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压轴题02 数列压轴题答案
题型/考向一：多选、填空综合
题型/考向二：数列通项公式与数列求和
题型/考向三：数列与其他知识综合
一、等差数列、等比数列的基本公式
1.等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d；
2.等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1.
3.等差数列的求和公式：
Sn＝＝na1＋d；
4.等比数列的求和公式：
Sn＝
二、等差数列、等比数列的性质
1.通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列，有aman＝apaq＝a.
2.前n项和的性质(m，n∈N*)：
对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外).
数列求和的常用方法
热点一 分组求和与并项求和
1.若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，或cn＝且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
2.若数列的通项公式中有(－1)n等特征，根据正负号分组求和.
热点二 裂项相消法求和
裂项常见形式：(1)分母两项的差等于常数
＝；
＝.
(2)分母两项的差与分子存在一定关系
＝－；
＝.
(3)分母含无理式
＝－.
热点三 错位相减法求和
如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，那么求数列{an·bn}的前n项和Sn时，可采用错位相减法.用其法求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)在写“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn－qSn”的表达式.
一 多选题综合
一、多选题
1．已知等差数列的前n项和为，满足，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的前10项和为
【答案】BCD
【详解】根据等差中项，，解得，，解得，设等差数列的公差为，则，于是等差数列的通项公式为：，故A选项错误；
根据等差数列前n项和公式，，B选项正确；
根据B选项可知，，最大值在取得，故C选项正确；
，故的前10项和为：，D选项正确.
故选：BCD
2．数列是等差数列，，则下列说法正确的是（ ）
A．为定值 B．若，则时最大
C．若，使为负值的n值有3个 D．若，则
【答案】AD
【详解】由数列是等差数列，，有，即，
由等差数列性质得为定值，选项A正确．
当时，，公差，则数列是递减数列，
则，，故时，最大，选项B错误．
当时，由于，则，，
令得，又，
故为负值的值有2个，选项C错误．
当时，设公差为d，即，结合,即,
解得，，故，选项D正确．
故选：AD
3．在正三棱柱中，若A点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动n次后还在底面ABC的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．为等比数列 D．
【答案】BCD
【详解】由题可知，当时，，故选项A错误．
当时，表示第次在平面ABC的顶点上的概率，表示第次在平面的顶点上的概率．
由底面走到底面的概率为，由上面走到底面的概率为，
所以，得，又，
所以是等比数列，首项为，公比为．C正确；
故，
化简得，故，所以选项BD正确．
故选：BCD.
4．已知函数的定义域为，对任意的，都有，且，当时，，则（ ）
A．是偶函数
B．
C．当，是锐角的内角时，
D．当，且，时，
【答案】BCD
【详解】令，得，故B正确；
令，则，所以为奇函数，故A错误；
任取，且，则.
因为，
所以，所以.
因为，，所以，，
即在上单调递增.
因为A，B是锐角的内角，所以，所以，
所以.
因为，所以，故C正确；
因为，且，所以.
令，则，
令，则，所以.
因为，所以是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，故D正确.
故选：BCD
5．已知定义在上的函数该函数称为黎曼函数．若数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】因为，且为既约真分数，
所以，故A正确，
所以，故，B错误．
，故C错误．
，故D正确．
故选：AD．
二、填空题
6．艾萨克牛顿是英国皇家学会会长，著名物理学家，他在数学上也有杰出贡献.牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数有两个零点1和2，数列为牛顿数列.设，已知，，的前项和为，则__________.
【答案】##
【详解】有两个零点1，2，
则，解之得，
则，则，
则，
则，
由，可得，
故，又，则数列是首项为1公比为2的等比数列，
则通项公式，前项和，则.
故答案为: .
7．对任意，任意，都有恒成立（注：e为自然对数的底数），则实数x的取值范围是__________．
【答案】
【详解】解：由均值不等式有
．
∴，即单调递增，且．
又对任意，任意，恒成立，
∴对任意，恒成立，
∴对任意，恒成立．
令，
∴，，
∴，解得或．
∴实数x的取值范围是
故答案为：
8．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为，若序列的所有项都是2，且，，则__________．
【答案】
【详解】的第项为，故，即
因为，，所以，，.
故答案为：
9．黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想涉及到很多领域的应用，有些数学家将黎曼猜想的攻坚之路趣称为：“各大行长躲在银行保险柜前瑟瑟发抖，不少黑客则潜伏敲着键盘蓄势待发”.黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手.已知正项数列的前项和为，且满足，则______（其中表示不超过的最大整数）.
【答案】38
【详解】当时，，，，∵，∴，
当时，，∴，，
∴，∴是以1为首项，公差为1的等差数列，∴，
∵，∴，∴，，即，
又时，，即，
令，
，
，
即，从而.
故答案为：38
10．南宋数学家杨辉善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题，在他的专著《详解九章算法·商功》中给出了著名的三角垛公式，则数列的前项和为____________．
【答案】
【详解】，数列的前项和为，
，
数列的前项和.
故答案为：.
二 数列通项公式与数列求和
11．已知数列满足，，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【详解】（1），得，
因为，即，解得，
由，得，
又，
故，所以，即，
所以，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
则，故，
所以；
（2）当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
综上所述，.
12．在①；②；③，这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解答问题．
已知数列的前n项和．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若，设___________，求数列的前n项和．
【详解】（1）因为①，
所以②，
②①得，
整理得，
由等差数列的定义可知是等差数列．
（2）由（1）得的公差，
又因为，所以．
若选①：
,
所以
．
若选②：
，
所以
．
若选③：
，
则，
两式作差得
．
所以．
13．在数列中，，.
(1)求的通项公式；
(2)设的前项和为，证明：.
【详解】（1），
，
即.
又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
从而，
则.
（2）证明：，
，
设，
则，
两式相减得：，
即.
从而，
故.
三 数列与其他知识综合
14．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，（为正整数）.
(1)当时，求的解析式；
(2)若函数存在零点，且零点个数不超过10，求实数的取值范围；
(3)求数列的前项和为是否存在极限？若存在，求出这个极限；若不存在，请说明理由
【详解】（1）当时，是偶函数，
（2），当时，，
，
当时，，
当时，，
当时，，
图像如图所示：
若，函数有1个零点；
若，函数有2个零点；
若，函数有3个零点；
若，函数有4个零点；
若，函数有5个零点；
若，函数有6个零点；
是偶函数，
要使函数存在零点，且零点个数不超过10，
必须且只需.
所以实数的取值范围
（3）由（2）知，，
，
从而，
.
15．若无穷数列的各项均为整数．且对于，都存在，使得，则称数列满足性质P．
(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①，，，，…；
②，，，，…．
(2)若数列满足性质P，且，求证：集合为无限集；
(3)若周期数列满足性质P，请写出数列的通项公式（不需要证明）．
【详解】（1）对①，取，对，则，
可得，
显然不存在，使得，
所以数列不满足性质P；
对②，对于，则，，
故
，因为，
则，且，
所以存在，，
使得，
故数列满足性质P；
（2）若数列满足性质，且，则有：
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
故数列中存在，使得，即，
反证：假设为有限集，其元素由小到大依次为，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
即这与假设相矛盾，故集合为无限集.
（3）设周期数列的周期为，则对，均有，
设周期数列的最大项为，最小项为，
即对，均有，
若数列满足性质：
反证：假设时，取，则，使得，
则，即，
这对，均有矛盾，假设不成立；则对，均有；
反证：假设时，取，则，使得，
这与对，均有矛盾，假设不成立，即对，均有；
综上所述：对，均有，
反证：假设1为数列中的项，由（2）可得：为数列中的项，
∵，即为数列中的项，
这与对，均有相矛盾，即对，均有，同理可证：，
∵，则，
当时，即数列为常数列时，设，故对，都存在，
使得，解得或，即或符合题意；
当时，即数列至少有两个不同项，则有：
①当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；
②当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；
③当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；
综上所述：或.
16．如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.
(1)判断数列是否为“速增数列”？说明理由；
(2)若数列为“速增数列”.且任意项，，求正整数k的最大值；
(3)已知项数为（）的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于k，若，，证明：.
【详解】（1）因为，则，，
又，故，数列是“速增数列”.
（2），
当时，，
即，，
当时，，当时，，
故正整数k的最大值为.
（3），故，即；
，故，
即，
同理可得：，，，
故，
故，，得证.
1压轴题02 数列压轴题
题型/考向一：多选、填空综合
题型/考向二：数列通项公式与数列求和
题型/考向三：数列与其他知识综合
一、等差数列、等比数列的基本公式
1.等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d；
2.等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1.
3.等差数列的求和公式：
Sn＝＝na1＋d；
4.等比数列的求和公式：
Sn＝
二、等差数列、等比数列的性质
1.通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列，有aman＝apaq＝a.
2.前n项和的性质(m，n∈N*)：
对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外).
数列求和的常用方法
热点一 分组求和与并项求和
1.若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，或cn＝且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
2.若数列的通项公式中有(－1)n等特征，根据正负号分组求和.
热点二 裂项相消法求和
裂项常见形式：(1)分母两项的差等于常数
＝；
＝.
(2)分母两项的差与分子存在一定关系
＝－；
＝.
(3)分母含无理式
＝－.
热点三 错位相减法求和
如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，那么求数列{an·bn}的前n项和Sn时，可采用错位相减法.用其法求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)在写“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn－qSn”的表达式.
一 多选题综合
一、多选题
1．已知等差数列的前n项和为，满足，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的前10项和为
2．数列是等差数列，，则下列说法正确的是（ ）
A．为定值 B．若，则时最大
C．若，使为负值的n值有3个 D．若，则
3．在正三棱柱中，若A点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动n次后还在底面ABC的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．为等比数列 D．
4．已知函数的定义域为，对任意的，都有，且，当时，，则（ ）
A．是偶函数
B．
C．当，是锐角的内角时，
D．当，且，时，
5．已知定义在上的函数该函数称为黎曼函数．若数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．艾萨克牛顿是英国皇家学会会长，著名物理学家，他在数学上也有杰出贡献.牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数有两个零点1和2，数列为牛顿数列.设，已知，，的前项和为，则__________.
7．对任意，任意，都有恒成立（注：e为自然对数的底数），则实数x的取值范围是__________．
8．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为，若序列的所有项都是2，且，，则__________．
9．黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想涉及到很多领域的应用，有些数学家将黎曼猜想的攻坚之路趣称为：“各大行长躲在银行保险柜前瑟瑟发抖，不少黑客则潜伏敲着键盘蓄势待发”.黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手.已知正项数列的前项和为，且满足，则______（其中表示不超过的最大整数）.
10．南宋数学家杨辉善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题，在他的专著《详解九章算法·商功》中给出了著名的三角垛公式，则数列的前项和为____________．
二 数列通项公式与数列求和
11．已知数列满足，，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
12．在①；②；③，这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解答问题．
已知数列的前n项和．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若，设___________，求数列的前n项和．
13．在数列中，，.
(1)求的通项公式；
(2)设的前项和为，证明：.
三 数列与其他知识综合
14．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，（为正整数）.
(1)当时，求的解析式；
(2)若函数存在零点，且零点个数不超过10，求实数的取值范围；
(3)求数列的前项和为是否存在极限？若存在，求出这个极限；若不存在，请说明理由
15．若无穷数列的各项均为整数．且对于，都存在，使得，则称数列满足性质P．
(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①，，，，…；
②，，，，…．
(2)若数列满足性质P，且，求证：集合为无限集；
(3)若周期数列满足性质P，请写出数列的通项公式（不需要证明）．
16．如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.
(1)判断数列是否为“速增数列”？说明理由；
(2)若数列为“速增数列”.且任意项，，求正整数k的最大值；
(3)已知项数为（）的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于k，若，，证明：.
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