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4．2　随机变量
4．2.1　随机变量及其与事件的联系
[课标解读]　1. 通过具体实例，了解离散型随机变量的概念.2.引导学生通过具体实例，理解可以用随机变量更好地刻画随机现象，感悟随机变量与随机事件的关系.3.理解离散型随机变量在描述随机现象中的作用．
【教材要点】
知识点一　随机变量的概念
1．定义：一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量．
2．表示：随机变量常用大写字母________，________，Z…或小写希腊字母ξ，ζ，η…表示．
3．随机变量的取值范围：随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围．
4．随机变量的取值与随机试验的结果的关系：随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果，试验的结果对应着随机变量的值，即随机变量的取值由随机试验的结果决定．
5．随机变量的分类：
(1)离散型随机变量：随机变量的所有可能取值可以一一列举出来．
(2)连续型随机变量：随机变量的取值范围包含一个区间，不能一一列举出来．
知识点二　用随机变量表示事件
一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X＝a，X≤b，X>b等都表示事件，而且：
(1)当a≠b时，事件X＝a与X＝b互斥；
(2)事件X≤a与X>a相互对立，因此P(X≤a)＋P(X>a)＝1.
状元随笔　用随机变量表示事件与事件的概率时，有时可不写出样本空间．
知识点三　随机变量之间的关系
一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量．由于X＝t的充要条件是Y＝at＋b，因此P(X＝t)＝P(Y＝at＋b).
【基础自测】
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)随机变量的取值只能是有限个．(　　)
(2)试验之前不能判断离散型随机变量的所有值．(　　)
(3)随机变量是用来表示不同试验结果的量．(　　)
2．在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有________个取值(　　)
A．2　　　 B．4 C．6　　　 D．7
3．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是________．
4．甲进行3次射击，甲击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为________．
题型1　随机变量的概念
例1　下列变量中，不是随机变量的是(　　)
A．一射击手射击一次命中的环数
B．标准状态下，水沸腾时的温度
C．抛掷两枚骰子，所得点数之和
D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数
方法归纳
随机变量的辨析方法
1．随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．
2．随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．
跟踪训练1　10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是(　　)
A．取到产品的件数 B．取到正品的概率
C．取到次品的件数 D．取到次品的概率
题型2　离散型随机变量的判定
例2　①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X；
②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；
③体积为1 000 cm3的球的半径长；
④一个在数轴上随机运动的质点，它离原点的距离记为X.
其中是离散型随机变量的是(　　)
A．①②　　 B．①③
C．①④　　 D．①②④
【方法归纳】
“三步法”判定离散型随机变量
1．依据具体情境分析变量是否为随机变量．
2．由条件求解随机变量的值域．
3．判断变量的取值能否被一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量．
跟踪训练2　下列问题中的X不是离散型随机变量的是(　　)
A．某座大桥一天经过的中华轿车的车辆数X
B．某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数X
C．一天内的温度X
D．射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分
题型3　随机变量的可能取值与事件的对应关系
【思考探究】　
1．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？
[提示]　可以．用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．
2．在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X，则X可取哪些数字？
[提示]　X＝0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.
3．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为ξ，则“ξ≥4”表示的随机事件是什么？
[提示]　“ξ≥4”表示出现的点数为4点，5点，6点．
例3　写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的事件．
(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；
(2)从标有1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．
　→→
方法归纳
用随机变量表示事件
问题的关键点和注意点
(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果．
(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．
跟踪训练3　写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)在2018年北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；
(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．
题型4　随机变量之间的关系
例4　袋中有4个红球、3个黑球，从袋中随机取球，若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．
(1)设取得红球个数为X，求X的所有取值；
(2)设得分为Y，写出X与Y之间的关系式．
方法归纳
先求随机变量X的取值及相应概率，再求随机变量X与Y的关系(Y＝at＋b，a，b为常数).
跟踪训练4　在一次比赛中需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分．
(1)设选手甲正确回答这三个问题的个数为X，则X的取值是多少？
(2)选手甲回答这三个问题的总得分Y的所有可能取值是多少？
(3)若P(X>1)＝0.6，求P(Y≤－100).
4．2　随机变量
4．2.1　随机变量及其与事件的联系
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
X　Y
[基础自测]
1．解析：(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．
(2)试验之前可以判断离散型随机变量的所有值．
答案：(1)×　(2)×　(3)√
2．解析：因为掷一枚质地均匀的骰子试验中，所有可能结果有6个，故“出现的点数”这一随机变量的取值为6个．
答案：C
3．解析：由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1，2，3，4，5中某个．故两次抽取球号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9种．
答案：9
4．解析：甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次．
答案：0，1，2，3
课堂探究·素养提升
例1　解析：B项中水沸腾时的温度是一个确定值．
答案：B
跟踪训练1　解析：A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B，D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0，1，2，是随机变量．
答案：C
例2　解析：①②中变量X所有可能的取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量，而③不是随机变量，④中的结果不能一一列出，故不是离散型随机变量．
答案：A
跟踪训练2　解析：根据离散型随机变量的概念，ABD选项是离散型随机变量．
答案：C
例3　解析：(1)设所需的取球次数为X，则
X＝1，2，3，4，…，10，11，
X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1，2，…，11.
(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3，4，5，…，11.
X＝3，表示“取出标有1，2的两张卡片”；
X＝4，表示“取出标有1，3的两张卡片”；
X＝5，表示“取出标有2，3或标有1，4的两张卡片”；
X＝6，表示“取出标有2，4或1，5的两张卡片”；
X＝7，表示“取出标有3，4或2，5或1，6的两张卡片”；
X＝8，表示“取出标有2，6或3，5的两张卡片”；
X＝9，表示“取出标有3，6或4，5的两张卡片”；
X＝10，表示“取出标有4，6的两张卡片”；
X＝11，表示“取出标有5，6的两张卡片”．
跟踪训练3　解析：(1)X可能取值0，1，2，3，4，5，
X＝i表示面试通过的有i人，其中i＝0，1，2，3，4，5.
(2)ξ可能取值为0，1，
当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；
当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．
例4　解析：(1)设取得红球个数为X，
求X的所有取值为1，2，3，4.
(2)依题意有：Y＝2X＋4－X＝X＋4.
跟踪训练4　解析：(1)X的取值是0，1，2，3；
(2)可能有全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．
(3)因为Y＝100X－100(3－X)＝200X－300，由X>1得Y>－100，所以P(X>1)＝P(Y>－100)＝0.6；P(Y≤－100)＝1－P(Y>－100)＝0.4.4．2.2　离散型随机变量的分布列
[课标解读]　1.通过具体实例，理解离散型随机变量分布列.2.通过具体实例，了解伯努利试验并能解决简单的实际问题.3.应在引导学生利用所学知识解决一些实际问题的基础上，适当进行严格、准确的描述．
【教材要点】
知识点一　离散型随机变量的分布列定义
要掌握一个离散型随机变量X的取值规律，必须知道：
(1)X所有可能取的值x1，x2，…，xn；
(2)X取每一个值xi的概率p1，p2，…，pn，需要列出下表：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
此表称为离散型随机变量X的________，或称为离散型随机变量X的________．
知识点二　离散型随机变量的分布列性质
(1)pi____0，i＝1，2，3，…，n；
(2)p1＋p2＋…＋pn＝____．
知识点三　随机变量X与随机变量Y＝aX＋b的分布列的关系
一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量．由于X＝t的充要条件是Y＝at＋b，因此P(X＝t)＝P(Y＝at＋b)，所以它们分布列的第二行的概率值是一样的．
知识点四　两点分布
如果随机变量X的分布列为
X 0 1
P ____ ____
其中0＜p＜1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布．
【基础自测】
1．设某项试验成功的概率是失败概率的2倍，记Y＝则P(Y＝0)＝(　　)
A．0 B．
C． D．
2．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X 0 1
P 9a2－a 3－8a
则常数a的值为(　　)
A. B．
C.或 D．－或－
3．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，….则P(2＜X≤4)等于(　　)
A. B．
C. D．
4．随机变量η的分布列如下：
η 1 2 3 4 5 6
P 0.2 x 0.35 0.1 0.15 0.2
则x＝________，P(η≤3)＝________．
题型1　分布列及其性质的应用
例1　设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4)，求：
(1)P(X＝1或X＝2)；
(2)P.
状元随笔　先由分布列的性质求a，再根据X ＝1或X ＝2，方法归纳
利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：
(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．
(2)不仅要注意所有概率和等于1，而且要注意pk≥0，k＝1，2，…，n.
跟踪训练1　若离散型随机变量X的分布列为：
X 0 1
P 4a－1 3a2＋a
求常数a及相应的分布列．
题型2　求离散型随机变量的分布列
例2　(1)口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列．
状元随笔　X的可能取值为3，4，5，6，是离散型随机变量．可以利用组合数公式与古典概型概率公式求各种取值的概率．
(2)设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求：①2X＋1的分布列；②|X－1|的分布列．
方法归纳
1．求离散型随机变量的分布列的步骤
(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1，2，…，n).
(2)求出取每一个值的概率P(ξ＝xi)＝pi.
(3)列出表格．
2．求离散型随机变量分布列时应注意的问题
(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．对于随机变量ξ取值较多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．
(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确．
跟踪训练2　(1)[2022·山东高二课时练习]已知随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 4 5
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
若Y＝2X－3，则P(Y＝5)的值为________．
(2)某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位游客游览这3个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用ξ表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，求ξ的分布列．
题型3　两点分布
【思考探究】　
1．利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些问题有什么共同点？
[提示]　这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果．定义一个随机变量，使其中一个结果对应于1，另一个结果对应于0，即得到服从两点分布的随机变量．
2．只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？
[提示]　不一定．如随机变量X的分布列由下表给出
X 2 5
P 0.3 0.7
X不服从两点分布，因为X的取值不是0或1.
例3　袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X＝求X的分布列．
状元随笔　X只有两个可能取值，属于两点分布，应用概率知识求出X＝0的概率，最后列出表格的形式即可．
方法归纳
两步法判断一个分布是否为两点分布
1．看取值：随机变量只取两个值0和1.
2．验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立．
如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布．
跟踪训练3　若离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P 2a 3a
则a＝(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
教材反思
4．2.2　离散型随机变量的分布列
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
概率分布　分布列
知识点二
(1)≥　(2)1
知识点四
q　p
[基础自测]
1．解析：由题意知，可设P(Y＝1)＝p，则P(Y＝0)＝1－p，
又p＝2(1－p)，解得p＝，故P(Y＝0)＝.
答案：C
2．解析：由离散型随机变量分布列的性质可得
解得a＝.
答案：A
3．解析：2＜X≤4时，X＝3，4.
所以P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＝.
答案：A
4．解析：由分布列的性质得
0．2＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，
解得x＝0.故P(η≤3)＝P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.
答案：0　0.55
课堂探究·素养提升
例1　解析：(1)∵＝1，
∴a＝10，
则P(X＝1或X＝2)
＝P(X＝1)＋P(X＝2)
＝＝.
(2)由a＝10，
可得P
＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)
＝＝.
跟踪训练1　解析：由分布列的性质可知：3a2＋a＋4a－1＝1，
即3a2＋5a－2＝0，解得a＝或a＝－2，
又因4a－1>0，即a>，故a≠－2.
所以a＝，此时4a－1＝，3a2＋a＝.
所以随机变量X的分布列为：
X 0 1
P
例2　解析：(1)随机变量X的可能取值为3，4，5，6.
从袋中随机取3个球，包含的基本事件总数为，事件“X＝3”包含的基本事件总数为，事件“X＝4”包含的基本事件总数为，事件“X＝5”包含的基本事件总数为，事件“X＝6”包含的基本事件总数为.
从而有P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X 3 4 5 6
P
(2)由分布列的性质知：
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，所以m＝0.3.
首先列表为
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
|X－1| 1 0 1 2 3
从而由上表得两个分布列为
①2X＋1的分布列为：
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
②|X－1|的分布列为：
|X－1| 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
跟踪训练2　解析：(1)当Y＝5时，由2X－3＝5得X＝4，所以P(Y＝5)＝P(X＝4)＝0.2.
(2)设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件A1，A2，A3，已知A1，A2，A3相互独立，且P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6，游客游览的景点数可能取值为0，1，2，3，相应的游客没有游览的景点数可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3.
则P(ξ＝3)＝P(A1∩A2∩A3)+P)
＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＋P()·P()·P()
＝2×0.4×0.5×0.6＝0.24.
P(ξ＝1)＝1－0.24＝0.76.
所以分布列为：
ξ 1 3
P 0.76 0.24
答案：(1)0.2　(2)见解析
例3　解析：由题设可知X服从两点分布．
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝.
∴X的分布列为
X 0 1
P
跟踪训练3　解析：由离散型随机变量分布列的性质可知，2a＋3a＝1，解得a＝.
答案：C4．2.3　二项分布与超几何分布
[课标解读]　1.通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布，并能解决简单的实际问题.2.通过具体实例，了解超几何分布，并能解决简单的实际问题.3.掌握两个基本概率模型及其应用，进一步深入理解随机思想在解决实际问题中的作用．
【教材要点】
知识点一　n次独立重复试验
在相同的条件下，__________试验，各次试验的结果________，那么一般就称它们为n次独立重复试验．
知识点二　二项分布
若将事件A发生的次数设为X，发生的概率为p，不发生的概率q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝____________(k＝0，1，2，…，n)，
于是得到X的分布列
X 0 1 … k … n
P p0qn p1qn－1 … pkqn－k … pnq0
由于表中的第二行恰好是二项式展开式(q＋p)n＝p0qn＋p1qn－1＋…＋pkqn－k＋…＋pnq0各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作________________．
知识点三　超几何分布
设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件(M【基础自测】
1.独立重复试验满足的条件是________．(填序号)
①每次试验之间是相互独立的；
②每次试验只有发生和不发生两种情况；
③每次试验中发生的概率是相等的；
④每次试验发生的条件是相同的．
2．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．
3．设10件产品中有3件次品，现从中抽取5件，则表示(　　)
A．5件产品中有3件次品的概率
B．5件产品中有2件次品的概率
C．5件产品中有2件正品的概率
D．5件产品中至少有2件次品的概率
4．下列随机变量X不服从二项分布的是(　　)
A．投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数
B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数
C．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数
D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数
题型1　独立重复试验中的概率问题
例1　(1)某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击三次，且他每次射击是否击中目标之间没有影响，有下列结论：
①他三次都击中目标的概率是0.93；
②他第三次击中目标的概率是0.9；
③他恰好2次击中目标的概率是2×0.92×0.1；
④他恰好2次未击中目标的概率是3×0.9×0.12.
其中正确结论的序号是________．(把正确结论的序号都填上)
(2)某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：
①5次预报中恰有2次准确的概率；
②5次预报中至少有2次准确的概率；
③5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
方法归纳
独立重复试验概率求法的三个步骤
1．判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．
2．分拆：判断所求事件是否需要分拆．
3．计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．
跟踪训练1　甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为，没有平局．若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率为________.
题型2　二项分布
例2　一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列．
状元随笔　首先判断ξ是否服从二项分布，再求分布列．
方法归纳
1．本例属于二项分布，当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.
2．解决二项分布问题的两个关注点
(1)对于公式P(X＝k)＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
跟踪训练2　在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为，且各人的选择相互之间没有影响．设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列．
题型3　超几何分布的分布列
例3　在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X的分布列．
　→→
方法归纳
求超几何分布的分布列时，关键是分清其公式中M，N，n的值，然后代入公式即可求出相应取值的概率，最后写出分布列．
跟踪训练3　袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．
(1)求得分X的分布列；
(2)求得分大于6分的概率．
题型4　独立重复试验与二项分布综合应用
【思考探究】
1．王明在做一道单选题时，从A，B，C，D四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？两点分布与二项分布有何关系？
[提示]　做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它服从二项分布．两点分布就是一种特殊的二项分布，即是n＝1的二项分布．
2．王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？
[提示]　服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．
3．王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？
[提示]　不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点．判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．
例4　甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．
(1)求随机变量ξ的分布列；
(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).
状元随笔　(1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从二项分布，其中n＝3，p＝.
(2)AB表示事件A，B同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分．
方法归纳
对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解．
跟踪训练4　已知某种从太空飞船中带回来的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的．
(1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的分布列；
(2)第二小组进行试验，直到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率．
题型5　二项分布与超几何分布的综合应用
例5　在一次购物抽奖活动中，假设抽奖箱中10张奖券，其中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，看完结果后放回抽奖箱，
①若只允许抽奖一次，求中奖次数X的分布列；
②若只允许抽奖二次，求中奖次数X的分布列．
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，求顾客乙中奖的概率．
状元随笔　(1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X～B (1，P).从10张奖券中有放回的抽取2张，每次有中奖和不中奖两种，故X～B (2，p)；
(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X(X ＝1, 2)服从超几何分布．
方法归纳
区别超几何分布与二项分布问题的两个关键点
1．判断一个随机变量是否服从超几何分布时，关键是从总数为N件的甲乙两类元素，其中甲类元素数目M件，从所有元素中一次任取n件，这n件中含甲类元素数目X服从超几何分布．
2．判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．本题有放回的抽奖就属于二项分布．
跟踪训练5　盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机依次取出2个球，则有放回抽取时所取出的2个球颜色不同的概率等于________，不放回抽取时所取出的2个球颜色不同的概率等于________．
教材反思
4．2.3　二项分布与超几何分布
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
重复地做n次　相互独立
知识点二
pkqn－k　X～B(n，p)
知识点三
P(X＝m)＝
[基础自测]
1．解析：由n次独立重复试验的定义知①②③④正确．
答案：①②③④
2．解析：抛掷一枚硬币出现正面的概率为，由于每次试验的结果不受影响，故由独立重复试验可知，所求概率为P＝＝.
答案：
3．解析：根据超几何分布的定义可知表示从3件次品中任选2件表示从7件正品中任选3件，故选B.
答案：B
4．解析：选项A：试验出现的结果只有两个，点数为6和点数不为6，且点数为6的概率在每一次试验中都为，每一次试验都是独立的，故随机变量X服从二项分布；选项B：虽然每一次试验的结果只有两个，且每一次试验都是相互独立的，且概率不发生变化，但随机变量X的取值不确定，故随机变量X不服从二项分布；选项C：甲、乙获胜的概率一定，且和为1，进行5次比赛，相当于进行了5次独立重复试验，故X服从二项分布；选项D：由二项分布的定义可知，X～B(n，0.3)．
答案：B
课堂探究·素养提升
例1　解析：(1)三次射击是三次独立重复试验，故正确结论的序号是①②④.
(2)①记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8.
5次预报相当于5次独立重复试验，
2次准确的概率为P＝×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，
因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.
②“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，
其概率为P＝×(0.2)5＋×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01.
所以所求概率为1－P＝1－0.01＝0.99.
所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99.
③说明第1，2，4，5次中恰有1次准确．
所以概率为P＝×0.8×0.23×0.8＝0.02 048≈0.02，
所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.
答案：(1)①②④　(2)见解析
跟踪训练1　解析：“甲获胜”分两类：①甲连胜两局；②前两局中甲胜一局，并胜最后一局．即P＝＝.
答案：
例2　解析：ξ～B，ξ的分布列为P(ξ＝k)
＝，k＝0，1，2，3，4，5.
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4 5
P
跟踪训练2　解析：随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，且ξ～B.
∴P(ξ＝k)＝
＝(k＝0，1，2，3，4)．
∴随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
例3　解析：X的可能取值是1，2，3.
P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝.
故X的分布列为
X 1 2 3
P
跟踪训练3　解析：(1)从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，共四种情况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5，6，7，8.
P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝，
P(X＝7)＝＝，
P(X＝8)＝＝.
故所求分布列为：
X 5 6 7 8
P
(2)根据随机变量X的分布列可以得到大于6分的概率为P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＝.
例4　解析：(1)由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
(2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB＝C∪D，且C，D互斥，
又P(C)＝]＝，
P(D)＝＝，
由互斥事件的概率公式得
P(AB)＝P(C)＋P(D)＝＝＝.
跟踪训练4　解析：(1)由题意，随机变量X可能取值为0，1，2，3，
则X～B(3，)．即P(X＝0)＝(1－)3＝，
P(X＝1)＝(1－)2＝，
P(X＝2)＝(1－)1＝，
P(X＝3)＝(1－)0＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成功，每次试验又是相互独立的，
因此所求概率为P＝(1－)3×＝.
例5　解析：(1)①抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．
P(X＝1)＝＝＝，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝.
因此X的分布列为
X 0 1
P
②从10张奖券中有放回的抽取2张，每次有中奖和不中奖两种，故X～B
X 0 1 2
P
(2)顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．
故所求概率P＝＝＝.
跟踪训练5　解析：若放回抽取，设取得红球的个数为X，则X～B(2，)，取出2个颜色不同的球即事件“X＝1”，所以P(X＝1)＝＝.
若不放回抽取，设取得红球的个数为Y，则Y～H(5，2，3)，所以取到的2个球颜色不同的概率P＝＝.
答案：4．2.4　随机变量的数字特征(1)
[课标解读]　1.通过具体实例，理解离散型随机变量分布列及其数字特征(均值).2.通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.3.通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题．
【教材要点】
知识点一　随机变量的数学期望的定义
一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则E(X)＝________________叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望).
知识点二　随机变量的数学期望的意义
刻画了离散型随机变量的____________．
知识点三　两点分布、二项分布的数学期望
名称 两点分布 二项分布 超几何分布
公式 E(X)＝____ E(X)＝____ E(X)＝________
知识点四　随机变量的数字特征的性质
如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量；则E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
【基础自测】
1．已知离散型随机变量X的分布列为：
X 1 2 3
P
则X的数学期望E(X)＝________．
2．设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝________．
3．若随机变量X服从二项分布B，则E(X)的值为________．
4．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分．已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的期望是________．
题型1　离散型随机变量的数学期望的概念及应用
例1　已知随机变量X的分布列如表：
X －2 －1 0 1 2
P m
(1)求m的值；
(2)求E(X)；
(3)若Y＝2X－3，求E(Y).
状元随笔　由分布列的性质求得m，再利用均值公式求E (X)，然后利用均值的性质求解E (Y).
方法归纳
1．求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后利用均值公式求E(X).
2．对于aX＋b型的随机变量求均值的方法
(1)利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
(2)先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解．
跟踪训练1　已知随机变量ξ的分布列为
ξ －1 0 1
P m
若η＝aξ＋3，E(η)＝，则a＝(　　)
A．－1　　 B．－2 C．－3　　 D．－4
题型2　超几何分布的均值
例2　[2022·江苏无锡高二月考]设10件产品中含有3件次品，从中抽取2件进行调查，求抽得次品数的数学期望．
方法归纳
先确定分布类型，可以求出分布列后再用定义求均值，也可以直接利用超几何分布的均值公式求解．
跟踪训练2　设ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P
又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于(　　)
A. B．
C. D．
题型3　两点分布与二项分布的数学期望
例3　某运动员投篮命中率为p＝0.6.
(1)求投篮1次时命中次数X的数学期望；
(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望．
状元随笔　(1)利用两点分布求解．(2)利用二项分布的数学期望公式求解．
方法归纳
1．常见的两种分布的均值
设p为一次试验中成功的概率，则
(1)两点分布E(X)＝p；
(2)二项分布E(X)＝np.
熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度．
2．两点分布与二项分布辨析
(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生．
(2)不同点：
①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0，1，二项分布中随机变量的取值x＝0，1，2，…，n.
②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．
跟踪训练3　(1)某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(　　)
A．100 B．200
C．300 D．400
(2)已知某离散型随机变量X服从的分布列如下，则随机变量X的数学期望E(X)等于(　　)
X 0 1
P m 2m
A. B．
C. D．
题型4　期望的实际应用(数学建模、数据分析、数学运算)
例4　某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如表所示：
周一 无雨 无雨 有雨 有雨
周二 无雨 有雨 无雨 有雨
收益 20万元 15万元 10万元 7.5万元
若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.
(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益；
(2)该基地是否应该外聘工人，请说明理由．
状元随笔　1.条件：(1)药材需在两天内采摘完毕且基地员工一天只完成一处采摘；(2)给出了基地收益与天气的关系表格；(3)给出外聘工人的收益情况．
2．结论：(1)求基地收益X的分布列及基地预期收益；(2)该基地是否外聘工人作出决策．
3．思路：(1)列出基地收益X的取值及求出相应概率，按求随机变量均值的步骤求解；(2)求出外聘工人时的预期收益，与不外聘工人的预期收益比较，通过讨论外聘工人的成本解决问题．
方法归纳
均值实际应用问题的解题策略
首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的数学期望，并根据期望的大小作出判断．
跟踪训练4　甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X稳定在7，8，9，10环．将他们的比赛成绩画成频率分布直方图如图甲和图乙所示．
(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙＝8)，以及甲击中9环以上(包括9环)的概率；
(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大).
教材反思
4．2.4　随机变量的数字特征(1)
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi
知识点二
平均取值
知识点三
p　np　
[基础自测]
1．解析：E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
答案：
2．解析：E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35.
答案：35
3．解析：E(X)＝np＝4×＝.
答案：
4．解析：因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，
所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.
答案：0.8
课堂探究·素养提升
例1　解析：(1)由随机变量分布列的性质，得＋m＋＝1，解得m＝.
(2)E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
(3)方法一：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－.
方法二：由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如表：
Y －7 －5 －3 －1 1
P
所以E(Y)＝(－7)×＋(－5)×＋(－3)×＋(－1)×＋1×＝－.
跟踪训练1　解析：由分布列的性质得＋m＝1，所以m＝.所以E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＝.所以E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝a＋3＝，得a＝－2.
答案：B
例2　解析：设抽得次品数为X，则随机变量X的可能取值有0、1、2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P＝＝，
所以，随机变量X的分布列如下表所示：
X 0 1 2
P
所以，E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
跟踪训练2　解析：E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.
答案：D
例3　解析：(1)投篮1次，命中次数X的分布列如下表：
X 0 1
P 0.4 0.6
则E(X)＝0.6.
(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5，0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.
跟踪训练3　解析：(1)由题意可知，补种的种子数记为X，X服从二项分布，即X～B(1 000，0.1)，所以不发芽种子的数学期望为1 000×0.1＝100.所以补种的种子数的数学期望为2×100＝200.
(2)由题意可知m＋2m＝1，所以m＝，所以E(X)＝0×＋1×＝.
答案：(1)B　(2)D
例4　解析：(1)设下周一无雨的概率为p，由题意得p2＝0.36，p＝0.6.基地收益X的可能取值为20，15，10，7.5，则P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24，P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16，所以基地收益X的分布列为：
X 20 15 10 7.5
P 0.36 0.24 0.24 0.16
基地的预期收益E(X)＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4，
所以基地的预期收益为14.4万元．
(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝(16－a)万元，E(Y)－E(X)＝1.6－a，
综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以．
跟踪训练4　解析：(1)由题图乙可知P(X乙＝7)＝0.2，P(X乙＝9)＝0.2，P(X乙＝10)＝0.35.
所以P(X乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.
同理P(X甲＝7)＝0.2，P(X甲＝8)＝0.15，P(X甲＝9)＝0.3，
所以P(X甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35.
P(X甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65.
(2)因为E(X甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8，E(X乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7，则有E(X甲)>E(X乙)，所以估计甲的水平更高．4．2.4　随机变量的数字特征(2)
[课标解读]　1.通过具体实例，理解离散型随机变量分布列及其数字特征(方差).2.通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.3.通过具体实例，了解超几何分布及其方差，并能解决简单的实际问题．
【教材要点】
知识点一　离散型随机变量的方差与标准差
名称 定义 意义
方差 一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则D(X)＝________________________________________，叫做这个离散型随机变量X的方差． 离散型随机变量的方差和标准差反映了离散型随机变量取值相对于期望的____________(或说离散程度) .
标准差 D(X)的算术平方根叫做离散型随机变量X的标准差．
知识点二　服从两点分布与二项分布的随机变量的方差
(1)若X服从两点分布，则D(X)＝________；
(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝________．
知识点三　随机变量的数字特征的性质
如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量；D(Y)＝a2D(X).
【基础自测】
1．下列说法正确的有________．(填序号)
①离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值；
②离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；
③离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的波动水平；
④离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的波动水平．
2．设一随机试验的结果只有A和且P(A)＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差D(ξ)等于(　　)
A．m B．2m(1－m)
C．m(m－1) D．m(1－m)
3．已知X的分布列为：
X －1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
则D(X)等于(　　)
A．0.7 B．0.61
C．－0.3 D．0
4．已知随机变量X，D(X)＝，则X的标准差为________.
题型1　离散型随机变量的方差的概念及应用
例1　(1)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的方差．
(2)已知X的分布列如表：
X －1 0 1
P a
①计算X的方差；
②若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．
状元随笔　(1)先列出随机变量X的分布列，再用定义求出方差即可．
(2)利用分布列的性质求出a值，再利用方差公式及性质求解．
方法归纳
1．定义法求离散型随机变量X的方差的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；
(2)求X取各个值的概率，写出分布列；
(3)根据分布列，由期望的定义求出E(X)；
(4)根据公式计算方差．
2．性质法求离散型随机变量X的方差
应用公式：D(aX＋b)＝a2D(X)求离散型随机变量X的方差，既避免了求随机变量Y＝aX＋b的分布列，又避免了涉及大数的计算，从而简化了计算过程．
跟踪训练1　设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数．
(1)求X的分布列、均值及方差；
(2)求Y的分布列、均值及方差．
题型2　两点分布与二项分布的数学方差
例2　某厂一批产品的合格率是98%.
(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；
(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差．
状元随笔　(1)利用两点分布求解．(2)利用二项分布的数学期望、方差公式求解．
方法归纳
1．常见的两种分布的均值与方差
设p为一次试验中成功的概率，q＝1－p则
(1)两点分布E(X)＝p；D(X)＝pq
(2)二项分布E(X)＝np；D(X)＝npq
熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度．
2．两点分布与二项分布辨析
(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生．
(2)不同点：
①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0，1，二项分布中随机变量的取值x＝0，1，2，…，n.
②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．
跟踪训练2　(1)某运动员投篮命中率p＝0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为________.
(2)为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，已知E(X)＝3，D(X)＝，则n＝______________，p＝________．
题型3　方差的综合应用
【思考探究】　
1．A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：
A机床
次品数X1 0 1 2 3
P 0.7 0.2 0.06 0.04
B机床
次品数X2 0 1 2 3
P 0.8 0.06 0.04 0.10
试求E (X1)，E (X2).
[提示]　E (X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.
E (X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.
2．在1中，由E (X1)和E (X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？
[提示]　不能．因为E (X1)＝E (X2).
3．在1中，试想利用什么指标可以比较A，B两台机床加工质量？
[提示]　利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．
例3　甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．
状元随笔　(1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列．
(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的数学期望，然后再看其方差值．
方法归纳
利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤
1．比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．
2．在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．
3．下结论．依据方差的几何意义做出结论．
跟踪训练3　甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：
甲保护区：
X 0 1 2 3
P 0.3 0.3 0.2 0.2
乙保护区：
Y 0 1 2
P 0.1 0.5 0.4
试评定这两个保护区的管理水平．
教材反思
4．2.4　随机变量的数字特征(2)
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝pi 平均波动大小
知识点二
(1)p(1－p)　(2)np(1－p)
[基础自测]
1．解析：①错误．因为离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的平均水平．
②错误．因为离散型随机变量X的方差D(X)反映了随机变量偏离于期望的平均程度．
③错误．因为离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的波动水平，而随机变量的期望E(X)反映了X取值的平均水平．
④正确．由方差的意义可知．
答案：④
2．解析：随机变量ξ服从两点分布，所以D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．
答案：D
3．解析：E(X)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D(X)＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.
答案：B
4．解析：X的标准差＝ ＝.
答案：
课堂探究·素养提升
例1　解析：(1)由题意，X的可能取值为0，1，2，
P(X＝k)＝，k＝0，1，2.
X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以X的均值为E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
所以X的方差为D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.
(2)由分布列的性质，知＋a＝1，故a＝.
所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.
①X的方差D(X)＝(－1＋)2×＋(0＋)2×＋(1＋)2×＝.
②因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.
跟踪训练1　解析：(1)X的可能值为0，1，2.若X＝0，表示没有取出次品，其概率为P(X＝0)＝＝，
同理，有P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
D(X)＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＝.
(2)Y的可能值为1，2，3，显然X＋Y＝3.
P(Y＝1)＝P(X＝2)＝，
P(Y＝2)＝P(X＝1)＝，
P(Y＝3)＝P(X＝0)＝.
所以Y的分布列为
Y 1 2 3
P
所以Y＝－X＋3，所以E(Y)＝E(3－X)＝3－E(X)＝3－＝，D(Y)＝(－1)2D(X)＝.
例2　解析：(1)用ξ表示抽得的正品数，则ξ＝0，1.
ξ服从两点分布，且P(ξ＝0)＝0.02，P(ξ＝1)＝0.98，
所以D(ξ)＝p(1－p)＝0.98×(1－0.98)＝0.019 6.
(2)用X表示抽得的正品数，则X～B(10，0.98)，
所以D(X)＝10×0.98×0.02＝0.196，
标准差为≈0.44.
跟踪训练2　解析：(1)依题意知：X服从两点分布，
所以D(X)＝0.8×(1－0.8)＝0.16.
(2)由题意知，X服从二项分布B(n，p)，
由E(X)＝np＝3，D(X)＝np(1－p)＝，
得1－p＝，所以p＝，n＝6.
答案：(1)0.16　(2)6　
例3　解析：(1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.
因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.
所以ξ，η的分布列分别为
ξ 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
η 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)由(1)得：
E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；
E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；
D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；
D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.
由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)跟踪训练3　解析：甲保护区的违规次数X的数学期望和方差分别为：
E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；
D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.
乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差分别为：
E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；
D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
因为E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高．4．2.5　正态分布
[课标解读]　1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量．通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征.2.了解正态分布的均值、方差及其含义.3.了解正态分布的作用，进一步深入理解随机思想在解决实际问题中的作用．
【教材要点】
知识点一　二项分布与正态曲线
当n充分大时，X～B(n，p)的直观表示总是具有中间高、两边低的“钟形”．一般地φ(x)＝对应的图像称为正态曲线，具有类似的特点．
知识点二　正态曲线及正态曲线的性质
1．正态变量的概率密度函数的图像叫做正态曲线
正态变量概率密度曲线的函数表达式为φ(x)＝______________________.
其中μ，σ是参数，且σ＞0，－∞＜μ＜＋∞，μ和σ分别为正态变量的________和________．
2．正态曲线的性质
(1)曲线在________的上方，并且关于直线________对称；
(2)曲线在________时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“________，________”的形状；
(3)曲线的形状由参数σ确定，________，曲线越“矮胖”；________，曲线越“高瘦”．
知识点三　正态分布
一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φμ，σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ与σ的正态分布．记作：X～N(μ，σ2).
知识点四　正态总体在三个特殊区间的概率
1．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
若X～N(μ，σ2)(σ>0)，则
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈________，
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈________，
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈________．
上述结果可用图表示如下：
2．3σ原则
由P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997知，正态变量X在区间[μ－3σ，μ＋3σ]之外取值的概率为0.3%.于是若X～N(μ，σ2)，则正态变量X的取值几乎都在距x＝μ三倍标准差之内，即在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，这就是正态分布的3σ原则．
知识点五　标准正态分布
(1)标准正态分布的定义：____________的正态分布称为标准正态分布．
(2)Φ(a)的概念：如果____________，那么对于任意a，通常记Φ(a)＝P(X(3)Φ(a)的性质：Φ(－a)＋Φ(a)＝________．
【基础自测】
1．下列判断正确的是________．
(1)正态分布变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．
(2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量．
(3)正态曲线是一条钟形曲线．
(4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述．
2．把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线b，下列说法中不正确的是________．(填序号)
①曲线b仍然是正态曲线；
②曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等；
③以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2；
④以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2.
3．关于正态分布N(μ，σ2)(σ>0)，下列说法正确的是________．(填序号)
①随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件；
②随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件；
③随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件；
④随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．
4．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0).若X在(0，1)内取值的概率为0.4，则X在(0，2)内取值的概率为________．
题型1　正态分布的概念及正态曲线的性质
例1　如图所示是一个正态曲线，试根据该图像写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．
给出了一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式．
方法归纳
利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ，具体方法如下：
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图像求μ.
(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图像可求σ.
跟踪训练1　(1)设两个正态分布N(μ1，)(σ1>0)和N(μ2，)(σ2>0)的密度函数图像如图所示，则有(　　)
A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
(2)如图所示是正态分布N(μ，)，N(μ，)，N(μ，)(σ1，σ2，σ3>0)相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是(　　)
A.σ1>σ2>σ3 B．σ3>σ2>σ1
C．σ1>σ3>σ2 D．σ2>σ1>σ3
题型2　服从正态分布变量的概率问题
例2　(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝(　　)
A．0.6 B．0.4
C．0.3 D．0.2
(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，4)，求正态总体X在(－1，1)内取值的概率．
状元随笔　(1)根据正态曲线的对称性进行求解；(2)题可先求出X在(－1，3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x＝1对称知，X在(－1，1)内取值的概率就等于在(－1，3)内取值的概率的一半．
方法归纳
利用正态分布求概率的两个方法
1．对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：
(1)P(X(2)P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a).
2．“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 6，0.954 4，0.997 4求解．
跟踪训练2　设随机变量X～N(2，9)，若P(X>c＋1)＝P(X(1)求c的值；
(2)求P(－4题型3　标准正态分布(数学运算)
例3　设随机变量X～N(0，1)，
(1)求Φ(－3)的值；
(2)若Φ(0.42)＝0.662 8，求Φ(－0.42).
方法归纳
求标准正态分布的概率问题的关注点
(1)标准正态曲线特点：关于y轴对称，σ＝1；
(2)Φ(a)的含义：Φ(a)＝P(X(3)解题思路：
①当a＝±1，±2，±3时，利用P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)的概率值求解；
②当a为其他值时，可查表求解．
跟踪训练3　设随机变量X～N(0，1)，已知Φ(－0.18)＝0.428 6，求P(|X|<0.18).
题型4　正态分布的实际应用
【思考探究】　
1．若某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4，0.25)，那么该圆柱形零件外直径的均值，标准差分别是什么？
[提示]　零件外直径的均值为μ＝4，标准差σ＝0.5.
2．某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4，0.25)，若零件的外直径在(3.5，4.5]内的为一等品．试问1 000件这种的零件中约有多少件一等品？
[提示]　P(3.5<ε≤4.5)＝P(μ－σ<ε<μ＋σ)＝0.682 6，所以1 000件产品中大约有1 000×0.682 6≈683(件)一等品．
3．某厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4，0.25).质检人员从该厂生产的1 000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7 cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？
[提示]　由于圆柱形零件的外直径ε～N(4，0.25)，
由正态分布的特征可知，正态分布N(4，0.25)在区间(4－3×0.5，4＋3×0.5)，即(2.5，5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7 (2.5，5.5).
这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的．
例4　设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110，202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．
状元随笔　将P(X≥90)转化为P(X－μ≥－σ)，然后利用对称性及概率和为1，得到2P(X－μ≤－σ)＋0.682 6＝1，进而求出P(X≥90)的值，同理可解得P(X≥130)的值．
方法归纳
1．本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．
2．解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)三个区间内的概率．在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．
跟踪训练4　某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布X～N(50，102)，求他在(30，60]分内赶到火车站的概率．
教材反思
4．2.5　正态分布
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点二
1.　数学期望　标准差
2．(1)x轴　x＝μ　(2)x＝μ　中间高　两边低　(3)σ越大　σ越小
知识点四
68．3%　95.4%　99.7%
知识点五
(1)μ＝0且σ＝1　(2)X～N(0，1)　(3)1
[基础自测]
1．解析：(1)错误，因为正态分布变量函数表达式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计．
(2)正确．
(3)正确，由正态分布曲线的形状可知该说法正确．
(4)错误，因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述．
答案：(2)(3)
2．解析：正态曲线向右平移2个单位，σ不发生变化，故③错误．
答案：③
3．解析：∵P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)≈0.997 4，
∴P(X＞μ＋3σ或X＜μ－3σ)＝1－P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)≈1－0.997 4＝0.002 6，
∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．
答案：④
4．解析：∵X服从正态分布(1，σ2)，
∴X在(0，1)与(1，2)内取值的概率相同，均为0.4.
∴X在(0，2)内取值的概率为0.4＋0.4＝0.8.
答案：0.8
课堂探究·素养提升
例1　解析：从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20.
由＝，得σ＝.
于是概率密度函数的解析式是
f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，
总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.
跟踪训练1　解析：(1)由正态分布曲线性质可知N(μ1 ，)，N(μ2，的密度曲线分别关于直线x＝μ1，x＝μ2对称，因此结合所给的图像知μ1<μ2，又)的密度曲线较)的密度曲线“瘦高”，所以σ1<σ2，故选A.
(2)由σ的意义可知，图像越瘦高，数据越集中，σ2越小，故有σ1>σ2>σ3.故选A.
答案：(1)A　(2)A
例2　解析：(1)∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，
∴μ＝2，对称轴是x＝2.∵P(ξ<4)＝0.8，
∴P(ξ≥4)＝P(ξ<0)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝0.6，∴P(0<ξ<2)＝0.3.故选C.
(2)由题意得μ＝1，σ＝2，
所以P(－1＜X＜3)＝P(1－2＜X＜1＋2)＝0.682 6.
又因为正态曲线关于x＝1对称，
所以P(－1＜X＜1)＝P(1＜X＜3)＝P(－1＜X＜3)＝0.341 3.
答案：(1)C　(2)见解析
跟踪训练2　
解析：(1)由X～N(2，9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，
又P(X>c＋1)＝P(X(2)P(－4例3　解析：(1)因为X～N(0，1)，所以Φ(－3)＝P(X<－3)＝[1－P(－3≤X≤3)]≈(1－0.997)＝0.001 5.
(2)因为X～N(0，1)且Φ(0.42)＝0.662 8，
所以由Φ(－a)＋Φ(a)＝1得，Φ(－0.42)＝1－Φ(0.42)＝1－0.662 8＝0.337 2.
跟踪训练3　解析：由正态曲线的对称性知，
Φ(－0.18)＝P(X<－0.18)＝P(X>0.18)＝0.428 6，
所以P(|X|<0.18)＝P(－0.18例4　解析：μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，
∵P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)
＝2P(X－μ≤－σ)＋0.682 6＝1，
∴P(X－μ≤－σ)＝0.158 7，
∴P(X≥90)＝1－P(X－μ≤－σ)＝1－0.158 7＝0.841 3.
∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，
∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)
＝0.682 6＋2P(X－μ≥σ)＝1，
∴P(X－μ≥σ)＝0.158 7
∴54×0.841 3≈45(人)，即及格人数约为45人．
∵P(X－μ≥σ)＝0.158 7，即P(X≥130)＝0.158 7.
∴54×0.158 7≈9(人)，即130分以上的人数约为9人．
跟踪训练4　解析：∵X～N(50，102)，∴μ＝50，σ＝10.
∴P(30＝P(μ－2σ＝×0.954 4＋×0.682 6＝0.818 5.
即他在(30，60]分内赶到火车站的概率是0.818 5.

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