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4．1.1　条件概率
[课标解读]　结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率．
【教材要点】
知识点一　条件概率的概念
名称 定义 符号表示 计算公式
条件 概率 一般地，当事件A发生的概率大于0时(即P(A)>0)，对于任何两个事件A和B，在已知事件A________的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率． ________ P(B|A)＝__________，__________
状元随笔P (B |A)和P (A |B)的意义相同吗？为什么？
[提示]　P (B |A)是指在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，而P (A |B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，因此P (B |A)和P (A |B)的意义不同．
知识点二　条件概率的性质
(1)0≤P(A|B)≤1；
(2)P(A|A)＝________；
(3)如果B与C互斥，
则P(B∪C|A)＝________________．
(4)设事件与B互为对立事件，
则P(|A)＝________．
知识点三　计算条件概率的方法
(1)若事件为古典概型，可利用公式P(B|A)＝，即在缩小后的样本空间中计算事件B发生的概率．
(2)在原样本空间Ω中，先计算P(A∩B)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝计算求得P(B|A).
【基础自测】
1．设A，B为两个事件，且P(A)>0，若P(A∩B)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝(　　)
A．　　　 B． C．　　　 D．
2．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(A∩B)等于(　　)
A．　　　 B． C．　　 D．
3．从生物学中我们知道，生男、生女的概率基本是相等的，都可以近似地认为是，如果某个家庭中先后生了两个小孩，当已知较大的小孩是女孩的条件下，较小的小孩是男孩的概率是________．
4．设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．
题型1　利用定义求条件概率
例1　一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B.
(1)分别求事件A，B，A∩B发生的概率；
(2)求P(B|A).
状元随笔　首先弄清“这次试验”指的是什么，然后判断该问题是否属于古典概型，最后利用相应公式求解．
方法归纳
1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤
(1)分析题意，弄清概率模型；
(2)计算P(A)，P(A∩B)；
(3)代入公式求P(B|A)＝.
2．在本例中，首先结合古典概型分别求出事件A，B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系．
跟踪训练1　甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(A∩B)＝0.12，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________．
题型2　利用古典概型公式(缩小样本空间的方
法)求条件概率
例2　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
状元随笔　第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解．
方法归纳
1．本题第(3)问有两种求条件概率的方法，方法一为定义法，方法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法．
2．计算条件概率的方法
(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即 P(B|A)＝.
(2)在原样本空间Ω中，先计算P(A∩B)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝计算求得P(B|A).
(3)条件概率的算法：已知事件A发生，在此条件下事件B发生，即事件A∩B发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算事件A∩B发生的概率，即
P(B|A)＝＝＝.
跟踪训练2　(1)本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率．
(2)一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表：
等级厂别数量 甲厂 乙厂 合计
合格品 475 644 1 119
次品 25 56 81
合计 500 700 1 200
先求基本事件的概率，再依据条件概率的计算公式计算．
①从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是________；
②已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是________．
题型3　条件概率性质的应用(逻辑推理、数学运算、数学建模)
例3　先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，求第二枚出现“大于4点”的概率？
【思考探究】
1．掷一枚质地均匀的骰子，有多少个基本事件？它们之间有什么关系？随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件？
[提示]　掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个，它们彼此互斥．“大于4的点”包含“5点”“6点”两个基本事件．
2．“先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中，已知第一枚出现4点，则第二枚出现“大于4”的事件，包含哪些基本事件？
[提示]　“第一枚4点，第二枚5点”“第一枚4点，第二枚6点”．
方法归纳
1．分解计算，代入求值，为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．
2．利用条件概率的性质求概率
若事件B，C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，即为了求得比较复杂事件的概率，往往可以先把它分解成两个(或若干个)互斥的较简单事件，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．
跟踪训练3　在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中的5道题就获得优秀，已知某考生能答对20道题中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率．
【教材反思】
4．1　条件概率与事件的独立性
4．1.1　条件概率
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
发生　P(B|A)　　P(A)>0
知识点二
1　P(B|A)＋P(C|A)　1－P(B|A)
[基础自测]
1．解析：由P(B|A)＝＝＝，故选A.
答案：A
2．解析：由P(B|A)＝，得P(A＝P(B|A)·P(A)＝＝.
答案：C
3．解析：如果用(F，M)表示较大的小孩是女孩，较小的小孩是男孩，则样本空间可以表示为
Ω＝{(F，M)，(F，F)，(M，F)，(M，M)}．
“较大的小孩是女孩”对应的是A＝{(F，M)，(F，F)}，“较小的小孩是男孩”对应的是B＝{(F，M)，(M，M)}，从而“已知较大的小孩是女孩的条件下，较小的小孩是男孩”的概率为：P(B|A)＝＝.
答案：
4．解析：根据条件概率公式知P＝＝0.5.
答案：0.5
课堂探究·素养提升
例1　解析：(1)由古典概型的概率公式可知P(A)＝，
P(B)＝＝＝，
P(A∩B)＝＝.
(2)根据条件概率的计算公式可知P(B|A)＝＝＝.
跟踪训练1　解析：由公式可得P(A|B)＝＝，P(B|A)＝＝.
答案：
例2　解析：设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件A∩B
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝＝30，
根据分步计数原理n(A)＝＝20，于是P(A)＝＝＝.
(2)因为n(A∩B)＝＝12，于是P(A∩B)＝＝＝.
(3)方法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
P(B|A)＝＝＝.
方法二：因为n(A∩B)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|A)＝＝＝.
跟踪训练2　解析：(1)设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到语言类节目为事件C，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件A∩C.
n(A)＝＝20，
n(A∩C)＝＝8，
∴P(C|A)＝＝＝.
(2)①从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是＝.
②方法一：已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是＝.
方法二：设A＝“取出的产品是甲厂生产的”，B＝“取出的产品为甲厂的次品”，则P(A)＝，P(A∩B)＝，所以这件产品恰好是甲厂生产的次品的概率是P(B|A)＝＝.
答案：(1)见解析　(2)①　②
例3　解析：设第一枚出现4点为事件A，第二枚出现5点为事件B，第二枚出现6点为事件C.则所求事件为B∪C|A.
∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＝.
跟踪训练3　解析：设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道题答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，而另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B.
由古典概型计算概率的公式及概率的加法公式可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝，
P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，
P(E|D)＝P(A＝P(A|D)＋P(B|D)＝＝＝.故所求的概率为.4．1.2　乘法公式与全概率公式
[课标解读]　1.结合古典概型，会利用乘法公式计算概率.2.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率．了解贝叶斯公式．
【教材要点】
知识点一　两个事件A、B同时发生的概率乘法公式
若P(B)>0，则P(AB)＝P(B)P(A|B)，或P(AB)＝P(A)P(B|A)
知识点二　全概率公式
(1)一般地，如果样本空间为Ω，而A，B为事件，则BA与B是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋)＝BA＋B，从而P(B)＝P(BA＋B)＝P(BA)＋P(B)，当P(A)>0且P()>0时，有P(B)＝________________．
(2)定理1
若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均________，即AiAj＝ ，i，j＝1，2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝________；
③P(Ai)＞0 (i＝1，2，…，n).
则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，
且P(B)＝________．
知识点三　贝叶斯公式(选学内容)
1．与全概率公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因．
2．一般地，当1＞P(A)＞0且P(B)＞0时，有P(A|B)＝＝.这称为贝叶斯公式．
【基础自测】
1．已知P(B)＝，P(A|B)＝，则P(AB)＝(　　)
A． B．
C． D．
2．已知某学校中，经常参加体育锻炼的学生占0.6，而且在经常参加体育锻炼的学生中，喜欢篮球的占0.3.从这个学校的学生中任意抽取一人，则抽到的学生经常参加体育锻炼而且喜欢篮球的概率是多少？
3．(教材例题改编)为加强对新型冠状病毒预防措施的落实，学校决定对甲、乙两个班的学生进行随机抽查．已知甲、乙两班的人数之比为5∶4，其中甲班女生占，乙班女生占，则学校恰好抽到一名女生的概率为(　　)
A．　　　B. C. 　　　D.
4．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率．
题型1　概率乘法公式的应用
例1　设有1 000件产品，其中850件是正品，150件是次品，从中依次抽取2件，两件都是次品的概率是多少？(精确到0.000 1)
方法归纳
已知事件A的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A、B同时发生的概率．
跟踪训练1　在某大型商场促销抽奖活动中，甲、乙两人先后进行抽奖前，还有60张奖券，其中有6张中奖奖券．假设抽完的奖券不放回，甲抽完以后乙再抽，求：
(1)甲中奖而且乙也中奖的概率；
(2)甲没中奖而且乙中奖的概率；
(3)乙中奖的概率．
题型2　全概率公式的应用
例2　已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球．求下列事件的概率：
(1)随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；
(2)合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球．
方法归纳
全概率公式，本质上是将样本空间分成互斥的两部分或几部分后，再根据互斥事件的概率加法公式而得到．
跟踪训练2　已知市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，
(1)求从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率．
(2)市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂的合格率是80%.若用事件A，分别表示甲、乙两厂的产品，B表示产品为合格品．求市场上买一个灯泡的合格率．
题型3　贝叶斯公式的应用(选学)
例3　某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，并随机取一件，如果取到的一件产品是次品，分别求这一产品是甲、乙、丙生产的概率．(精确到0.001)
方法归纳
贝叶斯公式可以看成要根据事件发生的结果找原因，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，看看这一结果有各种可能原因导致的概率是多少．
跟踪训练3　设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率．
4．1.2　乘法公式与全概率公式
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点二
(1)P(A)P(B|A)＋P()P(B|)　(2)互斥　Ω　
＝
[基础自测]
1．解析：由乘法公式得，P(AB)＝P(B)P(A|B)＝＝.
答案：C
2．解析：从这个学校的学生中任意抽取一人，则抽到经常参加体育锻炼的学生的事件为A，抽到喜欢篮球的学生为B，则P(A)＝0.6，P(B|A)＝0.3，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.18.
3．解析：设A：抽到一名学生是甲班的，
B：是女生，则P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，所以由全概率公式可知，
P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P()·P(B|)＝＝.
答案：C
4．解析：设B＝{从仓库中随机提出的一台是合格品}，
Ai＝{提出的一台是第i车间生产的}，i＝1，2，
则有B＝A1B
由题意P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88，
由全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868.
课堂探究·素养提升
例1　解析：设 Ai 表示“第 i 次抽到的是次品”(i＝1，2)，所求概率为P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝·≈0.022 4.
跟踪训练1　解析：方法一：设A：甲中奖，B：乙中奖，则P(A)＝＝，P(B|A)＝，P()＝，P(B|)＝，所以，
(1)甲中奖而且乙也中奖的概率P(BA)＝P(A)·P(B|A)＝＝.
(2)甲没中奖而乙中奖的概率P(B)＝P()·P(B|)＝＝.
(3)P(B)＝P(BA＋B)＝P(BA)＋P(B)＝＝.
方法二：(1)甲中奖而且乙也中奖的概率为＝＝.
(2)甲没中奖而乙中奖的概率为＝＝.
(3)乙中奖的概率为＝.
例2　解析：(1)记B＝{该球是红球}，A1＝{取自甲袋}，A2＝{取自乙袋}，已知P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝＝.
(2)P(B)＝＝.
跟踪训练2　解析：(1)记A为“甲厂产品”，B为“合格产品”，
则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，
所以P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.
(2)B＝AB＋B且AB与B互不相容．
P(B)＝P(AB＋B)＝P(AB)＋P(B)
＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)
＝0.7×0.95＋0.3×0.8＝0.905.
例3　解析：设 A1表示“产品来自甲台机床”，A2表示“产品来自乙台机床”，A3表示“产品来自丙台机床”，B表示“取到次品”．根据贝叶斯公式有：
P(A1|B)＝≈0.362，
P(A2|B)＝≈0.406，
P(A3|B)＝≈0.232.
跟踪训练3　解析：设B＝{中途停车修理}，A1＝{经过的是货车}，A2＝{经过的是客车}，则B＝A1B由贝叶斯公式有：
P(A1|B)＝＝＝0.80.4．1.3　独立性与条件概率的关系
[课标解读]　1. 结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系.2.能够结合具体实例，理解随机事件的独立性和条件概率的关系．
【教材要点】
知识点一　两个事件独立的直观理解
若事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，事件B是否发生对事件A发生的概率也没有影响，则称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做____________．且A，B为两个事件独立的充要条件是P(AB)＝P(A)·P(B).
知识点二　独立性与条件概率的关系
设A，B为两个事件，A，B独立的充要条件是P(B|A)＝P(B)，(P(A|B)＝P(A))即若事件B发生的概率与已知事件A发生时事件B发生的概率相等，即事件A发生，不会影响事件B发生的概率，则称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做____________．
知识点三　相互独立事件的概率的乘法公式
若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B), P(A|B)＝P(A)，
此时概率的乘法公式可简化为： P(AB)＝P(A)·P(B).
知识点四　n个事件相互独立也可借助条件概率来理解
对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受________________的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．
知识点五　n个相互独立事件的概率公式
如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于______________________，即P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)，
并且上式中任意多个事件Ai换成其对立事件后等式仍成立．
【基础自测】
1．下列说法不正确的有(　　)
A．对事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，则事件A与B相互独立
B．若事件A，B相互独立，则P(∩)＝P()×P()
C．如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)
D．若事件A与B相互独立，则B与相互独立
2．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一个反面向上}，则A与B的关系是(　　)
A．互斥事件 B．对立事件
C．相互独立事件 D．不相互独立事件
3．袋内有大小相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，用B表示“第二次摸到白球”，则A与B是(　　)
A．互斥事件 B．相互独立事件
C．对立事件 D．非相互独立事件
4．明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________.
题型1　相互独立事件的判断
例1　判断下列各对事件是否是相互独立事件．
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．
状元随笔
(1)利用独立性概念的直观解释进行判断. (2)计算“从8个球中任取一球是白球”发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行判断. (3)利用事件的独立性定义式判断．
方法归纳
判断事件是否相互独立的方法
1．定义法：事件A，B相互独立 P(A∩B)＝P(A)·P(B).
2．由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
3．条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．
跟踪训练1　(1)下列事件中，A，B是相互独立事件的是(　　)
A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
D．A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁”
(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　)
A．相互独立但不互斥
B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥
D．既不相互独立也不互斥
题型2　相互独立事件发生的概率
例2　面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是，，.求：
(1)他们都研制出疫苗的概率；
(2)他们都失败的概率；
(3)他们能够研制出疫苗的概率．
状元随笔
→→
方法归纳
1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．
2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．
跟踪训练2　一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：
(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；
(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．
题型3　事件的相互独立性与互斥性
【思考探究】
1．甲、乙二人各进行一次射击比赛，记A＝“甲击中目标”，B＝“乙击中目标”，试问事件A与B是相互独立事件，还是互斥事件？事件∩B与A∩呢？
[提示]　事件A与B，与B，A与均是相互独立事件，而∩B与A∩是互斥事件．
2．在1中，若甲、乙二人击中目标的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人击中目标的概率？
[提示]　“甲、乙二人恰有1人击中目标”记为事件C，则C＝∩B＋A∩.
所以P(C)＝P(∩B＋A∩)＝P(∩B)＋P(A∩)
＝P()·P(B)＋P(A)·P()
＝(1－0.6)×0.6＋0.6×(1－0.6)＝0.48.
3．由1、2，你能归纳出相互独立事件与互斥事件的区别吗？
[提示]　相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件 互斥事件
条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件
符号 相互独立事件A，B同时发生，记作：AB 互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B (或A ＋B)
计算公式 P(A∩B)＝P(A)P(B) P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
例3　红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立．求：
(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；
(2)求红队至少两名队员获胜的概率．
状元随笔　弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的，及这些事件间的关系，然后选择相应概率公式求值．
方法归纳
1．本题(2)中用到直接法和间接法．当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法．
2．求复杂事件的概率一般可分三步进行：
(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；
(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；
(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．
跟踪训练3　[2022·北京丰台区高二月考]抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B＝“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为(　　)
A．互斥 B．相互对立
C．相互独立 D．相等
4．1.3　独立性与条件概率的关系
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
相互独立事件
知识点二
相互独立事件
知识点四
其他事件是否发生
知识点五
每个事件发生的概率的积
[基础自测]
1．解析：若P(B|A)＝P(B)，则P(A∩B)＝P(A)·P(B)，故A，B相互独立，所以A正确；若事件A，B相互独立，则也相互独立，故B正确；若事件A，B相互独立，则A发生与否不影响B的发生，故C正确；B与相互对立，不是相互独立，故D错误．
答案：D
2．解析：由已知，有P(A)＝1－＝，P(B)＝1－＝，P(AB)＝，满足P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A与事件B相互独立，故选C.
答案：C
3．解析：根据互斥事件、对立事件及相互独立事件的概念可知，A与B不是相互独立事件．
答案：D
4．解析：设两个闹钟至少有一个准时响的事件为A，
则P(A)＝1－(1－0.80)(1－0.90)
＝1－0.20×0.10＝0.98.
答案：0.98
课堂探究·素养提升
例1　解析：(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，AB＝{6}，
∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝.
∴P(AB)＝P(A)·P(B)，
∴事件A与B相互独立．
跟踪训练1　解析：(1)把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A项是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；D是条件概率，事件B受事件A的影响．故选A.
(2)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．故选A.
答案：(1)A　(2)A
例2　解析：令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)他们都研制出疫苗，即事件A，B，C同时发生，故
P(A∩B∩C)＝P(A)×P(B)×P(C)＝＝.
(2)他们都失败即事件同时发生，
故P(∩∩)＝P()×P()×P()
＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C))
＝
＝＝.
(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率
P＝1－P(∩∩)＝1－＝.
跟踪训练2　解析：记“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球”的事件为C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事件．
(1)P(A∩B)＝P(A)P(B)＝＝＝，
故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是.
(2)P(C∩A)＝P(C)P(A)＝＝·＝.
故第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是.
例3　解析：设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，
则分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．
因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，
由对立事件的概率公式知P()＝0.4，P()＝0.5，P()＝0.5.
(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有D ∩∩，∩∩，∩∩F，以上3个事件彼此互斥且独立．
∴红队有且只有一名队员获胜的概率
P1＝P[(D ∩∩∪∩E∩∪∩∩F)]
＝P(D∩∩)＋P(∩∩)＋P∩∩
＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35.
(2)方法一：红队至少两人获胜的事件有：D∩E∩，D∩∩∩E∩F，D∩E∩F.
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，
因此红队至少两人获胜的概率为
P＝P(D∩E∩)＋P(D∩∩F)+P∩E∩F)+P(D∩E∩F)
＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.
方法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件，且P(∩∩)＝0.4×0.5×0.5＝0.1.
∴红队至少两人获胜的概率为
P2＝1－P1－P(∩∩)＝1－0.35－0.1＝0.55.
跟踪训练3　解析：显然事件A和事件B不相等，故D错误，由于事件A与事件B能同时发生，所以不为互斥事件，也不为对立事件，故AB错误；因为事件A是否发生与事件B无关，事件B是否发生也与事件A无关，故事件A和事件B相互独立，故C正确．
答案：C

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