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第四章 指数函数和对数函数 章节练习
一、单选题
1．为了求函数的一个零点，某同学利用计算器得到自变量和函数的部分对应值，如表所示：
1.25 1.3125 1.375 1.4375 1.5 1.5625
－0.8716 －0.5788 －0.2813 0.2101 0.32843 0.64115
则方程的近似解（精确到0.1）可取为（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
2．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染1个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长.当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散.接种新冠疫苗是预防新冠病毒感染 降低新冠肺炎发病率和重症率的有效手段.已知新冠病毒的基本传染数，若1个感染者在每个传染期会接触到个新人，这人中有个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者新的传染人数为，为了有效控制新冠疫情（使1个感染者传染人数不超过1），我国疫苗的接种率至少为（ ）
A． B． C． D．
3．已知定义在R上的函数，（e为自然对数的底数，），则（ ）
A．3 B．6
C．3e D．与实数m的取值有关
4．已知且，则下列函数与有相同图象的一个函数是（ ）
A． B． C． D．
5．已知logx16=2，则x等于（ ）
A．4 B．±4 C．256 D．2
6．已知a、b满足，则函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）．
A． B．
C． D．
7．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．函数的图象过定点（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知实数，，满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数（，且），则（ ）
A．有两个零点 B．不可能为偶函数
C．的单调递增区间为 D．的单调递减区间为
12．某同学求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
则方程的近似解（精确度）可取为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．方程的解 .
14．设函数与函数g(x)的图象关于直线y=x对称,则当x>0时,g(x)= .
15．已知，则 ．（用表示）
16．已知函数，则 ．
四、解答题
17．（1）已知，求的值.
（2）计算：.
18．（1）化简
（2）化简
19．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.
(1)试证明：设，，若，在上分别以M，N为上界，求证：函数在上以为上界.
(2)若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围.
20．已知函数，其中．
(1)当时，判断的奇偶性并说明理由；
(2)当时，判断单调性并加以证明；
(3)若为上的增函数，求的取值范围．（只写出结论）
21．2023年9月23日，第19届亚运会开幕式在杭州举行，完美展现了“绿色”与“科技”的融合.已知某种绿色科技产品在亚运会开幕式后的30天内（包括第30天），第天每件的销售价格（单位：元）满足第天的日销售量（单位：千件）满足，且第2天的日销售量为13000件，第3天的日销售量为12000件.
(1)求的解析式；
(2)若每件该产品的总成本为20元，求该产品在开幕式后的30天内第天的日销售利润（单位：千元）的解析式，并求开幕式后的第几日销售利润最小.
22．某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，需要投入成本（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系式为，据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为300万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完.
(1)求年利润（单位：万元）关于年产量的函数解析式（利润＝销售额－投入成本－固定成本）；
(2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润.
参考答案：
1．C
【解析】根据二分法结合零点存在定理求解.
【详解】因为，
所以方程的解在区间内，
又精确到0.1，
所以可取1.4
故选：C
2．A
【分析】根据已知条件建立不等式关系，然后将代入化简即可求出的范围
【详解】为了使1个感染者传染人数不超过1，
只需，即，
所以，
由题意得，所以，
，得，
所以疫苗的接种率至少为，
故选：A
3．B
【分析】可证，从而可得正确的选项.
【详解】因为，
故，
故，
故选：B
4．D
【分析】将选项中的函数解析式化简，并求得其定义域，与的解析式与定义域对比即可判断.
【详解】对于A，，与函数的对应关系不同，则图象不同，故A错误；
对于B，，定义域为，函数定义域为，两函数定义域不同，则图象不同，故B错误；
对于C，，定义域为，函数定义域为，两函数定义域不同，则图象不同，故C错误；
对于D，，定义域为，函数定义域为，两函数定义域相同，对应关系也相同，则图象相同，故D正确；
故选：D.
5．A
【解析】根据对数的运算，结合对数中底数大于零，即可求得结果.
【详解】改写为指数式=16，
但作为对数的底数，必须取正值，所以=4.
故选：.
【点睛】本题考查对数运算，属简单题.
6．B
【分析】根据对数函数与指数函数的图象和性质即可判断求解.
【详解】由得，，且，即，
进而得，或，．
当，时，两个函数都为增函数；
当，时，两个函数都为减函数，
故选：．
7．D
【分析】设，根据解析式得出函数的奇偶性以及单调性，即可得出答案.
【详解】设，则，所以为偶函数，所以A、B项错误.
又当时，为增函数，所以C项错误，故D项正确.
故选：D.
8．C
【分析】利用真数为可求得定点的坐标.
【详解】对于函数，令，可得，则，
因此，函数的图象过定点.
故选：C.
9．AC
【分析】由偶函数的定义与单调性对选项逐一判断，
【详解】对于A，，由对数函数性质得在上单调递增，故A正确，
对于B，，，不满足在上单调递增，故B错误，
对于C，，由指数函数性质得在上单调递增，故C正确，
对于D，，，故不是偶函数，故D错误，
故选：AC
10．ACD
【分析】A选项，根据单调递增，得到；
B选项，根据单调性得到，，，结合换底公式得到B错误；
C选项，根据的单调性得到；
D选项，根据和的单调性，结合中间值比较大小.
【详解】A选项，因为单调递增，又，所以，A正确；
B选项，因为在单调递增，因为，
所以，，故，，即，B错误；
C选项，在上单调递减，而，所以，C正确；
D选项，因为在单调递减，而，故，
因为单调递减，而，故，所以，D正确.
故选：ACD
11．ABD
【分析】由函数可知，定义域为，故为非奇非偶函数，令，根据对数的运算法则可计算出方程的根，去绝对值，把函数写成分段函数，分类讨论求函数的单调区间.
【详解】对于A，令，则或，所以或有两个零点，A正确；
对于B，的定义域为为非奇非偶函数，B正确；
对于C，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，同理当时，的单调区间与时相同，C错误，D正确．
故选：ABD．
12．AB
【分析】利用函数的性质及零点存在定理即得
【详解】因为函数在其定义域上单调递增，结合表格可知，
方程的近似解在（2.5，3），（2.5，2.75），（2.5，2.5625）内，又精确度0.1，
∴方程的近似解（精确度0.1）可取为2.51，2.56.
故选：AB．
13．4
【分析】根据同底的对数相等,则真数相等且为正数,列方程可解得.
【详解】由,
得,即且,
所以或(舍去).
故答案为:4
【点睛】本题考查了对数的性质,特别要注意真数大于0,属于基础题.
14．
【分析】将原问题转化为求解反函数的问题，首先求解原函数的值域，然后确定函数的解析式即可.
【详解】∵f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称，∴f(x)与g(x)互为反函数，
又∵①当x 0时,,f(x) 0
②当x<0时,f(x)=x2,f(x)>0
根据互为反函数的两函数定义域与值域的关系，可知②符合题意.
又f(x)=x2,x<0的反函数为.
所以当时,.
故答案为.
【点睛】本题主要考查反函数的性质与应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15．
【分析】利用对数的运算性质即可得
【详解】因为，
所以
故答案为：
16．
【分析】结合对数运算求得正确答案.
【详解】.
故答案为：
17．（1）；（2）
【分析】（1）平方得到，利用立方和公式计算得到答案.
（2）根据指数幂和对数的运算法则直接计算得到答案.
【详解】（1），则，故，
.
（2）原式
.
18．(1); (2)
【分析】（1）利用指数幂的运算法则进行化简求值可得答案；
（1）利用对数运算的运算法则进行化简求值可得答案.
【详解】解：（1）
，
（2）
【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则与对数运算的运算法则，属于基础题型，注意运算准确.
19．(1)证明见解析．
(2)
【分析】（1）根据上确界定义结合绝对值的性质证明；
（2）时．由于，只要恒成立，由单调性得的最大值可得参数范围，时，，因此分两个不等式分别考虑，和均恒成立，即可求出．
【详解】（1）因为，，
所以对任意，，
所以函数在上以为上界；
（2）时，，满足题意，
时，，都是减函数，因此也是减函数，
时， ，，即，
时，令，
，，，
由得，而在上是减函数，因此，
由得，
对函数，设，，
由于，，，因此，即，
所以在上是减函数，，，
所以，即
综上，的取值范围是．
20．(1)为偶函数，理由见解析
(2)为上的增函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断即可；
（2）根据指数函数的单调性，结合函数单调性的定义进行判断证明即可；
（3）根据增函数的定义，结合指数函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）当时，，
由于函数的定义域为R，
且，
所以为偶函数．
（2）当时，，为上的增函数．
证明：任取，
因为，
所以得
又，则，
所以，
所以，
即，
所以为上的增函数．
（3） ．
证明过程如下：
若为上的增函数，则对于任意的实数，都有成立．
即恒成立．
由
因为，所以
由，得恒成立，
因为，所以成立，
即成立，
所以．
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用指数函数的单调性进行判断证明.
21．(1)
(2)开幕式后的第30天的日销售利润最小
【分析】（1）根据题意得到，再解方程组即可.
（2）根据题意得到，再利用基本不等式和函数的单调性求解即可.
【详解】（1）由题可知，解得.
所以
（2）由题可得每件该产品的销售利润为，
所以第天的日销售利润，
即，
当时，，
当且仅当，即时等号成立，
当时，为减函数，
所以.
故当时，取得最小值714，即开幕式后的第30天的日销售利润最小.
22．(1)
(2)当年产量为80台时，年利润最大，且最大年利润为1040万元
【分析】（1）根据利润＝销售额－投入成本－固定成本求解函数解析式，
（2）当时，利用二次函数的性质求出其最大值，当时，利用基本不等式求出其最大值，然后比较即可
【详解】（1）当时，；
当时，.
所以；
（2）当时，，
故当时，取得最大值；
当时，，
当且仅当“”，即“”时等号成立，
，
即当时，取得最大值
，
综上所述：当年产量为80台时，年利润最大，且最大年利润为1040万元.

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