) (-∞ , x0)∪(x0 , +∞) R
ax2+bx+c≥0 (a> 0) (-∞ , x1]∪[x2 , +∞) R R
ax2+bx+c< 0 (a> 0) (x1 , x2)
ax2+bx+c≤0 (a> 0) [x1 , x2] {x0}
含绝对值的不等式
绝对值的几何意义 实数在数轴上所对应的点到原点的距离,用“| |”来表示
绝对值的性质
含绝对值的不等式 ①｜x｜< a (a>0) -a < x < a ；②｜x｜> a (a>0) x < -a 或x>a ； ③｜f(x)｜< a (a>0) -a < f(x)< a ；④｜x｜> a (a>0) f(x) < -a 或f(x)>a ；
解法 将“| |”符号中的部分看成一个整体，利用绝对值的几何意义,去掉绝对值
（五）简单分式不等式
与同解； 与同解；
与 f(x)g(x) > 0 同解； 与 同解.
1. 不等式的性质
2. 解一次不等式
3. 解二次不等式（简单分式不等式）
4. 解不等式组
1. 赋值法
2. 拆分项法
3. 公式法
4. 因式分解法
5. 十字相乘法
6. 求根公式法
考点一 不等式的性质
例1．下列命题中，正确的是（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
【答案】B
【分析】根据不等式的性质，以及代入特殊值判断选项.
【详解】A.当时，，故A错误；
B.当时，，即，故B正确；
C.当，，满足，但此时，故C错误；
D.若，，则，得，那么，故D错误.
故选：B
例2．如果a A. a + 2 > b+2 B.2a >2b
C. 5a > 5b D.
【变式探究】设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是(　 　)
A．ab＜b2＜1 B．＜＜1
C．1＜＜ D．a2＜ab＜1
【答案】C
【解析】　取a＝，b＝验证可得A，B，D不正确．
考点二 比较大小
例3．若，则M与N的大小关系为__________ .
【答案】
【详解】因为 ，
所以.
故答案为: .
【变式探究】比较2x2+2x-3与x2+x-6的大小.
【答案】2x2+2x-3 > x2+x-6
【解析】∵2x2+2x-3 -( x2+x-6)= x2+x+3=(x+)2+ > 0 ，∴2x2+2x-3 > x2+x-6
考点三 解一元一次不等式（组）
例4．解不等式，并把解集在数轴上表示出来
【答案】
【解析】解：去括号得：，，，，把解集在数轴上表示出来如图所示：
例5．不等式组的整数解是 .
【答案】，
【解析】，由①得：，由②得：，∴不等式组的解集为：，∴不等式组的整数解为：，，故答案为：，．
【变式探究】不等式组的解集用区间表示为： ．
【答案】
【分析】先解不等式组，再将结果用区间表示.
【详解】解：∵不等式组 ，
∴，∴不等式组的解集为．
故答案为：．
考点四 一元二次不等式的解法
例6．不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】不等式可化为，解得，故选：C．
例7．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由可知，，解得，故的定义域为，故选：A.
【变式探究】1. 不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，即，故或，即，故选：A.
2. 不等式x2-2x+3>0的解集是 （ ）
A. B. {x | x<1或x>3} C. R D. {x | 1【答案】C
【解析】因为△=(-2)2-12=-8<0，故对应函数图像与x轴没有交点，且开口向上，故不等式的解集为R.
考点五 一元二次不等式与对应函数、方程的关系
例7．已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为关于x的不等式的解集为，则，，不等式的解集为：，故选：C．
【变式探究】若关于x的不等式的解集为，则实数m的值为 .
【答案】3
【解析】由题可知，－7和－1是二次方程的两个根，故.经检验满足题意，故答案为：3.
考点六 绝对值不等式的解法
例7．不等式的解集为__________．
【答案】或
【详解】当时，不等式，解得；
当时，不等式，解得；
即不等式的解集为或
故答案为：或
例7．若不等式的解集为（-3，1），则实数m=（ ）
A.-4 B.-3 C.2 D.-2
【答案】C
【变式探究】不等式2＜|2x＋3|≤4的解集为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】把原不等式化为2＜2x+3≤4 或﹣4≤2x+3＜﹣2，再把每个不等式的解集取并集．
【详解】由2＜|2x＋3|≤4，可得2＜2x＋3≤4或－4≤2x＋3＜－2.
解得－＜x≤或－≤x＜－.
考点七 分式不等式的解法
例7．不等式解集
【详解】，即，解得或，
故不等式解集为.
【变式探究】不等式解集
【详解】不等式与不等式组同解，解得1≤x<3，故不等式解集为[1,3)
选择题：本大题共 25 小题，每小题 4 分，满分 100 分.
1.（2022年河北）设为实数，且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
解析：D,因为，若a=-2，b=-1，则A,B,C不成立，故选D.
2. （2022年河北）不等式的解集为，则a=( )
A．-2 B．-1
C．1 D．2
解析：D，
当a>0时，
当a<0时，不成立，所以a=2,故选D.
3．（2022河北对口高考）不等式的解集为 .
解析：，故解集为
4．（2021河北对口高考）设为实数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
解析：A，，，A正确；a,b至少有一个负值时，B不成立，B错；c=0时，，C错；a=-1,b=-2时，｜-1｜<|-2|，D错，故选A.
5．（2021河北对口高考）函数的定义域为 .
解析：，定义域为
6．（2020河北对口高考）若0＜a＜b，则下列式子恒成立的是 （ ）
A.3a＞b B. C. D.
【答案】B
【解析】若a=1,b=4,则3a7.(2020年河北对口)函数的定义域为( )
A.{-1,1} B.[-1,1] C.(-1,1) D.(-∞，-1]∪[1，+∞)
【答案】A
【解析】，故选A.
8. (2020河北对口考试)设集合A={x||x-2|>3},B={x|mx+1>0},若m≤0为某个实数，求A∩B.
【解析】
9．（2019河北对口高考）若,则下列不等式成立的是（ ）
A． B. C． D.
【答案】D
【解析】若a=1,b=-2, ,但a>b,A错；,B错；若a=,b=,,C错；，D对，故选D．
10. (2019年河北对口)若不等式x2+ax-b<0 的解集为 (1,2),则log 6(ab) = .
【答案】1
【解析】由已知可知x2+ax-b=0的根为1，2，由韦达定理可得1+2=-a,1*2=-b,所以ab=6，log 66 =1，故答案为1.
11.（2019年河北对口高考）函数的定义域为 。
【答案】
【解析】,故答案为.
12. （2018河北对口高考）若a,b,c为实数，且a>b,则 ( )
A a-c>b-c B.a2>b2
C ac>bc D ac2>bc2
【答案】A
【解析】由不等式性质可知A正确；a=-1,b=-2时，a213. (2018年河北对口)函数的定义域为
【答案】
【解析】，故答案为.
14．（2017河北对口高考）若a>b,cA. B .a+c>b+d
C. ln(a-c)>ln(b-d) D. a+d>b+c
【答案】D
【解析】由同向不等式的性质可知D正确.故选D.
15. （2017年河北对口高考）已知函数的定义域是 .
【答案】
【解析】,故答案为.
16.(2017河北对口考试)设集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】,故，故选C.
17．(2017年河北对口)设集合， ，则=（　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】,=,故选B.
18．（2016河北对口高考）设，那么下列各不等式恒成立的是（ ）
A、 B、
C、 D、
【答案】D
【解析】若a=-2,b=1, , A错；c<0时，，B错；b=2,a=1时, ,C错；故选D.
19. (2016年河北对口)函数的定义域是 ．
【答案】
【解析】,故答案为.
20.（2015河北对口高考）若a,b是任意实数，且，则（ ）
B、
C、 D、
【答案】D
【解析】若a=-2,b=1, , A错；若a=-2,b=1, ,B错；若a=-2,式子没有意义，C错；故选D.
21 . (2015年河北对口)函数的定义域是_____________.
【答案】
【解析】，故答案为
22.（2015河北对口高考）已知集合
若，求实数m的取值范围.
【解析】解不等式得，
所以由解得或，
所以.
又因为，
，.
23. （201４河北对口高考）下列命题正确的是( ).
A. 若则 B. 若则
C. 若，则 D. 若则
【答案】B
【解析】若C=0，则，A错；，由同向不等式性质得，B正确；若a<0，则b24. （2014河北对口高考）已知集合且求实数的取值范围.
【解析】由题意得
,
由于 所以
解得
25. 不等式的解集是 （ ）
A.{x | x>1} B.{x | x<1} C.{x | x>-1} D.{x | x<-1}
【答案】B
【解析】原不等式与(x2+1)(1-x)>0同解，因x2+1>0，故1-x>0，解得x<1，故不等式解集为{x | x<1}.专题02 不等式
一、不等式的基本性质及区间表示
实数大小的基本性质 (1) a - b > 0 ；(2) a - b < 0 ；(3) a - b = 0 ；
不等式的基本性质 (1)性质1(传递性)： a > b , b > c ；
(2)性质2(加法性)： a > b ；
推论： a > b , c > d ；(同向不等式可加性)
(3)性质3(乘法性)： a > b ,c > 0 ； a > b ,c < 0 ；
推论： a > b >0，c > d >0 ；(正数的同向可乘性) a > b >0， an>bn(n∈N，n≥2) ；(正数的乘方法则) a > b >0， > (n∈N，n≥2) ；(正数的开方法则)
区间 有限区间 (1)满足a≤x≤b的全体实数的集合，叫做 区间，记作： ； (2)满足a无限区间 (1)满足x≤b的全体实数的集合，记作： ； (2)满足xa的全体实数的集合，记作： .
（二）一元一次不等式（组）
一元一次不等式 ax>b a>0时，解集是{x|x>}； a<0时，解集是{x|x<}； a=0时，b≥0,则解集是 ； b<0,则解集是 ；
一元一次不等式组 （a>b） ① 的解集是{x|x>a}; ② 的解集是 ； ③ 的解集是 ； ④ 的解集是 ；
（三）一元二次不等式
△=b2-4ac △>0 △=0 △<0
f(x)=ax2+bx+c
ax2+bx+c=0（a> 0） 两个不相等的实根 x1、x2= x0= 无实数根
一元二次不等式 ax2+bx+c> 0 (a> 0) (-∞ , x1)∪(x2 , +∞) (-∞ , x0)∪(x0 , +∞) R
ax2+bx+c≥0 (a> 0) (-∞ , x1]∪[x2 , +∞) R R
ax2+bx+c< 0 (a> 0) (x1 , x2)
ax2+bx+c≤0 (a> 0) [x1 , x2] {x0}
含绝对值的不等式
绝对值的几何意义 实数在数轴上所对应的点到原点的距离,用“| |”来表示
绝对值的性质
含绝对值的不等式 ①｜x｜< a (a>0) ；②｜x｜> a (a>0) ； ③｜f(x)｜< a (a>0) ；④｜x｜> a (a>0) ；
解法 将“| |”符号中的部分看成一个整体，利用绝对值的几何意义,去掉绝对值
（五）简单分式不等式
与同解； 与同解；
与 同解； 与 同解.
1. 不等式的性质
2. 解一次不等式
3. 解二次不等式（简单分式不等式）
4. 解不等式组
1. 赋值法
2. 拆分项法
3. 公式法
4. 因式分解法
5. 十字相乘法
6. 求根公式法
考点一 不等式的性质
例1．下列命题中，正确的是（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
例2．如果a A. a + 2 > b+2 B.2a >2b
C. 5a > 5b D.
考点二 比较大小
例3．若，则M与N的大小关系为__________ .
【变式探究】比较2x2+2x-3与x2+x-6的大小.
考点三 解一元一次不等式（组）
例4．解不等式，并把解集在数轴上表示出来
例5．不等式组的整数解是 .
【变式探究】不等式组的解集用区间表示为： ．
考点四 一元二次不等式的解法
例6．不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
例7．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式探究】1. 不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2. 不等式x2-2x+3>0的解集是 （ ）
A. B. {x | x<1或x>3} C. R D. {x | 1考点五 一元二次不等式与对应函数、方程的关系
例8．已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【变式探究】若关于x的不等式的解集为，则实数m的值为 .
考点六 绝对值不等式的解法
例9．不等式的解集为__________．
例10．若不等式的解集为（-3，1），则实数m=（ ）
A.-4 B.-3 C.2 D.-2
【变式探究】不等式2＜|2x＋3|≤4的解集为(　　)
A． B．
C． D．
考点七 分式不等式的解法
例7．不等式解集
【变式探究】不等式解集
选择题：本大题共 25 小题，每小题 4 分，满分 100 分.
1.（2022年河北）设为实数，且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2. （2022年河北）不等式的解集为，则a=( )
A．-2 B．-1
C．1 D．2
3．（2022河北对口高考）不等式的解集为 .
4．（2021河北对口高考）设为实数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021河北对口高考）函数的定义域为 .
6．（2020河北对口高考）若0＜a＜b，则下列式子恒成立的是 （ ）
A.3a＞b B. C. D.
7.(2020年河北对口)函数的定义域为( )
A.{-1,1} B.[-1,1] C.(-1,1) D.(-∞，-1]∪[1，+∞)
8. (2020河北对口考试)设集合A={x||x-2|>3},B={x|mx+1>0},若m≤0为某个实数，求A∩B.
9．（2019河北对口高考）若,则下列不等式成立的是（ ）
A． B. C． D.
10. (2019年河北对口)若不等式x2+ax-b<0 的解集为 (1,2),则log 6(ab) = .
11.（2019年河北对口高考）函数的定义域为 。
12. （2018河北对口高考）若a,b,c为实数，且a>b,则 ( )
A a-c>b-c B.a2>b2
C ac>bc D ac2>bc2
13. (2018年河北对口)函数的定义域为
14．（2017河北对口高考）若a>b,cA. B .a+c>b+d
C. ln(a-c)>ln(b-d) D. a+d>b+c
15. （2017年河北对口高考）已知函数的定义域是 .
16.(2017河北对口考试)设集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
17．(2017年河北对口)设集合， ，则=（　）
A． B． C． D．
18．（2016河北对口高考）设，那么下列各不等式恒成立的是（ ）
A、 B、
C、 D、
19. (2016年河北对口)函数的定义域是 ．
20.（2015河北对口高考）若a,b是任意实数，且，则（ ）
B、
C、 D、
21 . (2015年河北对口)函数的定义域是_____________.
22.（2015河北对口高考）已知集合
若，求实数m的取值范围.
23. （201４河北对口高考）下列命题正确的是( ).
A. 若则 B. 若则
C. 若，则 D. 若则
24. （2014河北对口高考）已知集合且求实数的取值范围.
25. 不等式的解集是 （ ）
A.{x | x>1} B.{x | x<1} C.{x | x>-1} D.{x | x<-1}

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