资源简介

1．1.1　空间向量及其线性运算
[课标解读]　1.理解空间向量的概念.2.掌握空间向量的线性运算.3.掌握共线向量定理、共面向量定理的应用．
教材要点
要点一　空间向量的有关概念
定义 在空间，把具有________和________的量叫做空间向量．
长度 空间向量的________叫做空间向量的长度或________．
表示法 ①几何表示法：空间向量用________表示． ②字母表示法：若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||.
状元随笔　空间向量在空间中是可以任意平移的．
要点二　几类特殊向量
零向量 长度为零的向量
单位向量 模为________的向量
相反向量 与a长度________而方向________的向量称为a的相反向量
相等向量 方向________且模________的向量
共线向量 (平行向量) 有向线段所在的直线互相________或________的向量
状元随笔　类比平面向量记忆．
要点三　空间向量的加减与数乘运算
运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 a＋b (1)交换律： a＋b＝________； (2)结合律： (a＋b)＋c＝__________
减法 a－b a－b＝a＋(－b)
数乘 λa (1)|λa|＝________； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向________；当λ＜0时，λa的方向与a的方向________；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
状元随笔　当两个以上的空间向量相加时，可将三角形法则推广到多边形法则：n个向量首尾顺次相接，则封闭折线的起点指向终点的有向线段表示的向量就是它们的和，即＝．
注意实数与向量的乘积的特殊情况：当λ＝0时，λ→＝；当λ≠0时，若＝，则λ＝．
要点四　方向向量
在直线l上取非零向量a，把与向量a平行的________称为直线l的方向向量．也就是说直线可以由其上一点和它的方向向量确定．
要点五　共面向量
1．定义：平行于____________的向量叫做共面向量．
2．共面向量定理：如果两个向量a，b________，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是________________________________．
状元随笔　向量与，共面的充要条件是在向量与不共线的前提下才成立的，若与共线，则不成立．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)空间两个向量的加减运算与平面内两向量的加减法运算完全一致．(　　)
(2)若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．(　　)
(3)空间中任意三个向量一定是共面向量．(　　)
(4)若P，M，A，B共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使＝x＋y.(　　)
2．下列说法正确的是(　　)
A．任一空间向量与它的相反向量都不相等
B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆
C．模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量
D．不相等的两个空间向量的模可能相等
3．d1，d2都是直线l的方向向量，则下列说法中正确的是(　　)
A．d1∥d2B．d1＝d2
C．d1与d2同向 D．d1与d2反向
4．如图，已知平行六面体ABCD A1B1C1D1，在下列选项中，与相等的向量是(　　)
A．B．
C．D．
5．已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则＝________．
题型 1有关空间向量概念的理解
例1　(1)(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反
B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C．空间向量的减法满足结合律
D．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p
(2)如图所示，在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有________；与向量相反的向量有________________．(要求写出所有适合条件的向量)
方法归纳
判断空间向量有关概念问题的策略
巩固训练1　下列关于单位向量与零向量的叙述正确的是(　　)
A.零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等
B.零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等
C．零向量的长度为0，单位向量不一定是相等向量
D．零向量只有一个方向，模相等的单位向量的方向不一定相同
题型 2　空间向量的线性运算
例2　(1)(多选)如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　)
A．B．
C．D．
(2)如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
①；②；③．
方法归纳
空间向量线性运算的3个技巧
巩固训练2　如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量.
题型 3　共线问题
例3　如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝，F在对角线A1C上，且＝，求证：E，F，B三点共线.
方法归纳
证明空间三点共线的三种思路
巩固训练3　
如图所示，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝＝.求证：四边形EFGH是梯形．
题型 4共面问题
例4　已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若点M满足＝.
(1)判断三个向量是否共面；
(2)判断M是否在平面ABC内．
方法归纳
解决向量共面的策略
巩固训练4　
如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别为A1D1，D1C1，AA1，CC1的中点，求证：M，N，P，Q四点共面．
易错辨析　错把向量与平面平行认为线面平行
例5　已知AB，CD是异面直线，CD α，AB∥α，M，N分别是AC，BD的中点．证明：MN∥α.
证明：因为CD α，AB∥α，且AB，CD是异面直线，所以在平面α内存在向量a，b使得＝a，＝b，且两个向量不共线．
由M，N分别是AC，BD的中点，得＝)＝)＝(a＋b)．所以，a，b共面，
所以MN∥α或MN α.
若MN α，
则AB，CD必在平面α内，
这与已知AB，CD是异面直线矛盾．故MN∥α.
易错警示
易错原因 纠错心得
本题易由＝(a＋b)直接得到MN∥α.忽略对MN α这种情况的讨论． 线面平行要求直线必须在平面外，而在利用向量证明线面平行时，需要说明对应的直线和平面之间的位置关系．
1．1.1　空间向量及其线性运算
新知初探·课前预习
要点一
大小　方向　大小　模　有向线段
要点二
1　相等　相反　相同　相等　平行　重合
要点三
b＋a　a＋(b＋c)　|λ||a|　相同　相反
要点四
非零向量
要点五
1．同一个平面
2．不共线　存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：零向量的相反向量是本身，故A错；终点构成一个球面，故B错；向量不能比较大小，故C错；相反向量是不相等向量，但它们的模长相等，故D正确．
答案：D
3．解析：由题意，向量d1，d2都是直线l的方向向量，
根据直线的方向向量的概念，可得向量d1，d2是共线向量，即d1∥d2.
答案：A
4．解析：与相等的向量是．
答案：C
5．解析：＝＝＝－a＋b＋c.
答案：－a＋b＋c
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)|a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；根据相等向量的定义知D正确．故选BD.
(2)根据相等向量的定义知，与向量相等的向量有，与向量相反的向量有.
答案：(1)BD
(2)；
巩固训练1　解析：因为零向量的方向是任意的，且长度为0，两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，故选C.
答案：C
例2　解析：(1)A中＝－＝；
B中＝＝；
C中＝＝＝；
D中＝＝．故选AB.
(2)①∵点P是C1D1的中点，∴＝＋＝＋＝a＋c＋b，
②∵点N是BC的中点，∴＝＋＝＋＝－a＋b＋c，
③∵点M是AA1的中点＝＝a＋c＋b＋c＋a＝a＋b＋c.
答案：(1)AB　(2)见解析
巩固训练2　解析：＝
＝
＝)
＝)
＝)]
＝＝a＋b＋c.
例3　证明：设＝a，＝＝c.
∵＝，＝，
∴＝，＝．
∴＝＝b，＝)＝)＝a＋b－c.
∴＝－＝a－b－c＝.
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
∴＝，所以E，F，B三点共线．
巩固训练3　证明：∵E，H分别是边AB，AD的中点，∴＝＝.
则＝＝＝)＝.
∵＝＝＝)＝，
∴∥且||＝||≠||.
又F不在EH上，故四边形EFGH是梯形．
例4　解析：(1)∵＝3，
∴＝()＋()，
∴＝＝－，
∴向量共面．
(2)由(1)知向量共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内．
巩固训练4　证明：令＝＝b，＝c，
∵M，N，P，Q均为棱的中点，
∴＝b－a，＝＋A1P＝a＋c，＝＋＝－a＋b＋c.
令＝λ＋μ(λ，μ∈R)，
则－a＋b＋c＝λ(b－a)＋μ(a＋c)＝(μ－λ)a＋λb＋μ c，
∴解得
∴＝2，
∴向量共面，
∴M，N，P，Q四点共面．1.1.2　空间向量的数量积运算
[课标解读]　1.了解空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质与运算律.3.可以用数量积证明垂直，求解角度和长度．
教材要点
要点一　空间向量的夹角
1．夹角的定义
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作________．
状元随笔　关键是起点相同！
2．夹角的范围
空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π].特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝________时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量________，记作________．
状元随笔　两个向量的夹角是唯一确定的，且〈，〉＝〈，〉．
要点二　空间向量数量积
1．概念：已知两个非零向量a，b，则__________叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉．
状元随笔　(1)两个向量的数量积是数量，而不是向量．(2)零向量与任意向量的数量积等于零．
2．投影向量：向量a向向量b投影，得到c＝____________，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．
3．性质
a⊥b ______，|a|2＝________,__|a|＝________，cos 〈a，b〉＝____________
4．运算律
λ(a·b)＝________，a·b＝________(交换律)．
a·(b＋c)＝________(分配律)．
状元随笔　特别提醒：不满足结合律( ·) ·＝ ·( ·)．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)向量a在向量b上的投影向量c＝|a|cos 〈a，b〉·.(　　)
(2)对于任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)．(　　)
(3)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.(　　)
(4)在△ABC中，〈〉＝∠B.(　　)
2．(多选)设a，b为空间中的两个非零向量，则下列各式正确的是(　　)
A．a2＝|a|2
B．＝
C．(a·b)2＝a2·b2
D．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
3．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是(　　)
A．与 B．与
C．与 D．与
4．在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，设＝a，＝＝c，则a·(b＋c)的值为(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．－2
5．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________．
题型 1　数量积的运算
例1　
如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：
①·；
②·；
③·；
④·.
方法归纳
计算空间向量数量积的2种方法
巩固训练1　如图，正方体ABCD A1B1C1D1 的边长为1，求：
；
；
．
题型 2　用数量积求角度
例2　如图，已知正三棱柱ABC A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
方法归纳
利用数量积求夹角或其余弦值的步骤
巩固训练2　如图，在正方ABCD A1B1C1D1中，求与夹角的大小．
题型 3　用数量积判断或证明垂直问题
例3　已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.
方法归纳
利用向量数量积判断或证明垂直问题的策略
巩固训练3　已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，那么AD与BC的位置关系为________．(填“平行”或“垂直”)
题型 4　用数量积求长度
例4　如图，已知 ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝6，则PC的长为________．
方法归纳
求解长度问题时，先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个向量和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可．
巩固训练4　在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．
易错辨析　混淆向量的夹角与空间角
例5　如图所示，在平面角为120° 的二面角α AB β中，AC α，BD β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，求线段CD的长．
解析：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴·＝0，·＝0.
∵二面角α AB β的平面角为120°，∴〈〉＝180°－120°＝60°.
∴2＝()2＝＋＋＋2·＋2·＋2·＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，∴CD＝12.
易错警示
易错原因 纠错心得
本题易错的地方是混淆二面角的平面角与向量夹角的概念，而误认为向量的夹角〈〉＝120°，得到错误答案CD＝6. 利用数量积的性质求解有关平面或空间中角的问题时，要特别注意向量的夹角与所求角的区别与联系，切不可忽略角的取值范围而盲目套用．利用向量求二面角的平面角时，一般不能保证所求的角就是二面角的平面角，也有可能是二面角的平面角的补角，这时要结合实际图形对所求的角进行适当的处理．
1．1.2　空间向量的数量积运算
新知初探·课前预习
要点一
1．〈a，b〉
2．π　垂直　a⊥b
要点二
1．|a||b|cos 〈a，b〉 　2.|a|cos 〈a，b〉　3.a·b＝0　a·a　　4.(λa)·b　b·a　a·b＋a·c
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．答案：AD
3．解析：因为＝，所以与的夹角为45°，故A正确；因为＝，所以与的夹角为135°，故B不正确；因为＝，所以与的夹角为90°，故C不正确；因为＝，所以与的夹角为180°，故D不正确．
答案：A
4．解析：由题意可得AB⊥AD，AB⊥AA1，
所以a⊥b，a⊥c，所以a·b＝0，a·c＝0，
所以a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝0.
答案：B
5．解析：∵cos 〈a，b〉＝＝＝－.
∴〈a，b〉＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1　解析：①·＝·
＝||||cos 〈〉
＝cos 60°＝.
②·＝·＝||2＝.
③·＝·＝||·||·cos 〈〉＝ cos 120°＝－.
④·＝·()
＝··
＝||||cos 〈〉－||||cos 〈〉＝cos 60°－cos 60°＝0.
巩固训练1　解析：＝0
＝|cos 45°＝1.
＝〉＝＝－1.
例2　解析：不妨设棱长为2，则＝－＝，
，〉＝
＝＝0.
答案：0
巩固训练2　解析：不妨设正方体的棱长为1，
则·＝)·()
＝)·()
＝·
＝0＋＋0＋0＝＝1，
又因为|＝，||＝，
所以，〉＝＝＝.
因为，〉∈[0，π]，所以，〉＝，
即与夹角的大小为.
例3　证明：连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|.
又＝)
＝
＝(a＋b＋c)，＝c－b.
∴·＝(a＋b＋c)·(c－b)
＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)
＝(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0.
∴⊥，即OG⊥BC.
巩固训练3　解析：∵·＝()·()＝··－·
＝·()＝·＝0，
∴AD与BC垂直．
答案：垂直
例4　解析：∵＝，
∴||2＝·＝()2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos 120°＝61－12＝49.∴PC＝7.
答案：7
巩固训练4　解析：因为＝，
所以＝)2＝)．
因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
所以＝1＋4＋9＋2×(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23.
因为＝|2，所以|2＝23，
则|＝，即AC1＝.1.2　空间向量基本定理
[课标解读]　1.了解空间向量的基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解．
教材要点
要点一　空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在有序实数组(x，y，z)，使得p＝____________. 其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
状元随笔　由于可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是．
一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
要点二　单位正交基底
空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}，对空间中的任意a，均可以分解成三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示.(　　)
(2)若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．(　　)
(3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3a3.(　　)
(4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．(　　)
2．在长方体ABCD A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是(　　)
A．
，
3．已知{a，b，c}能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间基底的是(　　)
A．a＋b，b，c
B．a，a－b，c
C．a－c，b－c，a－b
D．a，b，a＋b＋c
4．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有(　　)
A．a与b共线 B．a与b同向
C．a与b反向 D．a与b共面
5．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，若λe1＋μe2＋νe3＝0，则λ2＋μ2＋ν2＝________．
题型 1　基底的判断
例1　已知{i，j，k}是空间的一个基底，且＝i＋2j－k，＝－3i＋j＋2k，＝i＋j－k，试判断{}能否作为空间的一个基底．
方法归纳
判断空间向量基底的方法
巩固训练1　(多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组，其中可以作为空间一个基底的向量组是(　　)
A．{a，b，x} B．{x，y，z}
C．{b，c，z} D．{x，y，a＋b＋c}
题型 2　用基底表示向量
例2　如图，在三棱柱ABC A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量.
方法归纳
用基底表示向量时，若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
巩固训练2　在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，若＝a，＝＝c.用基底{a，b，c}表示向量.
题型 3　空间向量基本定理的应用
例3　如图，已知在直三棱柱ABC A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
方法归纳
应用空间向量基本定理解决问题的一般步骤
巩固训练3　如图，正方体ABCD A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别为C′D′，A′D′的中点．求证：EF∥AC.
易错辨析　对基底理解不清致误
例4　在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若＝＝b，＝c，试用基底{a，b，c}表示向量．
解析：如图，连接A1M，A1C1，则＝＝)＝)＝)＝－a－b＋c.
易错警示
易错原因 纠错心得
本题易错的地方是向量分解的不彻底，可能会得到如下错解：＝＝)＝c＋－a－b， 事实上，仍需用基底表示． 基底可以表示空间内任一向量，用基底表示向量时，最后结果应含基向量．
1．2　空间向量基本定理
新知初探·课前预习
要点
xa＋yb＋zc
[基础自测]
1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：由空间向量基本定理可知C正确．
答案：C
3．解析：由图形结合分析a－c，b－c，a－b，三个向量共面，不构成基底．
答案：C
4．解析：由定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，
向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．
答案：A
5．解析：∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3为不共面向量．
又∵λe1＋μe2＋νe3＝0，∴λ＝μ＝ν＝0，∴λ2＋μ2＋ν2＝0.
答案：0
题型探究·课堂解透
例1　解析：假设共面，
由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，
使得＝x＋y成立，
i＋2j－k＝x(－3i＋j＋2k)＋y(i＋j－k)＝(－3x＋y)i＋(x＋y)j＋(2x－y)k.
因为{i，j，k}是空间的一个基底，所以i，j，k不共面，
所以此方程组无解．
即不存在实数x，y，
使得＝x＋y成立，
所以{}能作为空间的一个基底．
巩固训练1　解析：
如图所示，令a＝，b＝，c＝，
则x＝，y＝，z＝，
a＋b＋c＝．由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面．故选BCD.
答案：BCD
例2　解析：＝＝)＝＝)＋＝＝(a＋b＋c)．
＝＝)
＝)＝a＋b＋c.
巩固训练2　解析：由题意可得
＝＋＝＝)＝c＋(b－a)，
故＝－a＋b＋c.
例3　解析：(1)证明：设＝a，＝b，＝c，这三个向量不共面，则|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0.
所以＝b＋c，＝－c＋b－a.
所以·＝－c2＋b2＝0，
所以⊥，即CE⊥A′D.
(2)因为＝－a＋c，所以||＝|a|，
由(1)得||＝|a|，
所以·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，
所以cos 〈〉＝＝.
所以异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.
巩固训练3　证明：设＝i，＝j，＝k，
则{i，j，k}构成空间的一个单位正交基底．
所以＝＝i－j＝(i－j)，
＝＝i－j.
所以＝.
所以EF∥AC.1.3.1　空间直角坐标系
[课标解读]　1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性.2.会用空间直角坐标系刻画点的位置．
教材要点
要点一　空间直角坐标系
空间直角 坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做________．
坐标平面 在空间直角坐标系Oxyz中，由两条坐标轴确定的平面叫坐标平面，分别称为________平面，________平面，________平面．
右手直角 坐标系 在空间直角坐标系Oxyz中，让右手拇指指向________的正方向，食指指向________的正方向，如果中指指向________的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
状元随笔　画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135 °(或45 °)，∠yOz＝90 °.
要点二　空间直角坐标系中的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作________，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
状元随笔　(1)坐标轴上的点的特征：x轴上的点纵坐标和竖坐标都为0；y轴上的点横坐标和竖坐标都为0；z轴上的点横坐标和纵坐标都为0.
(2)坐标平面上的点的特征：xOy平面上的点竖坐标为0；yOz平面上的点横坐标为0；xOz平面上的点纵坐标为0.
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)空间直角坐标系中的任意一点的坐标是唯一的．(　　)
(2)空间直角坐标系中x轴上点的横坐标x＝0，竖坐标z＝0.(　　)
(3)空间直角坐标系中xOz平面上点的坐标满足z＝0.(　　)
(4)关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反．(　　)
2．点(2，0，3)在空间直角坐标系中的(　　)
A．y轴上 B．xOy平面上
C．xOz平面上 D．第一象限内
3．已知点A(－1，2，7)，则点A关于x轴对称的点的坐标为(　　)
A．(－1，－2，－7) B．(－1，－2，7)
C．(1，－2，－7) D．(1，2，－7)
4．在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1，－2，5)关于平面yOz对称的点B为(　　)
A．(1，－2，－5) B．(－1，－2，5)
C．(－1，－2，－5) D．(1，2，－5)
5．在空间直角坐标系中，自点P(－4，－2，3)引x轴的垂线，则垂足的坐标为________．
题型 1　已知点的坐标确定点的位置
例1　在空间直角坐标系Oxyz中，画出下列各点：
A (0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，3，0)，D(0，3，0), A′(0，0，2)，B′(2，0，2)，C′(2，3，2)，D′(0，3，2)．
方法归纳
由点的坐标确定点位置的方法
(1)先确定点(x0，y0，0)在xOy平面上的位置，再由竖坐标确定点(x0，y0，z0)在空间直角坐标系中的位置；
(2)以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体中与O相对的顶点即为所求的点．
巩固训练1　在空间直角坐标系中，标出点M(2，－6，4)．
题型 2　求空间点及向量的坐标
例2　如图，在直三棱柱ABC A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，的坐标．
方法归纳
求空间向量坐标的两种方法
巩固训练2　
已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1，DC的中点，如图所示建立空间直角坐标系．
(1)写出各顶点的坐标；
(2)写出向量，，的坐标．
题型 3　求空间对称点的坐标
例3　在空间直角坐标系中，已知点P(－2，1，4)．
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；
(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．
方法归纳
求空间对称点的2个策略
巩固训练3　求点(－2，1，4)关于y轴，z轴，yOz面，xOz面的对称点的坐标．
易错辨析　建错空间直角坐标系
例4　在正三棱柱ABC A1B1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．
解析：分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为原点的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，，0)，B(－，0，0)，C(，0，0)，A1(0，，2)，B1(－，0，2)，C1(，0，2)．
易错警示
易错原因 纠错心得
建系时，误认为与垂直，从而以A为原点的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立坐标系导致错误． 在建系时应注意，若图中没有直接建系的条件，则应根据已知条件，通过作辅助线来创造合适的建系条件．
1.3.1　空间直角坐标系
新知初探·课前预习
要点一
坐标向量　Oxy　Oyz　Oxz　x轴　y轴　z轴
要点二
A(x，y，z)
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：点(2，0，3)的y轴坐标为0，所以该点在xOz平面上．
答案：C
3．解析：点(－1，2，7)关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－7)．
答案：A
4．解析：关于平面yOz对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相同．
答案：B
5．解析：∵点P(－4，－2，3)，
∴自点P引x轴的垂线，垂足坐标为(－4，0，0)．
答案：(－4，0，0)
题型探究·课堂解透
例1　解析：点A为原点．点B为x轴上坐标为2的点．
点C的竖坐标为0，因此点 C 就是xOy平面内横坐标为2、纵坐标为3的点．点D是y轴上坐标为3的点．点A′是z轴上坐标为2的点．点B′是zOx平面内横坐标为2、竖坐标也为2的点．
要作出点C′(2，3，2)，只需过x轴上坐标为2的点B，
作垂直于x轴的平面α，过y轴上坐标为3的点D，
作垂直于y轴的平面β.
根据几何知识可以得出：这两个平面的交线就是经过点 C(2，3，0)，且与z轴平行的直线l.再过z轴上坐标为2的点A′作垂直于z轴的平面γ，那么直线l与平面γ的交点也是三个平面α，β，γ的交点，就是点C′.
点D′是yOz平面内纵坐标为3、竖坐标为2的点．
在同一空间直角坐标系中，画出以上各点，它们刚好是长方体ABCD A′B′C′D′的八个顶点(如图)．
巩固训练1　解析：方法一　先确定点M′(2，－6，0)在xOy平面上的位置，因为点M的竖坐标为4，
则|MM′|＝4，且点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧，这样就可确定点M的位置了(如图所示)．
方法二　以O为一个顶点，构造三条棱长分别为2，6，4的长方体，使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上，则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点(图略)．
例2　解析：由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，
分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示．
则B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)
∴＝＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．
巩固训练2　解析：(1)由题图知A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2)．
(2)因为E，F分别为棱BB1，DC的中点，
由中点坐标公式，得E(2，2，1)，F(0，1，0)．
所以＝(－2，－1，－1)，＝(－2，－1，－2)，＝(0，2，－1)．
例3　解析：(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4)．
(2)由点P关于xOy平面对称后，它在x轴，y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2，1，－4)．
(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，
由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，
y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3的坐标为(6，－3，－12)．
巩固训练3　解析：(1)点P关于y轴的对称点坐标为P1(2，1，－4)，
(2)点P关于z轴的对称点坐标为P2(2，－1，4)，
(3)点P关于面yOz的对称点为P3(2，1，4)，
(4)点P关于面xOz的对称点为P4(－2，－1，4)．1.3.2　空间向量运算的坐标表示
[课标解读]　1.掌握空间向量的坐标表示.2.掌握空间两点间距离公式.3.会用向量的坐标解决一些简单的几何问题．
教材要点
要点一　空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b a＋b＝__________________
减法 a－b a－b＝__________________
数乘 λa λa＝__________________
数量积 a·b a·b＝__________________
状元随笔　空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致．
要点二　空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
名称 满足条件
向量表示形式 坐标表示形式
a∥b a＝λb(λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a⊥b a·b＝0 a·b＝______________
模 |a|＝ |a|＝________________
夹角 cos 〈a，b〉＝ cos 〈a，b〉＝
状元随笔　＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)，若∥，则＝＝成立的条件是x2y2z2≠0.
要点三　空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝|＝________________．
状元随笔　(1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆．
(2)若O(0，0，0)，P(x，y，z)，则||＝.
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)空间直角坐标系中，向量的坐标与终点B的坐标相同．(　　)
(2)“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．(　　)
(3)四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同．(　　)
(4)设A(0，1，－1)，O为坐标原点，则＝(0，1，－1)．(　　)
2．已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－1，0，1)，则a＋2b＝(　　)
A．(－1，2，5) B．(－1，4，5)
C．(1，2，5) D．(1，4，5)
3．已知向量＝(1，0，1)，＝(2，1，－1)，那么向量＝(　　)
A．(3，1，0) B．(－1，－1，2)
C．(1，1，－2) D．
4．已知向量a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，则a·b＝(　　)
A．3 B．4
C．2 D．6
5．在空间直角坐标系中，已知A(1，－2，3)，B(0，－1，2)，则的模为________．
题型 1　空间向量的坐标运算
例1　(1)已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________；
(2)若2a－b＝(2，－4，3)，a＋2b＝(1，3，－1)，则cos〈a，b〉＝________．
方法归纳
空间向量坐标运算的3类问题及解题方法
　
巩固训练1　(1)已知A(1，－2，0)和向量a＝(－3，4，12)，且＝2a，则点B的坐标为(　　)
A．(－7，10，24) B．(7，－10，－24)
C．(－6，8，24) D．(－5，6，24)
(2)已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，则a·(－2b)＝________，(a－b)·(2a－3b)＝________．
题型 2　空间向量平行、垂直的坐标表示
角度1　由平行、垂直关系求参数
例2　已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.
(1)设|c|＝3，c∥，求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
方法归纳
解答此类问题只需根据平行、垂直的条件建立方程(组)求解即可．
巩固训练2　(1)已知向量a＝(0，1，1)，b＝(1，－2，1)．若向量a＋b与向量c＝(m，2，n)平行，则实数n的值是(　　)
A．6 B．－6
C．4 D．－4
(2)已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，若ka＋b与b互相垂直，则实数k的值是________．
角度2　平行、垂直关系在立体几何证明中的应用
例3　在正方体ABCD A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD，A1C1的中点．
求证：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；
(2)A1G⊥平面EFD.
方法归纳
对于一些以正方体、长方体或其他具备垂直关系的几何体作为载体的立体几何问题，可以优先考虑坐标法，这种方法的优点在于抛开了繁杂的推理论证，仅通过计算即可获得一些平行、垂直关系．
巩固训练3　
如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.
题型 3　向量夹角与长度的计算
例4　如图，已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，且PA＝AD＝2.
(1)求M，N两点之间的距离；
(2)求直线PA与MN所成的角．
方法归纳
利用空间向量的坐标运算求夹角、距离的步骤
巩固训练4　已知正三棱柱ABC A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)求三棱柱的侧棱长；
(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值．
易错辨析　忽视两个向量夹角为锐角(钝角)的条件致误例5　已知a＝(5，3，－1)，b＝(2，t，－)，若a与b的夹角为锐角，求实数t的取值范围．
解析：因为a，b的夹角为锐角，所以a·b>0，即10＋3t＋>0，则t>－，又当夹角为0°时，存在λ>0，使b＝λa，
即(2，t，－)＝λ(5，3，－1)，所以
解得t＝.
综上，实数t的取值范围是(－，＋∞)．
易错警示
易错原因 纠错心得
由a与b的夹角为锐角，得到a·b>0，但当a·b>0时，a与b的夹角不一定为锐角，还可能是共线同向，夹角为0°，解题时容易忽视这个条件，导致扩大了参数的范围． 空间向量a，b夹角为锐角的充要条件是“a·b>0，且a，b不同向”；a，b夹角为钝角的充要条件是“a·b<0，且a，b不反向”．如果在求解过程中，忽视两个向量共线的情况，就有可能扩大参数的取值范围，导致错误．
1.3.2　空间向量运算的坐标表示
新知初探·课前预习
要点一
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)　(a1－b1，a2－b2，a3－b3)　(λa1，λa2，λa3)　a1b1＋a2b2＋a3b3
要点二
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0　
要点三
[基础自测]
1．(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2．解析：a＋2b＝(1，2，3)＋2(－1，0，1)＝(1，2，3)＋(－2，0，2)＝(－1，2，5)．
答案：A
3．解析：∵向量＝(1，0，1)，＝(2，1，－1)，
∴向量＝＝(1，1，－2)．
答案：C
4．解析：∵a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，∴a·b＝－3＋10－5＝2.
答案：C
5．解析：A(1，－2，3)，B(0，－1，2)，
则＝(－1，1，－1)
所以||＝＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)易得2a＋3b＝(4，4，5)，a－b＝(－3，2，0)，
则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.
(2)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
由题设可得解得
同理可得y1＝－1，y2＝2，z1＝1，z2＝－1，即a＝(1，－1，1)，b＝(0，2，－1)，
a·b＝0－2－1＝－3，|a|＝，|b|＝，
cos 〈a，b〉＝＝－.
巩固训练1　解析：(1)设B(x，y，z)，
∵A(1，－2，0)和向量a＝(－3，4，12)，且＝2a，
∴(x－1，y＋2，z)＝(－6，8，24)，
∴，解得x＝－5，y＝6，z＝24，
∴点B的坐标为(－5，6，24)．
(2)a·(－2b)＝－2a·b＝－2(0＋1＋0)＝－2，a－b＝(1，0，－1)，2a－3b＝2(1，1，0)－3(0，1，1)＝(2，－1，－3)．∴(a－b)·(2a－3b)＝(1，0，－1)·(2，－1，－3)＝2＋3＝5.
答案：(1)D　(2)－2　5
例2　解析：(1)因为＝(－2，－1，2)，且c∥，
所以设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)，
得|c|＝＝3|λ|＝3，
解得λ＝±1，即c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)．
(2)因为a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)
所以ka＋b＝(k－1，k，2)，
ka－2b＝(k＋2，k，－4)，
又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，
即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0，
解得k＝2或－.
巩固训练2　解析：(1)∵a＝(0，1，1)，b＝(1，－2，1)，
∴a＋b＝(1，－1，2)，
又因为向量a＋b与向量c＝(m，2，n)平行，
所以存在实数λ，使得λ(a＋b)＝c，
∴，解得.
(2)因为a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，
所以ka＋b＝(k－1，k，2)，
又ka＋b与b互相垂直，
所以(ka＋b)·b＝0，即－(k－1)＋4＝0，解得k＝5.
答案：(1)D　(2)5
例3　证明：
如图，以A为坐标原点，分别以为正交基底建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)．由中点坐标公式，得E(1，1，)，F(1，，0)，G(，1，0)，H(，1).
＝(1，0，1)，＝(，0，)，＝(－，－)．
因为＝·＝1×(－)＋1×＝0，
所以⊥，即AB1∥GE，AB1⊥EH.
(2)＝(，1，－1)，＝(1，－，0)，＝(1，0，)．因为·＝－＋0＝0，·＝＋0－＝0，所以A1G⊥DF，A1G⊥DE.
因为DF＝D，所以A1G⊥平面EFD.
巩固训练3　
证明：(1)如图，建立空间直角坐标系，
设AC＝N，连接NE，
则点N，E的坐标分别为
，(0，0，1)．
∴＝.
又点A，M的坐标分别是(，0)，，
∴＝.
∴＝.
又NE与AM不共线，∴NE∥AM.
又∵NE 平面BDE，AM 平面BDE，∴AM∥平面BDE.
(2)由(1)知＝.
∵D(，0，0)，F(，1)，
∴＝(0，，1)，∴·＝0，
∴⊥.
同理，⊥.
又DF＝F，且DF 平面BDF，BF 平面BDF，
∴AM⊥平面BDF.
例4　解析：(1)以A为原点，建立空间直角坐标系，如图所示．
则A(0，0，0)，B(0，2，0)，D(－2，0，0)，C(－2，2，0)，P(0，0，2)，
所以M(0，1，0)，N(－1，1，1)，
所以＝(－1，0，1)，
故M，N两点之间的距离||＝＝.
(2)由题易得＝(0，0，2)，＝(－1，0，1)，
cos 〈〉＝＝＝，
所以直线PA与MN所成的角为45°.
巩固训练4　解析：(1)设侧棱长为b，则A(0，－1，0)，B1(，0，b)，B(，0，0)，C1(0，1，b)，
所以＝＝(－，1，b)．因为AB1⊥BC1，所以＝(，1，b)·(－，1，b)＝－()2＋12＋b2＝0，解得b＝.故侧棱长为.
(2)由(1)知＝(，1，)，＝(－，1，0)，因为|＝＝，
||＝＝·＝(，1，)·(－，1，0)＝－()2＋1×1＝－2，
所以，〉＝＝＝－.又因异面直线所成角为锐角或直角，所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为.第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示
[课标解读]　1.了解空间中点、直线和平面的向量表示.2.掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法．
教材要点
要点一　空间中点、直线和平面的向量表示
点P的位 置向量 在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量__________表示，我们把向量__________称为点P的位置向量．
空间直线 的向量表 示式　　 a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝________，也可以表示为＝__________．这两个式子称为空间直线的向量表示式．
空间平面 ABC的向 量表示式 设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面内任意一点，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝________．那么取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝______________，这就是空间平面ABC的向量表示式．
状元随笔　(1)空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．
(2)空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
要点二　直线的方向向量与平面的法向量
1．直线的方向向量的定义
直线的方向向量是指和这条直线________的非零向量．
状元随笔　一条直线的方向向量有无数个．
2．平面的法向量的定义
直线l⊥α，取直线l的__________a，则向量a叫做平面α的法向量．
状元随笔　一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线上任意两个不同的点A，B表示的向量都可作为该直线的方向向量．(　　)
(2)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．(　　)
(3)直线的方向向量是唯一的．(　　)
(4)若都是直线l的方向向量，则∥，所以AB∥CD.(　　)
2．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)
A．(1，2，3) B．(1，3，2)
C．(2，1，3) D．(3，2，1)
3．设平面α内两向量a＝(1，2，1)，b＝(－1，1，2)，则下列向量中是平面α的法向量的是(　　)
A．(－1，－2，5) B．(－1，1，－1)
C．(1，1，1) D．(1，－1，－1)
4．已知a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量．若l1∥l2，则(　　)
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
5．在如图所示的坐标系中，ABCD A1B1C1D1表示棱长为1的正方体，给出下列结论：
①直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)；②直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)；③平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)；④平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)．
其中正确的是________．(填序号)
题型 1　直线的方向向量
例1　已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于(　　)
A．0 B．1
C． D．3
方法归纳
利用向量共线定理可求解．
巩固训练1　(多选)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　)
A．(2，2，6) B．(1，1，3)
C．(3，1，1) D．(－3，0，1)
题型 2　求平面的法向量
例2　如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
方法归纳
利用待定系数法求法向量的步骤
巩固训练2　如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F，求平面A1DE、平面A1B1CD的一个法向量．
第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示
新知初探·课前预习
要点一
　 ＋ta　 ＋t　xa＋yb　 ＋x＋y
要点二
1．平行或共线　2.方向向量
[基础自测]
1．(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：＝(2，4，6)＝2(1，2，3)．故选A.
答案：A
3．解析：∵(－1，1，－1)·(1，2，1)＝－1＋2－1＝0，
(－1，1，－1)·(－1，1，2)＝1＋1－2＝0，
∴向量(－1，1，－1)是此平面的法向量．
答案：B
4．解析：由l1∥l2得＝＝，解得x＝6，y＝.
答案：D
5．解析：＝＝(0，0，1)，故①正确；＝＝(0，1，1)，故②正确；直线AD⊥平面ABB1A1，＝(0，1，0)，故③正确；向量的坐标为(1，1，1)，与平面B1CD不垂直，∴④错．
答案：①②③
题型探究·课堂解透
例1　解析：∵A(0，y，3)和B(－1，2，z)，＝(－1，2－y，z－3),
∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，故设＝km.
∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k.
解得 k＝－，y＝z＝.
∴y－z＝0.
答案：A
巩固训练1　解析：∵M，N在直线l上，∴＝(1，1，3)，
故向量(1，1，3)，(2，2，6)都是直线l的一个方向向量．
答案：AB
例2　解析：因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则D(0，，0)，P(0，0，1)，E，C(1，，0)，
于是＝＝(1，，0)．
设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
则即
所以
令y＝－1，则x＝z＝.
所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)．
巩固训练2　
解析：∵四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，∴AA1⊥AB，AA1⊥AD，AB⊥AD且AA1＝AB＝AD，以A为原点，分别以为x轴，y轴和z轴建立如图空间直角坐标系，设AB＝AD＝AA1＝1，可得A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，D1(0，1，1)，而E为B1D1的中点，∴E.
设平面A1DE的法向量n1＝(x1，y1，z1)，
又＝，＝(0，1，－1)，
由n1⊥，n1⊥，
得取z1＝1，
则则n1＝(－1，1，1)．
设平面A1B1CD的法向量n2＝(x2，y2，z2)，
由＝(1，0，0)，＝(0，1，－1)，
而，n2⊥，
所以
令z2＝1，则∴n2＝(0，1，1)．第2课时　空间中直线、平面的平行
[课标解读]　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系．
教材要点
要点　空间中平行关系的向量表示
线线 平行 设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2 ________ ______________________
线面 平行 设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α ________ __________________
面面 平行 设α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β ________ ________________
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量．(　　)
(2)直线l的一个方向向量为a＝(－1，2，1)，平面α的一个法向量为n＝(－1，－1，1)，则l∥α.(　　)
(3)两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直．(　　)
2．(多选)下列命题中正确的是(　　)
A．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2 α∥β
B．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β n1·n2＝0
C．若n是平面α的法向量，且向量a与平面α共面，则a·n＝0
D．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直
3．若直线l1，l2的方向向量分别为v1＝(1，2，3)，v2＝(－，－1，－)，则l1，l2的位置关系是(　　)
A．垂直 B．重合
C．平行 D．平行或重合
4．已知直线l的方向向量a＝(－1，2，1)，平面α的法向量b＝(－2，－2，2)，则直线l与平面α的位置关系是(　　)
A．l∥α B．l⊥α
C．l α D．以上选项都不对
5．已知两个不同的平面α，β的法向量分别是n1＝(1，2，2)和n2＝(3，6，6)，则平面α，β的位置关系是________．
题型 1　利用空间向量证明线线平行
例1　在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，点P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS.
方法归纳
利用向量法证明线线平行的2种方法
巩固训练1　如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．
题型 2　利用空间向量证明线面平行
例2　在四棱锥P ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB.
方法归纳
利用空间向量证明线面平行的3种方法
巩固训练2　在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.
题型 3　利用空间向量证明面面平行
例3　已知正方体ABCD A′B′C′D′，求证：平面AB′D′∥平面BDC′.
方法归纳
利用空间向量证明面面平行的方法
巩固训练3　如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．求证：平面EGF∥平面ABD.
易错辨析　忽视直线与平面平行的条件致误
例4　已知A(1，0，0)，B(0，1，1)，C(1，1，0)，D(1，2，0)，E(0，0，1)，则直线DE与平面ABC(　　)
A．直线DE与平面ABC平行
B．DE 平面ABC
C．直线DE与平面ABC相交
D．直线DE与平面ABC平行或DE 平面ABC
解析：因为＝(－1，1，1)，＝(1，0，－1)，设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，1)，则n·＝0，n·＝0，
所以解得所以n＝(1，0，1)．
又＝(－1，－2，1)，
所以·n＝(－1，－2，1)·(1，0，1)＝0，
所以⊥n，所以DE∥平面ABC或DE 平面ABC.
因为＝(1，1，－1)，所以＝2，
所以A，B，C，D四点共面，
即点D在平面ABC内，所以DE 平面ABC，选B.
答案：B
易错警示
易错原因 纠错心得
本题易得直线DE的方向向量与平面ABC的法向量垂直，进而得到直线DE与平面ABC平行的错误解答，实际上，当直线DE在平面ABC内，也有与平面ABC的法向量垂直，因此，需进一步判断DE是否在平面ABC内． 当直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面的位置关系有两种：一是直线与平面平行；二是直线在平面内，具体是哪一种，应进一步考查．
第2课时　空间中直线、平面的平行
新知初探·课前预习
要点
u1∥u2　(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)　u·n＝0　a1a2＋b1b2＋c1c2＝0　n1∥n2　(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)√
2．解析：B不正确，C、D正确．B中若α∥β，则n1∥n2.
答案：ACD
3．解析：因为v1＝(1，2，3)，v2＝，
所以v1＝－2v2，即v1∥v2，
所以l1∥l2或l1与l2重合．
答案：D
4．解析：a＝(－1，2，1)，b＝(－2，－2，2)，
则a·b＝2－4＋2＝0，故a⊥b，
故直线l与平面α的位置关系是l∥α或l α.
答案：D
5．解析：∵n1＝＝(3，6，6)，
∴n1＝n2，∴n1∥n2，∴α∥β.
答案：α∥β
题型探究·课堂解透
例1　证明：方法一　以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
∴＝，∴∥，即PQ∥RS.
方法二　＝
＝，
＝＋＝＋，
∴＝，∴∥，即RS∥PQ.
巩固训练1　证明：
以点D为坐标原点，分别以为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，E(0，0，)，C1(0，1，1)，F(1，1，)，
∴＝＝＝(0，1，)，＝(0，1，)，
∴＝＝，
∥，
又∵F AE，F EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，
∴四边形AEC1F是平行四边形．
例2　
证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，
设PD＝DC＝a.连接AC，交BD于点G，连接EG，
依题意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，P(0，0，a)，E.
方法一　设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，
又＝＝，
则有即
即
令z＝1，则所以n＝(1，－1，1)，
又＝(a，0，－a)，
所以n·＝(1，－1，1)·(a，0，－a)＝a－a＝0.
所以n⊥.
又PA 平面EDB，所以PA∥平面EDB.
方法二　因为四边形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，
故点G的坐标为，所以＝.
又＝(a，0，－a)，
所以＝2，这表明PA∥EG.
而EG 平面EDB，且PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
方法三　假设存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，
即(a，0，－a)＝λ＋μ，
则有
解得
所以＝－，
又PA 平面EDB，所以PA∥平面EDB.
巩固训练2　证明：∵EF⊥平面AEB，AE 平面AEB，BE 平面AEB，
∴EF⊥AE，EF⊥BE.
又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直．
以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知得，A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，F(0，3，0)，D(0，2，2)，G(2，2，0)，∴＝(0，2，2)，＝(2，2，0)，＝(2，0，－2)．
设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，得z＝－1，x＝－1，则n＝(－1，1，－1)，
∴·n＝－2＋0＋2＝0，即⊥n.
∵AB 平面DEG，
∴AB∥平面DEG.
例3　
证明：方法一　设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(1，0，0)，B′(1，1，1)，D′(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，0，0)，C′(0，1，1)，于是＝(0，1，1)，＝(1，1，0)．
设平面AB′D′的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
令y1＝1，可得平面AB′D′的一个法向量为n1＝(－1，1，－1)．
设平面BDC′的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
易知＝(1，1，0)，＝(0，1，1)，
由得
令y2＝1，可得平面BDC′的一个法向量为n2＝(－1，1，－1)．
则n1＝n2，所以n1∥n2，故平面AB′D′∥平面BDC′.
方法二　同方法一知＝(－1，0，1)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，1)，＝(0，1，1)，
所以＝＝，
即AD′∥BC′，AB′∥DC′，
又BC′，DC′ 平面BDC′，所以AD′∥平面BDC′，AB′∥平面BDC′.
又AD′＝A，AD′，AB′ 平面AB′D′，所以平面AB′D′∥平面BDC′.
巩固训练3　
解析：如图所示，由条件知BA，BC，BB1两两互相垂直，以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
由条件知B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，E(0，0，3)，F(0，1，4)，设BA＝a，则A(a，0，0)，G.
所以＝(a，0，0)，＝(0，2，2)，
＝(0，2，－2)，＝，
＝(0，1，1)．
方法一　因为·＝0，·＝0＋4－4＝0，
所以B1D⊥BA，B1D⊥BD.因为BA＝B，所以B1D⊥平面ABD.
又·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0.
所以B1D⊥EG，B1D⊥EF.又EG＝E，
所以B1D⊥平面EFG，可知平面EGF∥平面ABD.
方法二　设平面EGF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
令y1＝1，则n1＝(0，1，－1)．
设平面ABD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则即即
令y2＝1，则n2＝(0，1，－1)．
所以n1＝n2，
所以平面EGF∥平面ABD.第3课时　空间中直线、平面的垂直
[课标解读]　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系．
教材要点
要点　空间中垂直关系的向量表示
线线 垂直 设直线l1的方向向量为u＝(a1，a2，a3)，直线l2的方向向量为v＝(b1，b2，b3)，则l1⊥l2 ________ ____________________．
线面 垂直 设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)，则l⊥α ________ ________ ______________________(λ∈R)．
面面 垂直 设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，则α⊥β __________ __________ ________________．
状元随笔　
(1)若证线线垂直，则证直线的方向向量垂直．
(2)若证线面垂直，则证直线的方向向量与平面的法向量平行．
(3)若证面面垂直，则证两平面的法向量垂直．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．(　　)
(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.(　　)
(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．(　　)
(4)如果一个向量与平面内两个向量垂直，则此向量是平面的一个法向量．(　　)
2．若直线l1，l2的方向向量分别为m＝(2，－1，－1)，n＝(1，1，1)，则这两条直线(　　)
A．平行 B．垂直
C．异面垂直 D．垂直相交
3．直线l的方向向量a＝(2，－4，7)，平面α的法向量n＝(－2，4，－7)，则有(　　)
A．l∥αB．l α或l∥α
C．l与α斜交 D．l⊥α
4．平面α的一个法向量是(1，2，3)，平面β的一个法向量是(3，0，－1)，则平面α与β的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交且不垂直
C．相交且垂直 D．不确定
5．平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为________．
题型 1　利用向量方法证明线线垂直
例1　如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF.
方法归纳
利用向量方法证明线线垂直的2种方法
巩固训练1　如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.
题型 2　利用向量方法证明线面垂直
例2　如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：PB⊥平面EFD.
方法归纳
利用坐标法证明线面垂直的2种方法及步骤
巩固训练2　如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD.
题型 3　利用向量方法证明面面垂直
例3　在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.
方法归纳
利用空间向量证明面面垂直的2种方法
巩固训练3　三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点．
证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.
第3课时　空间中直线、平面的垂直
新知初探·课前预习
要点
u·v＝0　a1b1＋a2b2＋a3b3＝0　u∥n　u＝λn　(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)　n1⊥n2　n1·n2＝0　a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
[基础自测]
1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：因为m·n＝2×1＋(－1)×1＋(－1)×1＝0，所以m⊥n，所以l1⊥l2.
答案：B
3．解析：∵a＝(2，－4，7)，n＝(－2，4，－7)，
∴a＝－n，则a∥n，
所以l⊥α.
答案：D
4．解析：因为(1，2，3)·(3，0，－1)＝1×3＋2×0＋3×(－1)＝0，所以平面α⊥平面β.
答案：C
5．解析：∵平面α与平面β垂直，
∴平面α的法向量u与平面β的法向量v垂直，
∴u·v＝0，即－1×t＋0×5＋5×1＝0，
解得t＝5.
答案：5
题型探究·课堂解透
例1　证明：方法一　以A为原点，以AD，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设AD＝a，则A(0，0，0)，P(0，0，1)，B(0，1，0)，C(a，1，0)，
于是F.
∵E在BC上，∴设E(m，1，0)，
∴＝(m，1，－1)，
＝，
∵·＝0，∴PE⊥AF.
∴无论点E在边BC上何处，总有PE⊥AF.
方法二　因为点E在边BC上，可设＝λ，
于是·＝()·)
＝＋λ)·()
＝····＋λ·＋λ·)
＝(0－1＋1＋0＋0＋0)＝0，
因此⊥.
故无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF.
巩固训练1　证明：∵直三棱柱ABC A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC，BC，C1C两两垂直．
如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz. 则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，
∵＝＝＝0.∴AC⊥BC1.
例2　证明：由题意得，DA，DC，DP两两垂直，所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，
设DC＝PD＝1，
则P(0，0，1)，A(1，0，0)，D(0，0，0)，B(1，1，0)，E.
所以＝(1，1，－1)，＝＝，
设F(x，y，z)，则＝(x，y，z－1)，
＝.
因为⊥，所以x＋＝0，
即x＋y －z＝0.　①
又因为∥，可设＝λ(0≤λ≤1)，
所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.　②
由①②可知，x＝，y＝，z＝，
所以＝.
方法一　因为·＝(1，1，－1) ·＝0＋＝0，
所以⊥，所以PB⊥DE，
因为PB⊥EF，又EF＝E，EF，DE 平面EFD.
所以PB⊥平面EFD.
方法二　设n2＝(x2，y2，z2)为平面EFD的法向量，
则有即
所以取z2＝1，则n2＝(－1，－1，1)．
所以∥n2，所以PB⊥平面EFD.
巩固训练2　证明：方法一　如图以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为2，则O(1，1，0)，A1(2，0，2)，G(0，2，1)，B(2，2，0)，D(0，0，0)，
＝(1，－1，2)，＝(1，1，0)，＝(－2，0，1)，
而·＝1－1＋0＝·＝－2＋0＋2＝0.
⊥，
即OA1⊥OB，OA1⊥BG，
而OB＝B，
∴OA1⊥平面GBD.
方法二　同方法一建系后，＝(－2，0，1)，＝(－2，－2，0)，
设平面GBD的法向量为n＝(x，y，z)
则∴
令x＝1，得z＝2，y＝－1，
∴平面GBD的一个法向量为n＝(1，－1，2)，
显然＝(－1，1，－2)＝－n，
∴∥n，∴A1O⊥平面GBD.
例3　证明：以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设A(0，0，a)，则易得B(0，0，0)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，E(a，a，)，F(0，a，)，
故＝(0，0，－a)，＝(a，a，0)．
设平面ABC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即取x1＝1，
∴n1＝(1，－1，0)为平面ABC的一个法向量．
设n2＝(x2，y2，z2)为平面BEF的一个法向量，同理可得n2＝(1，1，－)．∵n1·n2＝(1，－1，0)·(1，1，－)＝0，
∴平面BEF⊥平面ABC.
巩固训练3　
证明：如图，建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，)，C1(0，1，)，
因为D为BC的中点，所以D点坐标为(1，1，0)，
所以＝(0，0，)，＝(1，1，0)，＝＝(0，－1，)，
设平面A1AD的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面BCC1B1的法向量为＝(x2，y2，z2)．
由
得
令y1＝－1得x1＝1，z1＝0，
此时n1＝(1，－1，0)．
由得
令y2＝1，得x2＝1，z2＝，
此时n2＝.
所以n1·n2＝1－1＋0＝0，
所以n1⊥n2，所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.第1课时　用空间向量研究距离问题
[课标解读]　1.理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导.2.了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想．
教材要点
要点　空间距离的向量求法
分类 点到直线的距离 点到平面的距离
图形 语言
文字 语言 设u为直线l的单位方向向量，A∈l，P l，＝a，向量在直线l上的投影向量为，则PQ＝＝________ 设已知平面α的法向量为n，A∈α，P α，向量是向量在平面上的投影向量，PQ＝________
状元随笔　表示向量在法向量n→方向上的投影的大小，因此点P到平面α的距离也可以表示成 或.
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)点到直线的距离是指过该点作直线的垂线，该点与垂足间的距离．(　　)
(2)直线到平面的距离指直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离．(　　)
(3)两异面直线间的距离不能转化为点到平面的距离．(　　)
(4)平面α外一点P到平面α的距离在平面α内任一点与点P的距离中最短．(　　)
2．已知直线l过定点A(2，3，1)，且n＝(0，1，1)为其一个方向向量，则点P(4，3，2)到直线l的距离为(　　)
A． B．
C． D．
3．已知向量n＝(1，0，－1)与直线l垂直，且l经过点A(2，3，1)，则点P(4，3，2)到l的距离为(　　)
A． B．
C． D．
4．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到α的距离为(　　)
A．10 B．3
C． D．
5．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量为n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是________．
题型 1　利用空间向量求点线距
例1　如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离．
方法归纳
用向量法求点到直线的距离的一般步骤
巩固训练1　已知直三棱柱ABC A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．
题型 2　利用空间向量求点面距、线面距
例2　如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
方法归纳
用向量法求点面距的一般步骤
巩固训练2　在三棱锥S ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M，N分别为AB，SB的中点，如图所示．求点B到平面CMN的距离．
题型 3　利用空间向量求面面距
例3　如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．
方法归纳
求两个平行平面的距离，先在其中一个平面上找到一点，然后转化为该点到另一个平面的距离求解．注意：这个点要选取适当，以方便求解为主．
巩固训练3　如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离．
易错辨析　对距离公式记忆不够准确致误
例4　已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则G(0，0，2)，E(4，－2，0)，F(2，－4，0)，B(4，0，0)，
＝(4，－2，－2)，＝(0，－2，0)，＝(2，－4，－2)．
设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)．
由得
所以x＝－y，z＝－3y.
取y＝1，则n＝(－1，1，－3)．
所以点B到平面EFG的距离d＝＝＝.
易错警示
易错原因 纠错心得
忽略法向量的模，误认为d＝|·n|. 利用距离公式求解时一定牢记距离公式．
第1课时　用空间向量研究距离问题
新知初探·课前预习
要点
[基础自测]
1．(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2．解析：＝(－2，0，－1)，||＝＝，
则点P到直线l的距离d＝ ＝.
答案：A
3．解析：∵n＝(1，0，－1)与直线l垂直，
∴n的单位向量n0＝.
又∵l经过点A(2，3，1)，∴＝(2，0，1)，
∴在n上的投影·n0＝(2，0，1)·＝.∴点P到l的距离为.
答案：B
4．解析：∵α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，
∴n0＝.
又点A(－1，3，0)在α内，∴＝(－1，－2，4)，
∴点P到平面α的距离为|·n0|
＝＝.
答案：D
5．解析：由题意知：＝(2，1，1)，
所以两平面间的距离为d＝＝＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1　解析：因为AB＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，
所以直线A′C的方向向量＝(1，2, －3)．
又＝(0，2，0)，
所以在上的投影长为＝.
所以点B到直线A′C的距离d＝＝ ＝.
巩固训练1　
解析：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，
所以直线A1C1的方向向量
＝＝(0，3，1)，
所以点B到直线A1C1的距离
d＝＝ ＝.
例2　
解析：(1)以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则D(0，0，0)，P(0，0，1)，E，F，A(1，0，0)．
所以＝＝＝，
设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则所以
令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)为平面PEF的一个法向量，
所以点D到平面PEF的距离为
＝＝.
(2)连接AC，则AC∥EF，直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，
平面PEF的一个法向量为n＝(2，2，3)，＝，
所求距离为＝＝.
巩固训练2　解析：取AC的中点O，连接OS，OB.
∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO.
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，
∴SO⊥平面ABC.
又BO 平面ABC，∴SO⊥BO.
又∵△ABC为正三角形，O为AC的中点，∴AO⊥BO.
如图所示，分别以OA，OB，OS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，
则B(0，2，0)，C(－2，0，0)，S(0，0，2)，M(1，，0)，N(0，)．
∴＝(3，，0)，＝(－1，0，)，＝(－1，，0)．
设n＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，
则取z＝1，
则x＝，y＝－，∴n＝(，－，1)．
∴点B到平面CMN的距离d＝＝.
例3　
解析：以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，
＝(0，1，－1)，＝＝(－1，0，0)．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令z＝1，得y＝1，x＝－1，
∴n＝(－1，1，1)，
∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.
易证平面A1BD∥平面B1CD1，
∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.
巩固训练3　
解析：如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，
则A(4，0，0)，M(2，0，4)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)，
∴＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－2，0，4)，＝(－2，0，4)，
∴＝＝，
∴EF∥MN，AM∥BF，
又EF＝F，MN＝M，
∴平面AMN∥平面EFBD，
设平面AMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则，则可取n＝(2，－2，1)，
∵＝(0，4，0)，
∴平面AMN与平面EFBD的距离为d＝＝＝.第2课时　用空间向量研究夹角问题
[课标解读]　1.会用向量法求线线、线面、面面夹角.2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．
教材要点
要点一　两个平面的夹角
平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中________的二面角称为平面α与平面β的夹角．
状元随笔　二面角的范围为[0，π].
要点二　空间角的向量求法
角的分类 向量求法
两异面直线l1与l2所成的角为θ 设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cos θ＝________＝________
直线l与平面α所成的角为θ 设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝________＝________
平面α与平面β的夹角为θ 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝________＝________
状元随笔　(1)两条异面直线所成的角的范围是(0，].
(2)直线与平面所成的角的范围是[0，].
(3)两个平面的夹角是(0，].
(4)当〉≤时，两个平面的夹角θ＝〉，此时cos θ＝〉＝；
当〉≤π时，两个平面的夹角θ＝π－〈〉，此时，cos θ＝〉)＝－cos 〈〉＝.
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(　　)
(2)直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向量夹角的余角．(　　)
(3)二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角．(　　)
(4)若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角的大小等于60°或120°.(　　)
2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　)
A．120° B．60°
C．30° D．以上均错
3．设直线l1的方向向量为s1＝(1，1，1)，直线l2的方向向量为s2＝(－2，2，－2)，则l1，l2夹角的余弦值为(　　)
A．－ B．
C． D．
4．在两个平面内，与两个面的交线都垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这两个平面夹角的余弦值为(　　)
A． B．－
C． D．或－
5．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，－2，0)，B(2，1，)，则向量与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为________．
题型 1　利用向量法求两异面直线所成角
例1　如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，试求直线EF和BC1所成的角．
方法归纳
利用坐标法求两异面直线所成角的步骤
巩固训练1　在三棱锥O ABC中，OA，OB，OC两两互相垂直，E为OC的中点，且2OA＝OB＝OC＝2，求直线AE与BC所成角的大小．
题型 2　利用向量方法求直线与平面所成角
例2　在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，AA1＝3，M，N分别为A1C1，BB1的中点．
(1)求证：MN∥平面A1BC；
(2)求直线A1N与平面A1BC所成角的正弦值．
方法归纳
利用法向量计算直线与平面的夹角θ的步骤
巩固训练2　如图所示，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝AA1＝3.
(1)证明：AC⊥B1D；
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．
题型 3　利用向量方法求两个平面的夹角
例3　如图，在四棱锥P ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD，O为BD的中点，BD＝4，PB＝PC＝PD＝.
(1)证明：OP⊥平面ABCD；
(2)若BC＝CD，求平面PAD与平面PBC所成夹角的余弦值．
方法归纳
利用法向量求两个平面夹角的步骤
巩固训练3　在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，AD⊥AB，E，F分别是棱AB，PC的中点．
(1)证明：EF∥平面PAD；
(2)若PA＝AB＝BC，AD＝2BC，求平面AEF与平面CDF夹角的余弦值．
易错辨析　混淆二面角与面面角的大小
例4　已知ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，设PA＝AB＝a，AD＝2a，求平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则B(a，0，0)，C(a，2a，0)，P(0，0，a)，D(0，2a，0)，＝(0，2a，0)，＝(－a，0，a)，＝(－a，0，0)，＝(0，2a，－a)．
设平面BPC、平面DPC的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，则有
和.
取n1＝(1，0，1)，n2＝(0，1，2)，则cos 〈n1，n2〉＝＝，
故平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为.
易错警示
易错原因 纠错心得
本题易错的地方是认为平面BPC与平面DPC的夹角就是二面角B PC D，得到错解：求得cos 〈n1，n2〉＝＝后，观察图形知二面角B PC D为钝角，得平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为－. 事实上，二面角的取值范围是[0，π]，面面角的取值范围是[0，]，不要将两者混淆了． 求二面角θ的大小时，通过求二面角两个半平面的法向量的夹角φ，把问题转化为向量的运算，需注意两法向量的夹角与二面角相等或互补，在解题中，可根据法向量的方向来进行判断，以便准确求出二面角的大小．一般地，如果二面角为锐角，cos θ＝|cos φ|＝；如果二面角为钝角，cos θ＝－|cos φ|＝－(u，v为二面角两个半平面的法向量)．
第2课时　用空间向量研究夹角问题
新知初探·课前预习
要点一
不大于90°
要点二
|cos 〈u，v〉| 　　|cos 〈u，n〉|　
|cos 〈n1，n2〉|　
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 120°|＝，又∵0≤θ≤90°，∴θ＝30°.
答案：C
3．解析：∵cos 〈s1，s2〉＝＝－，
∴l1，l2夹角的余弦值为.
答案：B
4．解析：由＝＝＝，知这两个平面夹角的余弦值为.
答案：A
5．解析：设平面xOz的法向量为n＝(0，1, 0)，＝(1，3，)，
所以cos 〈n，〉＝＝，
所以sin 〈n，〉＝ ＝.
故向量与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为.
答案：
题型探究·课堂解透
例1　
解析：分别以直线BC，BA，B1B为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(如图)．
设AB＝1，则B(0，0，0)，E(0，，0)，F，C1(1，0，1)，
所以＝＝(1，0，1)．
于是，〉＝＝＝，
所以直线EF和BC1所成角的大小为60°.
巩固训练1　
解析：方法一　取OB的中点F，连接EF，AF，由E，F分别为OC，OB的中点，可知EF是△OBC的中位线，∴EF∥BC，所以∠AEF或其补角为直线AE与BC所成角，
又易知OA＝OE＝OF＝1，而OA，OE，OF两两互相垂直，
所以AE＝EF＝AF＝＝，
所以△AEF是等边三角形，从而∠AEF＝，
所以直线AE与BC所成角的大小为.
方法二　由已知以O为原点，以的方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
由2OA＝OB＝OC＝2，知A(1，0，0)，E(0，0，1)，B(0，2，0)，C(0，0，2)
所以＝(－1，0，1)，＝(0，－2，2)
所以cos 〈〉＝
＝＝，
所以〈〉＝，即直线AE与BC所成角的大小为.
例2　解析：
(1)证明：取CC1的中点E，连接ME，NE，
∵M，E分别为A1C1，CC1的中点，∴ME∥A1C.
又∵ME 平面A1BC，A1C 平面A1BC，∴ME∥平面A1BC.
又∵N，E分别为BB1，CC1的中点，∴NE∥BC，
又∵NE 平面A1BC，BC 平面A1BC，∴NE∥平面A1BC.
又∵ME＝E，∴平面MNE∥平面A1BC.
又∵MN 平面MNE，∴MN∥平面A1BC.
(2)取AB中点O，A1B1中点O1，连接OC，OO1.
∵△ABC是边长为2的正三角形，∴OC⊥AB.
以OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，
则C(0，，0)，A1(－1，0，3)，B(1，0，0)，N，
＝＝(－2，0，3)，＝，
设平面A1BC的法向量n＝(x，y，z)，
由得，取n＝(3，，2)，
设直线A1N与平面A1BC所成的角为θ，则
sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝，
∴直线A1N与平面A1BC所成角的正弦值为.
巩固训练2　解析： (1)证明：以A为原点，以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，C(，1，0)，B1(，0，3)，D(0，3，0)，C1(，1，3)，D1(0，3，3)．
易知＝(，1，0)，＝(－，3，－3)，
∴·＝0，∴AC⊥B1D.
(2)设平面ACD1的法向量为m＝(x，y，z)，
＝＝(0，3，3)，则即
令x＝1，则y＝－，z＝，
∴平面ACD1的一个法向量为m＝(1，－)．
设直线B1C1与平面ACD1所成的角为＝(0，1，0)，∴sin θ＝＝，
∴直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.
例3　
解析：(1)证明：如图，连接OC，在Rt△BCD中，由BD＝4可得OC＝2.
因为PB＝PD＝，OB＝OD＝2，
所以OP⊥BD，OP＝＝＝1，
因为OP＝1，OC＝2，PC＝，
所以PC2＝OP2＋OC2，所以OP⊥OC.
又因为BD，OC 平面ABCD，BD＝O，
所以OP⊥平面ABCD.
(2)由(1)可知，OC，OB，OP两两垂直，
以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0，0，0)，B(2，0，0)，D(－2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，1)．
由＝(2，2，0)，有＝2＝(4，4，0)，则A(－2，－4，0)，设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)，
由＝(－2，2，0)，＝(－2，0，1)，有，
取x＝1，则y＝1，z＝2，
可得平面PBC的一个法向量为m＝(1，1，2)．
设平面PAD的法向量为n＝(a，b，c)，
由＝(2，0，1)，＝(0，4，0)，有，
取a＝1，则b＝0，c＝－2，
可得平面PAD的一个法向量为n＝(1，0，－2)．
由m·n＝－3，|m|＝，|n|＝，
可得平面PAD与平面PBC所成夹角的余弦值为＝＝.
巩固训练3　解析：(1)证明：取CD的中点G，连接EG，FG.
因为F，G分别是棱PC，CD的中点，所以FG∥PD，
又FG 平面PAD，PD 平面PAD，所以FG∥平面PAD.
因为BC∥AD，且E，G分别是棱AB，CD的中点，所以EG∥AD，
又EG 平面PAD，AD 平面PAD，所以EG∥平面PAD.
因为EG，FG 平面EFG，且EG＝G，所以平面EFG∥平面PAD.
因为EF 平面EFG，所以EF∥平面PAD.
(2)以A为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设AB＝2，则A(0，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，E(1，0，0)，P(0，0，2)．
因为F是棱PC的中点，所以F(1，1，1)，
所以＝(1，0，0)，＝(1，1，1)，＝(－2，2，0)，＝(－1，－1，1)．
设平面AEF的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
则，令y1＝1，得n＝(0，1，－1)．
设平面CDF的法向量为m＝(x2，y2，z2)，
则令x2＝1，得m＝(1，1，2)．
设平面AEF与平面CDF的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝＝＝.
所以平面AEF与平面CDF夹角的余弦值为.

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