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5．1.1　数列的概念
通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数．
新知初探·自主学习——突出基础性
教 材 要 点
知识点一　数列的概念及一般形式
状元随笔　数列的项与项数一样吗？
[提示]　不一样．
知识点二　数列的分类
类别 含义
按项的 个数 有穷数列 项数________的数列
无穷数列 项数________的数列
按项的 变化趋势　 　 递增数列 从第2项起，每一项都________它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都________它的前一项的数列
常数列 各项都________的数列
摆动数列 从第2项起，有些项________它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
知识点三　数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与________之间的关系可以用一个式子________来表示，那么这个________叫做这个数列的通项公式．
状元随笔　数列一定有通项公式吗？
[提示]　不一定．
知识点四　数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
定义域 正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})
解析式 数列的通项公式
值域 自变量______________时对应的一列函数值
表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)____________法；(3)____________法
状元随笔　数列所对应的图象是连续的吗？
[提示]　不连续．
基 础 自 测
1．已知数列{an}的通项公式为an＝，那么是它的(　　)
A．第4项 B．第5项
C．第6项 D．第7项
2．下列说法中正确的是(　　)
A．数列2，4，6，8可表示为{2，4，6，8}
B．数列1，0，－1，－2与－2，－1，0，1是相同数列
C．所有数列的通项公式都只有一个
D．数列可以看做是一种特殊的函数
3．已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为(　　)
A．1，0，1，0 B．0，1，0，1
C．，0，，0 D．2，0，2，0
4．下列说法正确的是________(填序号)．
①{0，1，2，3，4，5}是有穷数列；
②从小到大的自然数构成一个无穷递增数列；
③数列1，2，3，4，…，2n是无穷数列．
　课堂探究·素养提升——强化创新性
　数列的概念及分类
例1　(1)(多选)下列说法正确的是(　　)
A．数列4，7，3，4的首项是4
B．在某数列中，若首项为3，则从第2项起，各项均不等于3
C．数列1，2，3，4与数列2，1，3，4为同一数列
D．数列中的项不能是三角形
(2)已知下列数列：
①2 018，2 019，2 020，2 021，2 022，2 023；
②1，，…，，…；
③1，－，…，，…；
④1，0，－1，…，sin ，…；
⑤2，4，8，16，32，…；
⑥－1，－1，－1，－1.
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(填序号)
状元随笔　紧扣有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列，常数列及摆动数列的定义求解．
方法归纳
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：
(1)确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；(2)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；
(4)数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物．
2．判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限．
跟踪训练1　(1)有下列说法：
①数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}；
②数列1，3，5，7与数列7，5，3，1是同一数列；
③数列1，3，5，7与数列1，3，5，7，…是同一数列；
④数列0，1，0，1，…是常数列．
其中说法正确的有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
(2)下列数列：
①1，2，22，23，…，263；
②1，0.5，0.52，0.53，…；
③0，10，20，30，…，1 000；
④－1，1，－1，1，－1，…；
⑤7，7，7，7，….
其中有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，摆动数列是________，常数列是________．(填序号)
　由数列的前几项求通项公式
例2　(1)写出下列数列的一个通项公式：
①，2，，8，，…；
②9，99，999，9 999，…；
③，…；
④－，－，….
(2)图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：
通过观察可以发现：在第n个图形中，火柴棒有________根．
状元随笔　先观察各项的特点，注意前后项间的关系，分子与分母的关系，项与序号的关系，每一项符号的变化规律，然后归纳出通项公式．
方法归纳
1．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：
(1)分式中分子、分母的特征；
(2)相邻项的变化特征；
(3)拆项后的特征；
(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．2.观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．
跟踪训练2　(1)写出下列数列的一个通项公式：
①0，3，8，15，24，…；
②1，－3，5，－7，9，…；
③1，2，3，4，…；
④1，11，111，1 111，….
(2)如图所示的图案中，白色正六边形的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式为________．
　通项公式的应用
例3　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)问－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．
方法归纳
(1)利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
(2)判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．
跟踪训练3　已知数列{an}的通项公式为an＝.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)试问是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．
　数列的单调性及应用
【思考探究】
已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋2n＋1，该数列的图象有何特点？试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项．
[提示]　由数列与函数的关系可知，数列{an}的图象是分布在二次函数y＝－x2＋2x＋1图象上的离散的点，如图所示，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项．
例4　已知数列{an}的通项an＝，试判断数列{an}是递增数列还是递减数列？
状元随笔　利用作差法或作商法判断数列{an}的增减性．
方法归纳
判断数列单调性的两种方法
(1)作差(或商)法．
(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去，由于数列对应的函数图象是离散型的点，故其单调性不同于函数的单调性．
在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})这一约束条件．
跟踪训练4　已知数列的通项公式为an＝n2＋2n－5.
(1)写出数列的前三项；
(2)判断数列{an}的单调性．
　数列的最大(小)项的求法
例5　已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)(n∈N＋)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．
方法归纳
求数列的最大(小)项的两种方法
一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项．
二是设ak是最大项，则有对任意的k∈N＋且k≥2都成立，解不等式组即可．
跟踪训练5　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
教材反思
1．本节课的重点是数列的概念、通项公式以及数列通项公式的求法．难点是根据数列的若干项写出数列的一个通项公式．
2．要掌握由数列的前几项写出数列的一个通项公式的方法以及由数列的通项公式求项或判断一个数是否为数列中的某一项的方法．
易错点　要注意以下两个易错点：
1．并非所有的数列都能写出它的通项公式，例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式．
2．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．
5．1.1　数列的概念
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
每一个数　第一位　{an}
知识点二
有限　无限　大于　小于　相等　大于
知识点三
n　an＝f(n)　式子
知识点四
从小到大依次取正整数值　列表　图象
[基础自测]
1．解析：设是数列中的第n项，则＝，解得n＝4或n＝－5.∵－5 N＋，∴n＝－5应舍去，故n＝4.
答案：A
2．解析：数列2，4，6，8不能表示为集合{2，4，6，8}，因为数列有顺序，集合的元素没有顺序，故A错误；由于数列的项与顺序有关系，因此数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是不同的数列，故B错误；数列的通项公式不一定唯一，可能有多种形式，故C错误；数列可以看做是一个定义域为正整数集N*或其子集上的函数，因此D正确．故选D.
答案：D
3．解析：当n分别等于1，2，3，4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.
答案：A
4．解析：因为{0，1，2，3，4，5}是集合，而不是数列，所以①错误；②正确；数列1，2，3，4，…，2n共有2n项，是有穷数列，所以③错误．
答案：②
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)由数列的相关概念可知，数列4，7，3，4的首项是4，故A正确；同一个数在数列中可以重复出现，故B错误；两者顺序不同，所以不是同一数列，故C错误；数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确．
(2)①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．
【答案】　(1)AD　(2)①⑥　②③④⑤　①⑤　②　⑥　③④
跟踪训练1　解析：(1)①说法错误，构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的；②说法错误，两数列的数排列顺序不相同，不是相同的数列；③说法错误，数列1，3，5，7是有穷数列，而数列1，3，5，7，…是无穷数列；④说法错误，由常数列的定义，可知0，1，0，1，…不是常数列．故选A.
答案：(1)A　(2)①③　②④⑤　①③　②　④　⑤
例2　【解析】　(1)①数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，…，所以，它的一个通项公式为an＝(n∈N＋)．
②各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an＝10n－1(n∈N＋)．
③数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n－1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n表示，综上，原数列的通项公式为an＝(n∈N＋)．
④这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n·(n∈N＋)．
(2)第1个图形中，火柴棒有4根；
第2个图形中，火柴棒有(4＋3)根；
第3个图形中，火柴棒有4＋3＋3＝(4＋3×2)根；
第4个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＝(4＋3×3)根；
…
第n个图形中，火柴棒有4＋3(n－1)＝(3n＋1)根．
【答案】　(1)见解析　(2)3n＋1
跟踪训练2　解析：(1)①观察数列中的数，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1(n∈N＋)．
②数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N＋)．
③此数列的整数部分为1，2，3，4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋＝(n∈N＋)．
④原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9 999，…，易知数列9，99，999，9 999，…的一个通项公式为an＝10n－1.所以原数列的一个通项公式为an＝(10n－1)(n∈N＋)．
(2)我们把图案按如下规律分解：
这三个图案中白色正六边形的个数依次为6，6＋4，6＋4×2，所以这个数列的一个通项公式为an＝6＋4(n－1)＝4n＋2.
答案：(1)见解析　(2)an＝4n＋2
例3　【解析】　(1)根据an＝3n2－28n，a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.
(2)令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0，
∴n＝7或n＝(舍)．
∴－49是该数列的第7项，即a7＝－49.
令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，
∴n＝－2或n＝.
∵－2 N＋， N＋，
∴68不是该数列的项．
跟踪训练3　解析：(1)因为an＝，
所以a4＝＝，a6＝＝.
(2)令＝，则n2＋3n－40＝0，
解得n＝5或n＝－8，注意到n∈N＋，
故将n＝－8舍去，所以是该数列的第5项．
例4　【解析】　∵an＝，∴an＋1＝＝.
方法一　an＋1－an＝
＝
＝，
∵n∈N＋，∴an＋1－an>0，即an＋1>an，
∴数列为递增数列．
方法二　∵n∈N＋，∴an>0.
∵＝＝＝＝1＋>1，∴an＋1>an，
∴数列为递增数列．
方法三　令f(x)＝(x≥1)，
则f(x)＝＝(1－)，
∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴数列是递增数列．
跟踪训练4　解析：(1)数列的前三项：a1＝12＋2×1－5＝－2；
a2＝22＋2×2－5＝3；
a3＝32＋2×3－5＝10.
(2)∵an＝n2＋2n－5，
∴an＋1－an＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5)
＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5
＝2n＋3.
∵n∈N＋，∴2n＋3>0，∴an＋1>an.
∴数列{an}是递增数列．
例5　【解析】　方法一　∵an＋1－an＝(n＋2)－(n＋1)·＝·，
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1故a1a11>a12>…，
所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，
即a9＝a10＝.
方法二　设ak是数列{an}的最大项．
则即
整理得得9≤k≤10，所以k＝9或10，
即数列{an}中的最大项为a9＝a10＝.
跟踪训练5　解析：(1)由n2－5n＋4<0，
解得1∵n∈N＋，∴n＝2，3.∴数列中有两项是负数．
(2)方法一　∵an＝n2－5n＋4＝(n－)2－，可知对称轴方程为n＝＝2.5.
又∵n∈N＋，故n＝2或3时，an有最小值，且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.
方法二　设第n项最小，由
得
解这个不等式组，得2≤n≤3，
∴n＝2，3，∴a2＝a3且最小，
∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.5．1.2　数列中的递推
通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法：递推公式．
新知初探·自主学习——突出基础性
教 材 要 点
知识点一　数列递推公式
(1)两个条件：
①已知数列的________________；
②从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．
(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的________公式．
状元随笔　由数列的递推公式能否求出数列的项？
[提示]　能，但是要逐项求．
知识点二　数列递推公式与通项公式的关系
递推公式 通项公式
区别 表示an与它的前一项______(或前几项)之间的关系 表示an与______之间的关系
联系 (1)都是表示________的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
知识点三　数列的前n项和
一般地，给定数列{an}，称Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和．
知识点四　an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，
则an＝
特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．
　基 础 自 测
1．已知数列{an}的第1项是1，第2项是2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出，则该数列的第5项等于(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
2．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是(　　)
A．an＋1＝an＋n，n∈N＋
B．an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N＋，n≥2
D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N＋，n≥2
3．已知数列{an}中，a1＝－，an＋1＝1－，则a5＝________．
4．若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋n，则a5＝________.
　课堂探究·素养提升——强化创新性
　由递推关系写数列的项
例1　(1)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则a2 022＝(　　)
A．2 B．－3
C．－ D．
(2)已知数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，则a11的值为(　　)
A．31 B．32
C．61 D．62
方法归纳
由递推公式写出数列的项的方法
1．根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．
2．若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1.
3．若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝.
跟踪训练1　(1)已知数列{an}的第1项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项．
(2)已知数列{an}，a1＝2，且an＋1＝(n≥1)，则a2 021＝(　　)
A．－1 B．2
C．－2 D．
　由数列的若干项归纳递推公式
例2　分别写出下列数列{an}的一个递推关系，并求出各个数列的第7项．
(1)4，5，7，10，14，…；
(2)7，9，11，13，15，…；
(3)2，6，18，54，162，….
方法归纳
由数列的前几项写递推关系的思路是寻找相邻两项或几项之间的关系，可以从后一项与前一项的差或和，后一项是前一项的倍数等角度去考虑，然后用剩余的项去验证猜想即可；由递推公式写出数列的项的方法是根据递推公式，依次求出各项即可．
跟踪训练2　(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三角形数，则a2＝a1＋________，a3＝a2＋________，a4＝a3＋________，由此归纳出an＝an－1＋________．
(2)图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，这个数列的递推公式为________．
　由an与Sn的关系求通项公式
例3　已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________．
方法归纳
已知Sn求an的三个步骤
1．利用a1＝S1求出a1.
2．当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式．
3．看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an＝
跟踪训练3　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________．
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋1，求通项an.
　数列的递推公式与通项公式的关系
【思考探究】
1．某剧场有30排座位，从第一排起，往后各排的座位数构成一个数列{an}，满足a1＝20，an＋1＝an＋2，你能归纳出数列{an}的通项公式吗？
[提示]　由a1＝20，an＋1＝an＋2得a2＝a1＋2＝22，
a3＝a2＋2＝24，a4＝a3＋2＝26，a5＝a4＋2＝28，…，
由以上各项归纳可知an＝20＋(n－1)·2＝2n＋18.
即an＝2n＋18(n∈N＋，n≤30)．
2．在数列{an}中，a1＝3，＝2，照此递推关系，你能写出{an}任何相邻两项满足的关系吗？若将这些关系式两边分别相乘，你能得到什么结论？
[提示]　按照＝2可得＝2，＝2，＝2，…，＝2(n≥2)，将这些式子两边分别相乘可得＝2×2×…×2(n≥2)．
则＝2n－1，所以an＝3·2n－1(n∈N＋)．
3．在数列{an}中，若a1＝3，an＋1－an＝2，照此递推关系试写出前n项中，任何相邻两项的关系，将这些式子两边分别相加，你能得到什么结论？
[提示]　由an＋1－an＝2得a2－a1＝2，a3－a2＝2，
a4－a3＝2，…，an－an－1＝2(n≥2，n∈N＋)，将这些式子两边分别相加得：a2－a1＋a3－a2＋a4－a3＋…＋an－an－1＝2(n－1)，即an－a1＝2(n－1)，
所以有an＝2(n－1)＋a1＝2n＋1(n∈N＋)．
例4　(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋，则an等于(　　)
A． B．
C． D．
(2)设数列{an}是首项为1的正项数列，且an＋1＝an(n∈N＋)，求数列的通项公式．
状元随笔　由递推公式，分别令n＝1，2，3，得a2，a3，a4，由前4项观察规律，可归纳出它的通项公式；或利用an＋1＝an反复迭代；或将an＋1＝an变形为＝进行累乘；或将an＋1＝an变形为＝1，构造数列{nan}为常数列．
方法归纳
由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：
(1)累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式．
(2)累乘法：当＝g(n)时，常用an＝··…··a1求通项公式．
跟踪训练4　(1)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3(n∈N＋)，写出这个数列的前5项，猜想an并加以证明．
(2)已知数列{an}满足(n＋2)an＋1＝(n＋1)an，且a2＝，则an＝(　　)
A． B．
C． D．
教材反思
1．本节课的重点是数列递推公式的应用，难点是数列函数性质的应用及由递推公式求数列的通项公式．
2．要掌握判断数列单调性的方法，掌握求数列最大(小)项的方法．
3．要会用数列的递推公式求数列的项或通项．
4．要注意通项公式和递推公式的区别
通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.
5．1.2　数列中的递推
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
(1)首项(或前几项)　(2)递推
知识点二
an－1　n　数列
知识点四
S1　Sn－Sn－1
[基础自测]
1．解析：因为an＝an－1＋an－2(n≥3)且a1＝1，a2＝2.所以a3＝a2＋a1＝2＋1＝3，
a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，
a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.
答案：C
2．解析：a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，故an－an－1＝n，且n≥2，n∈N＋.
答案：B
3．解析：因为a1＝－，an＋1＝1－，
所以a2＝1－＝1＋2＝3，a3＝1－＝，
a4＝1－＝－，a5＝1＋2＝3.
答案：3
4．解析：数列{an}的前n项和Sn＝2n＋n，则a5＝S5－S4＝(25＋5)－(24＋4)＝17.
答案：17
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)因为a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，所以a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2，a6＝－3，…由此可知，数列{an}是周期为4的周期数列，所以a2 022＝a4×505＋2＝a2＝－3.故选B.
(2)∵数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，
∴a3＝6＋1＝7，a5＝6＋7＝13，a7＝6＋13＝19，a9＝6＋19＝25，a11＝6＋25＝31.
【答案】　(1)B　(2)A
跟踪训练1　解析：(1)∵a1＝1，an＋1＝，∴a2＝＝，
a3＝＝＝，a4＝＝＝，
a5＝＝＝.
故该数列的前5项为1，.
(2)因为an＋1＝(n≥1)，故an＋3＝＝＝＝＝an，故数列{an}为周期数列且周期为3，故a2 021＝a3×673＋2＝a2＝＝－1.故选A.
答案：(1)见解析　(2)A
例2　【解析】　(1)an＋1＝an＋n.
由于a5＝14，
∴a6＝a5＋5＝14＋5＝19，
a7＝a6＋6＝19＋6＝25.
(2)an＋1＝an＋2.
由于a5＝15，
∴a6＝a5＋2＝15＋2＝17，
a7＝a6＋2＝17＋2＝19.
(3)an＋1＝3an.
由于a5＝162，
∴a6＝3a5＝3×162＝486，
a7＝3a6＝3×486＝1 458.
跟踪训练2　解析：(1)a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，∴an－an－1＝n.
(2)由图知，这四个三角形图案中着色的小三角形个数分别为a1＝1，a2＝3a1＝3，a3＝3a2＝9，a4＝3a3＝27，故有递推公式为an＋1＝3an，a1＝1，n∈N＋.
答案：(1)2　3　4　n　(2)an＋1＝3an，a1＝1(n∈N＋)
例3　【解析】　a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.
【答案】　4n－5
跟踪训练3　解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2·3n－1.
当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，
所以an＝
(2)当n＝1时，a1＝S1＝3.
当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)＋1，
∴an＝Sn－Sn－1＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝2n，
且n＝1时不适合an＝2n，
∴an＝
答案：(1)　(2)见解析
例4　【解析】　(1)方法一(归纳法)　数列的前5项分别为
a1＝1，a2＝1＋1－＝2－＝，
a3＝＝2－＝，
a4＝＝2－＝，
a5＝＝2－＝，
又a1＝1，
由此可得数列的一个通项公式为an＝.
方法二(迭代法)　a2＝a1＋1－，
a3＝a2＋，…，
an＝an－1＋(n≥2)，
则an＝a1＋1－＋…＋
＝2－＝(n≥2)．
又a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N＋)．
方法三　(累加法)an＋1－an＝，
a1＝1，
a2－a1＝1－，
a3－a2＝，
a4－a3＝，
…
an－an－1＝(n≥2)，
以上各项相加得
an＝1＋1－＋…＋.
所以an＝(n≥2)．
因为a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N＋)．
(2)因为an＋1＝an.
方法一(归纳猜想法)　a1＝1，a2＝×1＝，a3＝＝，a4＝＝，…
猜想an＝.
方法二(迭代法)　因为an＋1＝an，
所以an＝an－1＝·an－2＝…＝··…·a1，从而an＝.
方法三(累乘法)　因为an＋1＝an，
所以＝，
则··…·＝··…·，
所以an＝.
方法四(转化法)　因为＝，
所以＝1，
故数列{nan}是常数列，nan＝a1＝1，所以an＝.
【答案】　(1)B　(2)见解析
跟踪训练4　解析：(1)a1＝2，a2＝a1＋3＝5，
a3＝a2＋3＝8，a4＝a3＋3＝11，a5＝a4＋3＝14，
猜想：an＝3n－1.
证明如下：由an＋1＝an＋3得
a2＝a1＋3，a3＝a2＋3，
a4＝a3＋3，
…，
an＝an－1＋3.
将上面的(n－1)个式子相加，得
an－a1＝3(n－1)，
所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1.
(2)数列{an}满足(n＋2)an＋1＝(n＋1)an，且a2＝，
∴a1＝＝，
∴＝＝，…，＝，
累乘可得：·＝··，
可得：an＝·＝.
故选D.
答案：(1)见解析　(2)D5．2.1　等差数列
第1课时　等差数列的定义
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义．
2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．
3．体会等差数列与一元一次函数的关系．
新知初探·自主学习——突出基础性
教 材 要 点
知识点一　等差数列的概念
如果一个数列{an}从第________项起，每一项与它的前一项之差都等于________常数d，那么这个数列{an}就称为等差数列，这个常数d称为等差数列的________．
状元随笔　等差数列的定义用符号怎么表示？
[提示]　an＋1－an＝d(n≥1，n∈N＋，d为常数)．
知识点二　等差数列的通项公式
若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝________．
状元随笔　等差数列的通项公式是什么函数模型？
[提示]　d ≠0时，一次函数；d＝0时，常值函数．
知识点三　等差数列与一次函数的关系
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d如果记f(x)＝dx＋a1－d，则等差数列的通项公式an＝f(n)，而且：①当公差d＝0时，f(x)是常数函数，此时数列{an}是________(因此，公差为0的等差数列是常数列)；②当公差d≠0时，f(x)是一次函数，而且f(x)的增减性依赖于公差d的符号，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．因此，当________时，{an}是递增数列；当________时，{an}是递减数列.
　基 础 自 测
1．下列数列中不是等差数列的为(　　)
A．6，6，6，6，6 B．－2，－1，0，1，2
C．5，8，11，14 D．0，1，3，6，10
2．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列(　　)
A．是公差为2的等差数列
B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列
D．是公差为n的等差数列
3．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝________．
4．已知等差数列－5，－2，1，…，则该数列的第20项为________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
　等差数列的概念
例1　(1)已知数列{an}满足a1＝3，且an＝an＋1＋3(n∈N*)，则下列说法正确的是(　　)
A．数列{an}是以3为首项，3为公差的等差数列
B．数列{an}是以3为首项，－3为公差的等差数列
C．数列{an}是以－3为首项，3为公差的等差数列
D．数列{an}是以－3为首项，－3为公差的等差数列
(2)已知数列{an}中，a3＝，a7＝，且是等差数列，则a5＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
方法归纳
判断一个数列是否是等差数列，关键是看它是否符合等差数列的定义，逐一检验定义中“从第二项起每一项减去它前面一项的差都等于同一个常数”即可．
跟踪训练1　(1)若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an}是(　　)
A．公差为1的等差数列
B．公差为的等差数列
C．公差为－的等差数列
D．不是等差数列
(2)已知数列{an}满足a1＝1，n∈N＋，若点()在直线x－y＋1＝0上，则an＝(　　)
A．n2 B．n C．n＋2 D．n＋1
　等差数列的通项公式及其应用
【思考探究】
　在等差数列{an}中，能用a1，d两个基本量表示an，那么能否用{an}中任意一项am和d表示an
[提示]　由an＝a1＋(n－1)d，①
am＝a1＋(m－1)d，②
两式相减可得：an－am＝(n－m)d，
则an＝am＋(n－m)d.
例2　(1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an；
(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，求a15的值．
状元随笔　设出基本量a1，d.利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式an＝am＋(n－m)d求解．
方法归纳
1．应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，得求出a1和d，从而确定通项公式．
2．若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其它项时，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷．它又可变形为d＝，应注意把握，并学会应用．
跟踪训练2　(1)已知等差数列{an}中，a4＝8，a8＝4，则数列{an}的通项公式为________．
(2)若x≠y，且两个数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各成等差数列，那么＝________．
　等差数列与一次函数的关系
例3　已知数列{an}的通项公式an＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？
方法归纳
根据等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知{an}为等差数列 an＝pn＋q(p，q为常数)，此结论可用来判断{an}是否为等差数列，也揭示了等差数列的函数本质．跟踪训练3　(1)已知数列{an}是等差数列，且an＝an2＋n(n∈N＋)，则实数a＝________．
(2)已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－2n(n∈N＋)，则它的公差d为(　　)
A．2 B．3
C．－2 D．－3
教材反思
1．本节课的重点是等差数列的定义以及等差数列的通项公式，难点是等差数列的证明．
2．掌握判断一个数列是等差数列的常用方法：
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋) {an}是等差数列；
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋) {an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋) {an}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
3．会灵活运用等差数列的通项公式解决问题．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式．反过来，在a1、d、n、an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另外一个量．
第1课时　等差数列的定义
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
2　同一个　公差
知识点二
a1＋(n－1)d
知识点三
常数列　d>0　d<0
[基础自测]
1．解析：A中给出的是常数列，是等差数列，公差为0；B中给出的数列是等差数列，公差为1；C中给出的数列是等差数列，公差为3；D中给出的数列第2项减去第1项等于1，第3项减去第2项等于2，故此数列不是等差数列．
答案：D
2．解析：∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，
∴{an}是公差为2的等差数列．
答案：A
3．解析：∵a1＝4，d＝－2，
∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.
答案：6－2n
4．解析：公差d＝－2－(－5)＝3，a20＝－5＋(20－1)d＝－5＋19×3＝52.
答案：52
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)因为数列{an}满足a1＝3，且an＝an＋1＋3(n∈N*)，即an＋1－an＝－3(n∈N*)，所以数列{an}是以3为首项，－3为公差的等差数列．故选B.
(2)设等差数列的公差为d，则＝＋4d，∴＝＋4d，解得d＝2.∴＝＋2d＝10，解得a5＝.
【答案】　(1)B　(2)B
跟踪训练1　解析：(1)由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝，所以数列{an}是公差为的等差数列．
(2)由题设可得＋1＝0，即＝1，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，故通项公式为＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n2(n∈N＋)．
答案：(1)B　(2)A
例2　【解析】　(1)方法一　∵a4＝7，a10＝25，
则得
∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，
∴通项公式an＝3n－5(n∈N＋)．
方法二　∵a4＝7，a10＝25，
∴a10－a4＝6d＝18，∴d＝3，
∴an＝a4＋(n－4)d＝3n－5(n∈N＋)．
(2)方法一　由得
解得a1＝，d＝－.
∴a15＝a1＋(15－1)d
＝＋14×＝－.
方法二　由a7＝a3＋(7－3)d，
即－＝＋4d，
解得d＝－.
∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－.
跟踪训练2　解析：(1)设{an}的公差为d，则a8－a4＝4d，∴d＝－1.∴an＝a8＋(n－8)d＝4＋(n－8)×(－1)＝12－n.
(2)∵数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y均为等差数列，
∴∴＝1，
即＝，故＝.
答案：(1)an＝12－n　(2)
例3　【解析】　取数列{an}中任意两项an和an－1(n>1)，
求差得an－an－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p.
它是一个与n无关的常数，所以{an}是等差数列．
由于an＝pn＋q＝q＋p＋(n－1)p，
所以首项a1＝p＋q，公差d＝p.
跟踪训练3　解析：(1)∵{an}是等差数列，且an＝an2＋n，
∴an是关于n的一次函数，∴a＝0.
(2)方法一　由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.
方法二　an＝3－2n＝－2n＋3，由等差数列的函数特征知，d＝－2.
答案：(1)0　(2)C第2课时　等差数列的性质
1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．
2．体会等差数列与一元一次函数的关系．
新知初探·自主学习——突出基础性
教 材 要 点
知识点一　等差中项
如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的________，且A＝.
状元随笔　任意两数都有等差中项吗？在一个等差数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等差中项吗？
[提示]　(1)是，任意两个实数都有等差中项，且唯一．
(2)是，利用等差中项可以判定给定数列是否为等差数列，即若2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)，则{an}为等差数列．
知识点二　等差数列的性质
(1){an}是等差数列，若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝________．
①特别地，当p＋q＝2s(p，q，s∈N＋)时，2as＝ap＋aq.
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的________，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为________数列．
(3)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为________的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为________的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为________的等差数列．
(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为________的等差数列．
　基 础 自 测
1．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝(　　)
A．12 B．16
C．20 D．24
2．已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则角B等于(　　)
A． B．
C． D．
3．在等差数列{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________．
4．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝(　　)
A．0 B．37
C．100 D．－37
　课堂探究·素养提升——强化创新性
　等差中项及其应用
例1　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
方法归纳
三个数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)．
跟踪训练1　若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．
　等差数列的性质
【思考探究】
1．数列1，2，3，4，5，6，7，8，…是等差数列吗？1，3，5，7，…是等差数列吗？2，4，6，8，…是等差数列吗，它们有什么关系？这说明了什么？
[提示]　这三个数列均是等差数列，后两个数列是从第一个数列中每隔相同的项数抽取一项，按原来顺序组成的新数列，这说明从一个等差数列中每隔相同的项数取一项，按原来的顺序排列，还是一个等差数列．
2．在等差数列{an}中，若an＝3n＋1.那么a1＋a5＝a2＋a4吗？a2＋a5＝a3＋a4成立吗？由此你能得到什么结论？该结论对任意等差数列都适用吗？为什么？
[提示]　由an＝3n＋1可知a1＋a5＝a2＋a4与a2＋a5＝a3＋a4均成立，由此有若s，t，p，q∈N＋且s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq.
对于任意等差数列{an}，设其公差为d.
则as＋at＝a1＋(s－1)d＋a1＋(t－1)d
＝2a1＋(s＋t－2)d，
ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d
＝2a1＋(p＋q－2)d，
因s＋t＝p＋q，故as＋at＝ap＋aq对任意等差数列都适用．
3．在等差数列{an}中，2an＝an＋1＋an－1(n≥2)成立吗？2an＝an＋k＋an－k(n＞k＞0)是否成立？
[提示]　在2的结论中令s＝t，p＝n＋1，q＝n－1，可知2an＝an＋1＋an－1成立；s＝t，p＝n＋k，q＝n－k，可知2an＝an＋k＋an－k也成立．
例2　(1)等差数列{an}，若a1＋a17为一确定常数，则下列各式也为确定常数的是(　　)
A．a2＋a15 B．a2·a15
C．a2＋a9＋a16 D．a2·a9·a16
(2)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________．
方法归纳
1．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．
2．应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项数之间的关系，但要注意性质运用的条件，如若s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq(s，t，p，q∈N＋)，需要当序号之和相等、项数相同时才成立．
跟踪训练2　(1)在公差为d的等差数列{an}中．已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13.
(2)已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于(　　)
A．7 B．14
C．21 D．7(n－1)
(3)由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是(　　)
A．新数列不是等差数列
B．新数列是公差为d的等差数列
C．新数列是公差为2d的等差数列
D．新数列是公差为3d的等差数列
　等差数列及其应用
例3　某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
跟踪训练3　第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算，你能算出2024年8月在巴黎举行的奥运会是第几届吗？若已知届数，你能确定相应的年份吗？
　灵活设元解等差数列
例4　已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．
方法归纳
1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列．
2．当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d.
3．当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d.
跟踪训练4　三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．
教材反思
1．本节课的重点是等差数列性质的应用．
2．要重点掌握等差数列的如下性质：
(1)在等差数列{an}中，当s≠t时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为as＝at＋(s－t)d.
(2)等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
(3)等差数列{an}中，若s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq(s，t，p，q∈N＋)，特别地，若2s＝p＋q，则2as＝ap＋aq.
3．等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
第2课时　等差数列的性质
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
等差中项
知识点二
(1)ap＋aq　和　(2)等差　(3)d　cd　2d　(4)pd1＋qd2
[基础自测]
1．解析：在等差数列中，由性质可得a2＋a10＝a4＋a8＝16.
答案：B
2．解析：因为A，B，C成等差数列，所以B是A，C的等差中项，则有A＋C＝2B，又因为A＋B＋C＝π，所以3B＝π，从而B＝.
答案：B
3．解析：因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450.
所以a5＝90，
a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.
答案：180
4．解析：设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以{an＋bn}为等差数列．又a1＋b1＝a2＋b2＝100，所以{an＋bn}为常数列，所以a37＋b37＝100.
答案：C
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　∵－1，a，b，c，7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，∴b＝＝3.
又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5.
∴该数列为－1，1，3，5，7.
跟踪训练1　解析：由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.
又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得m＋n＝6.
∴m和n的等差中项为＝3.
例2　【解析】　(1)因为a1＋a17为一确定常数，又a1＋a17＝a2＋a16＝2a9，所以a2＋a16＋a9＝3a9为一确定常数，故选C.
(2)方法一　设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.
方法二　∵数列{an}，{bn}都是等差数列，
∴数列{an＋bn}也构成等差数列，
∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，
∴2×21＝7＋a5＋b5，∴a5＋b5＝35.
【答案】　(1)C　(2)35
跟踪训练2　解析：(1)方法一　化成a1和d的方程如下：
(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，
即4(a1＋12d)＝48.
∴4a13＝48.∴a13＝12.
方法二　根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，及a2＋a24＝a3＋a23＝2a13.
得4a13＝48，∴a13＝12.
(2)因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14.
(3)因为(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列．
答案：(1)见解析　(2)B　(3)C
例3　【解析】　设从第一年起，第n年的利润为an万元，
则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N＋)，
∴每年的利润构成一个等差数列{an}，
从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损．
∴由an＝220－20n<0，得n>11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．
跟踪训练3　解析：设第一届的年份为a1，第二届的年份为a2，…，第n届的年份为an，则a1，a2，…，an，…构成一个以a1＝1 896为首项，以d＝4为公差的等差数列，其通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝1 896＋4(n－1)＝4n＋1 892，即an＝4n＋1 892，由an＝2 024，知4n＋1 892＝2 024，所以n＝33.
故2024年举行的奥运会为第33届．
已知举办的届数也能求出相应的年份，因为在等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d中，知道其中任何三个量，均可求得第四个量．
例4　【解析】　方法一　设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得
解得或
∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.
方法二　设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得
化简，得
解得或
∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.
方法三　设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得化简，得解得
∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.
跟踪训练4　解析：设这三个数依次为a－d，a，a＋d，
则解得.
∴这三个数为4，3，2.第1课时　等差数列的前n项和
1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．
2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．
3．体会等差数列前n项和与一元二次函数的关系．
新知初探·自主学习——突出基础性
教 材 要 点
知识点一　数列的前n项和的概念
一般地，称________________为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝________________．
知识点二　等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和公式 Sn＝________________ Sn＝________________
状元随笔　已知n，an，d能求a1吗？
[提示]　能，a1＝an＋(1－n)d，然后代入公式．
知识点三　等差数列的前n项和公式与函数的关系
因为等差数列前n项和可变为Sn＝n2＋(a1－)n，若d≠0，此公式可看作二次项系数为，一次项系数为(a1－)，常数项为0的二次函数，其图象为抛物线y＝x2＋(a1－)x上的点集，坐标为(n，Sn)(n∈N＋)．令d＝A，a1－＝B，则Sn＝An2＋Bn(A为常数)，并且有如下结论：数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
知识点四　等差数列前n项和Sn的最值
1．从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．
2．在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最大值的n可由不等式组确定；当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最小值的n可由不等式组确定．
状元随笔　{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{|an|}的前n项和也是Sn吗？
[提示]　不一定．
　基 础 自 测
1．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝(　　)
A．10 B．12
C．20 D．24
2．已知{an}是等差数列，a1＝10，前10项和S10＝70，则其公差d＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
3．已知等差数列{an}满足a1＝1，am＝99，d＝2，则其前m项和Sm＝(　　)
A．2 300 B．2 400
C．2 600 D．2 500
4．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn＝________．
　课堂探究·素养提升——强化创新性
　等差数列Sn中基本量的计算
例1　在等差数列{an}中．
(1)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d；
(2)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8；
(3)已知a16＝3，求S31.
方法归纳
a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，注意利用等差数列的性质以简化计算过程，同时在具体求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．
跟踪训练1　在等差数列{an}中．
(1)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d；
(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
　等差数列的前n项和公式与函数的关系
例2　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n2＋3n，试判断数列{an}是不是等差数列．
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列．
方法归纳
(1)已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)，这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错．
(2)在判断{an}是否为等差数列时，务必验证n＝1是否满足an(n≥2)的情形．
①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1，则{an}是等差数列．
②若a1不适合an，则则{an}不是等差数列．
跟踪训练2　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝n2＋n，则a8＝(　　)
A．72 B．36
C．18 D．16
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn＝－2n2＋3n＋1.求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否为等差数列．
　等差数列中的最值问题
【思考探究】
　已知一个数列{an}的前n项和为Sn＝n2－5n，试画出Sn关于n的函数图象．
你能说明数列{an}的单调性吗？该数列前n项和有最值吗？
[提示]　Sn＝n2－5n＝(n－)2－，它的图象是分布在函数y＝x2－5x的图象上的离散的点，由图象的开口方向可知该数列是递增数列，图象开始下降说明了{an}前n项为负数．由Sn的图象可知，Sn有最小值且当n＝2或3时，Sn最小，最小值为－6，即数列{an}前2项或前3项和最小．
例3　(1)在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值．
(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，a7>0，S11<0，则Sn的最小值为(　　)
A．S4 B．S5
C．S6 D．S7
状元随笔　
(1)利用Sn与an的关系求通项，也可由Sn的结构特征求a1，d，从而求出通项．
(2)利用Sn的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解．
(3)利用an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解．
方法归纳
1．在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法
(1)利用通项公式寻找正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)．
(2)借助二次函数的图象及性质求最值．
2．寻找正、负项分界点的方法
(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找．
(2)利用到y＝ax2＋bx(a≠0)的对称轴距离最近的一侧的一个正整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．
3．求解数列{|an|}的前n项和，应先判断{an}的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题．
跟踪训练3　(1)已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
①求数列{an}的通项公式；
②当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
(2)数列{an}的前n项和Sn＝35n－2n2，求使Sn最大的n的值．
(3)(多选)设数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S8.则下列说法正确的是(　　)
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
教材反思
1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．
2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq(s，t，p，q∈N＋)，若2s＝p＋q，则2as＝ap＋aq.
第1课时　等差数列的前n项和
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
a1＋a2＋…＋an－1＋an　a1＋a2＋…＋an－1＋an
知识点二
　na1＋d
[基础自测]
1．解析：由S10＝＝120，得a1＋a10＝24.
答案：D
2．解析：S10＝10a1＋d＝70，又a1＝10，所以d＝－.
答案：A
3．解析：由am＝a1＋(m－1)d，得99＝1＋(m－1)×2，解得m＝50，所以S50＝50×1＋×2＝2 500.
答案：D
4．解析：因为a1＝1，d＝1，
所以Sn＝n＋×1
＝＝＝.
答案：
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)∵Sn＝na1＋n(n－1)d，
∴
解方程组得
(2)∵a6＝10，S5＝5，∴
解方程组得
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S8＝＝44.
(3)S31＝×31＝a16×31＝3×31＝93.
跟踪训练1　解析：(1)由题意，得Sn＝＝＝－5，
解得n＝15.
又a15＝＋(15－1)d＝－，
∴d＝－.
(2)由已知，得S8＝＝＝172，解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
(3)由
得
解方程组得或
例2　【解析】　(1)Sn＝2n2＋3n，则当n＝1时，a1＝S1＝5，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n－2(n－1)2－3(n－1)＝4n＋1.又a1＝5适合an＝4n＋1，
∴数列{an}的通项公式是an＝4n＋1(n∈N＋)．
当n≥2时，an－an－1＝(4n＋1)－[4(n－1)＋1]＝4，
故数列{an}是首项为5，公差为4的等差数列．
(2)当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n.
又a1＝1不满足an＝2n，
∴数列{an}的通项公式是an＝
∵a2－a1＝4－1＝3，a3－a2＝6－4＝2，
∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数，
∴数列{an}不是等差数列．
跟踪训练2　解析：(1)由an＝Sn－Sn－1(n≥2，且n∈N＋)，得a8＝S8－S7＝82＋8－72－7＝16.
(2)当n＝1时，a1＝S1＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋3n＋1)－[－2(n－1)2＋3(n－1)＋1]＝－4n＋5.
又当n＝1时，a1＝2不满足上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝
当n≥2时，an＋1－an＝－4(n＋1)＋5－(－4n＋5)＝－4，
但a2－a1＝－3－2＝－5，
所以数列{an}不是等差数列．
答案：(1)D　(2)见解析
例3　【解析】　(1)方法一　由S17＝S9，得25×17＋×(17－1)d＝25×9＋×(9－1)d，解得d＝－2，
∴Sn＝25n＋(n－1)(－2)＝－(n－13)2＋169，
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
方法二　先求出d＝－2，∵a1＝25>0，
由得
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
方法三　由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，
而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，
故a13＋a14＝0.∵d＝－2<0，a1>0，
∴a13>0，a14<0，
故n＝13时，Sn有最大值169.
(2)因为S11＝＝11a6<0，所以a6<0，又a7＝a6＋d>0，所以d>0，所以Sn的最小值为S6.故选C.
【答案】　(1)见解析　(2)C
跟踪训练3　解析：(1)①由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
②方法一　由①知，a1＝9，d＝－2，
Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
方法二　由①知，a1＝9，d＝－2<0，
∴{an}是递减数列．
令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤.
∵n∈N＋，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
(2)由Sn＝35n－2n2＝－2(n－)2＋.
当且仅当n＝9时，Sn最大，故n＝9.
(3)由S50.又S6＝S7，∴a7＝0，∴d<0.由S7>S8，∴a8<0，因此S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.
答案：(1)见解析　(2)见解析　(3)ABD第2课时　等差数列前n项和的性质
探索并掌握等差数列的前n项和的有关性质，会应用性质解题．
新知初探·自主学习——突出基础性
教 材 要 点
知识点一　等差数列前n项和的性质
(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.
(2)若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为________．
(3)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝.
(4)若等差数列{an}的项数为2n(n∈N＋)时，则S2n＝________，且S偶－S奇＝________，＝.
(5)若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)时，则S2n－1＝________，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)an，＝.
知识点二　已知数列{an}为等差数列，求数列{|an|}
的前n项和
已知数列{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n项和的步骤：
第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点．
第二步，求和：①若an各项均为正数(或均为负数)，则数列{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；②若a1＞0，d＜0(或a1＜0，d＞0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加．
　基 础 自 测
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则an＝(　　)
A．n B．n2
C．2n＋1 D．2n－1
2．已知等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差d＝________．
3．等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则＝________．
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a5＝5a3，则＝________．
　课堂探究·素养提升——强化创新性
　等差数列前n项和公式的灵活应用
例1　(1)已知等差数列{an}中，若a1 009＝1，求S2 017；
(2)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，求.
状元随笔　由等差数列的前n项和公式及通项公式列方程组求解，或结合等差数列的性质求解．
方法归纳
由Sn＝可知，S2n－1＝＝(2n－1)·an，等差数列{an}的前n项和Sn与等差数列{bn}的前n项和Tn的比，是关于n的一次分式函数，即＝，且＝.
跟踪训练1　(1)已知在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于(　　)
A．160 B．180
C．200 D．220
(2)一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为________．
(3)在等差数列{an}中，已知a3＋a15＝40，求S17.
　等差数列中奇、偶项的和
例2　在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝________．
方法归纳
1．若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝.
2．若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝.
注意点：
(1)总项数为奇数时，其中间项的下标是1和总项数的平均数；
(2)总项数为偶数时，其中间有两项，中间第一项的下标为总项数的一半．
跟踪训练2　已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是________．
　等差数列前n项和性质及应用
例3　已知等差数列{an}，Sm，S2m，S3m分别是其前m，前2m，前3m项和，若Sm＝30，S2m＝100，求S3m.
方法归纳
在等差数列中，前n项和Sn的问题利用公式可列出关于a1和d的方程(组)．要注意等差数列中Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也成等差数列且公差为m2d；，…也成等差数列，用此性质可简化运算．
跟踪训练3　设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝(　　)
A．63 B．45
C．36 D．27
　求数列{|an|}的前n项和
例4　数列{an}的前n项和Sn＝100n－n2(n∈N＋)．
(1)求证：数列{an}是等差数列；
(2)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和．
方法归纳
求等差数列{an}前n项绝对值的和，首先要搞清哪些项是正数哪些项是负数，正的直接去掉绝对值，负的变为原来的相反数，再转化为等差数列{an}的前n项和的形式求解．
跟踪训练4　在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和．
　等差数列前n项和的实际应用
例5　某地在抗洪抢险中接到预报，24 h后有一个超历史最高水位的洪峰到达，为保证万无一失，抗洪指挥部决定在24 h内另筑起一道堤作为第二道防线．经计算，如果有20辆大型翻斗车同时工作25 h，可以筑起第二道防线，但是除了现有的一辆车可以立即投入工作外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20 min就可有一辆车到达并投入工作．问：指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作，才能保证24 h内完成第二道防线？请说明理由．
方法归纳
建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．
跟踪训练5　假设某市2019年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以2019年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？
教材反思
1．牢记2个知识点
(1)等差数列前n项和的有关性质．
(2)已知{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n项和的步骤．
2．掌握1种规律方法
等差数列前n项和的性质解题的应用规律．
3．注意2个易错点
(1)乱用性质或结论致错．
(2)等差数列加绝对值后，认为其还是等差数列而致错．
第2课时　等差数列前n项和的性质
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
(2)m2d　(4)n(an＋an＋1)　nd　(5)(2n－1)an
[基础自测]
1．解析：当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，且a1＝1适合上式，故an＝2n－1(n∈N*)．
答案：D
2．解析：S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10，S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9，∴S偶－S奇＝5d＝15，∴d＝3.
答案：3
3．解析：＝＝＝＝＝＝.
答案：
4．解析：＝＝＝×5＝9.
答案：9
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)方法一　∵a1 009＝a1＋1 008d＝1，
∴S2 017＝2 017a1＋d＝2 017(a1＋1 008d)＝2 017.
方法二　∵a1 009＝，
∴S2 017＝×2 017＝2 017a1 009＝2 017.
(2)方法一　＝＝＝＝＝.
方法二　∵＝＝，
∴设Sn＝2n2＋2n，Tn＝n2＋3n，
∴a5＝S5－S4＝20，b5＝T5－T4＝12，
∴＝＝.
跟踪训练1　解析：(1)∵a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，
∴a1＋a20＝a2＋a19＝a3＋a18＝18，
∴S20＝＝10×18＝180.
(2)由条件知a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝30，
又∵a1＋a11＝a3＋a9＝a5＋a7，∴a5＋a7＝2a6＝10，
∴中间项a6＝5.
(3)方法一　∵a1＋a17＝a3＋a15，
∴S17＝＝＝＝340.
方法二　∵a3＋a15＝2a1＋16d＝40，
∴a1＋8d＝20，
∴S17＝17a1＋d＝17(a1＋8d)＝17×20＝340.
方法三　∵a3＋a15＝2a9＝40，
∴a9＝20，∴S17＝17a9＝340.
答案：(1)B　(2)5　(3)见解析
例2　【解析】　由得所以S偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2.
【答案】　2
跟踪训练2　解析：设等差数列{an}的项数为2m，
∵末项与首项的差为－28，
∴a2m－a1＝(2m－1)d＝－28，①
∵S奇＝50，S偶＝34，
∴S偶－S奇＝34－50＝－16＝md，②
由①②得d＝－4.
答案：－4
例3　【解析】　方法一　设{an}的公差为d，依据题设和前n项和公式有
②－①，得ma1＋d＝70，
∴S3m＝3ma1＋d
＝3[ma1＋d]＝3×70＝210.
方法二　Sm、S2m－Sm、S3m－S2m成等差数列，
∴30、70、S3m－100成等差数列，
∴2×70＝30＋S3m－100.
∴S3m＝210.
方法三　在等差数列{an}中，
∵Sn＝a1n＋n(n－1)d，
∴＝a1＋(n－1).
即数列构成首项为a1，公差为的等差数列．
依题中条件知、、成等差数列，
∴2·＝.
∴S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
跟踪训练3　解析：∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.
答案：B
例4　【解析】　(1)证明：an＝Sn－Sn－1＝(100n－n2)－[100(n－1)－(n－1)2]＝101－2n(n≥2)．
∵a1＝S1＝100×1－12＝99＝101－2×1，
∴数列{an}的通项公式为an＝101－2n(n∈N＋)．
又an＋1－an＝－2为常数，
∴数列{an}是首项为a1＝99，公差d＝－2的等差数列．
(2)令an＝101－2n≥0，得n≤50.5，
∵n∈N＋，∴n≤50(n∈N＋)．
①当1≤n≤50时，an>0，此时bn＝|an|＝an，
∴{bn}的前n项和S′n＝100n－n2.
②当n≥51时，an<0，此时bn＝|an|＝－an，
由b51＋b52＋…＋bn＝－(a51＋a52＋…＋an)
＝－(Sn－S50)＝S50－Sn，
得数列{bn}的前n项和为S′n＝S50＋(S50－Sn)＝2S50－Sn
＝2×2 500－(100n－n2)＝5 000－100n＋n2.
由①②得数列{bn}的前n项和为
S′n＝
跟踪训练4　解析：由a1＝－60，a17＝－12，
知等差数列{an}的公差d＝＝＝3.
所以an＝a1＋(n－1)d＝－60＋(n－1)×3＝3n－63.
由an≤0，知3n－63≤0，即n≤21.
所以，{an}中前20项是负数，从第21项起是非负数．
设Sn和Tn分别表示{an}和{|an|}的前n项和．
当n≤20时，
Tn＝－Sn＝－[－60n＋]＝－n2＋n.
当n>20时，
Tn＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20
＝－60n＋－2(－60×20＋×3)
＝n2－n＋1 260，
综上，Tn＝
例5　【解析】　设从现有一辆车投入工作算起，各车的工作时间，依次组成数列{an}，则an－an－1＝－.
∴数列{an}构成首项为24，公差为－的等差数列．
设还需组织(n－1)辆车，
则a1＋a2＋…＋an＝24n＋≥20×25.
∴n2－145n＋3 000≤0，即(n－25)(n－120)≤0.
∴25≤n≤120，∴nmin＝25，∴n－1＝24.
故至少还需组织24辆车陆续工作，才能保证在24 h内完成第二道防线．
跟踪训练5　解析：设从2019年起每年新建中低价房的面积形成的数列为{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，
则an＝250＋(n－1)·50＝50n＋200，
Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n，
令25n2＋225n≥4 750，即n2＋9n－190≥0，
而n是正整数，∴n≥10.
∴到2028年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．5．3.1　等比数列
第1课时　等比数列的定义
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义．
2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．
3．体会等比数列与指数函数的关系．
新知初探·自主学习——突出基础性
教 材 要 点
知识点一　等比数列的概念
(1)文字语言：
一般地，如果一个数列{an}从第________项起，每一项与它的前一项之比都等于________，那么这个数列{an}就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，公比通常用字母q表示(q≠0)．
(2)符号语言：
＝q(q为常数，q≠0，n∈N＋)．
状元随笔　等比数列还可以用哪种符号语言表示？
[提示]　＝q(q为常数，q ≠0，n≥2，n∈N＋)．
知识点二　等比数列的通项公式
(1)一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝________．这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比．
(2)通项公式的推广：an＝amqn－m(n，m∈N＋)．
知识点三　等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式可整理为an＝________，而f(x)＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y＝________的图象上的________点．
知识点四　等比数列的单调性
　基 础 自 测
1．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a满足(　　)
A．a≠1 B．a≠0或a≠1
C．a≠0 D．a≠0且a≠1
2．已知{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则这个数列的通项公式为(　　)
A．an＝2·3n＋1 B．an＝3·2n＋1
C．an＝2·3n－1 D．an＝3·2n－1
3．在等比数列{an}中，若a1＜0，a2＝18，a4＝8，则公比q＝(　　)
A． B．
C．－ D．或－
4．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝________．
　课堂探究·素养提升——强化创新性
　等比数列的判断
例1　判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比．
(1)1，，…；
(2)10，10，10，10，10，…；
(3)，…；
(4)1，0，1，0，1，0，…；
(5)1，－4，16，－64，256，….
方法归纳
判断一个数列是否为等比数列的方法
定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论．
跟踪训练1　(多选)以下数列中是等比数列的是(　　)
A．数列1，3，9，27，…
B．数列{an}中，已知＝2，＝2
C．常数列a，a，a，…，a，…
D．数列{an}中，＝q(q≠0)，其中n∈N＋
　等比数列的通项公式及其应用
【思考探究】
1．类比归纳等差数列通项公式的方法，你能归纳出首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式吗？
[提示]　由等比数列的定义可知：
a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，
a5＝a4q＝a1q4，…
由此归纳等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1.
2．由等比数列的定义式＝q(q≠0)你能用累乘法求出用首项a1，公比q表示的通项公式吗？能用等比数列中任意一项am及公比q表示an吗？
[提示]　由＝q，知＝q，＝q，＝q，…，＝q，将以上各式两边分别相乘可得＝qn－1，则an＝a1qn－1；两式相比得＝qn－m，
则an＝am·qn－m，事实上该式为等比数列通项公式的推广．
3．在等比数列的通项公式an＝a1qn－1中，若已知a1＝2，q＝，你能求出a3吗？若已知a1＝2，a3＝8，你能求出公比q吗？这说明了什么？
[提示]　若a1＝2，q＝，则a3＝2·＝；
若a1＝2，a3＝8，则2·q2＝8，
所以q＝±2，
由此说明在an＝a1qn－1中所含四个量中能“知三求一”．
例2　(1)在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8.
①求数列{an}的通项公式an；
②若an＝，求n.
(2)在等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
方法归纳
1．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．
2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)充分利用通项公式的推广：an＝amqn－m(n，m∈N＋)．直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
跟踪训练2　在等比数列{an}中．
(1)若它的前三项分别为5，－15，45，求a5；
(2)若a4＝2，a7＝8，求an；
(3)a3＝2，a2＋a4＝，求an；
(4)已知等比数列{an}为递增数列，且＝＋an＋2)＝5an＋1，求an.
　等比数列的判断与证明
例3　(1)在数列{an}中，如果an＝32－n(n＝1，2，3，…)，那么这个数列是(　　)
A．公比为2的等比数列
B．公差为3的等差数列
C．首项为3的等比数列
D．首项为3的等差数列
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N＋)．
①求a1，a2；
②求证：数列{an}是等比数列．
(3)已知数列{an}，且a1＝2，an＋1＝2an－1，n∈N*.
①证明：数列{an－1}是等比数列；
②求{an}的通项公式．
方法归纳
判断一个数列是否是等比数列的常用方法
1．定义法：＝q(q为常数且不为零) {an}为等比数列．
2．通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0) {an}为等比数列．
跟踪训练3　(1)在数列{an}中，a1＝2，2an＋1＝an(n∈N＋)，则a6＝________．
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1(n∈N＋)，求证{an}是等比数列，并求出通项公式．
　等比数列的通项公式与指数型函数的关系
例4　(1)已知数列{an}是等比数列，且公比大于0，则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的(　　)
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)若{an}为等比数列，则“a1A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
方法归纳
判断等比数列的单调性的方法
(1)a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列；
(2)a1>0，0(3)a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减等比数列；
(4)a1<0，0(5)q＝1时，数列{an}为常数列；
(6)q<0时，数列{an}为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同．
跟踪训练4　(1)等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
(2)设{an}是等比数列，则“a1A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不
教材反思
1．本节课的重点是等比数列的判定与证明、等比数列的通项问题，难点是等比数列的证明．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)等比数列的判断与证明的方法．
(2)等比数列通项公式的求法．
等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量．
第1课时　等比数列的定义
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
(1)2　同一常数　公比
知识点二
(1)a1qn－1
知识点三
·qn　·qx　孤立
[基础自测]
1．解析：由于a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则a需满足a≠0，a(1－a)≠0，a(1－a)2≠0，所以a≠0且a≠1.
答案：D
2．解析：由已知可得a1＝2，q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1＝2·3n－1.
答案：C
3．解析：由解得或.
又a1＜0，因此q＝－.
答案：C
4．解析：∵a2＝a1q＝2，①
a5＝a1q4＝，②
∴②÷①得：q3＝，∴q＝.
答案：
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)不是等比数列；(2)是等比数列，公比为1；(3)是等比数列，公比为；(4)不是等比数列；(5)是等比数列，公比为－4.
跟踪训练1　解析：在B中，不一定满足＝2；在C中，若a＝0，则不是等比数列；在A、D中，满足为非零常数，
∴A、D是等比数列．
答案：AD
例2　【解析】　(1)①因为a5＝a3q2，所以q2＝＝.
所以q＝±.
当q＝时，an＝a3qn－3＝32×＝28－n；
当q＝－时，an＝a3qn－3＝32×.
所以an＝28－n或an＝32×.
②当an＝时，28－n＝或32×＝，
解得n＝9.
(2)方法一　∵
由得q＝，从而a1＝32，
∴an＝32×，
又∵an＝1.∴32×＝1，即26－n＝20，∴n＝6.
方法二　∵a3＋a6＝q(a2＋a5)，∴q＝.
由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.
由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.
跟踪训练2　解析：(1)∵a5＝a1q4，而a1＝5，
q＝＝－3，
∴a5＝405.
(2)∵
∴
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，∴an＝a1qn－1＝.
(3)设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.a2＝＝，a4＝a3q＝2q，
∴＋2q＝，解得q＝或q＝3.
当q＝时，a1＝18，∴an＝18×＝2×33－n.
当q＝3时，a1＝，∴an＝×3n－1＝2×3n－3.
综上，当q＝时，an＝2×33－n；
当q＝3时，an＝2×3n－3.
(4)由2(an＋an＋2)＝5an＋1，得2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或，
由＝a10＝a1q9>0 a1>0，
又数列{an}递增，所以q＝2.
＝a10>0，∴(a1q4)2＝a1q9，∴a1＝q＝2，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
例3　【解析】　(1)因为an＝32－n(n＝1，2，3，…)，所以a1＝3，a2＝1，an－1＝33－n(n≥2)，则有＝＝(n≥2)，所以{an}为等比数列，且公比q＝，首项a1＝3.
(2)①由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)，
∴a1＝－.
又S2＝(a2－1)，即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.
②证明：当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，
得＝－.又a1＝－，
所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列．
(3)①证明：设cn＝an－1，则c1＝1，
＝＝＝2.
所以数列{an－1}是以1为首项，2为公比的等比数列．
②由①得cn＝2n－1，
所以an＝2n－1＋1.
【答案】　(1)C　(2)见解析　(3)见解析
跟踪训练3　解析：(1)∵2an＋1＝an，a1＝2，∴＝，
∴{an}是等比数列，公比为q＝.∴a6＝a1q5＝2×＝.
(2)证明：∵Sn＝2an＋1，
∴Sn＋1＝2an＋1＋1.
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an，∴an＋1＝2an，
又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0.
又由an＋1＝2an知an≠0，
∴＝2，∴{an}是等比数列．
∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.
答案：(1)　(2)见解析
例4　【解析】　(1)当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立；当“数列{an}是递增数列”时，可能是a1<0，01”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件．
(2)若等比数列{an}是递增数列，可得a1【答案】　(1)D　(2)B
跟踪训练4　解析：(1)由公比q<0可知，该等比数列是摆动数列．
(2)设等比数列{an}的公比为q，则a10，解得或此时数列{an}不一定是递增数列；若数列{an}为递增数列，可得或所以“a1答案：(1)D　(2)B第2课时　等比数列的性质
1.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．
2．体会等比数列与指数函数的关系．
新知初探·自主学习——突出基础性
教 材 要 点
知识点一　等比中项
(1)前提：三个数x，G，y成等比数列．
(2)结论：________叫做x，y的等比中项．
(3)满足的关系式：G2＝________．
状元随笔　任意两数都有等比中项吗？
[提示]　不是，只有同号的两数才有．
知识点二　“子数列”性质
对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为________，首项为________，公比为________；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为________，首项为________，公比为________．
知识点三　等比数列项的运算性质
在等比数列{an}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N＋)，则as·at＝________．
①特别地，当p＋q＝2s(p，q，s∈N＋)时，ap·aq＝________．
②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的________，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
知识点四　两个等比数列合成数列的性质
若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{an·bn}，也为________．
　基 础 自 测
1．已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5＝(　　)
A．± B．－
C． D．±
2．已知数列{an}是等比数列，且a3a5a7a9a11＝243，则a7＝________；若公比q＝，则a4＝________．
3．等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项为________．
4．若a，b，c既成等差数列，又成等比数列，则它们的公比为________．
　课堂探究·素养提升——强化创新性
　等比中项的应用
例1　已知a，－，b，－，c这五个数成等比数列，求a，b，c的值．
方法归纳
由等比中项的定义可知：＝ G2＝xy G＝±.这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．反之，若G2＝xy，则＝，即x，G，y成等比数列．所以x，G，y成等比数列 G2＝xy(xy≠0)．
跟踪训练1　若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为(　　)
A．± B．
C．1 D．±1
　等比数列性质的应用
例2　已知数列{an}为等比数列．
(1)将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，….此数列是(　　)
A．公比为q的等比数列
B．公比为q2的等比数列
C．公比为q3的等比数列
D．不一定是等比数列
(2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式．
(3)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求的值．
方法归纳
在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算．若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦．通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果．
跟踪训练2　(1)下列结论错误的是(　　)
A．有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积
B．当q>1时，{an}为递增数列
C．当q＝1时，{an}为常数列
D．当a1>0，q>1时，{an}为递增数列
(2)在等比数列{an}中，已知a4＋a7＝2，a5a6＝－8，求a1＋a10.
(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
　灵活设项求解等比数列
例3　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
方法归纳
合理地设出所求数中的三个数，根据题意再表示出另一个是解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d.
跟踪训练3　三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．
　等差、等比数列性质的综合应用
例4　设数列{an}是公比大于1的等比数列，已知a1＋a2＋a3＝7，且a1＋3，3a2，a3＋4构成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝ln a3n＋1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
方法归纳
应用等差、等比数列的定义解题永远是最基本的方法，
(1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式．
(2)方程思想的应用往往是破题的关键．
跟踪训练4　设数列{an}是公差d≠0的等差数列，且恰好构成等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，求数列{kn}的通项公式．
教材反思
1．本节课的重点是等比数列性质的应用，难点是等比数列性质的推导．
2．要重点掌握等比数列的常用性质：
(1)如果s＋t＝p＋q，则有asat＝apaq；
(2)如果2s＝＝ap·aq；
(3)若s，t，p成等差数列，as，at，ap成等比数列；
(4)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N＋)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列；
(5)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|；
(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝…
第2课时　等比数列的性质
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
(2)G　(3)xy
知识点二
等比数列　ak＋1　q　等比数列　ak　qk
知识点三
ap·aq　　积
知识点四
等比数列
[基础自测]
1．解析：在等比数列中＝a1·a5，所以a5＝＝.
答案：C
2．解析：{an}是等比数列，故a3a5a7a9a11＝＝243，故a7＝3，a4＝＝81.
答案：3　81
3．解析：a4＝a1q3＝×23＝1，
a8＝a1q7＝×27＝16，
∴a4与a8的等比中项为±＝±4.
答案：±4
4．解析：只有非零常数列才满足题意，所以公比q＝1.
答案：1
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　由题意知b2＝＝，∴b＝±.当b＝时，ab＝，解得a＝；
bc＝＝，解得c＝.
同理，当b＝－时，a＝－，c＝－.
综上所述，a，b，c的值分别为或－，－，－.
跟踪训练1　解析：∵1，a，3成等差数列，∴a＝＝2，
∵1，b，4成等比数列，∴b2＝1×4，b＝±2，∴＝＝±1.
答案：D
例2　【解析】　(1)由于＝＝q·q＝q2，n≥2且n∈N＋，
∴{anan＋1}是以q2为公比的等比数列，故选B.
＝a1a3代入已知，得＝8，∴a2＝2.
设前三项为，2，2q，则有＋2＋2q＝7.
整理，得2q2－5q＋2＝0，
∴q＝2或q＝.
∴或∴an＝2n－1或an＝23－n.
(3)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，
＝36，
∴(a3＋a5)2＝36，又∵an>0，∴a3＋a5＝6.
【答案】　(1)B　(2)见解析　(3)见解析
跟踪训练2　解析：(1)数列－2，－4，－8，－16，…其公比q＝2>1，但是一个递减数列，∴B选项错．
(2)因为数列{an}为等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8.
联立可解得或.
当时，q3＝－，故a1＋a10＝＋a7q3＝－7；
当时，q3＝－2，同理，有a1＋a10＝－7.
(3)根据等比数列的性质，得
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95＝310，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10
＝log3(a1a2…a9a10)
＝log395＝log3310＝10.
答案：(1)B　(2)见解析　(3)见解析
例3　【解析】　方法一　设四个数依次为a－d，a，a＋d，，
由条件得解得或
所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0，4，8，16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15，9，3，1.
故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
方法二　设四个数依次为－a，，a，aq(a≠0)，
由条件得解得或
当a＝8，q＝2时，所求四个数为0，4，8，16；
当a＝3，q＝时，所求四个数为15，9，3，1.
故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
跟踪训练3　解析：设三个数依次为，a，aq，
∵·a·aq＝512，∴a＝8.
∵＋(aq－2)＝2a，
∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝，
∴这三个数为4，8，16或16，8，4.
例4　【解析】　(1)由已知得
解得a2＝2.设数列{an}的公比为q.
由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q.
又a1＋a2＋a3＝7，可知＋2＋2q＝7，
即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.
由题意知q>1，所以q＝2，所以a1＝1.
故数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
(2)已知bn＝ln a3n＋1，n＝1，2，….
由(1)得a3n＋1＝23n，所以bn＝ln 23n＝3n ln 2.
又bn＋1－bn＝3ln 2，所以{bn}是等差数列．
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝
＝＝ln 2.
故Tn＝ln 2.
跟踪训练4　解析：由题意，得a1，a5，a17成等比数列，所以(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)．
又d≠0，所以a1＝2d，所以的公比q＝＝＝＝3.
在等差数列中＝a1＋(kn－1)d＝(kn＋1)d.在等比数列中＝a1qn－1＝a1·3n－1＝2d·3n－1，所以(kn＋1)·d＝2d·3n－1，即kn＝2·3n－1－1.第1课时　等比数列的前n项和
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．
2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．
新知初探·自主学习——突出基础性
教 材 要 点
知识点一　等比数列的前n项和公式
状元随笔　等比数列求和应注意什么？
[提示]　公比q是否等于1.
知识点二　等比数列前n项和公式的函数特征
(1)当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)．即Sn是关于n的指数型函数．
(2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数．
　基 础 自 测
1．求下列等比数列前8项的和：
(1)，…；
(2)a1＝27，a9＝，q<0.
2．在公比为整数的等比数列{an}中，a1－a2＝3，a3＝4，则{an}的前5项和为(　　)
A．10　　　B．　　　C．11　　　D．12
3．已知等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝(　　)
A．3 B．4 C． D．
4．若等比数列{an}的公比为，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为________．
　课堂探究·素养提升——强化创新性
　等比数列前n项和公式基本量的运算
例1　在等比数列{an}中．
(1)若q＝2，S4＝1，求S8；
(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5.
(3)在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比q＝________．
方法归纳
1．解答关于等比数列的基本运算问题，通常是利用a1，an，q，n，Sn这五个基本量的关系列方程组求解，而在条件与结论间联系不很明显时，均可用a1与q列方程组求解．
2．运用等比数列的前n项和公式要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程组时，通常用两式相除约分的方法进行消元．
跟踪训练1　在等比数列{an}中，其前n项和为Sn.
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.
　等比数列前n项和公式的函数特征应用
例2　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数，n∈N*)，则数列{an}(　　)
A．一定是等差数列
B．一定是等比数列
C．是等差数列或等比数列
D．既非等差数列，也非等比数列
(2)若将(1)题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k(n∈N*)，则实数k＝________．
方法归纳
(1)已知Sn，通过an＝求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列．
跟踪训练2　(1)设数列{an}的前n项和Sn＝4×3n－1－1(n∈N*)，则通项an＝________．
(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝－(n∈N*)，则x＝(　　)
A．　　B．－ C．　　D．－
　等比数列前n项和的灵活应用
考向一　等比数列的连续n项之和的性质
例3　在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
方法归纳
处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质．
跟踪训练3　设等比数列{an}前n项和为Sn，若S3＝8，S6＝24，则a10＋a11＋a12＝(　　)
A．32　　 B．64 C．72　　 D．216
考向二　等比数列的奇数项、偶数项之和的性质
例4　一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式．
方法归纳
(1)在等比数列{an}中若项数为偶数，则有S偶＝qS奇，且Sn＝S偶＋S奇．
(2)解题时要注意观察序号之间的联系，发现解题契机，注意应用整体的思想．
跟踪训练4　一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．
　等比数列前n项和的实际应用
例5　小华准备购买一部售价为5 000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．(参考数据：1.00812≈1.10)
方法归纳
(1)实际生活中的增长率问题，分期付款问题等都是等比数列问题；
(2)解决此类问题的关键是由实际情况抽象出数列模型，利用数列知识求解．
跟踪训练5　一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟内，它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？
教材反思
1．本节课的重点是等比数列前n项和公式的基本运算．
2．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．
3．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．
4．注意等比数列前n项和公式的灵活运用．
5．了解等比数列前n项和公式的函数特征．
第1课时　等比数列的前n项和
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
na1　　na1　
[基础自测]
1．解析：(1)因为a1＝，q＝，
所以S8＝＝.
(2)由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8.
又由q<0，可得q＝－，
所以S8＝＝＝＝.
2．解析：设公比为q(q∈Z)，则a1－a2＝a1－a1q＝3，a3＝a1q2＝4，求解可得q＝－2，a1＝1，则{an}的前5项和为＝11.
答案：C
3．解析：易知等比数列{an}的首项为a1，则＝＝.
答案：C
4．解析：令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，则S100＝X＋Y，由等比数列前n项和性质知＝q＝，所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80.
答案：80
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)方法一　设首项为a1，
∵q＝2，S4＝1，
∴＝1，即a1＝，
∴S8＝＝＝17.
方法二　∵S4＝＝1，且q＝2，
∴S8＝＝(1＋q4)＝S4·(1＋q4)＝1×(1＋24)＝17.
(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得即
∵a1≠0，1＋q2≠0，∴②÷①得，q3＝，即q＝，
∴a1＝8.
∴a4＝a1q3＝8×＝1，
S5＝＝＝.
(3)∵S3＝＝＝26，∴q2＋q－12＝0，
∴q＝3或－4.
【答案】　(1)见解析　(2)见解析　(3)3或－4
跟踪训练1　解析：(1)由题意知
解得或
从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝.
(2)设{an}的公比为q，由S4＝1，S8＝17知q≠1，
所以
①÷②得＝，
解得q＝±2，
所以或.
所以an＝或an＝.
例2　【解析】　(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1；当n＝1时，a1＝a－1，满足上式．∴an＝(a－1)·an－1，n∈N*.∴＝a，∴数列{an}是等比数列．
(2)∵Sn＝3n＋1－2k＝3·3n－2k，且{an}为等比数列，∴3－2k＝0，即k＝.
【答案】　(1)B　(2)
跟踪训练2　解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝4－1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4×3n－1－1－4×3n－2＋1＝8×3n－2.∴an＝
(2)方法一　∵Sn＝x·3n－1－＝·3n－，
由Sn＝A(qn－1)，得＝，∴x＝，故选C.
方法二　当n＝1时，a1＝S1＝x－；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2，∵{an}是等比数列，∴n＝1时也应适合an＝2x·3n－2，即2x·3－1＝x－，解得x＝.
答案：(1)　(2)C
例3　【解析】　方法一　∵S2n≠2Sn，∴q≠1，
由已知得
②÷①得1＋qn＝，即qn＝，③
③代入①得＝64，
∴S3n＝＝64(1－)＝63.
方法二　∵{an}为等比数列，显然公比不等于－1，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，
∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
∴S3n＝＋S2n＝＋60＝63.
跟踪训练3　解析：由于S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，S3＝8，S6－S3＝16，故其公比为2，所以S9－S6＝32，a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64.
答案：B
例4　【解析】　设数列{an}的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇，S偶，由题意，知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．
∵数列{an}的项数为偶数，∴q＝＝.
又a1·a1q·a1q2＝·q3＝64，即a1＝12.
故所求通项公式为an＝12×()n－1，n∈N＋.
跟踪训练4　解析：方法一　设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N＋)．
由已知a1＝1，q≠1，有
由②÷①，得q＝2，∴＝85，4n＝256，∴n＝4.
故公比为2，项数为8.
方法二　∵S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)q＝S奇·q，
∴q＝＝＝2.
又Sn＝85＋170＝255，Sn＝，得＝255，
∴2n＝256，∴n＝8.即公比q＝2，项数n＝8.
例5　【解析】　方法一　设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak元，则
A2＝5 000×(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0082－x，
A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0084－1.0082x－x，
…，
A12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，
解得x＝
＝≈883.5(元)．
故小华每期付款金额约为883.5元．
方法二　设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及利息为Ak元，则
A2＝x；
A4＝A2(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082)；
A6＝A4(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082＋1.0084)；
…
A12＝x(1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810)．
∵年底付清欠款，∴A12＝5 000×1.00812，
即5 000×1.00812＝)，
∴x＝≈883.5(元)．
故小华每期付款金额约为883.5元．
跟踪训练5　解析：用an表示热气球在第n分钟内上升的高度，
由题意，得an＋1＝an；
因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．
热气球在前n分钟内上升的总高度
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝125×[1－]<125，
即这个热气球上升的高度不可能超过125 m．第2课时　特殊数列的前n项和
1.熟练应用等差、等比数列前n项和公式的性质解题．
2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差、等比关系，并解决相应的问题．
新知初探·自主学习——突出基础性
教 材 要 点
1.分组求和法
若数列{an}的通项公式为an＝cn±bn，其中{cn}与{bn}是等差(比)数列或可以直接求和的数列，则一般利用分组求和法求{an}的前n项和．
2．错位相减法
(1)推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法；
(2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法．
3．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
常见的裂项求和的形式：
①＝)；
②＝)；
③＝；
④＝]；
⑤＝；
⑥ln (1＋)＝ln (n＋1)－ln n．
4．并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
并项求和法适用的题型
一般地，对于摆动数列适用于并项求和，此类问题需要对项数的奇偶性进行分类讨论，有些摆动型的数列也可采用分组求和．
5．倒序相加法求和适合的题型
一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前n项和公式的方法，倒序相加求和．
　基 础 自 测
1．等比数列1，a，a2，a3，…(a≠0)的前n项和Sn＝(　　)
A． B．
C． D．
2．已知数列{bn}为等比数列，且首项b1＝1，公比q＝2，则数列{b2n－1}的前10项的和为(　　)
A．×(49－1) B．×(410－1)
C．×(49－1) D．×(410－1)
3．数列1，3，5，7…的前n项和Sn为(　　)
A．n2＋1－ B．n2＋2－
C．n2＋1－ D．n2＋2－
4．已知数列an＝(n∈N*)，求{an}的前n项和Sn.
　课堂探究·素养提升——强化创新性
　分组求和法
例1　已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．
状元随笔　(1)求出等比数列{bn}的公比，再求出a1，a14的值，根据等差数列的通项公式求解．
(2)根据等差数列和等比数列的前n项和公式求数列{cn}的前n项和．
方法归纳
分组转化法求和的常见类型
1．若an ＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和．
2．通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
跟踪训练1　已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝2(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)已知数列{bn}满足b1＝－，b2＝－，设cn＝an＋bn，若数列{cn}为等比数列，求数列{bn}的前n项和Sn.
　错位相减法求和
【思考探究】
1．由项数相等的等差数列{n}与等比数列{2n}相应项的积构成新的数列{n·2n}是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n项和Sn的表达式是什么？
[提示]　由等差数列及等比数列的定义可知数列{n·2n}既不是等差数列，也不是等比数列．该数列的前n项和Sn的表达式为Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.
2．在等式 Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n两边同乘以数列{2n}的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求Sn的问题转化为等比数列的前n项和问题吗？
[提示]　在等式Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①
两边同乘以{2n}的公比可变形为
2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②
②－①得：Sn＝－1·21－22－23－24－…－2n＋n·2n＋1＝－(21＋22＋23＋…＋2n)＋n·2n＋1.
此时可把求Sn的问题转化为求等比数列{2n}的前n项和问题．我们把这种求由一个等差数列{an}和一个等比数列{bn}相应项的积构成的数列{anbn}前n项和的方法叫错位相减法．
例2　求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．
方法归纳
错位相减法的适用范围及注意事项
1．适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和．
2．注意事项：(1)利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错位对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式．
(2)利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况．
跟踪训练2　＋…＋＝________．
　裂项相消法
例3　已知等差数列{an}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前10项和S10＝100.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
方法归纳
常见的裂项求和的注意点
(1)裂项前要先研究分子与分母的两个因式的差的关系；
(2)若相邻项无法相消，则采用裂项后分组求和，即正项一组，负项一组；
(3)检验所留的正项与负项的个数是否相同．
(4)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止．
(5)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
跟踪训练3　设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S3＝a7，a8－2a3＝3.
(1)求an；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
　并项求和
例4　已知数列an＝(－1)nn，求数列{an}的前n项和Sn.
延伸探究　若an＝(－1)nn2，求数列{an}的前n项和Sn.
方法归纳
并项求和法适用的题型
一般地，对于摆动数列适用于并项求和，此类问题需要对项数的奇偶性进行分类讨论，有些摆动型的数列也可采用分组求和．
跟踪训练4　若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n＋1·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a2 021＝(　　)
A．－3 027 B．3 027
C．－3 031 D．3 031
　倒序相加法求和
例5　已知正项数列{an}是公比不等于1的等比数列，且lg a1＋lg a2 021＝0，若f(x)＝，则f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2 021)＝(　　)
A．2 020 B．4 036
C．2 021 D．4 038
方法归纳
倒序相加法求和适合的题型
一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前n项和公式的方法，倒序相加求和．
跟踪训练5　在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可以求得sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________．
教材反思
1．牢记1个知识点
等差、等比数列的前n项和公式．
2．掌握5种方法
(1)分组求和法；(2)错位相减法；(3)列项相消法；(4)并项法；(5)倒序相加法．
3．注意2个易错点
(1)运用等比数列求和性质解题时，忽视性质成立的条件出现失误．
(2)错误地使用等比数列前n项和的性质致错．
第2课时　特殊数列的前n项和
新知初探·自主学习
[基础自测]
1．解析：当a＝1时，Sn＝n；当a≠1时，Sn＝.
答案：C
2．解析：数列{b2n－1}中的项是数列{bn}中的所有奇数项，已知数列{bn}为等比数列，故其所有的奇数项也构成等比数列，公比为4，首项为1，则其前10项的和为＝.
答案：D
3．解析：数列1，3，5，7…的通项公式为an＝2n－1＋，所以Sn＝(1＋)＋(3＋)＋(5＋)＋(7＋)＋…＋(2n－1＋)＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(＋…＋)＝＝n2＋1－.
答案：C
4．解析：an＝＝，
Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝(1－)＋()＋…＋()
＝1－＝.
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)等比数列{bn}的公比q＝＝＝3，
所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27.
设等差数列{an}的公差为d.
因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，
所以1＋13d＝27，即d＝2.
所以an＝2n－1(n＝1，2，3，…)．
(2)由(1)知，an＝2n－1，bn＝3n－1.
因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.
从而数列{cn}的前n项和
Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1
＝＝n2＋.
跟踪训练1　解析：(1)数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝2，
所以数列{an}是等差数列，且首项为1，公差为2，
因此，an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)由已知可得c1＝a1＋b1＝1－＝，c2＝a2＋b2＝3－＝，
所以等比数列{cn}的公比为q＝＝，
所以an＋bn＝cn＝c1qn－1＝，
所以bn＝cn－an＝－(2n－1)，
因此，Sn＝(－1)＋(－3)＋(－5)＋…＋[－(2n－1)]
＝(＋…＋)－[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]
＝＝1－n2－.
例2　【解析】　当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝；
当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1
＝－nxn＋1，
∴Sn＝.
综上可得，Sn＝
跟踪训练2　解析：令Sn＝＋…＋，①
则Sn＝＋…＋，②
由①－②得，Sn＝＋…＋＝，
得Sn＝2－＝.
答案：
例3　【解析】　(1)由已知得
解得
所以数列{an}的通项公式为an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)bn＝＝)，
所以Tn＝(1－＋…＋)
＝(1－)＝.
跟踪训练3　解析：(1)设数列{an}的公差为d，
由题意得
解得a1＝3，d＝2，
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1.
(2)由(1)得Sn＝na1＋d＝n(n＋2)，
∴bn＝＝)．
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn
＝[(1－)＋()＋…＋()＋()]
＝(1＋)
＝)．
例4　【解析】　若n是偶数，则Sn＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋[－(n－1)＋n]＝.
若n是奇数，则Sn＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋(－n)＝－n＝－.
综上所述，Sn＝n∈N＋.
延伸探究　解析：若n是偶数，Sn＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋[－(n－1)2＋n2]＝3＋7＋11＋…＋2n－1，共有项，
故Sn＝×3＋×4＝，
若n是奇数，Sn＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋(－n2)＝3＋7＋11＋…＋(－n2)，
其中有前项是等差数列，
故有Sn＝×3＋×4－n2＝－，
综上所述，Sn＝n∈N＋.
跟踪训练4　解析：S2 021＝(1－4)＋(7－10)＋…＋(6 055－6 058)＋6 061＝1 010×(－3)＋6 061＝3 031.
答案：D
例5　【解析】　∵正项数列{an}是公比不等于1的等比数列，且lg a1＋lg a2 021＝0，∴lg (a1·a2 021)＝0，即a1·a2 021＝1.∵函数f(x)＝，∴f(x)＋f＝＝＝2.令T＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2 021)，则T＝f(a2 021)＋f(a2 020)＋…＋f(a1)，∴2T＝f(a1)＋f(a2 021)＋f(a2)＋f(a2 020)＋…＋f(a2 021)＋f(a1)＝2×2 021，
∴T＝2 021.
【答案】　C
跟踪训练5　解析：令S＝sin21°＋sin22°＋…＋sin289°，则S＝sin289°＋sin288°＋…＋sin21°，两式相加可得2S＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin289°＋sin21°)＝89，故S＝，即sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝.
答案：

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