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专题三 函数及表示
1．函数的概念
一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
2．函数的三要素
函数的三要素是：定义域，对应关系（解析式），值域.
(1)定义域的求法：函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合，一般通过列不等式(组)求其解集．常见的条件有：分式的分母不等于0；对数的真数大于0；偶次根式下的被开方数大于或等于0；0的0次幂没有意义等．
(2)求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④数形结合法；⑤换元法；⑥不等式法等.
(3)解析式的求法：待定系数法、换元法、方程(组)法、配凑法等.
3．相等函数
两个函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等．
两个函数相等的充要条件是它们的定义域和对应关系完全一致，与函数的自变量和因变量用什么字母表示无关，在对函数解析式进行化简变形时应注意定义域是否发生改变(即是否是等价变形).
4．分段函数
若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．
求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围．
5．复合函数
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数．
一 、求函数的定义域
1．函数的定义域为（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【解析】根据题意得，解得，且，所以函数的定义域为且，故选：D.
2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为，故，解得，故的定义域为，故选：B.
3．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，得，解得且，所以函数的定义域是，故选：C.
二 、求函数的值域
4．函数在区间上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为反比例函数在上单调递减，函数的图像可由的图像向右平移一个单位后得到，所以函数在上单调递减，因此在区间上单调递减，所以，即，故选：C.
5．二次函数，，则函数在此区间上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】：，则，所以函数在此区间上的值域为，故选：A.
三 、求函数的解析式
6．设函数，则的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，故选：B.
7．已知是一次函数,且满足,则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为是一次函数,所以设，由,得.
整理得，所以,解得，故选：A.
8．定义域为的函数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为定义域为的函数满足，所以有，即，所以，得，故选：D.
四 、判断相同函数
9．下列函数中，与 是同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A，函数，与函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于 B，函数，与函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；
对于 C，函数，与函数的对应关系不同，不是同一个函数；
对于 D，函数，与函数的定义域不同，不是同一个函数，
故选：B.
10．下列各组函数中，表示同一函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A选项，的定义域为，的定义域为，所以不是同一函数；
B选项，对于，有，的定义域为；对于， 有，解得或，的定义域为或，所以不是同一函数；
C选项，的定义域为，的定义域为，所以不是同一函数；
D选项，，两个函数定义域、对应关系、值域均相同，是同一函数，
故选：D.
一、选择题
1．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数的定义域需满足，解得：且，所以函数的定义域是，故选：D.
2．下列各组函数是同一函数的是（ ）
① ②
③ ④
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
【答案】C
【解析】①的定义域为R，的定义域为，定义域不同，故①不是；
②，对应法则不同，故②不是；
③，定义域都为，对应法则和定义域相同，故③是；
④定义域为都为R，对应法则和定义域相同，故④是，
故选：C.
3．若函数,则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，则，所以，所以，即，故选：D.
4．已知函数 则（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
【答案】B
【解析】由题意可得，则，故选：B.
5．已知函数，则（ ）
A．7 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】因为所以，因为所以，所以，故选：B.
6．已知y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意设，当x＝2时，y＝1，所以得，，故y关于x的函数关系式为，故选：C.
7．已知，函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得图象的对称轴为，而，故当时，，当时，，函数的值域是，故选：C.
8．已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【解析】由，故，故选：C.
9．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得.令，得的定义域为，故选：A.
10．已知函数，若，则a的值为（ ）
A． B．2 C．9 D．-2或9
【答案】D
【解析】当时，（正根舍去）；当时，，所以的值为或，故选：D.
二、填空题
11．已知，则 .
【答案】
【解析】令，则，所以，故答案为：.
12．函数，若，则函数的值域为 .
【答案】
【解析】因为函数为增函数，所以最小值为，最大值为，故函数的值域为：.
13．若函数满足，则的解析式可为 .
【答案】
【解析】因为函数满足，以代，有，两方程联立解得，故答案为：.
14．已知函数，若，则 .
【答案】3
【解析】令，得，则，因为，所以，解得，故答案为：3.
15．已知函数，则的值是______．
【答案】
【解析】因为，所以，故答案为：.
16．已知函数，若实数满足，则_________．
【答案】
【解析】因为，，所以，所以，所以，
所以，故答案为：.
三、解答题
18．已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）求的值；
【答案】（1）；（2）.
【解析】解：（1）由题意可得，，解不等式可得，且，故函数的定义域为且.
（2）.
19．函数的定义域为.
（1）设，求t的取值范围；
（2）求函数的值域.
【答案】（1）；（2）.
【解析】解：（1）当时，在上单调递增，所以.
（2）函数可化为：，在上单调递减，在上单调递增，比较
，，函数的值域.
20．求下列函数的解析式：
（1）已知是一次函数，且满足：
（2）已知函数满足：．
【答案】(1)；(2)或
【解析】解：（1）令，依题意，即，，故解得：，所以
（2）令，由对勾函数可知或，依题意，故，
所以或．专题三 函数及表示
1．函数的概念
一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
2．函数的三要素
函数的三要素是：定义域，对应关系（解析式），值域.
(1)定义域的求法：函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合，一般通过列不等式(组)求其解集．常见的条件有：分式的分母不等于0；对数的真数大于0；偶次根式下的被开方数大于或等于0；0的0次幂没有意义等．
(2)求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④数形结合法；⑤换元法；⑥不等式法等.
(3)解析式的求法：待定系数法、换元法、方程(组)法、配凑法等.
3．相等函数
两个函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等．
两个函数相等的充要条件是它们的定义域和对应关系完全一致，与函数的自变量和因变量用什么字母表示无关，在对函数解析式进行化简变形时应注意定义域是否发生改变(即是否是等价变形).
4．分段函数
若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．
求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围．
5．复合函数
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数．
一 、求函数的定义域
1．函数的定义域为（ ）
A． B．
C．且 D．且
2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
二 、求函数的值域
4．函数在区间上的值域为（ ）
A． B． C． D．
5．二次函数，，则函数在此区间上的值域为（ ）
A． B． C． D．
三 、求函数的解析式
6．设函数，则的解析式为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是一次函数,且满足,则（ ）.
A． B． C． D．
8．定义域为的函数满足，则（ ）
A． B． C． D．
四 、判断相同函数
9．下列函数中，与 是同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列各组函数中，表示同一函数的是（　　）
A． B．
C． D．
一、选择题
1．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各组函数是同一函数的是（ ）
①②
③④
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
3．若函数,则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数 则（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
5．已知函数，则（ ）
A．7 B．3 C． D．
6．已知y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为 （ ）
A． B． C． D．
7．已知，函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．0
9．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，若，则a的值为（ ）
A． B．2 C．9 D．-2或9
二、填空题
11．已知，则 .
12．函数，若，则函数的值域为 .
13．若函数满足，则的解析式可为 .
14．已知函数，若，则 .
15．已知函数，则的值是______．
16．已知函数，若实数满足，则_________．
三、解答题
18．已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）求的值；
19．函数的定义域为.
（1）设，求t的取值范围；
（2）求函数的值域.
20．求下列函数的解析式：
（1）已知是一次函数，且满足：
（2）已知函数满足：．

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