资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第一章 数与式
第二节 代数式与整式
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 代数式 ☆☆ 吉林中考中，有关代数式与整式的部分，每年考查1~3道题,分值为3~9分，通常以选择题、计算题的形式考察。对于这部分的复习，需要学生熟练掌握代数式与整式的运算、乘法公式、因式分解等等考点。
考点2 整式及其运算 ☆☆☆
考点3 乘法公式 ☆☆
考点4 因式分解 ☆☆
考点5 规律探索题 ☆
■考点一　代数式
1.定义：代数式：代数式是由运算符号（ ）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．例如：ax+2b，﹣13，2b3，a+2等．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．
注意：①不包括等于号（＝）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈．
②可以有绝对值．例如：|x|，|﹣2.25|等．
2.列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有 的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
3．代数式求值
（1）代数式的值：用 代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的 ．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先 再求值．
■考点二　整式及其运算
1．单项式：由 的乘积积组成的代数式叫做单项式，单独的一个 也是单项式．
2．多项式：几个单项式的 叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的 ．
3. 多项式的降幂与升幂排列：
　　把一个多项式按某一个字母的指数 的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数 的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．
4．整式：单项式和多项式统称为 ．
5.整式加减运算实质： 。
6.合并同类项：同类项的系数 ，所得结果作为系数，字母和字母的指数 。
7. 去括号
（1）a+(b+c)=a+b+c ； （2）a-(b+c)=a-b-c
8.整式乘法运算
（1）单项式乘单项式
单项式相乘，把 分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
（2）单项式乘多项式
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积 ．
（3）多项式乘多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积 ．
9.整式除法运算
（1）单项式的除法：把 分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商 ．
■考点三　乘法公式
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
■考点四　因式分解
把一个多项式化成 的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式 ，也叫做把这个多项式 .
因式分解的方法主要有: 等.
■考点五　规律探索题
■易错提示
1.由定义可知，单项式中只含有乘法运算.
2.一个单项式中只含有字母因数时，它的系数是1或者-1，不能认为是0. 一个单项式是一个常数时，它的系数就是它本身.确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号.例如：-（3x）的系数是-3.
3.圆周率π是常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母.
4.单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关.
5.由定义可知，多项式中可以含有:乘法、加法、减法运算.
6. 多项式有统一的次数，但是没有统一的系数，多项式中的每一项有自己的系数.
7. 多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次（最高次项的次数）几项（多项式项数）式.
8.“同类项口诀”：①两同两无关，识别同类项: ②一相加二不变，合并同类项.
“两同”：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，这两点也是判断同类项的标准，缺一不可.
“两无关”：一是与系数大小无关；二是与所含字母的顺序无关.
“一相加”：系数相加作为结果的系数.“二不变”：字母连同字母指数不变.
9.合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式.
10.去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．
11.去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误.
整式的加减运算的实质就是合并同类项.主要的理论依据是：去括号法则，合并同类项法则，以及分配率.因此关于整式加减的一般步骤为：①列出代数式；②去括号；③找出同类项；④合并同类项.需要注意的是整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止；
②不能出现带分数，带分数要化成假分数.
涉及整式加减运算的常见题型还有代数式求值，这类题目的一般步骤：①代数式化简；②代入计算；③对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算.做题时特别要注意的是在整式的加减运算过程中，不多项，不漏项，交换项的位置时，要注意连同符号一起交换.
12.应用完全平方公式计算时，应注意以下几个问题：
①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；
②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；
③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
13.应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
14.因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
15.因式分解必须是恒等变形；
16.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.
17.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
■考点一　代数式
◇典例1： （2023上·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校联考阶段练习）用代数式表示“ m的3倍与n的差的平方”，正确的是（ ）
A．3(m-n)2 B．(3m-n)2 C．3m-n2 D．(m-3n)2
◆变式训练
1．（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）下列式子是代数式的有（ ）
①m2+n2﹔②﹔③12；④x≠12；⑤3x+2；⑥x-2y=1；⑦-1；⑧x-2≥0．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．（2023上·山西太原·七年级统考期中）晋候鸟尊是山西博物院的镇馆之宝，某商店第一天售出件山西省博物馆文创商品“鸟尊书签”，第二天的销售量比第一天的两倍少3件，则代数式“3m-3”表示的意义是（ ）
A．第二天售出的书签件数 B．第二天比第一天多售出的书签件数
C．两天一共售出的书签件数 D．第二天比第一天少售出的书签件数
■考点二　整式及其运算
◇典例2：（2024上·黑龙江绥化·七年级统考期末）减去2-3x等于6x2-3x-8的式子是 （ ）
A．6(x2-x)-10 B．6x2-10 C．6x2-6 D．6（x2-x-1)
◆变式训练
1.（2023上·甘肃庆阳·七年级统考期中）已知x-y=5，则多项式(x-y)2+2(x-y)-10的值为（ ）
A．25 B．30 C．35 D．45
2．（2023上·河南安阳·七年级校考期中）已知关于x，y的多项式4x2+2xy-x与3x2-2nxy+3y的差不含xy项，求n的值是（ ）
A．-1 B．1 C．3 D．-3
■考点三　乘法公式
◇典例3：（2023上·云南昆明·八年级校考期中）如果x2+kxy+4y2是关于x、y的完全平方式，那么k的值是（ ）
A．2 B．2或 C．4或 D．4
◆变式训练
1.（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023下·江苏·七年级专题练习）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
■考点四　因式分解
◇典例4：（2023下·广东深圳·八年级校考期中）把多项式分解因式等于（　　）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1．（2023上·全国·八年级专题练习）已知，则的值是（　　）
A．6 B． C．1 D．
2．（2023上·福建南平·八年级校考阶段练习）下列能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
■考点五　规律探索题
◇典例5：（2024上·湖北·九年级校考周测）定义一种运算：，其中是正整数，且表示非负实数的整数部分，例如．若，则的值为（ ）
A．2017 B．2 C．2018 D．3
◆变式训练
1．（2023上·广西玉林·七年级校考阶段练习）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则（ ）
A．3 B． C． D．
2．（2023上·重庆南岸·九年级校考期中）如图，每个图形都由同样大小的“△”按照一定的规律组成，其中第①个图形有5个“△”，第②个图形有10个“△”，第③个图形有15个“△”，…，则第⑦个图形中“△”的个数为（ ）
A．30 B．35 C．40 D．46
1．（2021·吉林·统考中考真题）化简的结果为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
2．（2023·吉林长春·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·吉林·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·吉林长春·统考中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为 公里．（用含x的代数式表示）
5．（2023·吉林·统考中考真题）计算： ．
6．（2023·吉林长春·统考中考真题）先化简．再求值：，其中．
7．（2022·吉林长春）先化简,再求值:(2+a)(2-a)+a(a+1) ,其中a=-4.
8.（2021·吉林）先化简,再求值:(x+2)(x-2)-x(x-1) ,其中x=.
9.（2021·吉林长春）先化简,再求值:(a+2)(a-2)+a(1-a) , 其中a=+4.
10.（2022·吉林·统考中考真题）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是关于的多项式．请写出多项式，并将该例题的解答过程补充完整．
例先去括号，再合并同类项：（）． 解：（） ．
1．（2023上·河南洛阳·七年级校考期中）下列说法错误的是（　　）
A．是单项式 B．单项式的系数是
C．单项式的次数是7 D．是二次二项式
2．（2023上·江苏扬州·七年级统考期中）下列式子中，单项式有（ ）个
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2024上·黑龙江绥化·七年级统考期末）下列计算正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
4．（2022上·贵州毕节·七年级统考期末）一个多项式与的和是，则这个多项式为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·广西南宁·八年级校考阶段练习）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）下列计算正确的是（）
A． B．
C． D．
7．（2024上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023上·江苏扬州·七年级统考期中）如图，池塘边有一块长为，宽为的长方形土地，现将其余三面留出宽都是1的小路，中间余下的长方形部分做菜地，则菜地的周长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·山东济宁·七年级统考期中）如图是一个计算程序，若输入的值为，则输出的结果应为（ ）
A． B．0 C．10 D．22
10．（2014上·甘肃嘉峪关·八年级统考期末）若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m的值等于（ ）
A．3 B．-5 C．7 D．7或-1
11．（2023上·河南新乡·八年级校考期中）如图，边长为a，b的长方形的周长为16，面积为12，则的值为（ ）
A．48 B．64 C．80 D．96
12．（2023上·山东德州·七年级统考期中）如图所示，直线相交于点O，“阿基米德曲线”从点O开始生成，如果将该曲线与每条射线的交点依次标记为2，，6，，10，，…那么标记为“”的点在（ ）
A．射线上 B．射线上 C．射线上 D．射线上
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第一章 数与式
第二节 代数式与整式
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 代数式 ☆☆ 吉林中考中，有关代数式与整式的部分，每年考查1~3道题,分值为3~9分，通常以选择题、计算题的形式考察。对于这部分的复习，需要学生熟练掌握代数式与整式的运算、乘法公式、因式分解等等考点。
考点2 整式及其运算 ☆☆☆
考点3 乘法公式 ☆☆
考点4 因式分解 ☆☆
考点5 规律探索题 ☆
■考点一　代数式
1.定义：代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．例如：ax+2b，﹣13，2b3，a+2等．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．
注意：①不包括等于号（＝）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈．
②可以有绝对值．例如：|x|，|﹣2.25|等．
2.列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
3．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
■考点二　整式及其运算
1．单项式：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．
3. 多项式的降幂与升幂排列：
　　把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．
4．整式：单项式和多项式统称为整式．
5.整式加减运算实质：合并同类项
6.合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
7. 去括号
（1）a+(b+c)=a+b+c ； （2）a-(b+c)=a-b-c
8.整式乘法运算
（1）单项式乘单项式
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
（2）单项式乘多项式
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
（3）多项式乘多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
9.整式除法运算
（1）单项式的除法：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
■考点三　乘法公式
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
■考点四　因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.
■考点五　规律探索题
■易错提示
1.由定义可知，单项式中只含有乘法运算.
2.一个单项式中只含有字母因数时，它的系数是1或者-1，不能认为是0. 一个单项式是一个常数时，它的系数就是它本身.确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号.例如：-（3x）的系数是-3.
3.圆周率π是常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母.
4.单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关.
5.由定义可知，多项式中可以含有:乘法、加法、减法运算.
6. 多项式有统一的次数，但是没有统一的系数，多项式中的每一项有自己的系数.
7. 多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次（最高次项的次数）几项（多项式项数）式.
8.“同类项口诀”：①两同两无关，识别同类项: ②一相加二不变，合并同类项.
“两同”：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，这两点也是判断同类项的标准，缺一不可.
“两无关”：一是与系数大小无关；二是与所含字母的顺序无关.
“一相加”：系数相加作为结果的系数.“二不变”：字母连同字母指数不变.
9.合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式.
10.去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．
11.去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误.
整式的加减运算的实质就是合并同类项.主要的理论依据是：去括号法则，合并同类项法则，以及分配率.因此关于整式加减的一般步骤为：①列出代数式；②去括号；③找出同类项；④合并同类项.需要注意的是整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止；
②不能出现带分数，带分数要化成假分数.
涉及整式加减运算的常见题型还有代数式求值，这类题目的一般步骤：①代数式化简；②代入计算；③对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算.做题时特别要注意的是在整式的加减运算过程中，不多项，不漏项，交换项的位置时，要注意连同符号一起交换.
12.应用完全平方公式计算时，应注意以下几个问题：
①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；
②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；
③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
13.应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
14.因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
15.因式分解必须是恒等变形；
16.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.
17.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
■考点一　代数式
◇典例1： （2023上·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校联考阶段练习）用代数式表示“ m的3倍与n的差的平方”，正确的是（ ）
A．3(m-n)2 B．(3m-n)2 C．3m-n2 D．(m-3n)2
【答案】C
【分析】本题考查列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
先表示出m的3倍，即3m，n平方即n2，再作差即可．
【详解】用代数式表示“m的3倍与n平方的差”为3m-n2，
故选：C．
◆变式训练
1．（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）下列式子是代数式的有（ ）
①m2+n2﹔②﹔③12；④x≠12；⑤3x+2；⑥x-2y=1；⑦-1；⑧x-2≥0．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】此题主要考查了代数式的定义．解题的关键是熟练掌握代数式的定义．代数式是由数和字母组成，表示加、减、乘、除、乘方、开方等运算的式子，或含有字母的数学表达式，注意不能含有、、、、、、等符号．据此解答即可．
【详解】解：④x≠12；⑥x-2y=1；⑧x-2≥0；因为这些式子含有不等号或等号，所以不是代数式．
①m2+n2﹔②﹔③12；⑤3x+2；⑦-1都是代数式，代数式有5个．
故选：C．
2．（2023上·山西太原·七年级统考期中）晋候鸟尊是山西博物院的镇馆之宝，某商店第一天售出件山西省博物馆文创商品“鸟尊书签”，第二天的销售量比第一天的两倍少3件，则代数式“3m-3”表示的意义是（ ）
A．第二天售出的书签件数 B．第二天比第一天多售出的书签件数
C．两天一共售出的书签件数 D．第二天比第一天少售出的书签件数
【答案】C
【分析】本题考查代数式，掌握代数式的实际意义是解题的关键．
【详解】解：第二天销售量为(2m-3)件，
∴2m-3+m=3m-3
∴代数式“3m-3”表示的意义两天一共售出的书签件数，
故选:C．
■考点二　整式及其运算
◇典例2：（2024上·黑龙江绥化·七年级统考期末）减去2-3x等于6x2-3x-8的式子是 （ ）
A．6(x2-x)-10 B．6x2-10 C．6x2-6 D．6（x2-x-1)
【答案】D
【分析】本题考查了整式的加减，根据题意列出算式，去括号，合并同类项即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：．6（x2-x-1)
故选：D．
◆变式训练
1.（2023上·甘肃庆阳·七年级统考期中）已知x-y=5，则多项式(x-y)2+2(x-y)-10的值为（ ）
A．25 B．30 C．35 D．45
【答案】A
【分析】题考查整式的混合运算—化简求值，解题关键在于化简．首先根据合并同类项法则将原式化简，然后将整体代入x-y=5，进行计算即可
【详解】解：原式=（x-y)(x-y+2)-10=25
故选A．
2．（2023上·河南安阳·七年级校考期中）已知关于x，y的多项式4x2+2xy-x与3x2-2nxy+3y的差不含xy项，求n的值是（ ）
A．-1 B．1 C．3 D．-3
【答案】A
【分析】本题主要考查了整式的加减运算，先求出两个多项式的差，再根据差不含项，项系数为0得出方程，即可得出答案．
【详解】解：原式=4x2+2xy-x-3x2+2nxy-3y
=x2+(2+2n)xy-x-3y，
4x2+2xy-x与3x2-2nxy+3y的差不含xy项，
∴2+2n=0，
解得：n=-1，
故选：A．
■考点三　乘法公式
◇典例3：（2023上·云南昆明·八年级校考期中）如果x2+kxy+4y2是关于x、y的完全平方式，那么k的值是（ ）
A．2 B．2或 C．4或 D．4
【答案】C
【分析】利用完全平方式的特征，即可确定k的值．本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的概念是解题的关键，解题时注意分两种情况讨论．
【详解】解：因为x2+kxy+4y2是一个完全平方式，
所以：k=+4
即k的值为4或-4．
故选：C．
◆变式训练
1.（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．
根据平法差公式逐项判断即可．
【详解】解：A. ，解答正确，不符合题意；
B. ，解答正确，不符合题意；
C. ，解答正确，不符合题意；
D. ，故D选计算错误，符合题意．
故选D．
2．（2023下·江苏·七年级专题练习）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，完全平方公式，幂的乘方法则分别判断各个选项即可．
【详解】解：A．，故A选项不符合题意；
B．，故B选项不符合题意；
C．，故C选项不符合题意；
D．，故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法，合并同类项，完全平方公式，幂的乘方法则是解答本题的关键．
■考点四　因式分解
◇典例4：（2023下·广东深圳·八年级校考期中）把多项式分解因式等于（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查提取公因式，找出他们的公因式即可解题．
【详解】解：，
，
．
故选：C．
◆变式训练
1．（2023上·全国·八年级专题练习）已知，则的值是（　　）
A．6 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】本题考查因式分解，代数式求值，将进行因式分解后，再利用整体代入法求解即可.
【详解】解：因为，
所以
，
故选：B．
2．（2023上·福建南平·八年级校考阶段练习）下列能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平方差公式分解因式，熟记平方差公式结构是解题的关键．能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差．根据平方差公式的形式求解即可．
【详解】解：A．两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式；
B．是三项，不能用平方差公式分解因式；
C．是三项，不能用平方差公式分解因式；
D．是与y的平方的差，能用平方差公式分解因式；
故选：D．
■考点五　规律探索题
◇典例5：（2024上·湖北·九年级校考周测）定义一种运算：，其中是正整数，且表示非负实数的整数部分，例如．若，则的值为（ ）
A．2017 B．2 C．2018 D．3
【答案】D
【分析】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：这列数是1、2、3、4、5、1、2、3、4、5、…，每5个数是一个循环．首先定义的新运算方法，可得，，同理，可得，，，，…，所以这列数是1、2、3、4、5、1、2、3、4、5、…，每5个数是一个循环；然后用2018除以5，根据余数的情况判断出的值为多少即可．
【详解】解：∵，
∴，
，
同理，可得，，，，…，
所以这列数是1、2、3、4、5、1、2、3、4、5、…，每5个数是一个循环；
∵，
∴．
故选D．
◆变式训练
1．（2023上·广西玉林·七年级校考阶段练习）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了数字的规律变化．分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此计算可得答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
∴该数列每4个数为1周期循环，
∵，
∴．
故选：C．
2．（2023上·重庆南岸·九年级校考期中）如图，每个图形都由同样大小的“△”按照一定的规律组成，其中第①个图形有5个“△”，第②个图形有10个“△”，第③个图形有15个“△”，…，则第⑦个图形中“△”的个数为（ ）
A．30 B．35 C．40 D．46
【答案】B
【分析】本题主要考查图形的变化规律，由题意不难求得第n个图中“△”的个数为：，则可求第⑦个图形中“△”的个数．
【详解】解：∵第①个图形有5个“△”，
第②个图形有10个“△”，
第③个图形有15个“△”，
…，
∴第n个图形中“△”的个数为：，
∴第⑦个图形中“△”的个数为：．
故选：B．
1．（2021·吉林·统考中考真题）化简的结果为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查去括号，解题关键是掌握去括号法则．
2．（2023·吉林长春·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解．
【详解】A. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
3．（2020·吉林·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方逐项判断即可．
【详解】A、，此项错误
B、，此项错误
C、，此项错误
D、，此项正确
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方，熟记整式的运算法则是解题关键．
4．（2023·吉林长春·统考中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为 公里．（用含x的代数式表示）
【答案】
【分析】根据题意列出代数式即可．
【详解】根据题意可得，
他离健康跑终点的路程为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意．
5．（2023·吉林·统考中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】根据单项式乘多项式的运算法则求解．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式的运算法则，掌握单项式乘多项式的运算法则是解答关键．
6．（2023·吉林长春·统考中考真题）先化简．再求值：，其中．
【答案】；
【分析】根据完全平方公式以及单项式乘以单项式进行化简，然后将字母的值代入进行计算即可求解．
【详解】解：
当时，原式
【点睛】本题考查了整式乘法的化简求值，实数的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键．
7．（2022·吉林长春）先化简,再求值:(2+a)(2-a)+a(a+1) ,其中a=-4.
[知识点]实数的混合运算，整式的混合运算
[答案] 4+a, .
[分析]根据平方差公式与单项式乘以单项式进行计算,然后将a =- 4代入求值即可求解，
[详解]解:原式=4-a2+a2+a
=4+a
当a=-4时，戚=4+-4=
[点睛]本题考查了整式的混合运算，实数的运算，代数式求值，正确的计算是解题的关键.
8.（2021·吉林）先化简,再求值:(x+2)(x-2)-x(x-1) ,其中x=.
[知识点]已知字母的值 , 求代数式的值,整式的混合运算
[答案]x-4, -3
[分析]先根据平方差公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可.
[详解]解: (x+2)(x-2)-x(x-1)
=x2-4-x2+x
=x-4,
当=时，原式=-4=-3
[点睛]本题考查了平方差公式，单项式乘以多项式，合并同类项，运用平方差公式是解题的关键.
9.（2021·吉林长春）先化简,再求值:(a+2)(a-2)+a(1-a) , 期a=+4.
[知识点]整式的混合运算
[答案]a-4
[分析]首先利用平方差公式，单项式乘以多项式去括号，再合并同类项，然后将a的值代入化简后的式子,即可解答本题.
[详解] (a+2)(a-2)+a(1-a)
=a2-4+a- a2
当a= +4时，
原式=+4-4=
[点睛]本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型.
10.（2022·吉林·统考中考真题）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是关于的多项式．请写出多项式，并将该例题的解答过程补充完整．
例先去括号，再合并同类项：（）． 解：（） ．
【答案】，解答过程补充完整为
【分析】利用除以可得，再根据合并同类项法则补充解答过程即可．
【详解】解：观察第一步可知，，
解得，
将该例题的解答过程补充完整如下：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式的乘除法、合并同类项，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．
1．（2023上·河南洛阳·七年级校考期中）下列说法错误的是（　　）
A．是单项式 B．单项式的系数是
C．单项式的次数是7 D．是二次二项式
【答案】D
【分析】本题考查了单项式，单项式的系数、次数，多项式的项与次数等知识．熟练掌握单项式，单项式的系数、次数，多项式的项与次数是解题的关键．
根据单项式，单项式的系数、次数，多项式的项与次数的定义进行判断即可．
【详解】解：是单项式，正确，故A不符合要求；
单项式的系数是，正确，故B不符合要求；
单项式的次数是7，正确，故C不符合要求；
不是整式，错误，故D符合要求；
故选：D．
2．（2023上·江苏扬州·七年级统考期中）下列式子中，单项式有（ ）个
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】本题考查单项式的判断，解题的关键是掌握定义．由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式．根据单项式的定义逐个判断即可．
【详解】解：是单项式；是分式，不是整式，因此不是单项式；是多项式；0是单项式；是多项式；
因此单项式有：．共2个．
故选：A．
3．（2024上·黑龙江绥化·七年级统考期末）下列计算正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项的法则：字母不变，系数相加减，逐项判断即可，熟练掌握合并同类项的法则是解此题的关键．
【详解】解：A、和不是同类项，不能直接合并，故原选项计算错误，不符合题意；
B、和不是同类项，不能直接合并，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算正确，符合题意；
故选：D．
4．（2022上·贵州毕节·七年级统考期末）一个多项式与的和是，则这个多项式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了整式的加减，根据和减去一个加数等于另一个加数列出关系式，去括号合并是解本题的关键．
【详解】解：
，
故选D．
5．（2023上·广西南宁·八年级校考阶段练习）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用幂的乘方运算法则，同底数幂的乘除法运算法则，合并同类项法则，分别计算即可得出答案.
【详解】解：A．（a3)4=a12，故A选项不符合题意；
B．a2·a4=a6，故B选项符合题意；
C．a3+a3=2a3，故C选项不符合题意；
D．a8÷a4=a4，故D选项不符合题意；
故选：B．
6．（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）下列计算正确的是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了平方差公式，整式的乘法，以及完全平方公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．
各式计算得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、原式=a6，不符合题意；
B、原式=-2a2-2ab，不符合题意；
C、原式=a2-9，符合题意；
D、原式=a2-2a+1，不符合题意．
故选：C．
7．（2024上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左到右的变形因式分解不彻底，故本选项不符合题意；
故选：B．
8．（2023上·江苏扬州·七年级统考期中）如图，池塘边有一块长为，宽为的长方形土地，现将其余三面留出宽都是1的小路，中间余下的长方形部分做菜地，则菜地的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查列代数式和代数式求值,解题的关键是从生活实际中出发,以数学知识解决生活实际中的问题,同时也考查了长方形周长的计算．本题可先根据所给的图形,得出菜地的长和宽,然后根据长方形周长．
【详解】解：其余三面留出宽都是1的小路，
∴由图可以看出：菜地的长为（a-2),宽为(b-1)，
所以菜地的周长为，
故选：D．
9．（2023上·山东济宁·七年级统考期中）如图是一个计算程序，若输入的值为，则输出的结果应为（ ）
A． B．0 C．10 D．22
【答案】A
【分析】本题考查程序流程图与代数式求值，正确确定代数式是解题关键．将代入程序流程图所表达的代数式计算即可．
【详解】解：由图可知，所求代数式为(a2-2)x(-3)+4，
将a=-2代入，原式=-2．
故选A．
10．（2014上·甘肃嘉峪关·八年级统考期末）若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m的值等于（ ）
A．3 B．-5 C．7 D．7或-1
【答案】D
【分析】本题考查完全平方式．根据完全平方公式即可求出答案．
【详解】解：∵x2+2(m-3)x+16是完全平方式，
∴m-3=+4，
解得：m=7或m=-1；
故选：D．
11．（2023上·河南新乡·八年级校考期中）如图，边长为a，b的长方形的周长为16，面积为12，则的值为（ ）
A．48 B．64 C．80 D．96
【答案】D
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，根据长方形周长公式和面积公式得到a+b=8,ab=12，代值计算即可．
【详解】解：∵边长为a，b的长方形的周长为16，面积为12，
∴a+b=8，ab=12，
∴原式=96，
故选D．
12．（2023上·山东德州·七年级统考期中）如图所示，直线相交于点O，“阿基米德曲线”从点O开始生成，如果将该曲线与每条射线的交点依次标记为2，，6，，10，，…那么标记为“”的点在（ ）
A．射线上 B．射线上 C．射线上 D．射线上
【答案】D
【分析】本题考查了规律型 图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．
观察图形的变化可知：偶数项交点为：、、、…．且的奇数倍在射线上，的偶数倍在射线上，根据是偶数项，然后计算求解即可．
【详解】解：观察图形的变化可知：奇数项交点为：2、6、、…（为正整数）；
偶数项交点为：、、、…．
∵射线上，，，射线上，，，
∴的奇数倍在射线上，的偶数倍在射线上，
∵是偶数项，
∴，
解得，．
∴-2024在射线OD上，
故选：D．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑