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3.4空间向量在几何体中的应用
3.4.1判断空间直线、平面的位置关系
第3章 空间向量及其应用
沪教版（2020）选择性必修第一册
三垂线定理
用空间向量研究直线、平面的位置关系
空间中直线、平面的向量表示
01
03
02
CONTANTS
目 录
三垂线定理
01
已知，如图， PA 是平面 α 的斜线, 斜足为A ，OA是PA在a内的射影，直线 l a.
求证:(1) 若 l⊥OA, 则 l⊥PA；
(2) 若 l⊥PA, 则 l⊥OA.
证明:
(1)PO⊥α
l α
PO⊥l
l⊥PA, PO∩PA=P
l⊥平面OPA
OA 平面OPA
l⊥OA.
(2)PO⊥α
l α
PO⊥l
l⊥OA, PO∩PA=P
l⊥平面OPA
PA 平面OPA
l⊥PA.
a
l
P
O
A
三垂线定理
P
α
O
l
a
m
三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，
那么它也和这条斜线的射影垂直。
归纳：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的射影垂直。
三垂线定理及逆定理再认识
a
l
P
O
A
涉及的几何元素：
一面；
四线:
①平面的斜线;
②平面的垂线;
③斜线在平面内的射影;
④平面内的一条直线.
三垂直:
①直线与平面垂直;
②平面内直线与斜线在平面内的射影垂直;
③平面内的一条直线与斜线垂直.
直线与射影垂直 直线与斜线垂直
想一想：三垂线定理还有其他证法吗？运用我们本章所学过的知识。
空间中直线、平面的向量表示
02
点的位置向量
思考1：如何用向量表示空间中的一个点P ？
P
o
在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点就可以用向量来表示.我们把向量称为点的位置向量.
直线的方向向量
思考2：如何用向量表示空间中的直线 l ？
几何表示
定点A＋一个方向
确定一条直线l
向量表示
定点A＋方向向量
如图所示，a是直线l的方向向量，在直线l上取= a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线可知：
点P在直线l上
存在实数t，使得= t a，即= t
充要条件
P
a
A
B
取定空间中任一点O，有
即 ①
②
a
l
P
B
A
O
上式都称为空间直线的向量表示式.
空间任意直线由直线上一点A及直线的方向向量a唯一确定.
∴点A和向量a不仅能确定直线 l 的位置，还可以表示出直线 l 上的任意一点.
思考：如何理解直线的方向向量？
(1)在空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与直线l平行或重合．
(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．
(3)表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可能相反．
平面的向量表示式
思考3：如何用向量表示空间中的平面
我们知道，平面可以由内两条相交直线确定.如图，设两条相交直线交于点，它们的方向向量分别为和为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，
使得
点O与向量a，b不仅可以确定平面，还可以具体表示出 内的任意一点.
进一步地，如图，取定空间任意一点 O ，可以得到，空间一点 P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数 x，y，
使 .
我们把上式称为空间平面 ABC 的向量表示式. 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
我们知道，给定空间一点和一条直线则过点且垂直于直线的平面是唯一确定的.由此可以利用点和直线的方向向量来确定平面.
如图，直线 .取直线的方向向量，我们称向量 为平面的法向量.给定一个点和一个向量那么过点，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 .
平面的法向量
平面法向量的性质
(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．
(2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．
注意：　零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量
利用待定系数法求法向量的步骤
设向量
设平面法向量n=(x,y,z)
列方程组
选向量
在平面内选取两个不共线向量AB,AC
取x,y,z中一个为非零值(常取±1)
赋值
结论
得到平面的一个法向量
n·AB=0
n·AC=0
列出等式
用空间向量研究直线、平面的位置关系
03
思考：既然点线面均可用向量表示，那是否可以利用向量进一步研究点线面间的位置关系呢？
问题1：由直线与直线的平行关系，可以得到这两条直线的方向向量有什么关系呢？
所以，
使得
问题2：由直线与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量与平面的法向量有什么关系呢？
问题3：由平面与平面的平行关系，可以得到着两个平面的法向量有什么关系呢？
使得
线面的位置关系 向量的位置关系 向量的运算 向量运算的坐标表示
∥
∥ β
使得
使得
= =
+
= =
例1.证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
已知：如图，，，，，.
求证：
证明：如图，取平面的法向量，直线的方向向量，.
因为，，所以.
因为
所以对任意点，存在，使得.
从而.
所以，向量也是平面的法向量.故
例2.如图，在长方体中，.线段上是否存在点，使得平面？
解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，，的坐标分别为，，，
所以，.
设是平面的法向量，则，，即所以
例2.如图，在长方体中，.线段上是否存在点，使得平面？
取，则，.
所以，是平面的一个法向量.
由，，的坐标分别为，，，得
，.
设点满足则，
所以.
令，得，解得，
此时平面，这样的点存在.
所以，当，即为的中点时，平面.
练习1.如图，已知正方体的棱长为2，分别是，的中点，求证：平面.
证明：建立如图所示空间直角坐标系，
则有
所以，，.
设是平面的法向量，则，，
即得令，则，
所以.因为，所以.
又因为平面，所以平面.
练习2.已知正方体的棱长为2，分别是，的中点，求证：平面平面.
证明：建立如图所示空间直角坐标系，则有
所以，
设是平面的法向量，则，，
即得
令，则，所以.
又平面的法向量 .
，所以平面平面.
问题4：直线、平面间的垂直关系又如何用向量表示呢？
线线垂直
线面垂直
面面垂直
，使得
例3.如图，在平行六面体中，求证：直线平面.
证明：设，，，则为空间的一个基底，
且，，.
因为
所以
在平面上，取，为基向量，则对于平面上任意一点，
存在唯一的有序实数对，使得
所以，
所以是平面的法向量.所以平面.
例4. 证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
已知：如图，，求证：.
证明：取直线的方向向量，平面的法向量.
因为，所以是平面的法向量.
因为，而是平面的法向量，所以.
所以.
练习3.在四棱锥 中，底面 是正方形， ⊥底面 ，且 = ， 是 的中点.求证：平面 ⊥平面 .
证明：设，建立如图所示的空间直角坐标系，
设平面的法向量为
易知
∴即
令，可得平面的一个法向量为.
∵平面，∴平面的一个法向量为
∵，∴平平面.
课堂练习
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