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2023~2024学年中考数学之隐含圆问题
历届中考中，涉及隐含圆的几何动点问题，是常见高频考题。明明图中没有圆，却使用到了圆的知识点；对于这类题型，我们称之为“隐含圆问题”
【模型建立】：
（1）定弦定角
（2）动点到定点定长（通俗点讲：动点到一顶点的距离不变）
（3）直角所对的弦是直径
（4）四点共圆（对角互补）
（5）点圆最值
（6）线圆最值
记忆口诀：定点定长走圆周，定弦定角跑双弧
直角必有外接圆，对角互补也共圆
【模型一：定弦定角】
前言：在圆O中，若弦AB长度固定 则弦AB所对的圆周角都相等（注意：弦AB在劣弧）AB上也有圆周角，需要根据题目灵活运用 后语：若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，C在圆O的优弧ACB上均可（至于是优弧还是劣弧取决于∠C的大小，小于90°，则C在优弧上运动；等于90°，则C在半圆上运动；大于90°则C在劣弧运动）
1．（2023·凤岗模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是对角线BD的中点，点F为BC所在直线上方一点，连接BF、CF、EF，若∠BFC＝30°，则EF长的最大值为　 　．
【答案】2+2
【解析】【解答】解：作△BFC的外接圆，圆心为O，连接OF，OB，OC，过点O作OH⊥BC交于点H，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB=4，∠ABC=90°，，
∵∠BFC=30°，
∴∠BOC=2∠BFC=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴OB=OC=BC=4，
当点F是过点E的直径的端点时，EF取最大值，此时，OE⊥BC于点H．
又∵OE⊥BC，
∵BH=2，∠BOH=30°，
∴．
∵∠EBC=45°，∠EHB=90°，
∴△BHE是等腰直角三角形，
∴HE=BH=2，
∴，
故答案为：
2．（2023·临潼模拟）如图所示，为矩形中边上的一点，已知，，若点在矩形内部，且，则的最小值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：作点B关于AD的对称点B′，连接PB′；以CD为一边向矩形外作等边△CDN，作△CDN的外接圆⊙O，连接OB′交⊙O于点M′，交AD于点P′，连接OM；过点O作OF⊥AB于点F，交CD于点E，连接OD，如图：
∵点B与点B′关于AD对称，
∴PB′=PB，
∵△CDN是等边三角形，
∴∠DNC=60°，
∵∠DMC=120°，∠DNC=60°，
∴点M在劣弧上运动，
则OM=OM′，
∵BP+PM=B′P+PM+OM-OM′≥OB′-OM′=B′M′，
即BP+PM的最小值为B′M′的长．
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∵⊙O是△CDN的外接圆，△CDN是等边三角形，且OF⊥AB，
∴，，
∴OD=2OE，
在Rt△DOE中，OD2=DE2+OE2，
即，
解得：OE=1，
∴OD=2；
在Rt△OFB′中，
∵OF=EF+OE=BC+OE=4+1=5，
，
∴，
∴，
即BP+PM的最小值为，
故答案为：．
3．（2021·安徽模拟）如图，直角 中， ，AC=8， ，点 是 内部一动点，总满足∠APC=150°，连接 ，则 的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，作△APC的外接圆⊙O，连接OA，OC，OB，OP，过点O作OH⊥BC交BC的延长线于H．
∵∠APC=150°，
∴∠AOC=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC=OC=OA=OP=8，∠ACO=60°
在Rt△COH中，∠OCH=90°-60°=30°，
∴OH= OC=4，CH= OH= ，
∵BC= ，
∴BH= ，
∴OB= ，
∵PB≥OB-OP，
∴BP≥ ，
∴BP的最小值为 ，
故答案为：B．
4．（2023·惠山模拟）如图，抛物线与x轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点是抛物线上一点，点C是线段上一点，连接并延长交抛物线于点D，若，求点D的坐标；
（3）抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标：若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：把点A的坐标代入函数解析式中， ，
解得： ，
故所求的解析式为 ；
（2）解：∵点B在抛物线 ，
∴ ，
即 ；
设直线 解析式为为 ，
则有 ，
解得： ，
∴直线 解析式为为 ；
过点C、D作x轴的垂线，垂足分别为E、F，如图，
设 ，则 ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
∴ ；
∵点D在抛物线 上，
∴ ，
解得： ，
则点D的坐标为 ；
（3）解：存在；
如图，作 的外接圆 ，连接 ，过M作 轴于N，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形， 垂直平分 ，
∴ ，
∴M的坐标为 ， 的半径 ；
设点P的坐标为 ，
则 ，
即 ，
由于 ，
∴方程整理得： ，
解得： ，
点P的坐标为 或 ．
【模型二：动点到定点定长】
前言：在圆O中，OA=OB=OC=OD 后语：若有AB=AC=AD,则B、C、D三点在以A为圆心，AB为半径的圆上。 【理论依据：“到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆“—圆的定义】
【模型三：直角所对的是直径】
前言：在圆O中，AB为直径，则始终有AB所对的∠C=90° 后语：若有AB是固定线段，且总有∠ACB=90°，则C在以AB为直径的圆上。（此类型本来属于定弦定角，但考频较高，且较为特殊故单独归为一类）
（2023九上·期末）如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4．P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC ，则线段CP长的最小值为　 　
1．【答案】2
【解析】【解答】解：如图所示，以AB为直径作圆，圆心为O，连接OP、PC，当O、P、C三点共线时，OC最短..
∵AB=6，
∴圆O的半径等于3.
∵AB⊥AC，
∴∠ABP+∠PBC=90°.
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠PAB+∠ABP=90°.
∴∠APB=180°-90°=90°.
∵OP恒为3，∴此时CP最短.
在Rt△ABC中，OC===5.
∴CP=5-3=2.
∴CP的长的最小值为2.
故答案为：2
2．（2023八下·芜湖期末）如图，正方形中，，E为边上一动点，连接，过点B作于F，连接，则的最小值为　 　．
【答案】2
【解析】【解答】
以BC中点O为圆心，BO的长为半径作圆，连接AO，交圆于点F，连接CF并延长交AB于点E，连接BF，则BF⊥CE.
由AO-FO≥AF可知，此时AO-FO=AF的值最小，∵AB=AD=4，∴FO=BO=2，∴AO=，∴AF的最小值为AO-FO=.
【模型四：四点共圆】
前言：在圆O中，ABCD是圆的内接四边形，则有∠1=∠2，∠3=∠4，△BPC∽△APD(同理△BPA∽△CPD) 后语：若四边形ABCD中有∠1=∠2（通常情况下∠5=∠6对顶角相等，故不需要∠3=∠4，实际应用中常用∠1=∠2，∠5=∠6）则ABCD四点（某些不能直接使用四点共圆的地区，可以通过证明两次三角形相似也可），选填题可以直接使用
1．（2022·东平模拟）如图，在矩形ABCD中，E、F分别在BC、CD上运动（不与端点重合），连接BF、AE，交于点P，且满足．连接CP，若AB=4，BC=6，则CP的最小值为 （　　）
A．2－3 B．2－2 C．5 D．3
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BCF=∠ABE=90°，又，
∴，
∴△BCF∽△ABE，
∴∠BAE=∠FBC，又∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠BEA+∠FBC=90°，
∴∠BPA=90°，
∴点P在以AB为直径的圆周上，设G为AB中点，连接CG，与圆G交于P，
即此时CP最短，
∴BG=2，
∴CG==，
∴此时CP=，
故答案为：B．
【分析】先证出点P在以AB为直径的圆周上，设G为AB中点，连接CG，与圆G交于P，即此时CP最短，再利用勾股定理求出CG的长，最后求出CP=即可。
【模型五：点圆最值】
平面内一定点D和圆O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE的最大值和最小值，具体如以下三种情况，分类讨论（规定：OD=d，圆的半径为r）
（1）当D点在圆O外时，d＞r,如图①② ；当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值.DE的最大值为d+r，DE的最小值为d-r；
（2）当D点在圆O上时，d=r,如图③④ ；当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值.DE的最大值为d+r=2r(即圆O直径），DE的最小值为d-r=0；
3）当D点在圆O内时，d＜r,如图⑤⑥ ；当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值.DE的最大值为d+r，DE的最小值为r-d；
1.（2023·徐汇模拟）如图，在直角坐标系中，已知点、点，的半径为5，点C是上的动点，点P是线段的中点，那么长的取值范围是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵A(8，0)，点B(0，6)，
∴OA= 8，OB=6，∠AOB = 90°，
连接AB，AC，取AB的中点D，则D的坐标(4，3)；连接DP，
∵DP分别是AB、BC的中点，
∴DP= AC = x5=，
∴点D是定点，DP=，
即点P的运动轨迹是以点D为中心，DP为半径的圆，
∵DP1=DP2=，
∴点D坐标(4，3)，
∴OP的取值范围是OD-DP1 ≤ OP≤OD+DP2，
即，
故答案为：.
【分析】根据题意先求出OA= 8，OB=6，∠AOB = 90°，再求出点D是定点，DP=，最后计算求解即可。
【模型六：线圆最值】
【1】（点圆距离）圆外一点P,连接PQ与圆交于A、B两点，则PA为P到圆上最远距离，PB为P到圆上最短距离。
【3】如图，AB为圆O的一条定弦，点C为圆上一动点。 如图①.若点C在优弧AB上，当CH⊥AB且CH过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S_△ABC的面积最大。 （2）如图②，若点C在劣弧AB上，当CH⊥AB且CH的延长线过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S_△ABC的面积最大。
1．（2022九上·莲都期中）如图，抛物线y＝x2-4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是（　　）
A．3 B． C． D．4
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；点与圆的位置关系；三角形的中位线定理；圆-动点问题
【解析】【解答】解：连接BP，如图，
当y＝0时，x2-4＝0，解得x1＝4，x2＝-4，则A（-4，0），B（4，0），
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ为△ABP的中位线，
∴OQ＝BP，
当BP最大时，OQ最大，
而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，
∵BC＝＝5，
∴BP′＝5+2＝7，
∴线段OQ的最大值是.
故答案为：C.
2．（2023·东平模拟）如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，则的长的最小值是
B．3 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点在线段CE上时，的长取最小值，如图所示，
根据折叠可知：．
在中，，，，
，
的最小值．
故答案为：D．
3．（2023·天河模拟）如图，矩形中，，，点、分别是线段，上的动点，且，过作的垂线，垂足为．
（1）当时，　 　
（2）当在上运动时，的最小值为　 　．
【答案】（1）45
（2）1
【知识点】矩形的判定与性质；圆的综合题；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（1）过点F作FM⊥BC于M，如图，
则∠BME=∠EMF= 90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠B= 90°，
∴四边形ABME是矩形，
∴EM=AB=2，BM=AE=，
∵AE = CF，
∴CF=BM=，
∵AE = CF，
∴CF=BM=，
∴MF=BC-BM-CF=，
∴ME = MF，
∵FM⊥BC，
∴∠BFE= 45°，
故答案为：45°；
（2）连接BD交EF于点O，如图，
由矩形性质知：AD∥CB，AD= BC=， AE= CF，
∴∠DEF=∠BFE，AD- AE= BC- CF，
∴DE= BF，
∴∠EOD =∠FOB，
∴△DOE≌△BOF (ASA)，
∴ OD=OB，
由勾股定理得，
∴OD=2，BD=4，
∵DH⊥EF，设OD的中点为M，
∴MH=1，
即点H在以点M为圆心，以1为半径的圆上运动，
由于点E在AD边上运动，
∴当点E与点A重合时，即EF与AC重合时，CH的值最小，
∵AC= BD= 4，
，
即CH的最小值为1；
故答案为：1.
【分析】（1）过点F作FM⊥BC于M，由条件可得四边形ABME是矩形，由题意可得MF= EM，从而问题解决；
（2）连接BD交EF于点O，可证明△DOE≌△BOF，易得OD = 12，BD= 2，由DH⊥EF知，MH = 2，即点H在以OD中点M为圆心，1为半径的圆上运动，当点E与点A重合时，CH的值最小，由三角函数知识即可求得此时最小值.
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