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2022-2023学年山东省临沂市河东区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若分式有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.若，则分式的值为( )
A. B. C. D.
4.已知等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为( )
A. B. C. 或 D.
5.下列轴对称图形中，对称轴最多的是( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 正方形 D. 线段
6.若是关于的完全平方式，则的值( )
A. B. C. D. 或
7.若，，则( )
A. B. C. D.
8.如图，是中的平分线，，交于点，，交于点，若，，则的面积是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于，若的周长为，则的长为( )
A. B. C. D.
11.小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，，则等于( )
A.
B.
C.
D.
12.已知关于的分式方程无解，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.分式方程的解是 ．
14.已知与关于轴对称，则 ______ ．
15.已知：，则 ______ ．
16.如图，已知的周长是，，分别平分和，于，且，的面积是______ ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
先化简，再求值．
已知：，其中；
已知：，其中．
18.本小题分
尺规作图：已知，求作的角平分线保留作图痕迹，不写作法
尺规作图：已知，求作使保留作图痕迹，不写作法
19.本小题分
在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示
请画出关于轴对称的；其中、、分别是、、的对应点，不写画法
直接写出三点的坐标；
求的面积．
20.本小题分
如图所示，在中，，，，交的延长线于点，，延长、交于点．
求证：≌；
求的长度．
21.本小题分
列分式方程解决下列问题：
一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地．
求出发后第一小时内的行驶速度；
求这辆汽车到达目的地时所用的行驶时间．
22.本小题分
如图，点在线段上，点在线段上，于点，，，，分别是，的中点，连接，试猜想的形状并证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
根据分式有意义的条件进行解答．
本题考查了分式有意义的条件，要从以下两个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义分母为零；
分式有意义分母不为零；
【解答】
解：分式有意义，
，
．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：，故本选项不符合题意；
B.，故本选项符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.
，故本选项不符合题意；
故选：．
先根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式进行计算，再得出选项即可．
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式等知识点，能正确根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法和完全平方公式进行计算是解此题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
，
故选：．
先根据分式的减法法则进行计算，再把代入求出即可．
本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
4.【答案】
【解析】解：当长是的边是底边时，三边为，，，等腰三角形成立；
当长是的边是腰时，底边长是：，而，不满足三角形的三边关系．
故该等腰三角形的底边长为．
故选：．
分长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解．
本题主要考查了等腰三角形的性质，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：、等腰三角形条对称轴；
B、等边三角形条对称轴；
C、正方形有条对称轴；
D、线段条对称轴．
故选：．
根据对称轴的概念，确定每个图形的对称轴的条数．
轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴．
6.【答案】
【解析】解：，
在中，，
解得：或．
故选：．
完全平方公式：这里首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和积的倍，故，进而得到或．
本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．注意积的倍的符号，避免漏解．
7.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
利用同底数幂的乘法的逆运算、幂的乘方的逆运算，可得，将，代入即可求解．
本题考查同底数幂的乘法的逆运算、幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：是的平分线，，，
，
，
，
，
故选：．
先根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式即可求解．
本题考查了角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：．
根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出即可．
本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：的周长已知，
又垂直平分，
线段垂直平分线的性质，
故BC，
已知，
．
故选：．
利用线段垂直平分线的性质得，再利用已知条件三角形的周长计算．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质．
11.【答案】
【解析】解：
，，，
，
，，
，，
，
故选：．
根据直角三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角的性质计算即可．
本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，
去分母得：，
解得：，
原分式方程无解，
，即，
，
解得：．
故选：．
先把分式方程化为整式方程可得，再由原分式方程无解，可得，即可求解．
本题考查了分式方程的无解问题，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】
根据解分式方程的方法即可得解，记住最后要进行检验．
本题考查分式方程的解，解题的关键是明确解分式方程的方法，注意最后要进行检验．
【解答】
解：，
方程两边同乘以，得，
解得，，
检验：当时，，
故原分式方程的解是，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解；点与关于轴对称，，，
，
故答案为：．
根据关于轴对称的坐标特点：横坐标相等，纵坐标互为相反数可直接得到、值，即可求解．
本题考查的是关于坐标轴对称的点的坐标特点，熟练掌握关于轴对称的坐标特点：横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，
，
即，
则．
故答案为：．
把已知的式子两边平方，即可求解．
本题考查了完全平方公式，理解的平方与所求的式子之间的关系是关键．
16.【答案】
【解析】解：过作于，于，连接，
，分别平分和，于，
，，
即，
的面积是：，
故答案为：．
过作于，于，连接，根据角平分线性质求出，根据，即可求出答案．
本题考查了角平分线性质，三角形的面积，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
17.【答案】解：原式
；
当时，原式．
解：原式
，
当时，原式．
【解析】先运用单项式乘以多项式法则计算，再合并同类项即可化简，然后代入计算即可求解；
先计算括号内的，再用分式除法法则计算，即可化简，然后代入计算即可
本题考查整式化简求值，分式化简求值，熟练掌握整混合运算法则，分式混合运算的法则是解题的关键．
18.【答案】解：如图所示，射线即为所求．
如图即为所求；

【解析】利用尺规作图作一个角的平分线的方法直接作图即可；
利用尺规作图作一个角等于已知角的方法直接作图即可．
本题考查了尺规作图作一个角的平分线和作一个角等于已知角，解题关键是掌握尺规作图的方法．
19.【答案】解：如图，；
，，；
的面积．
【解析】利用关于轴对称的点的坐标特征写出三点的坐标，然后描点即可；
用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算的面积．
本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
20.【答案】证明：如图，
，，
，，
，
在和中，
≌；
解：≌，
，
，
，
，，
又，
，
，，
．
【解析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的对应边相等解决问题，属于中考常考题型．
欲证明≌，只要证明，然后用即可；
由可知，只要证明，可得，即可解决问题．
21.【答案】解：设出发后第一小时内的行驶速度为，
根据题意得：，
解得：，
检验：当时，，
是原分式方程的解．
答：出发后第一小时内的行驶速度为．
小时．
答：这辆汽车到达目的地时所用的行驶时间为
【解析】设出发后第一小时内的行驶速度为，根据时间路程速度结合提前到达目的地即可得出关于的分式方程，解之即可得出结论；
根据行驶时间路程速度提前时间列式即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：根据数量关系时间路程速度列出关于的分式方程；根据数量关系行驶时间路程速度提前时间列式计算．
22.【答案】解：猜想：是等腰直角三角形．
，
，
在和中，
，
≌，
，，
、分别是，的中点，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
即，
是等腰直角三角形．
【解析】根据题意可证≌，可得，，从而可证≌，可得，，从而可证，即可证明出猜想．
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定，正确寻找全等三角形是解决问题的关键．
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