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2.1　坐标法
[课标解读]　1.探索并掌握平面上两点间的距离公式.2.能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程：根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系；根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；根据对几何问题 (图形) 的分析，探索解决问题的思路；运用代数方法得到结论；给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题．
教材要点
知识点一　数轴上的基本公式
1．数轴上两点间的距离公式：已知数轴上两点A(x1)，B(x2)，则AB＝________，d(A，B)＝________.
2．数轴上两点间的中点坐标公式：已知数轴上两点A(x1)，B(x2)，设点M(x)是线段AB的中点，则有x＝________．
知识点二　平面直角坐标系中的两点间距离公式及中点公式
1.已知在平面直角坐标系中两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有d(A，B)＝|AB|＝________ .
2．已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设点M(x，y)是线段AB的中点，则有x＝________，y＝________．
知识点三　坐标法
通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过________得到结论；给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题．这种解决问题的方法称为坐标法．
基础自测
1．下列各组点中，点C位于点D的右侧的是(　　)
A．C(－3)和D(－4) B．C(3)和D(4)
C．C(－4)和D(3) D．C(－4)和D(－3)
2．已知A(1，2)，B(a，6)，且|AB|＝5，则a的值为(　　)
A．4　　　B．－4或2
C．－2 D．－2或4
3．在数轴上存在一点P，它到点A(－9)的距离是它到点B(－3)的距离的2倍，则P的坐标为(　　)
A．2　　B．－3
C．5　　D．3或－5
4．(1)如图，若A(－1，1)，C(3，1)连线的中点为M1(x，y), 则M1坐标为________；
(2)若B(3，4)，那么BC的中点M2的坐标是________.
题型1　数轴上两点间的距离
【思考探究】
1．如果两点的位置不确定，如何求其距离？
[提示]　分类讨论．
2．向量的长度及数量的区别与联系．
[提示]　|AB |＝d(A，B)＝|xB－xA|，AB＝xB－xA.
例1　已知数轴上点A，B，P的坐标分别为－1，3，x.
当点P与点B的距离是点P与点A的距离的3倍时，求点P的坐标x.
状元随笔　数轴上两点间的距离 点与实数的对应关系 数轴上的基本公式．
方法归纳
数轴上的基本公式应用思路与方法
已知数轴上两点间的距离时，使用d(A，B)＝|AB|＝|xB－xA|求解．
跟踪训练1　(改变问法)本例条件不变，若点P到点A和点B的距离都是2，求点P的坐标x，此时点P与线段AB有着怎样的关系？
题型2　平面直角坐标系中两点间的距离公式的应用
例2　已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－a，0)，B(a，0)，C(0, a)．求证：△ABC是等边三角形．
方法归纳
根据边长判断三角形形状的结论主要有以下几种：等腰、等边、直角、等腰直角三角形等．在进行判断时，一定要得出最终结果，比如一个三角形是等腰直角三角形，若我们只通过两边长相等判定它是等腰三角形则是不正确的．
跟踪训练2　(变换条件)本例若改为：已知A(－1，－1)，B(3，5)，C(5，3)，试判断△ABC的形状．
题型3　平面直角坐标系中中点公式的应用
例3　已知平行四边形ABCD的两个顶点坐标分别为A(4，2)，B(5，7)，对角线交点为E(－3，4)，求另外两顶点C、D的坐标．
状元随笔　先分析点的关系，借助平行四边形的性质，尝试运用中点公式列方程组求解．
方法归纳
1．本题是用平行四边形对角线互相平分这一性质，依据中点公式列方程组求点的坐标的．
2．中点公式常用于求与线段中点、三角形的中线、平行四边形的对角线等有关的问题，解题时一般先根据几何概念，提炼出点之间的“中点关系”，然后用中点公式列方程或方程组求解．
跟踪训练3　已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A(0，0)，B(2，0)，D(1，3)，求顶点C的坐标．
题型4　坐标法的应用
【思考探究】
1．如何建立平面直角坐标系？
[提示]　(1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上；
(2)如果图形中有互相垂直的两条直线，则考虑其作为坐标轴；
(3)考虑图形的对称性：可将图形的对称中心作为原点、将图形的对称轴作为坐标轴．
2．建立不同的直角坐标系，影响最终的结果吗？
[提示]　不影响．
3．解决问题的思路是什么？
[提示]　几何证明问题 坐标法 借助代数运算证明
例4　△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明|AE|＝|CD|.
方法归纳
1．对于平面几何中证明边相等(或不等)、求最值等类型的题目，可以建立恰当的平面直角坐标系，用坐标法将几何问题代数化，使复杂的逻辑思维转化为简单的代数运算，从而将复杂问题简单化．
2．在建立平面直角坐标系时，要尽可能地将平面几何图形中的点、线放在坐标轴上，但不能把任意点作为特殊点．
跟踪训练4　已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|.
第二章　平面解析几何
2．1　坐标法
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
1．x2－x1　|x2－x1|
2.
知识点二
1.
2.　
知识点三
代数运算
[基础自测]
1．解析：由数轴上点的坐标可知A正确．
答案：A
2．解析：＝5，解得a＝－2或4.
答案：D
3．解析：设所求点P的坐标为x，则|x－(－9)|＝2|x－(－3)|，所以x＝3或x＝－5，所以P(3)或P(－5)．
答案：D
4．答案：(1)(1，1)　(2)
课堂探究·素养提升
例1　解析：由题意知
|PB|＝3|PA|，即|x－3|＝3|x＋1|，
则3(x＋1)＝x－3，　①
或3(x＋1)＝－(x－3)．　②
解①得x＝－3；解②得x＝0.
所以点P的坐标为x＝－3或x＝0.
跟踪训练1　解析：由题意知|PA|＝|PB|＝2，
即解得x＝1.
此时点P的坐标为1，显然此时P为线段AB的中点．
例2　证明：由两点的距离公式得
|AB|＝＝2|a|，
|BC|＝ ＝2|a|，
|CA|＝ ＝2|a|.
∴|AB|＝|BC|＝|CA|，
故△ABC是等边三角形．
跟踪训练2　解析：d(A，B)＝
＝＝＝2，
d(A，C)＝
＝＝＝2，
d(B，C)＝
＝＝＝2.
所以|AB|＝|AC|≠|BC|，且显然三边长不满足勾股定理，
所以△ABC为等腰三角形．
例3　解析：设C点坐标为(x1，y1)，则由E为AC的中点得：
得
设D点坐标为(x2，y2)，则由E为BD的中点得
得
故C点坐标为(－10，6)，D点坐标为(－11，1)．
跟踪训练3　解析：∵平行四边形的对角线互相平分，
∴平行四边形对角线的中点坐标相同．
设C点坐标为C(x，y)，则
∴即C(3，3)．
例4　证明：如图，以B为坐标原点，直线AC为x轴，建立平面直角坐标系，
设△ABD和△BCE的边长分别为a，c，
则A(－a，0)，C(c，0)，
D，E，
则|AE|＝
＝，
|CD|＝
＝，
所以|AE|＝|CD|.
跟踪训练4　证明：
如图所示，以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立直角坐标系．设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c)．
因为点M是BC的中点，故点M的坐标为，即.
由两点间距离公式得
|BC|＝＝，
|AM|＝ ＝.
所以|AM|＝|BC|.2．2.1　直线的倾斜角与斜率
[课标解读]　1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
教材要点
知识点一　直线的倾斜角
1．倾斜角的定义
(1)当直线l与x轴相交时，将x轴绕着他们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，称角θ叫做直线l的倾斜角．
(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________．
2．倾斜角的范围
直线的倾斜角θ的取值范围为________．
3．确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个________及它的________．
知识点二　直线的斜率及斜率公式
1．斜率的定义
一条直线的倾斜角θ(θ≠90°)的________值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝________．
状元随笔　直线的斜率与倾斜角是一一对应吗？
不是，当倾斜角为90 °时，直线的斜率不存在．
2．斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝________．当x1＝x2时，直线P1P2斜率不存在．
3．斜率的几何意义
用实数反映了平面直角坐标系内的直线相对于x轴正方向的________．
知识点三　直线的方向向量与法向量
1．给定平面直角坐标系内的一条直线l，在直线l上任取A、B两个不同的点，向量是直线l的一个方向向量．
一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l.
(1)如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线．
(2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量．
(3)如果已知a＝(u，v)为直线l的一个方向向量，则
①当u＝0时，显然直线l的斜率不存在，倾斜角为________；
②当u≠0时，直线l的斜率是存在的，而且此时(1，k)与a＝(u，v)都是直线l的一个方向向量，且有v＝ku，即k＝，即tan θ＝.
2．直线的法向量
一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l.不难看出，一条直线的方向向量与法向量互相垂直．
基础自测
1．如图所示，直线l的倾斜角为(　　)
A.30°
B．60°
C．120°
D．以上都不对
2．直线l过点M(－)，N(－)，则l的斜率为(　　)
A． B．1
C． D．
3．斜率不存在的直线一定是(　　)
A．过原点的直线 B．垂直于x轴的直线
C．垂直于y轴的直线 D．垂直于坐标轴的直线
4．已知直线l经过两点P(1，2)，Q(－2，1)，那么直线l的一个方向向量为________；一个法向量为________；斜率为________．
题型1　直线的倾斜角
例1　设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　)
A.α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°
方法归纳
求直线的倾斜角的方法及两点注意
1．方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
2．两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.
跟踪训练1　一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　)
A．α
B．180°－α
C．180°－α或90°－α
D．90°＋α或90°－α
题型2　斜率的求法
【思考探究】
1．斜率公式k＝(x2≠x1)中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？
[提示]　斜率公式中分子与分母的顺序不可互换，但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k＝.
2．用k＝tan α(α≠90°) 求斜率时在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记．
例2　(1)若A(1，0)，B(－3，m)，直线AB的斜率为－，则m＝(　　)
A．－8 B．－2
C．2 D．8
(2)若直线过点C(1，3)，D(4，3＋)，则此直线的一个方向向量为__________；倾斜角为________；
(3)已知点M(0，b)与点N(－，1)连成直线的倾斜角为120°，则b＝________．
方法归纳
1．斜率的求法
(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用公式k＝tan α(α≠90°)解决．
(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式
k＝(x1≠x2)求解．
2．利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；
(2) 倾斜角为90°时斜率不存在．
跟踪训练2　(1)直线经过点(0，2)和点(3，0)，则它的斜率为(　　)
A． B．
C．－ D．－
(2)若直线经过两点A(m，2)，B，且倾斜角为45°，则m的值为(　　)
A．2　 B．1
C． D．
(3)已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1)．
求直线AB、BC、AC的斜率、方向向量和倾斜角．
题型3　直线的斜率、方向向量、法向量及应用
例3　已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
状元随笔　作图，让直线与线段有公共点，可得倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，进一步获得斜率取值范围．
例4　若三点A(2，－3)，B(4，3)，C(5，k)在同一条直线上，则实数k＝________．
状元随笔　利用AB和AC的斜率相等，或利用三点共线的充要条件．
方法归纳
1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围．
2．利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线 kAB＝kAC或kAB与kAC都不存在．
3．涉及直线与线段有交点问题，常通过数形结合，利用斜率公式求解．
跟踪训练3　(1)若三点A(3，1)，B(－2，b)，C(8，11)在同一直线上，则实数b等于(　　)
A．2 B．3
C．9 D．－9
(2)
如图，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率．
2．2　直线及其方程
2．2.1　直线的倾斜角与斜率
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
1．(2)0°
2．0°≤θ<180°
3．定点　倾斜角
知识点二
1．正切　tan θ
2.
3．倾斜程度
知识点三
1．(3)①90°
[基础自测]
1．解析：根据倾斜角的定义知，直线l的倾斜角为30°＋90°＝120°.
答案：C
2．解析：根据题意，l的斜率为＝1.
答案：B
3．解析：只有直线垂直于x轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在．
答案：B
4．解析：由已知可得＝(－2，1)－(1，2)＝(－3，－1)是直线l的一个方向向量．则(－1，3)是直线l的一个法向量，直线l的斜率k＝＝.
答案：(－3，－1)(答案不唯一)　(－1，3)(答案不唯一)　
课堂探究·素养提升
例1　解析：根据题意，画出图形，如图所示：
因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：
当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.
答案：D
跟踪训练1　解析：如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.
答案：D
例2　解析：(1)A(1，0)，B(－3，m)，直线AB的斜率为－，
所以－＝，解得：m＝2.
(2)直线过点C(1，3)，D(4，3＋)，得＝(4，3＋)－(1，3)＝(3，)是直线l的一个方向向量，则直线的斜率k＝＝，所以此直线的倾斜角是.
(3)k＝＝tan 120°，解得b＝－2.
答案：(1)C　(2)(3，)(答案不唯一)　　(3)－2
跟踪训练2　解析：(1)斜率k＝＝－.
(2)经过两点A(m，2)，B的直线的斜率为k＝，又直线的倾斜角为45°，所以＝tan 45°＝1，即m＝2.
(3)由斜率公式得
kAB＝＝0，kBC＝＝.
kAC＝＝.
直线AB、BC、AC的方向向量分别是(2，0)、(1，)、(3，)
倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.
又∵tan 0°＝0，
∴直线AB的倾斜角为0°.
∵tan 60°＝，
∴直线BC的倾斜角为60°.
∵tan 30°＝，
∴直线AC的倾斜角为30°.
答案：(1)C　(2)A　(3)见解析
例3　解析：如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.
(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.
(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
例4　解析：方法一：因为A(2，－3)，B(4，3)，C(5，k)在同一条直线上，所以kAB＝kAC，kAB＝＝3，kAC＝＝，所以3＝，即k＝6.
方法二：因为＝(4，3)－(2，－3)＝(2，6)，＝(5，k)－(2，－3)＝(3，k＋3)，又因为与共线，
所以2(k＋3)＝18，解得k＝6.
答案：6
跟踪训练3　解析：(1)方法一：因为三点A(3，1)，B(－2，b)，C(8，11)在同一直线上，所以kAC＝kAB，即＝，解得b＝－9.
方法二：因为＝(－5，b－1)，＝(5，10)，又因为与共线，所以－5×10＝5(b－1)，所以b＝－9.
(2)因为OD∥BC，∠BOD＝60°，
所以直线OD，BC的倾斜角都是60°，斜率都是tan 60°＝；
又因为DC∥OB，
所以直线DC，OB的倾斜角都是0°，斜率也都为0；
由菱形的性质可得∠COB＝30°，∠OBD＝60°，
所以直线OC的倾斜角为30°，斜率kOC＝tan 30°＝，
直线BD的倾斜角为∠DBx＝180°－60°＝120°，斜率kBD＝tan 120°＝－.
答案：(1)D　(2)见解析2．2.2　直线的方程
[课标解读]　根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式 (点斜式、两点式及一般式)．
教材要点
知识点一　直线方程的概念
一般地，如果直线l上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，而且以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x，y)＝0为直线l的方程．
状元随笔　如何判断点P(2，1)是否在直线y＝x－1上？
[提示]　把点的坐标代入方程，若满足方程，点就在直线上，反之，不在直线上．
知识点二　直线方程的几种形式
形式 条件 方程 应用范围
点斜式 直线l上一点P(x0，y0)及斜率k ____________ 直线l的斜率k________
斜截式 直线l的斜率k及在y轴上的截距b ____________
两点式 直线l上两点A(x1，y1)，B(x2，y2) ＝(x1≠x2，y1≠y2) 直线l不与________平行或重合
截距式 直线l在x轴，y轴上的截距分别为a和b ____________ 直线l不与________平行或重合，且不过________
一般式 二元一次方程系数A、B、C的值 __________(A2＋B2≠0) 平面内任何一条直线
状元随笔　直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程均能化为一般式方程吗？
[提示]　是．
基础自测
1．方程y－y0＝k(x－x0)(　　)
A．可以表示任何直线
B．不能表示过原点的直线
C．不能表示与y轴垂直的直线
D．不能表示与x轴垂直的直线
2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　)
A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1
B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
3．过点A(3，2)，B(4，3)的直线方程是(　　)
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
4．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为________.
题型1　求直线的点斜式方程
例1　求满足下列条件的直线的点斜式方程．
(1)过点P(－4，3)，斜率k＝－3；
(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；
(3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点．
方法归纳
求直线的点斜式方程的方法步骤
1．求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．
2．点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．
跟踪训练1　(1)一条直线经过点(2，5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为________．
(2)经过点(－5，2)且平行于y轴的直线方程为________．
(3)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x倾斜角的2倍的直线的点斜式方程是________．
题型2　求直线的斜截式方程
例2　根据条件写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2.
状元随笔　
方法归纳
1．用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，要特别注意截距和距离的区别．
2．直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．
跟踪训练2　(1)写出直线斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线的斜截式方程；
(2)求过点A(6，－4)，斜率为－的直线的斜截式方程；
(3)已知直线l的方程为2x＋y－1＝0，求直线的斜率，在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标．
题型3　直线的两点式方程
例3　在△ABC中，A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，
(1)求BC所在直线的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
状元随笔　(1)由两点式直接求BC所在直线的方程；
(2)先求出BC的中点，再由两点式求直线方程．
例4　求过定点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程．
方法归纳
1．由两点式求直线方程的步骤
(1)设出直线所经过点的坐标．
(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标．
(3)由直线的两点式方程写出直线的方程．
2．求直线的两点式方程的策略以及注意点
当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．
跟踪训练3　(1)已知点A(3，2)，B(－1，4)，则经过点C(2，5)且经过线段AB的中点的直线方程为________．
(2)已知直线l过点(1，2)，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线l的方程为(　　)
A．2x－y＝0
B．2x＋y－4＝0
C．2x－y＝0或x＋2y－2＝0
D．2x－y＝0或2x＋y－4＝0
状元随笔　直线l在两坐标轴上的截距成倍数关系，应考虑直线过原点和不过原点两类，分别设出方程，再由直线l过点(1，2)求得直线方程．
题型4　直线的一般式方程
【思考探究】
1．平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？为什么？
[提示]　都可以，原因如下：
(1)直线和y轴相交于点(0，b)时：此时倾斜角α≠，直线的斜率k存在．直线可表示成y＝kx＋b，可转化为kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程．
(2)直线和y轴平行(包含重合)时：此时倾斜角a＝，直线的斜率k不存在，不能用y＝kx＋b表示，而只能表示成x－a＝0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.
2．每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)都能表示一条直线吗？为什么？
[提示]　能表示一条直线，原因如下：当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可变形为y＝－x－，它表示过点，斜率为－的直线．
当B＝0时，方程Ax＋By＋C＝0变成Ax＋C＝0.即x＝－，它表示与y轴平行或重合的一条直线．
例5　(1) 已知直线mx＋ny＝－1的斜率为－，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为(　　)
A．4和3　 B．－4和3
C．－4和－3 D．4和－3
(2)若直线mx－y＋(2m＋1)＝0恒过定点，则此定点是________．
状元随笔　含有参数的一般式直线方程问题 化为直线方程的相应形式，根据实际情况求解．
方法归纳
1．含参数的一般式的处理方法
(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.
(2)令x＝0可得在y轴上的截距；令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．
(3)解分式方程要注意验根．
2．直线恒过定点的求解策略
(1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标．
(2)将方程变形，把x，y作为参数的系数，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点．
跟踪训练4　(1)直线3x＋4y＋5＝0的斜率和它在y轴上的截距分别为(　　)
A． B．－，－
C．－，－ D．
(2)已知ab＜0，bc＜0，则直线ax＋by＋c＝0通过第________象限．
题型5　由直线的方向向量、法向量求直线方程
例6　(1)一条直线经过点(2，5)，且它的方向向量是(1，1)，则这条直线的点斜式方程为________；
(2)经过点(－5，2)且法向量为(1，2)的直线方程为________．
方法归纳
通过直线的一个法向量或者一个方向向量求出直线方程的方法
1．方法一　应用求动点轨迹的方程的一般步骤，设直线上点的坐标为(x，y)，根据条件列出方程．
2．方法二　找到直线的一个法向量或者一个方向向量和直线的五种形式的方程的系数之间的关系，采用待定系数法求出方程．
跟踪训练5　(1)一条直线经过点(3，2)，且它的法向量是(3，－4)，则这条直线的一般式方程为________；
(2)经过点(－3，2)且方向向量为(1，2)的直线方程为________．
易错点　本节课的易错点是利用斜截式方程求参数时漏掉斜率不存在的情况．
2．2.2　直线的方程
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点二
y－y0＝k(x－x0)　y＝kx＋b　存在　坐标轴　　坐标轴　原点　Ax＋By＋C＝0
[基础自测]
1．解析：因为直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，所以y－y0＝k(x－x0)不能表示与x轴垂直的直线．
答案：D
2．解析：方程变形为y＋2＝－(x＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.
答案：C
3．解析：由直线的两点式方程，得＝，化简得x－y－1＝0.
答案：D
4．解析：由二元一次方程表示直线的条件知A、B至少有一个不为零即A2＋B2≠0.
答案：A2＋B2≠0
课堂探究·素养提升
例1　解析：(1)∵直线过点P(－4，3)，斜率k＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)．
(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，即y＋4＝0.
(3)过点P(－2，3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝＝＝－1.
又∵直线过点P(－2，3)，
∴直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2)．
跟踪训练1　解析：(1)因为倾斜角为45°，
所以斜率k＝tan 45°＝1，
所以直线的方程为y－5＝x－2.
(2)因为直线平行于y轴，所以直线不存在斜率，所以方程为x＝－5.
(3)因为直线y＝x的斜率为，
所以倾斜角为30°.
所以所求直线的倾斜角为60°，其斜率为.
所以所求直线方程为y＋3＝(x－2)．
答案：(1)y－5＝x－2　(2)x＝－5　(3)y＋3＝(x－2)
例2　解析：(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝2x＋5.
(2)∵倾斜角为150°，∴斜率k＝tan 150°＝－.
由斜截式可得方程为y＝－x－2.
跟踪训练2　解析：(1)易知k＝－1，b＝－2，
故直线的斜截式方程为y＝－x－2.
(2)由于直线的斜率k＝－，且过点A(6，－4)，根据直线的点斜式方程得直线方程为y＋4＝－(x－6)，化成斜截式为y＝－x＋4.
(3)直线方程2x＋y－1＝0可化为y＝－2x＋1，由直线的斜截式方程知：直线的斜率k＝－2，在y轴上的截距b＝1，直线与y轴交点的坐标为(0，1)．
例3　解析：(1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，
∴由两点式得＝，
即2x＋5y＋10＝0.
故BC所在直线的方程为2x＋5y＋10＝0.
(2)设BC的中点为M(x0，y0)，
则x0＝＝，
y0＝＝－3.
∴M，
又BC边上的中线经过点A(－3，2)．
∴由两点式得＝，
即10x＋11y＋8＝0.
故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
例4　解析：设直线的两截距都是a，则有
①当a＝0时，直线为y＝kx，将P(2，3)代入得k＝，
∴l：3x－2y＝0；
②当a≠0时，直线设为＝1，即x＋y＝a，
把P(2，3)代入得a＝5，∴l：x＋y＝5.
∴直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
跟踪训练3　解析：(1)AB的中点坐标为(1，3)，由直线的两点式方程可得＝，即2x－y＋1＝0.
(2)根据题意，直线l分2种情况讨论：
①当直线过原点时，又由直线经过点(1，2)，
所以所求直线方程为y＝2x，整理得2x－y＝0，
②当直线不过原点时，
设直线l的方程为＝1，
代入点(1，2)的坐标得＝1，解得a＝2，
此时直线l的方程为＝1，
整理为2x＋y－4＝0.
故直线l的方程为2x－y＝0或2x＋y－4＝0.
答案：(1)2x－y＋1＝0　(2)D
例5　解析：(1)由题意得n≠0，于是直线可化为
y＝－x－.
由－＝－，－＝，
得m＝－4，n＝－3.
(2)直线方程可化为y－1＝m(x＋2)．
由直线的点斜式可知直线过定点(－2，1)．
答案：(1)C　(2)(－2，1)
跟踪训练4　解析：(1)直线3x＋4y＋5＝0可化为
y＝－x－.
所以直线3x＋4y＋5＝0的斜率和它在y轴上的截距分别为－，－.
(2)直线ax＋by＋c＝0，即y＝－x－，
因为ab＜0，bc＜0，所以斜率k＝－＞0，
直线在y轴上的截距－>0.故直线过第一、二、三象限．
答案：(1)C　(2)一、二、三
例6　解析：(1)因为方向向量是(1，1)，
所以斜率k＝1，
所以直线的方程为y－5＝x－2.
(2)设直线方程x＋2y＋C＝0代入点(－5，2)得C＝1.
答案：(1)y－5＝x－2　(2)x＋2y＋1＝0
跟踪训练5　答案：(1)3x－4y－1＝0　(2)2x－y＋8＝02．2.3　两条直线的位置关系
[课标解读]　1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直．
【教材要点】
知识点一　两条直线相交、平行与重合的条件
1．代数方法判断
两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系，可以用方程组
的解进行判断(如下表所示)
方程组的解 位置关系 交点个数 代数条件
无解 ________ ________ A1B2－A2B1＝0且B1C2－C1B2≠0或A2C1－A1C2≠0或________________
有唯一解 ________ ________ A1B2－A2B1≠0或________________
有无数个解 重合 ________ A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)或________________
2.几何方法判断
(1)若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下：
设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
①l1与l2相交 ________________；
②l1∥l2 ________________；
③l1与l2重合 ________________．
(2)设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0重合的充要条件是，存在实数λ，使得从而直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0平行的充要条件是C1≠C2；重合的充要条件是C1＝C2.
知识点二　两条直线垂直
对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2 ________ l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是________
图示
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则l1⊥l2 ________．
【基础自测】
1．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(　　)
A.－3　　　B．3
C．－D．
2．直线l1：x－y＝0与l2：x＋y－2＝0的交点坐标为(　　)
A．(－2，－2) B．(－1，－1)
C．(2，2) D．(1，1)
3．直线y＝2与直线x＝0的位置关系是(　　)
A．平行 B．垂直
C．重合 D．以上都不对
4．经过点P(－2，－1)，Q(3，a)的直线与倾斜角为45°的直线垂直，则a＝________．
题型1　两条直线平行的判定
例1　判断下列各组直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标．
(1)l1：4x＋3y－2＝0与l2：x＋2y＋2＝0；
(2)l1：x＋2y－＝0与l2：2x＋4y－1＝0；
(3)l1：x－3y＝0与l2：y＝x＋1.
状元随笔　两直线位置关系的解法有三种：一是根据方程组的解的个数判定；二是根据方程的系数间的关系判定；三是化成斜截式方程判定．
方法归纳
1．判断两条直线平行，应首先看两条直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等，对于横坐标相等是特殊情况，应特殊判断．在证明两条直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不重合才能确定平行．因为斜率相等也可以推出两条直线重合．
2．设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0则A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0重合的充要条件是，存在实数λ，使得
跟踪训练1　判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．
(1)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋1＝0；
(2)l1：x－2y＋1＝0，l2：x＋2y＋5＝0.
题型2　两条直线垂直的判定
例2　判断l1与l2是否垂直．
(1)l1经过点A(3，2)，B(3，－1)，l2经过点M(1，1)，N(2，1);
(2)l1：y＝2x－2，l2：x－2y＋1＝0；
(3)l1：x＝2，l2：y－3＝0.
状元随笔　(1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断；若一条直线的斜率不存在，再看另一条的斜率是否为0，若为0，则垂直；
(2)当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于－1求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解．
方法归纳
利用斜率公式来判定两直线垂直的方法
1．若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件：l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0判断；
2．若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件：l1⊥l2 k1·k2＝－1判断；
3．若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断．
[提醒]　若己知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况．
跟踪训练2　已知直线l1的斜率为k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a＝________．
题型3　利用平行关系求直线方程
例3　已知A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求过点A和直线l平行的直线方程．
方法归纳
平行直线的直线方程的设法
1．求与直线y＝kx＋b平行的直线方程时，根据两直线平行的条件可巧设为y＝kx＋m(m≠b)，然后通过待定系数法，求参数m的值；
2．求与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程时，可设方程为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，代入已知条件求出m即可．
跟踪训练3　求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l的方程．
题型4　利用垂直关系求直线方程
例4　直线l过点P(1，－1)且与直线2x＋3y＋1＝0垂直，求l的方程．
方法归纳
1．常把一般式化为斜截式，求出已知斜率，再利用斜率间的关系得垂直直线的斜率；
2．若直线l与直线Ax＋By＋C＝0垂直，则直线l的方程可设为Bx－Ay＋D＝0.
跟踪训练4　过点P(－1，3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为(　　)
A．2x＋y－1＝0　　 B．2x＋y－5＝0
C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0
题型5　利用两直线平行的条件求参数
例5　已知两条直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0.问：当m为何值时，l1与l2(1)平行；(2)重合？
方法归纳
利用两直线相交、平行、重合的条件进行判断时要根据题目合理选择，要特别注意系数为0和不为0，直线的斜率存在和不存在的情况，可进行分类讨论．
跟踪训练5　已知直线l1：(m－2)x＋2y＋m－2＝0，l2：2x＋(m－2)y＋3＝0，当m为何值时，满足下列条件
(1)l1与l2相交；
(2)l1∥l2；
(3)l1与l2重合？
题型6　利用直线垂直的条件求参数的值
例6　直线l1：ax＋(1－a)y＝3与l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，求a的值．
方法归纳
利用直线垂直的条件求参数的值常用的两种方法
1．l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0；
2．l1⊥l2 k1·k2＝－1.
对于方法2要注意讨论直线的斜率是否存在，要利用分类讨论的思想解题，从这个方面来说，不如方法1简捷．
跟踪训练6　若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0垂直，则实数m＝________．
教材反思
1．本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利用斜率判断两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)判断两条直线平行的步骤；
(2)利用斜率公式判断两条直线垂直的方法；
(3)判断图形形状的方法步骤．
易错点　本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论．
2．2.3　两条直线的位置关系
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
1．平行　无交点　(A2B2C2≠0)　相交　有一个交点　(A2B2≠0)　无数个交点
(A2B2C2≠0)
2．(1)①k1≠k2　②k1＝k2且b1≠b2　③k1＝k2且b1＝b2
知识点二
　k1·k2＝－1　l1⊥l2　A1A2＋B1B2＝0
[基础自测]
1．解析：因为k＝kAB＝＝3，所以l的斜率为3.
答案：B
2．解析：联立得所以直线l1与l2的交点坐标为(1，1)．
答案：D
3．解析：直线y＝2与直线x＝0垂直．
答案：B
4．解析：由题意知＝－1，所以a＝－6.
答案：－6
课堂探究·素养提升
例1　解析：方法一：(1)解方程组
①×2－②×3得5x－10＝0，所以x＝2.
将x＝2代入①得y＝－2，所以两直线相交，交点坐标为(2，－2)．
(2)解方程组
①×2－②得0＝0，即此方程组有无数多个解，所以两直线重合．
(3)解方程组
由①得x＝3y，代入②得y＝y＋1，即0＝1不成立，所以方程组无解，所以两直线平行．
方法二：(1)因为A1＝4，B1＝3，C1＝－2，A2＝1，B2＝2，C2＝2，
所以A1B2－A2B1＝4×2－1×3＝5≠0，所以两直线相交．
解方程组得
所以两直线的交点坐标为(2，－2)．
(2)因为A1＝1，B1＝2，C1＝－，A2＝2，B2＝4，C2＝－1，所以A1B2－A2B1＝1×4－2×2＝0，A1C2－A2C1＝1×(－1)－2×＝－1＋1＝0，所以两直线重合．
(3)因为A1＝1，B1＝－3，C1＝0，A2＝，B2＝－1，C2＝1，所以A1B2－A2B1＝1×(－1)－×(－3)＝－1＋1＝0，A1C2－A2C1＝1×1－×0＝1－0＝1≠0，所以两直线平行．
方法三：(1)l1：y＝－x＋，l2：y＝－x－1.
因为k1≠k2，所以两直线相交，可得交点坐标为(2，－2)．
(2)l1：y＝－x＋，l2：y＝－x＋.
因为k1＝k2且b1＝b2，所以两直线重合．
(3)l1：y＝x，l2：y＝x＋1.
因为k1＝k2且b1≠b2，所以两直线平行．
跟踪训练1　解析：(1)将l1与l2的方程化成斜截式可知，
l1：y＝x＋1，l2：y＝x＋.两条直线的斜率相等，但是截距不相等，所以两条直线平行．
另解：由于＝≠，所以两条直线平行．
(2)解方程组，可得x＝－3，y＝－1，因此两条直线相交，交点坐标为(－3，－1)．
例2　解析：(1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2.
(2)将l2的方程化为斜截式为y＝x＋，因此l2的斜率为，又因为l1的斜率为2，而且×2＝1≠－1，从而可知l1与l2不垂直．
另解：l1的一般式方程为2x－y－2＝0，l2的一般式方程为x－2y＋1＝0，因为2×1＋(－1)×(－2)＝4≠0，从而直线l1与l2不垂直．
(3)显然l1的倾斜角为90°，l2的倾斜角为0°，从而可知l1与l2垂直．
跟踪训练2　解析：∵l1⊥l2，且k1＝，∴kAB＝－，
即＝－，即a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.
答案：1或3
例3　解析：设所求直线方程为3x＋4y＋C＝0(C≠－20)，
由(2，2)在直线l上，
可得3×2＋4×2＋C＝0，
所以C＝－14.
所以过点A与直线l平行的直线方程为3x＋4y－14＝0.
跟踪训练3　解析：方法一：设直线l的斜率为k，因为直线l与直线3x＋4y＋1＝0平行，所以k＝－.
又因为直线l过点(1，2)，
所以所求直线方程为y－2＝－(x－1)，
即3x＋4y－11＝0.
方法二：设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠1)，因为直线l过点(1，2)，所以3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11，所以所求直线l的方程为3x＋4y－11＝0.
例4　解析：方法一：由直线2x＋3y＋1＝0得斜率k′＝－，
由垂直条件得l的斜率k＝－＝，
点斜式方程为y＋1＝(x－1)，
故l的方程为3x－2y－5＝0.
方法二：由l与直线2x＋3y＋1＝0垂直，可设l的方程为
3x－2y＋C＝0.
因为P(1，－1)在l上，所以3×1－2×(－1)＋C＝0，
解得C＝－5，所以l的方程为3x－2y－5＝0.
跟踪训练4　解析：直线x－2y＋3＝0的斜率为，所以所求直线的斜率为－2，由点斜式得y－3＝－2(x＋1)，即2x＋y－1＝0.
答案：A
例5　解析：(1)因为l1∥l2，
所以3－m(m－2)＝0.
即m2－2m－3＝0.
所以m＝－1或m＝3.
经检验当m＝3时两直线重合，故m＝3舍去．
所以m＝－1.
(2)由(1)可知当m＝3时两直线重合．
跟踪训练5　解析：(1)A1B2－A2B1＝(m－2)(m－2)－2×2＝(m－2)2－4≠0，得(m－2)2≠4即m－2≠±2，
所以当m≠4且m≠0时l1与l2相交．
(2)由A1B2－A2B1＝0得m＝0或m＝4，
当m＝0时，两直线方程分别为－2x＋2y－2＝0，2x－2y＋3＝0，此时l1∥l2；
当m＝4时，两直线方程为2x＋2y＋2＝0，2x＋2y＋3＝0，此时l1∥l2.
故m＝0或m＝4时，两直线l1∥l2.
(3)由(2)知，直线l1与l2不可能重合．
例6　解析：方法一：当a＝1时，l1为x＝3，l2为y＝，故l1⊥l2.
当a＝－时，l1的方程为－x＋y＝3，l2的方程为－x＝2，显然l1、l2不垂直．
当a≠1且a≠－时，由k1·k2＝－1得·＝－1，解得a＝－3.
综上所述，当a＝1或a＝－3时，l1⊥l2.
方法二：利用A1A2＋B1B2＝0，即a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3.
跟踪训练6　解析：因为直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0垂直，所以＝－1，所以m＝1.
答案：12．2.4　点到直线的距离
[课标解读]　1.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式.2.会求两条平行直线间的距离．
教材要点
知识点一　点到直线的距离
1．概念
过一点向直线作垂线，则该点与________之间的距离，就是该点到直线的距离．
2．公式
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝________．
知识点二　两平行线间的距离公式
1．概念
夹在两条平行直线间的________的长度就是两条平行直线间的距离．
2．求法
两条平行直线间的距离转化为________到________的距离．
3．公式
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝________．
基础自测
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离是(　　)
A．B．
C．2 D．
2．两平行直线x＋y＋2＝0与x＋y－3＝0的距离等于(　　)
A．B．
C．5D．
3．已知点(3，m)到直线x＋y－4＝0的距离等于1，则m等于(　　)
A．B．－
C．－D．或－
4．两直线3x＋4y－2＝0和6x＋8y－5＝0的距离等于(　　)
A．3 B．7　
C．D．
题型1　点到直线的距离
例1　(1)点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是(　　)
A．3 B．
C．1 D．
(2)已知点M(1，4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝(　　)
A．0 B．
C．3 D．0或
(3)点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是(　　)
A．8 B．2
C．D．16
方法归纳
点到直线的距离的求解方法
1．求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．
2．对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.
3．若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．
跟踪训练1　求点P(3，－2)到下列直线的距离：
(1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4.
题型2　两条平行线间的距离
例2　(1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________；
(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________．
状元随笔　(1)首先利用对应系数的比值相等求m，再计算距离；
(2)设出直线l的方程，利用两条平行线间距离公式求解．
方法归纳
求两平行线间距离一般有两种方法
1．转化法：将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算．
2．公式法：直接用公式d＝，但要注意两直线方程中x，y的系数必须分别相同．
跟踪训练2　与直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线方程为(　　)
A．2x＋y＝0
B．2x＋y－2＝0
C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0
D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0
题型3　距离公式的综合应用
例3　(1)两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.你能求出d的取值范围吗？当d取最大值时，请求出两条直线的方程；
(2)在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大．
状元随笔　点到直线的距离的最值问题可转化为对称问题、共线问题．
方法归纳
求最值问题的处理思路
1．利用对称转化为两点之间的距离问题．
2．利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．
3．利用距离公式转化为一元二次函数的最值问题．
跟踪训练3　(改变问法)本例条件不变，求到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小的P点的坐标？
教材反思
1．本节课的重点是掌握点到直线的距离公式，能用公式求点到直线的距离，会求两条平行直线间的距离．难点是能用公式求点到直线的距离．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)点到直线的距离的求解方法；
(2)求两平行直线间的距离有两种思路；
(3)待定系数法求解有关距离问题的方法．
易错点　本节课的易错点是求两条平行线间距离时易用错公式．
2．2.4　点到直线的距离
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
1．垂足　2.
知识点二
1．公垂线段　2.点　直线　3.
[基础自测]
1．解析：由点到直线的距离公式得d＝＝.
答案：D
2．解析：由两平行线间的距离公式可得d＝＝＝.
答案：A
3．解析：由点到直线的距离公式得＝1，解得m＝或－.
答案：D
4．解析：直线6x＋8y－5＝0化为3x＋4y－＝0.
故两直线平行，且两直线间的距离为：d＝＝＝.
答案：C
课堂探究·素养提升
例1　解析：(1)点P(1，－1)到直线l的距离d＝＝.
(2)点M到直线l的距离d＝＝，
所以＝3，解得m＝0或m＝.
(3)x2＋y2＝()2，它表示原点到(x，y)距离的平方，x2＋y2的最小值即为原点到直线x＋y－4＝0的距离的平方，＝8.
答案：(1)B　(2)D　(3)A
跟踪训练1　解析：(1)直线y＝x＋化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得
d＝＝.
(2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8.
(3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1.
例2　解析：(1)由题意，得＝，所以m＝2，
将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，
由两平行线间距离公式，得＝＝.
(2)设直线l的方程为2x－y＋C＝0，
由题意，得＝，
解得C＝1，所以直线l的方程为2x－y＋1＝0.
答案：(1)　(2)2x－y＋1＝0
跟踪训练2　解析：根据题意可设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，因为两直线间的距离等于，所以d＝＝，
解得c＝0或c＝2.
故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.
答案：D
例3　解析：(1)如图，
显然有0而|AB|＝＝3.
故所求的d的变化范围为(0，3].
由上图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直．
而kAB＝＝，
∴所求直线的斜率为－3.
故所求的直线方程分别为
y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
(2)如图所示，设点B关于直线l的对称点B′的坐标为(a，b)，则kBB′·kl＝－1，
即3·＝－1.
所以a＋3b－12＝0.　①
又由于线段BB′的中点坐标为，且在直线l上，所以3×－1＝0.即3a－b－6＝0，　②
解①②得a＝3，b＝3，所以B′(3，3)．于是AB′的方程为
＝，即2x＋y－9＝0.
所以由解得
即直线l与AB′的交点坐标为(2，5)．
所以点P(2，5)为所求．
跟踪训练3　解析：如图所示，设点C关于直线l的对称点为C′，求出点C′的坐标为.
所以AC′所在直线的方程为
19x＋17y－93＝0，
AC′和l的交点坐标为.
故P点坐标为.2．3.1　圆的标准方程
[课标解读]　回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程．
教材要点
知识点一　圆的标准方程
1．以C(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程为________．
2．以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为________．
知识点二　点与圆的位置关系
设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：
位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内
d与r的大小关系 ________ ________ ________
状元随笔　若点P(x0，y0)在圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，需要满足(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，那么P在圆C内和圆C外又满足怎样的关系？
[提示]　若点P在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
若点P在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
基础自测
1．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3，2)(　　)
A．是圆心　 B．在圆上　　
C．在圆内　　 D．在圆外
2．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是(　　)
A．(－2，3)，1 B．(2，－3)，3
C．(－2，3)， D．(2，－3)，
3．求以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的标准方程．
4．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________．
题型1　直接法求圆的标准方程
例1　(1)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为(　　)
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝1
(2)已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程是(　　)
A.(x－2)2＋(y＋3)2＝13
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
状元随笔
(1)设出圆心坐标，利用两点间的距离公式求圆心坐标，再写出圆的标准方程．
(2)根据中点坐标公式求出直径两端点坐标，进而求出圆的半径，再写出圆的标准方程．
方法归纳
1．确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．
2．确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“过切点与切线垂直的直线必过圆心”等．
跟踪训练1　以点A(－5，4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是(　　)
A．(x＋5)2＋(y－4)2＝25
B．(x－5)2＋(y＋4)2＝16
C．(x＋5)2＋(y－4)2＝16
D．(x－5)2＋(y＋4)2＝25
状元随笔　当圆与坐标轴相切时要特别注意圆心的坐标与圆的半径的关系．
题型2　待定系数法求圆的标准方程
例2　求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程．
状元随笔
解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径，再写方程，也可以设出方程用待定系数法求解，也可以利用几何性质求出圆心和半径．
方法归纳
1．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
设方程((x－a)2＋(y－b)2＝r2)→列方程组(由已知条件，建立关于a、b、r的方程组)→解方程组(解方程组，求出a、b、r)→得方程(将a、b、r代入所设方程，得所求圆的标准方程)．
2．充分利用圆的几何性质，可使问题计算简单．
跟踪训练2　求圆心在x轴上，且过点A(5，2)和B(3，－2)的圆的标准方程．
题型3　与圆有关的最值问题
例3　(1)若P(x，y)为圆C(x＋1)2＋y2＝上任意一点，请求出P(x，y)到原点的距离的最大值和最小值；
(2)若P(x，y)是圆C(x－3)2＋y2＝4上任意一点，请求出P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．
方法归纳
1．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
2．求圆外一点到圆的最大距离和最小距离可采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可求得．
3．求圆外一条直线到圆的最大距离和最小距离可采用几何法，先求出圆心到该直线的距离，再加上或减去圆的半径，即可求得．
跟踪训练3　(1)已知圆(x－1)2＋y2＝1上的点到直线y＝kx－2的距离的最小值为1，则实数k＝________；
(2)已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，求的最大值．
教材反思
1．本节课的重点是会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征，能根据所给条件求圆的标准方程，掌握点与圆的位置关系．难点是根据所给条件求圆的标准方程．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)直接法求圆的标准方程；
(2)待定系数法求圆的标准方程；
(3)求与圆有关的最值的方法．
易错点　本节课的易错点是求圆的标准方程中易漏解．
2．3　圆及其方程
2．3.1　圆的标准方程
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
1．(x－a)2＋(y－b)2＝r2　2.x2＋y2＝r2
知识点二
d＞r　d＝r　d＜r
[基础自测]
1．解析：圆心M(2，3)，半径r＝2，∵|PM|＝＝＜r，∴点P在圆内．
答案：C
2．解析：由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，－3)，半径为.
答案：D
3．解析：圆心坐标为(1，2)，半径r＝＝5，
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
4．解析：圆心是(－2，0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.
答案：(x＋2)2＋y2＝4
课堂探究·素养提升
例1　解析：(1)设圆心坐标为(0，b)，
则由题意知，解得b＝2.
故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
(2)设此直径两端点分别为(a，0)，(0，b)，由于圆心坐标为(2，－3)，所以a＝4，b＝－6，所以圆的半径r＝，从而所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
答案：(1)A　(2)A
跟踪训练1　解析：因该圆与x轴相切，则圆的半径r等于圆心纵坐标的绝对值，所以圆的方程为(x＋5)2＋(y－4)2＝16.
答案：C
例2　解析：方法一：设点C为圆心，
∵点C在直线：x－2y－3＝0上，
∴可设点C的坐标为(2a＋3，a)．
又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.
∴＝，
解得a＝－2.
∴圆心坐标为C(－1，－2)，半径r＝.
故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
方法二：设所求圆的标准方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由条件知解得
故所求圆的标准方程为
(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
方法三：线段AB的中点为(0，－4)，kAB＝＝，
所以弦AB的垂直平分线的斜率k＝－2，
所以线段AB的垂直平分线的方程为y＋4＝－2x，
即y＝－2x－4.
故圆心是直线y＝－2x－4与直线x－2y－3＝0的交点，由
即圆心为(－1，－2)，圆的半径为
r＝＝.
所以所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
跟踪训练2　解析：方法一：设圆的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．
则
所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.
方法二：因为圆过A(5，2)，B(3，－2)两点，
所以圆心一定在线段AB的中垂线上．
AB中垂线的方程为y＝－ (x－4)，
令y＝0，得x＝4.即圆心坐标为C(4，0)，
所以r＝|CA|＝ +＝.
所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.
例3　解析：(1)原点到圆心C(－1，0)的距离d＝1，圆的半径为，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝.
(2)P(x，y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2，圆心C(3，0)，圆心C到直线x－y＋1＝0的距离d＝=2，所以点P到直线x－y＋1＝0的距离的最大值为2＋2，最小值为2－2.
跟踪训练3　解析：(1)由－1＝1解得k＝－或0.
(2)的几何意义是圆上的点P(x，y)到点A(1，1)的距离，因此最大值为点A到圆心的距离加上半径即＋1.
答案：(1)－或0　(2)＋12．3.2　圆的一般方程
[课标解读]　回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程．
教材要点
知识点一　圆的一般方程的概念
当________________________时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
知识点二　圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为________________，半径长为________________．
知识点三　对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明
方程 条件 图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示一个点
D2＋E2－4F＞0 表示以为圆心，以为半径的圆
状元随笔　所有二元二次方程均表示圆吗？
[提示]　不是，Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0，只有在A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4AF＞0时才表示圆．
基础自测
1．圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心坐标及半径分别为(　　)
A．(2，0)，5 B．(2，0)，
C．(0，2)， D．(2，2)，5
2．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为(　　)
A．－1 B．1
C．3 D．－3
3．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长为________．
4．原点O与圆：x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(0题型1　圆的一般方程的概念辨析
例1　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
状元随笔　(1)根据表示圆的条件求m的取值范围；
(2)将方程配方，根据圆的标准方程求解．
方法归纳
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：
1．由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F>0，成立则表示圆，否则不表示圆．
2．将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．
[提醒]　应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．
跟踪训练1　下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．
(1)x2＋y2＋x＋1＝0；
(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；
(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．
题型2　求圆的一般方程
例2　已知△ABC的三个顶点分别为A(－1，5)，B(－2，－2)，C(5，5)，则其外接圆的方程为____________．
状元随笔　由条件，所求圆的圆心、半径均不明确，故设出圆的一般方程，用待定系数法求解．
方法归纳
应用待定系数法求圆的方程
1．如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；
2．如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
跟踪训练2　已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，求三角形ABC的外接圆的方程．
题型3　求动点的轨迹方程
例3　(1)已知Rt△ABC中，A(－1，0)，B(3，0)．求：直角顶点C的轨迹方程；
(2)公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知直角坐标系中A(－2，0)，B(2，0)，则满足|PA|＝2|PB|的点P的轨迹的圆心为________，面积为________．
状元随笔　设点P (x，y)，然后代入|PA|＝2|PB|，化简即可求出圆的方程．
方法归纳
求解与圆有关的轨迹问题的方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
跟踪训练3　(1)已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是(　　)
A．x2＋y2＝4
B．x2－y2＝4
C．x2＋y2＝4(x≠±2)
D．x2－y2＝4(x≠±2)
(2)已知动点M到点(8，0)的距离等于点M到点(2，0)的距离的2倍，求出点M的轨迹方程．
状元随笔　直角边垂直 斜率相乘等于－1 转化为方程 检验．
教材反思
1．本节课的重点是了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径，会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题，初步掌握求动点的轨迹方程的方法．难点是会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)二元二次方程表示圆的判定方法；
(2)应用待定系数法求圆的方程的方法；
(3)代入法求轨迹方程的一般步骤．
易错点　本节课的易错点是忽略二元二次方程表示圆的条件．
2．3.2　圆的一般方程
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
D2＋E2－4F＞0
知识点二
[基础自测]
1．解析：x2＋y2－4x－1＝0可化为(x－2)2＋y2＝5，∴圆心为(2，0)，半径r＝.
答案：B
2．解析：∵圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为(－1，2)，∴3x＋y＋a＝0过点(－1，2)，即－3＋2＋a＝0，∴a＝1.
答案：B
3．解析：由圆的方程可求得圆的半径r＝＝＝，所以圆的周长为2π.
答案：2π
4．解析：把(0，0)代入圆的方程左边，得(a－1)2.
因为a∈(0，1)，所以(a－1)2>0，故原点O在圆外．
答案：原点O在圆外
课堂探究·素养提升
例1　解析：(1)据题意知
D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，
即4m2＋4－4m2－20m＞0，
解得m＜，故m的取值范围为.
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝.
跟踪训练1　解析：(1)∵D＝1，E＝0，F＝1，
∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3＜0，
∴方程不表示任何图形．
(2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2，
∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，
∴方程表示点(－a，0)．
(3)两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，
D＝a，E＝－a，F＝0，∵a≠0，∴D2＋E2－4F＝2a2＞0，
∴方程表示圆，它的圆心为，
半径r＝＝|a|.
例2　解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F>0)，
由题意可得
解得
故圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.
答案：x2＋y2－4x－2y－20＝0
跟踪训练2　解析：设三角形ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F>0)
由题意得解得
即三角形ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
例3　解析：(1)方法一：(直接法)设C(x，y)，
则kAC＝，kBC＝.
因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，
即·＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
由于A、B、C不共线，所以y≠0.
故顶点C的轨迹方程为
x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
方法二：(定义法)设线段AB的中点为D，则D(1，0)．
由题意知|CD|＝|AB|＝2.
所以点C的轨迹是以D为圆心，以2为半径的圆，其方程为(x－1)2＋y2＝4.
由于直角顶点C不在直线AB上，
所以y≠0.
故顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
(2)设点P(x，y)，代入|PA|＝2|PB|得＝2，整理得3x2＋3y2－20x＋12＝0.
配方得＋y2＝.所以点P的轨迹的圆心为，半径为.圆的面积为 π.
答案：(1)见解析　(2) π
跟踪训练3　解析：(1)设P(x，y)，由条件知PM⊥PN，且PM，PN的斜率肯定存在，故kMP·kNP＝－1.即x2＋y2＝4，又当P，M，N三点共线时，不能构成三角形，所以x≠±2，即所求轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．
(2)设M(x，y)，则 ＝2，整理可得点M的轨迹方程为x2＋y2＝16.
答案：(1)C　(2)见解析2.3.3　直线与圆的位置关系
[课标解读]　1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
教材要点
知识点　直线与圆的位置关系的判定
设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线方程为Ax＋By＋C＝0，则：
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 ____个 ____个 ____个
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d____r d____r d____r
代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ____0 Δ____0 Δ____0
图形
基础自测
1．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A．相交　 　B．相切　　C．相离　　D．无法判断
2．设直线l过点P(－2，0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是(　　)
A．±1 B．± C．± D．±
3．直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　)
A．1 B．2 C．4　 D．4
4．若直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离，则m的取值范围是________．
题型1　直线与圆位置关系的判定
例1　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，直线与圆：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
状元随笔　可联立方程组，由方程组解的个数判断，也可通过圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断．
方法归纳
直线与圆的位置关系的判断方法
1．几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
2．代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
3．直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
跟踪训练1　已知圆C的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l的方程为y＝x＋m，求当m为何值时，
(1)直线平分圆；
(2)直线与圆相切；
(3)直线与圆有两个公共点．
题型2　直线与圆相切的有关问题
例2　过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程．
状元随笔　利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率，进而求出切线方程．
方法归纳
过一点的圆的切线方程的求法
1．点在圆上时
求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
2．点在圆外时
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．
跟踪训练2　求过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程．
状元随笔　切线的斜率不存在的情况，不要漏解．
题型3　圆的弦长问题
【思考探究】
1．已知直线l与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？
[提示]　将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|AB |＝ 求弦长．
2．若直线与圆相交、圆的半径为r、圆心到直线的距离为d，如何求弦长？
[提示]　通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长l＝2.
例3　直线l经过点P(5，5)并且与圆C：x2＋y2＝25相交截得的弦长为4，求l的方程．
状元随笔　设出点斜式方程，利用r、弦心距及弦长的一半构成三角形可求．
方法归纳
直线与圆相交时弦长的两种求法
1．几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有()2＋d2＝r2，则|AB|＝2.
图1　　　　　　　　　　　图2　
2．代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在且不为0)．
跟踪训练3　(1)圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为2，则此圆的方程为________；
(2)经过点P(2，－1)且被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长最短，求此时直线l的方程．
题型4　与圆有关的最值问题
例4　已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
状元随笔　的几何意义是圆上的点与原点构成直线的斜率，根据直线与圆相切求得．
跟踪训练4　已知实数x，y满足(x－3)2＋y2＝3，(1)的最大值是________，(2)x2＋y2的最大值是________，(3)2x－y的取值范围是________.
状元随笔
1．形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．
2．形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题．
3．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
教材反思
1．本节课的重点是理解直线和圆的三种位置关系，会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系，能解决直线与圆位置关系的综合问题．难点是解决直线与圆的位置关系．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)直线与圆位置关系的判断方法．
(2)求圆的切线的方法．
(3)求直线与圆相交时弦长的方法．
易错点　本节课的易错点是在解决直线与圆位置关系问题时易漏掉斜率不存在的情况．
2．3.3　直线与圆的位置关系
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点
2　1　0　＜　＝　＞　＞　＝　＜
[基础自测]
1．解析：圆心(0，0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1，又圆x2＋y2＝1的半径r＝1，∴d＝r，故直线与圆相切．
答案：B
2．解析：设l：y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.又l与圆相切，∴＝1.∴k＝±.
答案：C
3．解析：圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心(1，2)到直线x＋2y－5＋＝0的距离d＝＝1，所以弦长为2＝4.
答案：C
4．解析：因为直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离，
所以>，解得m＜－2或m＞2.
答案：m＜－2或m＞2
课堂探究·素养提升
例1　解析：方法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程，化简、整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
∵Δ＝4m(3m＋4)，
∴(1)当Δ＞0，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
(3)当Δ＜0，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
方法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为(2，1)，半径r＝2.
圆心(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离
d＝＝.
(1)当d＜2，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
(3)当d＞2，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
跟踪训练1　解析：(1)因为直线平分圆，所以圆心(1，1)在直线y＝x＋m上，故有m＝0.
(2)因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
所以d＝＝＝2，m＝±2，
即m＝±2时，直线l与圆相切．
(3)直线与圆有两公共点，d＜r，即＜2，所以－2＜m＜2时有两个公共点．
例2　解析：因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，
所以点A在圆外．
①若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)．
因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径，半径为1，
所以＝1，即|k＋4|＝，
所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－.
所以切线方程为y＋3＝－(x－4)，
即15x＋8y－36＝0.
②若直线斜率不存在，
圆心C(3，1)到直线x＝4的距离为1，
这时直线与圆相切，所以另一条切线方程是x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
跟踪训练2　解析：由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，
则切线方程为y＋7＝k(x－1)，
即kx－y－k－7＝0.∴＝5，
解得k＝或k＝－.
∴所求切线方程为y＋7＝(x－1)或
y＋7＝－(x－1)，
即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.
例3　解析：据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
方法一：联立方程组
消去y，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.
由Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0，
解得k＞0.又x1＋x2＝－，
x1x2＝，
由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2)．
∴|AB|＝
＝
＝
＝
＝4.
两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，解得k＝或k＝2符合题意．
故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
方法二：如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半．
在Rt△AHO中，|OA|＝5，
|AH|＝|AB|＝×4＝2，
则|OH|＝＝.
∴＝，解得k＝或k＝2.
∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
跟踪训练3　解析：(1)圆心到直线的距离d＝＝，由于弦心距d、半径r及弦长的一半构成直角三角形，所以r2＝d2＋()2＝4，所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
(2)圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝25.圆心C(3，1)．所以点P在圆内．当CP⊥l时，弦长最短．
又kCP＝＝2.所以kl＝－，所以直线l的方程为y＋1＝－(x－2)，即x＋2y＝0.
答案：(1)(x－2)2＋(y＋1)2＝4　(2)见解析
例4　解析：(1)原方程表示以点(2，0)为圆心，以为半径的圆，设＝k，即y＝kx，
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时＝，解得k＝±.
故的最大值为，最小值为－.
(2)设y－x＝b，即y＝x＋b，
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，
即b＝－2±.
故y－x的最大值为－2＋，
最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.
跟踪训练4　解析：(3)设2x－y＝b，则2x－y－b＝0，
当圆心(3，0)到直线2x－y－b＝0的距离小于等于时，直线与圆有交点．令d＝，
得：6－≤b≤6＋.
答案：(1)　(2)12＋6　(3)[6－，6＋]2.3.4　圆与圆的位置关系
[课标解读]　1.能根据给定直线、圆的方程，判断圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
教材要点
知识点一　圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种，分别为________、________、________、________、________．
知识点二　圆与圆的位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1、r2的关系 ________ ________ ________ ________ ________
(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
一元二次方程
知识点三　两圆的公切线
两圆相离时，有四条公切线；外切时，有三条公切线；相交时，有两条公切线；内切时，仅有一条公切线；内含时，没有公切线．
基础自测
1．两圆x2＋y2＝r2与(x－2)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)外切，则r的值是(　　)
A． B．5
C． D．2
2．两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是(　　)
A．外离　　B．相交
C．内切 D．外切
3．已知两圆的半径分别为方程x2－7x＋12＝0的两个根，如果圆心距|O1O2|＝8，则两圆的位置关系是(　　)
A．外离 B．外切
C．内切 D．相交
4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．
题型1　圆与圆位置关系的判定
例1　当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？
状元随笔　→利用|C1C2|与|r1－r2|和r1＋r2的关系求k
方法归纳
1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围问题有以下几个步骤：
(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；
(2)计算两圆圆心的距离d；
(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．
2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．
跟踪训练1　已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．
题型2　两圆相交的有关问题
例2　已知两圆x2＋y2＋4x－6y＋12＝0与x2＋y2－2x－14y＋15＝0.
(1)公共弦所在直线的方程是(　　)
A．x－3y＋1＝0
B．6x＋2y－1＝0
C．6x＋8y－3＝0
D．3x－y＋5＝0
(2)求两圆相交所得公共弦的弦长．
方法归纳
1．求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数．
2．求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．
3．已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1).
跟踪训练2　(1)求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长；
(2)两圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
题型3　圆与圆的相切问题
【思考探究】
1．圆与圆相切是什么意思？
[提示]　两圆相切指得是内切和外切两种情况．
2．两圆相切可用什么方法求解？
[提示]　(1)几何法，利用圆心距d与两半径R，r之间的关系求得
d＝R＋r为外切，d＝|R－r|为内切．
(2)代数法，将两圆联立消去x或y得到关于y或x的一元二次方程，利用Δ＝0求解．
例3　求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
状元随笔　设圆的方程，利用两圆外切和直线与圆相切建立方程组求得．
方法归纳
处理两圆相切问题的两个步骤
1．定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论．
2．转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．
跟踪训练3　已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　)
A．(x－5)2＋(y－7)2＝25
B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y－7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
教材反思
1．本节课的重点是理解并掌握圆与圆的位置关系，会利用方程判断圆与圆的位置关系，以及解决有关问题，难点是利用方程判断圆与圆的位置关系及利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)判断两圆位置关系的方法及应用．
(2)求两圆公共弦长的方法．
易错点　本节课的易错点是判断两圆位置关系时易忽略相切的两种情况而丢解．
2．3.4　圆与圆的位置关系
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
外离　外切　相交　内切　内含
知识点二
(1)d＞r1＋r2　d＝r1＋r2　|r1－r2|＜d＜r1＋r2　d＝|r1－r2|　d＜|r1－r2|　(2)相交　内切或外切　外离或内含
[基础自测]
1．解析：∵两圆外切，∴圆心距d＝＝2r，解得r＝.
答案：C
2．解析：两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的圆心分别为(0，0)和(4，－3)，半径分别为3和4.
所以两圆的圆心距d＝＝5.
又4－3<5<3＋4，故两圆相交．
答案：B
3．解析：依题意r1＋r2＝7，又|O1O2|＝8，故选A.
答案：A
4．解析：圆的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10，又x2＋y2＝10，两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.
答案：x＋3y＝0
课堂探究·素养提升
例1　解析：将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，
C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.
圆C1的圆心为C1(－2，3)，半径r1＝1；
圆C2的圆心为C2(1，7)，半径r2＝(k＜50)．
从而|C1C2|＝＝5.
当1＋＝5，k＝34时，两圆外切．
当|－1|＝5，＝6，k＝14时，两圆内切．
当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，
即14＜k＜34时，两圆相交．
当1＋＜5或|－1|＞5，
即k＜14或34＜k＜50时，两圆相离．
跟踪训练1　解析：圆C1，C2的方程，经配方后可得
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1.
∴|C1C2|＝＝a.
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；
当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．
(2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交．
(3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离．
(4)当|C1C2|＜3，即0例2　解析：(1)两圆方程x2＋y2＋4x－6y＋12＝0与x2＋y2－2x－14y＋15＝0相减，可得公共弦所在直线方程为6x＋8y－3＝0.
(2)x2＋y2＋4x－6y＋12＝0化成标准方程得，
(x＋2)2＋(y－3)2＝1，
所以弦长为2＝2 ＝.
答案：(1)C　(2)见解析
跟踪训练2　解析：(1)联立两圆的方程得方程组
两式相减得x－2y＋4＝0，
此即为两圆公共弦所在直线的方程．
方法一：设两圆相交于点A，B，则A，B两点坐标满足方程组
解得或
所以|AB|＝＝2，即公共弦长为2.
方法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，
得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r＝5，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为
d＝＝3.
设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，
即50＝ (3)2＋l2，解得l＝，故公共弦长2l＝2.
(2)圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，
圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，
∴|C1C2|＝＝，0<<4，两圆相交，公切线有2条．
答案：(1)见解析　(2)B
例3　解析：设所求圆的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，
则＝r＋1.　①
又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0，
故＝.　②
＝r.　③
解由①②③组成的方程组得
a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6.故所求圆的方程为
(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
跟踪训练3　解析：设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.
答案：D

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