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2009届高考数学第二轮复习 数列专题测试
（一）典型例题讲解:
例1、设等比数列{an}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lgan}的前多少项和最大？(lg2=0 3,lg3=0 4)
命题意图 本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力
知识依托 本题须利用等比数列通项公式、前n项和公式合理转化条件，求出an;进而利用对数的运算性质明确数列{lgan}为等差数列，分析该数列项的分布规律从而得解
错解分析 题设条件中既有和的关系，又有项的关系，条件的正确转化是关键，计算易出错；而对数的运算性质也是易混淆的地方
技巧与方法 突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列Sn是n的二次函数，也可由函数解析式求最值
解法一 设公比为q,项数为2m,m∈N*,依题意有
化简得
设数列{lgan}前n项和为Sn,则
Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn－1=lga1n·q1+2+…+(n－1)
=nlga1+n(n－1)·lgq=n(2lg2+lg3)－n(n－1)lg3
=(－)·n2+(2lg2+lg3)·n
可见，当n=时，Sn最大
而=5,故{lgan}的前5项和最大
解法二 接前，,于是lgan=lg［108()n－1］=lg108+(n－1)lg,
∴数列{lgan}是以lg108为首项，以lg为公差的等差数列，
令lgan≥0,得2lg2－(n－4)lg3≥0,
∴n≤=5 5
由于n∈N*,可见数列{lgan}的前5项和最大
例2、已知函数f(x)= (x<－2)
(1)求f(x)的反函数f-－1(x);
(2)设a1=1, =－f－-1(an)(n∈N*),求an;
(3)设Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1－Sn是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N*,有bn<成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由
命题意图 本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力
知识依托 本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题
错解分析 本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列{}为桥梁求an,不易突破
技巧与方法 (2)问由式子得=4,构造等差数列{},从而求得an,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想
解 (1)设y=,∵x<－2,∴x=－,
即y=f－-1(x)=－ (x>0)
(2)∵，
∴{}是公差为4的等差数列，
∵a1=1, =+4(n－1)=4n－3,∵an>0,∴an=
(3)bn=Sn+1－Sn=an+12=,由bn<,得m>,
设g(n)= ,∵g(n)= 在n∈N*上是减函数，
∴g(n)的最大值是g(1)=5,
∴m>5,存在最小正整数m=6,使对任意n∈N*有bn<成立
例3　、等差数列{an}的前n项的和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为_________
解法一 将Sm=30,S2m=100代入Sn=na1+d,得

解法二 由知，
要求S3m只需求m［a1+］,
将②－①得ma1+ d=70,∴S3m=210
解法三 由等差数列{an}的前n项和公式知，Sn是关于n的二次函数，即Sn=An2+Bn(A、B是常数）
将Sm=30,S2m=100代入，得
,∴S3m=A·(3m)2+B·3m=210
解法四
S3m=S2m+a2m+1+a2m+2+…+a3m
=S2m+(a1+2md)+…+(am+2md)
=S2m+(a1+…+am)+m·2md
=S2m+Sm+2m2d
由解法一知d=,代入得S3m=210
解法五 根据等差数列性质知 Sm,S2m－Sm,S3m－S2m也成等差数列，
从而有 2(S2m－Sm)=Sm+(S3m－S2m)
∴S3m=3(S2m－Sm)=210
解法六 ∵Sn=na1+d,
∴=a1+d
∴点(n, )是直线y=+a1上的一串点，
由三点(m,),(2m, ),(3m, )共线，易得S3m=3(S2m－Sm)=210
解法七 令m=1得S1=30，S2=100，得a1=30,a1+a2=100,∴a1=30,a2=70
∴a3=70+(70－30)=110
∴S3=a1+a2+a3=210
答案 210
例4、已知Sn=1++…+,(n∈N*)，设f(n)=S2n+1－Sn+1,试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式
f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立
命题意图 本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题的能力
知识依托 本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙
错解分析 本题学生很容易求f(n)的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理
技巧与方法 解决本题的关键是把f(n)(n∈N*)看作是n的函数，此时不等式的恒成立就转化为
函数f(n)的最小值大于［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2
解 ∵Sn=1++…+ (n∈N*)
∴f(n+1)＞f(n)
∴f(n)是关于n的增函数
∴f(n) min=f(2)=
∴要使一切大于1的自然数n，不等式
f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立
只要＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2成立即可
由得m＞1且m≠2
此时设［logm(m－1)］2=t 则t＞0
于是　解得0＜t＜1
由此得0＜［logm(m－1)］2＜1
解得m＞且m≠2
（二）巩固练习
一. 选择题
1.已知等比数列满足，则（ A ）
A．64 B．81 C．128 D．243
2．设是等差数列，若，则数列前8项和为（　C　）
Ａ．128 Ｂ．80 Ｃ．64 Ｄ．56
3. 在项数为2n＋1的等差数列中, 所有奇数项和与所有偶数项和之比为 ( )
A. B.
C. D.
4. 已知x , y为正实数, 且x、a1、a2、y成等差数列, x、b1、b2、y成等比数列, 则 的取值范围是 ( )
A. R B.
C. D.
5. 数列是公差不为零的等差数列, 且是某等比数列的连续三项, 若的首项为b1＝3, 则b n是 ( )
A. B. C. D.
6. 已知a、b、c、d均为非零实数, 则是a, b, c, d依次成为等比数列的
( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 数列的通项公式为, 若前n项和为24, 则n为 ( )
A. 25 B. 576 C. 624 D. 625
8. 设数列是递增等差数列, 前三项的和为12, 前三项的积为48, 则它的首项是 ( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
9. 设, 那么等于 ( )
A. B. C. D.

10. 若数列前8项的值各异, 且对任意都成立, 则下列数列中可取遍前8项值的数列为 ( )
A. B. C. D.
11. 已知数列, 那么“对任意的, 点都在直线上”是“为等差数列”的 ( )
A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
12. 根据市场调查结果, 预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量(万件)近似地满足. 按此预测, 在本年度内, 需求量超过1.5万件的月份是 ( )
A. 5月、6月 B. 6月、7月
C. 7月、8月 D. 8月、9月
二. 填空题
13. 等差数列中, 则a1＝ , a n＝ .
14. 设数列是公比为整数的等比数列, 如果那么S 8＝ .
15. 数列前n项和为______ ____.
16. 设是首项为1的正项数列, 且, 则它的通项公式是____ _____ .
17. 已知一个等比数列首项为1, 项数是偶数, 其奇数项之和为85, 偶数项之和为170, 则这个数列的公比 , 项数为 .
18. 在各项均为正数的等比数列中, 若则=
三. 解答题
19.数列{an}的前n项和为Sn, a1=2, an+1=2Sn-1(n∈N*).
(I)求数列{an}的通项an;
(II)求数列｛nan｝的前n项和Tn.
20.设函数.若且，数列是公差为的等差数列，
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前n 项和为，求证：.
21.在等差数列中，，前项和满足条件， n=1,2,3,┅
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，数列的前项和为，求证：，（n=1,2,3,┅）。
22．已知数列满足，．
（1）求证：是等比数列； （2）求数列的通项公式；
（3）求数列的前n项和Sn．
23.在平面直角坐标系中,已知An(n,an)、Bn(n,bn)、Cn(n-1,0)(n∈N*)，满足向量与向量共线，且点An(n,an) (n∈N*)都在斜率为2的同一条直线l上. 若a1=-3，b1=10.
　(1)求数列{an}与{ bn }的通项公式；
(2)求当n取何值时△AnBnCn的面积Sn最小，并求出Sn的这个最小值。
24.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右图所示；由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数从左到右依次是等比数列的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列的前六项.
(1)求数列和{bn}的通项公式;
(2)求视力不小于5.0的学生人数;
(3)设,
求数列的通项公式
答案：
一. 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
C
C
A
B
C
B
D
A
B
C
二. 填空题
13. , 14. 510 ;
15. ; 16.
17. 2 , 8 ; 18. 10 .
三. 解答题
19、解：（I）解：∵ a1=2, an+1=2Sn-1 (n∈N*).① 所以a2=2S1-1=3
当时，-1 ②
①-②得 ，即当时，恒有
∴数列{an}第二项以后的所有项成等比数列，an=3·3n-2=3n-1 (n 2),
又 a1=S1=1，
∴an=
(II)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan.
当n=1时，T1=a1=2 ;
当n2时，Tn=2+2×31 + 3×32+…+n·3 n-1, …………①
3Tn=2×3+2×32+3×33+…+(n-1)×3n-1+n×3n,…………②
①-②得：-2Tn=2+(32+33+…+3n-1)- n·3n
=2+
=
∴(n2).
又∵Tn=a1=2也满足上式，
20、解：（Ⅰ）且

（Ⅱ）=
=
（或者）
21.解：（Ⅰ）设等差数列的公差为,由 对一切正自然数n都成立可知，
当n=1时，得：，又， 所以d=2，
所以。
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知等差数列的前项和


时 所以
又，所以{Tn}是递增数列，所以
综上得 ，（n=1,2,3,┅）成立。
22.解：（1）由an＋1＝2an＋8an－1，可知an＋1＋2an＝4(an＋2an－1) (n≥2)
∵a1＝2，a2＝20，　　∴a2＋2a1＝20+4=24
故数列{an＋1＋2an}是以24为首项，4为公比的等比数列
所以an＋1＋2an＝24·4n-1＝6·4n
（2）由an＋1＋2an＝6·4n，用待定系数法，设存在λ使(an＋1+λ·4n+1)＝－2(an+λ·4n)成立
则可得an＋1＋2an＝－6λ·4n，所以λ=－1
所以 (an＋1－4n+1)＝－2(an－4n)
所以数列{ an－4n }是首项为a1－21＝2－4=－2，公比为－2的等比数列，
所以an－4n＝－2(－2) n-1 故an＝4n+(－2) n
（3）Sn＝a1＋a2＋…＋an-1＋an＝(41+42+…+4n)＋[(－2) 1＋(－2) 2＋…＋(－2) n ]
＝=
23、 解：(1)∵点An(n,an) (n∈N*)都在斜率为2的同一条直线上，
∴=2，即an+1-an=2,
于是数列{an}是公差为2的等差数列，又a1=-3，故an= -3+2(n-1)=2n-5.
∵共线.
∴1×(-an)-(-1)(bn+1 - bn )=0,即bn+1-bn=an
∴当n≥2时，bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+ …+(bn-bn-1)
=b1+a1+a2+a3+…+an-1
=10+ (n-1)(n-5)=n2-6n+15
当n=1时，上式也成立.。 所以bn= n2-6n+15
(2) 显然，直线AnBn⊥x轴，点Cn到直线AnBn的距离等于1.
所以Sn=
∴当n=4时，Sn取最小值，Sn的最小值为2.
24、解:(1)由题意知
因此数列是一个首项.公比为3的等比数列，所以.
又=100—(1+3+9)
所以=87,解得
因此数列是一个首项,公差为—5的等差数列,
所以
(2) 求视力不小于5.0的学生人数为
(3) 由 ①
可知，当时， ②
①-②得，当时， ,
,
又
因此数列是一个从第2项开始的公比为3的等比数列,
数列的通项公式为

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