资源简介

6.1　导数
6．1.1　函数的平均变化率
通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．
新知初探·自主学习——突出基础性
教 材 要 点
知识点一　函数的平均变化率
函数的平均变化率的定义
一般地，已知函数y＝f(x)，x1，x2是其定义域内不同的两点，记Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)，
则当Δx≠0时，商________＝
称作函数y＝f(x)在区间[x1，x2](或[x2，x1])的平均变化率．
知识点二　函数的平均变化率的几何意义即割线
的斜率
已知y＝f(x)图象上两点A(x1，f(x1))，B(x1＋Δx，f(x1＋Δx))，过A，B两点割线的斜率是________________，即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．
知识点三　函数的平均变化率的物理意义即平均
速度
物体在某段时间内的平均速度即函数的平均变化率．
　基 础 自 测
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)Δx表示x2－x1，是相对于x1的一个增量，Δx的值可正可负，但不可为零．(　　)
(2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负，也可以为零．(　　)
(3)表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率．(　　)
(4)平均速度是刻画某函数在区间[x1，x2]上的变化快慢的物理量．(　　)
2．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上点P(1，2)及邻近点Q(1＋Δx，2＋Δy)，则割线PQ的斜率为(　　)
A．4 B．4x
C．4＋2Δx2D．4＋2Δx
3．如图，函数y＝f(x)在[1，3]上的平均变化率为(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
4．如果质点M按规律s＝3＋t2(s的单位是m，t的单位是s)运动，则在时间段[2，2.1]内质点M的平均速度等于(　　)
A．3 m/sB．4 m/s
C．4.1 m/sD．0.41 m/s
课堂探究·素养提升——强化创新性
　
　求函数的平均变化率
例1　(1)已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1，1)及邻近一点(1＋Δx，1＋Δy)，则＝(　　)
A．4 B．4x
C．4＋2ΔxD．4＋2(Δx)2
(2)已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．
状元随笔　(1)由Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(1＋Δx)－f(1)可得．
(2)
方法归纳
1．求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1；
第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；
第三步，求平均变化率＝.
2．求平均变化率的一个关注点
求点x1附近的平均变化率，可用
的形式．
跟踪训练1　函数y＝x2＋1在[1，1＋Δx]上的平均变化率是(　　)
A．2 B．2x
C．2＋Δx D．2＋(Δx)2
　求物体在某段时间内的平均速度
例2　质点运动规律s＝gt2，则在时间区间(3，3＋Δt)内的平均速度等于________．(g＝10 m/s2)
方法归纳
求运动物体平均速度的两个步骤
1．求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
2．求平均速度＝.
跟踪训练2　一质点按运动方程s(t)＝作直线运动，则其从t1＝1到t2＝2的平均速度为(　　)
A．－1 B．－
C．－2 D．2
　平均变化率的几何意义
例3　已知曲线y＝x2－1上两点A(2，3)，B(2＋Δx，3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________．
,
方法归纳
已知y＝f(x)图象上两点A(x1，f(x1))，B(x1＋Δx，f(x1＋Δx))，过A，B两点割线的斜率是＝，即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．
跟踪训练3　已知函数y＝x2－1的图象上一点A(3，8)及邻近一点B(3＋Δx，8＋Δy)，则割线AB的斜率等于(　　)
A．6 B．6＋Δx
C．6＋(Δx)2 D．6x
　以直代曲
例4　
刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，如图是半径为1尺的圆内接正六边形，若用该正六边形的面积近似代替圆的面积，则该圆的面积的近似值为________．
方法归纳
以直代曲思想用来研究函数的局部性质，重在体会“无限逼近”“量变到质变”“近似与精确”的思想．
跟踪训练4　已知函数f(x)的部分图象如图所示．若把曲线AB近似地看成线段，则图中阴影部分的面积近似为________．
6．1.1　函数的平均变化率
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
知识点二
＝
[基础自测]
1．答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2．解析：＝＝4＋2Δx.
答案：D
3．解析：＝＝－1.
答案：B
4．解析：平均速度＝＝＝＝4.1(m/s)，故选C.
答案：C
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[2(1＋Δx)2－1]－1＝＋4Δx，∴＝2Δx＋4.
(2)自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为
＝＝；
自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为
＝＝.
因为<，所以函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．
【答案】　(1)C　(2)见解析
跟踪训练1　解析：∵Δy＝[(1＋Δx)2＋1]－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2，
∴＝＝2＋Δx，故选C.
答案：C
例2　【解析】　Δs＝g×(3＋Δt)2－g×32＝×10×[6Δt＋(Δt)2]＝30Δt＋5(Δt)2，＝＝30＋5Δt.
【答案】　30＋5Δt
跟踪训练2　解析：＝＝－1＝－.
答案：B
例3　【解析】　当Δx＝1时，割线AB的斜率k1＝＝＝＝5.
当Δx＝0.1时，割线AB的斜率k2＝＝＝4.1.
【答案】　5　4.1
跟踪训练3　解析：因为Δy＝(3＋Δx)2－1－32＋1＝6Δx＋(Δx)2，所以＝＝6＋Δx，故选B.
答案：B
例4　【解析】　S正六边形＝6×＝.
【答案】　
跟踪训练4　解析：若把曲线AB近似看成线段，则阴影部分的面积近似为直角三角形的面积S＝×1×3＝.
答案：6．1.2　导数及其几何意义
第1课时　瞬时变化率与导数
1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想．
2．体会极限思想．
新知初探·自主学习——突出基础性
教 材 要 点
知识点　瞬时变化率与导数
(1)物体运动的瞬时速度
设物体运动路程与时间的关系是s＝f(t)，当________时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率________________趋近于常数，我们把这个常数称为t0时刻的瞬时速度．
(2)函数的瞬时变化率
设函数y＝f(x)在x0及其附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变量为Δx时，函数值相应地改变Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果当Δx趋近于0时，平均变化率________________趋近于一个常数k，那么常数k称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率．
记作：当Δx→0时，→k.
还可以说：当Δx→0时，函数平均变化率的极限等于函数在x0的瞬时变化率k，记作
(3)函数f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在点x0的________，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作________，即f′(x0)＝________________．
　基 础 自 测
1．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________．
2．一物体的运动方程为s(t)＝t2－3t＋2，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
3．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　)
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
4．如果函数y＝f(x)在x＝1处的导数为1，那么＝(　　)
A． B．1
C．2 D．
　课堂探究·素养提升——强化创新性
　求瞬时速度
例1　以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为________．
状元随笔　先求出，再求
,
方法归纳
1．求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
(2)求平均速度＝；
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度．
2．求(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法
(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．
(2)求出的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．
跟踪训练1　一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s)．
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．
　求函数在某点处的导数
例2　(1)曲线y＝在点处的导数为(　　)
A．2 B．－4
C．3 D．
(2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数．
状元随笔　求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f ′(x0)．
方法归纳
1．通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy与Δx的比值，感受和认识在Δx逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数k这一现象．
2．用定义求函数在x＝x0处的导数的步骤
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率；
(3)求极限，得导数为f′(x0)＝.
简记为：一差、二比、三趋近．
跟踪训练2　求函数f(x)＝x－在x＝1处的导数．
　导数的实际意义
例3　已知某产品的总成本函数为C＝2Q2＋Q＋3，总成本函数在Q0处导数f′(Q0)称为在Q处的边际成本，用MC(Q0)表示．求边际成本MC(200)，并说明它的实际意义．
方法归纳
由Δx很小时，f(x0＋Δx)－f(x0)≈f′(x0)·Δx，瞬时变化率f′(x0)的实际意义为：当自变量在x＝x0处的改变量很小时，因变量对应的改变量的近似值为f′(x0)·Δx.
跟踪训练3　半径为R的气球，求半径为1时体积的瞬时变化率，并说明这一瞬时变化率的实际意义．
6．1.2　导数及其几何意义
第1课时　瞬时变化率与导数
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点
(1)Δt趋近于0　
(2)＝
(3)瞬时变化率　f′(x0)　
[基础自测]
1．解析：∵f(x)＝x2，
∴函数f(x)在x＝1处的瞬时变化率是
＝
＝
＝＝2.
答案：2
2．解析：设物体在t＝t0时的瞬时速度为1，
因为＝＝＝2t0－3＋Δt，
所以＝2t0－3＝1，解得t0＝2.
答案：2
3．解析：f′(x0)＝＝＝a.
答案：C
4．解析：因为f′(1)＝1，所以＝1，
所以＝＝.
答案：A
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　∵Δs＝＝v0Δt－gt0Δt－g(Δt)2，
∴＝v0－gt0－gΔt，
∴＝v0－gt0，
即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.
【答案】　v0－gt0
跟踪训练1　解析：(1)初速度v0＝
＝＝＝3，
即物体的初速度为3 m/s.
(2)v瞬＝
＝
＝
＝＝－1，
即物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度方向相反．
例2　【解析】　(1)因为y′＝＝＝＝－，所以曲线在点处的切线斜率为k＝－4，故选B.
(2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝，
∴＝6＋3Δx，
∴f′(1)＝＝＝6.
【答案】　(1)B　(2)见解析
跟踪训练2　解析：∵Δy＝(1＋Δx)－
＝Δx＋1－＝Δx＋，
∴＝＝1＋，
∴f′(1)＝＝＝2.
例3　【解析】　设Q＝200时，产量的改变量为ΔQ，则＝
＝2ΔQ＋801.
则MC(200)＝＝801，
即产量为200的边际成本为801，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加801.
跟踪训练3　解析：半径为R的气球体积为f(R)＝πR3，
设R＝1时，半径的改变量为ΔR，则
＝＝π[3＋3ΔR＋(ΔR)2]，
∴f′(1)＝π·[3＋3ΔR＋(ΔR)2]＝4π，
∴球的体积在半径R＝1时的瞬时变化率为4π，
实际意义是，当气球的半径R＝1时，半径改变量ΔR很小时，其体积的改变量近似值为4π·ΔR.第2课时　导数的几何意义
通过函数图象直观理解导数的几何意义．
新知初探·自主学习——突出基础性
知识点　导数的几何意义
曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数f′(x0)的几何意义为________________________．
　
基 础 自 测
1.已知曲线y＝x2上一点A(2，4)，则在点A处的切线斜率为(　　)
A．4 B．16
C．8 D．2
2．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)
A.f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
3．已知函数y＝f(x)在点(2，1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则f′(2)＝(　　)
A．1 B．－1
C．－3 D．3
4．已知曲线f(x)＝x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
　课堂探究·素养提升——强化创新性
　求曲线在某点处切线的方程
例1　已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；
(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
状元随笔　(1)先求切点坐标，再求y′，最后利用导数的几何意义写出切线方程．
(2)将切线方程与曲线C的方程联立求解．
,
方法归纳
1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤
(1)求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)；
(2)写出切线方程，即y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为，此时所求的切线平行于y轴，所以曲线的切线方程为x＝x0.
2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．
跟踪训练1　已知曲线y＝x3＋，求曲线在点P(2，4)处的切线方程．
　求切点坐标
例2　已知抛物线y＝2x2＋1.求：
(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？
(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0
状元随笔　
跟踪训练2　已知函数f(x)＝x2.在曲线y＝f(x)上某点P的切线满足下列条件，分别求出P点．
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)与x轴成135°的倾斜角．
方法归纳
根据切线斜率求切点坐标的步骤
1．设切点坐标(x0，y0)；
2．求导函数f′(x)；
3．求切线的斜率f′(x0)；
4．由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；
5．点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0，得切点坐标．
　曲线过某点的切线方程
例3　求抛物线y＝x2过点(4，)的切线方程．
方法归纳
过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求解步骤
(1)设切点(x0，f(x0))．
(2)建立方程f′(x0)＝.
(3)解方程得k＝f′(x0)，由x0，f(x0)及k，从而写出切线方程．
跟踪训练3　求过点(－1，0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程．
　利用图象理解导数的几何意义
例4　(1)已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是(　　)
A．0B．0C．0D．0(2)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　)
,
方法归纳
根据导数的几何意义可知，f′(x0)能反映曲线f(x)在x＝x0处的升降及变化快慢情况，若f′(x0)>0，则曲线在该点处上升，若f′(x0)<0，则曲线在该点处下降．
跟踪训练4　
已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)在A，B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为f′(a)________f′(b)(填“＜”或“＞”)．
第2课时　导数的几何意义
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点
曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率
[基础自测]
1．解析：k＝＝4.
答案：A
2．解析：由导数的几何意义，知f′(xA)，f′(xB)分别是曲线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)答案：B
3．解析：由题意知切线的斜率为3，即f′(2)＝3.
答案：D
4．解析：设切点坐标为(x0，y0)，∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝－x0＝＋Δx，∴＝x0＋Δx＋1，∴f′(x0)＝＝x0＋1.则f′(x0)＝x0＋1＝3，∴x0＝2.
答案：D
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1，1)．
y′＝＝
＝＝3.
∴k＝3.
∴曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，
即3x－y－2＝0.
(2)由
解得或
从而求得公共点为P(1，1)或M(－2，－8)，
即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)．
跟踪训练1　解析：∵P(2，4)在曲线y＝x3＋上，
∴曲线在点P(2，4)处切线的斜率为
k＝
＝(Δx)2]＝4.
∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
例2　【解析】　设切点的坐标为(x0，y0)，则
Δy＝－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.
∴＝4x0＋2Δx.
∴f′(x0)＝＝4x0.
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，
∴斜率为tan 45°＝1，
即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，该点为()．
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴斜率为4，
即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1，3)．
跟踪训练2　解析：设P(x0，y0)是满足条件的点，
f′(x0)＝
＝＝2x0.
(1)∵切线与直线y＝4x－5平行，
∴2x0＝4，x0＝2，y0＝4，
即P(2，4)是满足条件的点．
(2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，
∴2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，
即P(－)是满足条件的点．
(3)∵切线与x轴成135°的倾斜角，
∴其斜率为－1.
即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，
即P(－)是满足条件的点．
例3　【解析】　设过点(4，)的切线与抛物线相切于点)，
∵f′(x0)＝
＝x0＋Δx)＝x0，
＝x0，
即－8x0＋7＝0，解得x0＝7或x0＝1，
即切点坐标为(7，)，(1，)，
故切线方程为y－＝(x－7)或y－＝(x－1)，
化简得14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0，
即所求的切线方程为14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0.
跟踪训练3　解析：设切点为＋x0＋1)，
则切线的斜率为
k＝＝2x0＋1.
又k＝＝，
∴2x0＋1＝，
解得x0＝0或x0＝－2.
当x0＝0时，切线斜率k＝1，过点(－1，0)的切线方程为y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0.
当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过点(－1，0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.
故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.
例4　【解析】　(1)kAB＝＝f(3)－f(2)，
f′(2)为函数f(x)的图象在点B(2，f(2))处的切线的斜率，
f′(3)为函数f(x)的图象在点A(3，f(3))处的切线的斜率，
根据图象可知0(2)依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足．
【答案】　(1)C　(2)A
跟踪训练4　解析：f′(a)与f′(b)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，由图象可得f′(a)＞f′(b)．
答案：>6．1.3　基本初等函数的导数
1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．
2．能使用给出的基本初等函数的导数公式表求简单函数的导数．
教 材 要 点
知识点一　函数的导数
一般地，如果函数y＝f(x)在其定义域内的每一点x________，则称f(x)可导．此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个________．于是，在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f(x)的导函数，记作__________________________________，
即f′(x)＝y′＝y′x＝.
导函数通常也简称为导数．
知识点二　几个常用函数的导数
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝________
f(x)＝x f′(x)＝________
f(x)＝x2 f′(x)＝________
f(x)＝ f′(x)＝________
f(x)＝ f′(x)＝
知识点三　基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
y＝c y′＝________
y＝xn(n∈N＋) y′＝________，n为正整数
y＝xμ(x＞0，μ≠0且μ∈Q) y′＝________，μ为有理数
y＝ax(a＞0，a≠1) y′＝________
y＝ex y′＝________
y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0) y′＝________
y＝ln x y′＝________
y＝sin x y′＝________
y＝cos x y′＝________
基 础 自 测
1.给出下列结论：
①若y＝，则y′＝－；
②若y＝，则y′＝；
③若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.
其中正确的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．0
2.给出下列命题：
①y＝ln 2，则y′＝；
②y＝，则y′＝－；
③y＝2x，则y′＝2x ln 2；
④y＝log2x，则y′＝.
其中正确命题的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
3.若函数f(x)＝10x，则f′(1)＝(　　)
A． B．10
C．10ln 10 D．
4.已知f(x)＝xα(α∈Q＋)，若f′(1)＝，则α＝(　　)
A． B．
C． D．
课堂探究·素养提升——强化创新性
　利用导数公式求函数的导数
例1　求下列函数的导数：
(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝3x；(5)y＝log5x.
状元随笔　首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．
方法归纳
1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．
2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．
3．要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别．
跟踪训练1　若f(x)＝x3，g(x)＝log3x, 则f′(x)－g′(x)＝________．
　利用公式求函数在某点处的导数或者切线方程
例2　(1)质点的运动方程是s＝sin t，求质点在t＝时的速度．
(2)已知函数f(x)＝在x＝a处的导数为－2，则实数a的值是________．
状元随笔　先求s ′(t)，再求s ′.
方法归纳
1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．
2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．
跟踪训练2　(1)求函数f()＝在(1，1)处的导数；
(2)求函数f(x)＝cos x在()处的导数．
　求曲线过某点的切线方程
【思考探究】
1．若函数y＝f(x)在点x0处的导数存在，则曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是什么？
[提示]　根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
2．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？
[提示]　不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．
3．函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系？
[提示]　区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．
联系：函数f(x)在x0处的导数就是导函数f′(x)在x＝x0时的函数值．
例3　已知曲线f(x)＝.
(1)求曲线过点A(1，0)的切线方程；
(2)求满足斜率为－的曲线的切线方程．
状元随笔　(1)点A不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A(1，0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程．
(2)设出切点坐标，由该点斜率为－，求出切点，进而求出切线方程．
方法归纳
1．求曲线过已知点的切线方程的步骤
2．若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程．
跟踪训练3　试求过点P(3，5)且与曲线y＝x2相切的直线方程．
　导数公式的应用
例4　(1)点P是曲线y＝ex上的任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
(2)已知函数y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝________．
方法归纳
求曲线方程或切线方程时，应注意：
1．切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；
2．曲线在切点处的导数就是切线的斜率；
3．必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．
4．“求某曲线上任意一点到某已知直线的最小距离”问题，可结合图形，利用等价转化思想，将问题转化为求曲线平行于已知直线的切线的切点问题，从而借助导数的几何意义进行求解．
其基本步骤与方法如下：
(1)根据切线与已知直线平行，它们的斜率相等，得到切线的斜率．
(2)根据导数的几何意义，由切线的斜率得到切点的横坐标．
(3)由切点在曲线上，求得切点的纵坐标，得到切点的坐标．
(4)利用点到直线的距离公式求得最小距离．
跟踪训练4　(1)已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最小距离．
(2)已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________．
6．1.3　基本初等函数的导数
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
都可导　确定的导数f′(x)　f′(x)或y′(或y′x)
知识点二
0　1　2x　－
知识点三
0　nxn－1　μxμ－1　axln a　ex　　cosx　－sinx
[基础自测]
1．解析：对于①，y′＝(x－3)′＝，正确；
对于②，y′＝，不正确；
对于③，f′(x)＝3，故f′(1)＝3，正确．
答案：B
2．解析：对于①，y′＝0，故①错；显然②③④正确，故选C.
答案：C
3．解析：∵f′(x)＝10xln 10，∴f′(1)＝10ln 10.
答案：C
4．解析：∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝.
答案：D
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)y′＝(x12)′＝12x11.
(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.
(3)y′＝()′＝′＝.
(4)y′＝(3x)′＝3xln 3.
(5)y′＝(log5x)′＝.
跟踪训练1　解析：∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝，
∴f′(x)－g′(x)＝3x2－.
答案：3x2－
例2　【解析】　(1)v(t)＝s′(t)＝cos t，∴v＝cos＝.
即质点在t＝时的速度为.
(2)f′(x)＝－，当x＝a时，f′(a)＝－＝－2，即a＝±.
【答案】　(1)见解析　(2)±
跟踪训练2　解析：(1)∵f′(x)＝′＝′＝＝－，
∴f′(1)＝－＝－.
(2)∵f′(x)＝－sinx，
∴f′＝－sin＝－.
例3　【解析】　(1)f′(x)＝－.
设过点A(1，0)的切线的切点为P，①
则f′(x0)＝，即该切线的斜率为k＝.
因为点A(1，0)，P在切线上，
所以＝，②
解得x0＝.故切线的斜率k＝－4.
故曲线过点A(1，0)的切线方程为y＝－4(x－1)，
即4x＋y－4＝0.
(2)设斜率为－的切线的切点为Q，
由(1)知，k＝f′(a)＝－＝－，得a＝±.
所以切点坐标为()或(－，－)．
故满足斜率为－的曲线的切线方程为
y－＝－(x－)或y＋＝－(x＋)，
即x＋3y－2＝0或x＋3y＋2＝0.
跟踪训练3　解析：y′＝2x.
设所求切线的切点为A(x0，y0)．
∵点A在曲线y＝x2上，
∴y0＝，
又∵A是切点，
∴过点A的切线的斜率k＝2x0，
∵所求切线过P(3，5)和A(x0，y0)两点，
∴其斜率为＝.
∴2x0＝，
解得x0＝1或x0＝5.
从而切点A的坐标为(1，1)或(5，25)．
当切点为(1，1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2；
当切点为(5，25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10.
∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，即2x－y－1＝0和10x－y－25＝0.
例4　【解析】　(1)如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y ′＝(ex) ′＝ex，
＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0，1)．
利用点到直线的距离公式得最小距离为.
(2)设切点为(x0，y0)，∵y′＝，∴k＝，
∴y＝·x，又点(x0，y0)在曲线y＝lnx上，
∴y0＝lnx0，∴lnx0＝，∴x0＝e，∴k＝.
【答案】　(1)见解析　(2)
跟踪训练4　解析：(1)∵y＝x2，∴y′＝(x2)′＝2x.根据题意可知，与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线所对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最小，设切点坐标为)，则2x0＝1，
所以x0＝，所以切点坐标为()，切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝，所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最小距离为.
(2)设切点为(x0，y0)．
因为y′＝3xln 3，
所以k＝ln 3，
所以y＝ln 3·x，
又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，
所以ln 3·x0＝，
所以x0＝＝log3e.
所以k＝eln 3.
答案：(1)见解析　(2)eln 36．1.4　求导法则及其应用
1.能使用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数的导数(限于形如f(ax＋b))的导数．
2．会使用导数公式表．
新知初探·自主学习——突出基础性
1.能使用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数的导数(限于形如f(ax＋b))的导数．
2．会使用导数公式表．
知识点一　导数的运算法则
1．和差的导数
[f(x)±g(x)]′＝________________．
2．积的导数
(1)[f(x)g(x)]′＝________________；
(2)[Cf(x)]′＝________________．
3．商的导数
′＝________________________．
知识点二　复合函数的概念及求导法则
复合函数的概念　 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成________，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作________．
复合函数的求导法则　 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为＝________，即y对x的导数等于________________．
　基 础 自 测
1．下列运算中正确的是(　　)
A．若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2
B．已知函数y＝2sin x－cos x，则y′＝2cos x＋sin x
C．已知函数f(x)＝(x＋1)(x＋2)，则f′(x)＝2x＋1
D．′＝
2．函数f(x)＝xex的导数f′(x)＝(　　)
A．ex(x＋1) B．1＋ex
C．x(1＋ex) D．ex(x－1)
3．若函数f(x)＝exsin x，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为(　　)
A．B．0
C．钝角 D．锐角
4．函数f(x)＝sin (－x)的导函数f′(x)＝________.
　课堂探究·素养提升——强化创新性
　导数四则运算法则的应用
例1　求下列函数的导数．
(1)y＝x－2＋x2；
(2)y＝3xex－2x＋e；
(3)y＝；
(4)y＝x2－sincos.
方法归纳
1．解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．
2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．
跟踪训练1　已知f(x)＝，若f′(x0)＋f(x0)＝0，则x0的值为________．
　复合函数的导数
例2　求下列函数的导数．
(1)y＝e2x＋1；
(2)y＝；
(3)y＝5log2(1－x)；
(4)y＝sin3x＋sin3x.
状元随笔　先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导．
方法归纳
1．解答此类问题常犯两个错误
(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；
(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．
2．复合函数求导的步骤
跟踪训练2　求下列函数的导数．
(1)y＝cos (x＋3)；
(2)y＝(2x－1)3；
(3)y＝e－2x＋1.
　复合函数的导数的应用
【思考探究】
试说明复合函数y＝(3x＋2)2的导函数是如何得出的？
[提示]　函数y＝(3x＋2)2可看作函数y＝u2和u＝3x＋2的复合函数，
∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(3x＋2)′＝6u＝6(3x＋2).
例3　(1)已知函数f(x)＝ax2＋2ln (2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝相切，求实数a的值．
状元随笔　求出导数f ′(1)，写出切线方程，由直线l与圆C相切，建立方程求解．
(2)曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　)
A． B．2
C．3 D．0
方法归纳
关于复合函数导数的应用及其解决方法
1．复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．
2．方法：先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用．
跟踪训练3　(1)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________．
(2)曲线y＝f(x)＝e2x·cos 3x在点(0，1)处的切线与平行直线l的距离为，求直线l的方程．
6．1.4　求导法则及其应用
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
1．f′(x)±g′(x)
2．(1)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　(2)Cf′(x)
3.，g(x)≠0，g′(x)≠0
知识点二
x的函数　y＝f(g(x))　·　y对u的导数与u对x的导数的乘积
[基础自测]
1．解析：A项中，由f′(x)＝2x，则f(x)＝x2＋c，错误；B项中，由y＝2sin x－cos x，则y′＝(2sin x)′－(cos x)′＝2cos x＋sin x，正确；C项中，由f(x)＝(x＋1)(x＋2)＝x2＋3x＋2，所以f′(x)＝2x＋3，错误；D项中，′＝，错误．
答案：B
2．解析：f′(x)＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)，选A.
答案：A
3．解析：∵f′(x)＝ex sin x＋ex cos x，
∴f′(4)＝e4(sin 4＋cos 4).
∵π<4<π，∴sin 4<0，cos 4<0，∴f′(4)<0.
由导数的几何意义得，切线的倾斜角为钝角．
答案：C
4．解析：f′(x)＝[sin (－x)]′＝cos (－x)(－x)′
＝－cos x.
答案：－cos x
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)y′＝2x－2x－3.
(2)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2x ln 2.
(3)y′＝.
(4)∵y＝x2－sin cos ＝x2－sin x，
∴y′＝2x－cos x．
跟踪训练1　解析：∵f′(x)＝
＝(x≠0).
∴由f′(x0)＋f(x0)＝0，得
＋＝0，
解得x0＝.
答案：
例2　【解析】　(1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.
(2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4
＝－6(2x－1)－4＝－.
(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝.
(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sinx的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数．
∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′
＝3u2·cos x＋3cos v
＝3sin2x cos x＋3cos 3x.
跟踪训练2　解析：(1)函数y＝cos (x＋3)可以看作函数y＝cos u和u＝x＋3的复合函数，
由复合函数的求导法则可得
y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(x＋3)′
＝－sin u·1＝－sin u＝－sin (x＋3).
(2)函数y＝(2x－1)3可以看作函数y＝u3和u＝2x－1的复合函数，
由复合函数的求导法则可得
y′x＝y′u·u′x＝(u3)′·(2x－1)′
＝3u2·2＝6u2＝6(2x－1)2.
(3)函数y＝e－2x＋1可以看作函数y＝eu和u＝－2x＋1的复合函数，
由复合函数求导法则可得y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(－2x＋1)′＝eu·(－2)＝－2e－2x＋1.
例3　【解析】　(1)因为f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)，
所以f′(1)＝2a－2，
所以切线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0.
因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d＝＝，解得a＝.
(2)设曲线y＝ln (2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
∵y′＝，∴k＝＝2，解得x0＝1，
∴y0＝ln (2－1)＝0，即切点坐标为(1，0).
∴切点(1，0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝＝，
即曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.
【答案】　(1)见解析　(2)A
跟踪训练3　解析：(1)因为y＝3(x2＋x)ex，所以y′＝3(x2＋3x＋1)ex，所以y′|x＝0＝3，故曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为y－0＝3(x－0)，即y＝3x.
(2)y＝e2x·cos 3x的导数为y′＝2e2x·cos 3x＋(－3sin 3x)·e2x＝e2x·(2cos 3x－3sin 3x).曲线在点(0，1)处的切线斜率为e0·(2cos 0－3sin 0)＝2，
则曲线在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1，
设直线l：y＝2x＋t，由d＝＝，
解得t＝6或－4.
则直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.
答案：(1)y＝3x　(2)见解析

展开更多......

收起↑