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第03讲 利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线及构造等腰三角形（拓展提升）-【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（北师大版）
思维导图
1.等腰三角形的性质
（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
（2）等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角形的三线合一）
1.过腰或底作平行线构造新等腰（边）三角形
2.利用倍角关系构造新等腰三角形
考点剖析
考点一、等腰三角形中底边有中点时，连中线
例题：
1．已知，在中，，，点M是的中点，作，使得射线与射线分别交射线，于点D，E．

(1)如图1，当点D在线段上时，线段与线段的数量关系是______；
(2)如图2，当点D在线段的延长线上时，用等式表示线段，和之间的数量关系并加以证明．
【变式训练】
2．如图，在中，，，F是边上的中点，点D，E分别在边上运动，且保持．连接，则面积的最大值为 ．

3．在中，，，点为的中点．
(1)若，两边分别交，于，两点．如图1，当点，分别在边和上时，求证：；
(2)如图2，若，当点，分别在和的延长线上时，连接，若，则______;
(3)如图3，若，两边分别交边于，交的延长线于，连接，若，，试求的长．
考点二、等腰三角形中底边无中点时，作高线
例题：
4．如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．
(1)求证：BD＝CE；
(2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数．
【变式训练】
5．如图，已知，点在边上，，点，在边上，，若，求的长．

6．已知在中，，且=．作，使得．
(1)如图1，若与互余，则=__________(用含的代数式表示)；
(2)如图2，若与互补，过点作于点，求证：；
(3)若由与的面积相等，则与满足什么关系？请直接写出你的结论数．
考点三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形
例题：
7．

(1)【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据 　　证明，则，（即点C为的中点）．
(2)【类比解答】
如图2，在中，平分 ，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得　　．
(3)【拓展延伸】
如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论．
(4)【实际应用】
如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案．
【变式训练】
8．中，，点D是边上的一个动点，连接并延长，过点B作交延长线于点F．

(1)如图1，若平分，，求的值；
(2)如图2，M是延长线上一点，连接，当平分时，试探究之间的数量关系并说明理由；
(3)如图3，连接，
①求证：；
②，，求的值．
考点四、利用平行线+角平分线构造新等腰三角形
例题：
9．已知，如图中，、的平分线相交于点，过点作交、于、．

(1)如图1若，图中有________个等腰三角形，且与、的数量关系是________．
(2)如图2若，其他条件不变，（1）问中与、间的关系还成立吗？请说明理由．
(3)如图3在中，若，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．请直接写出与、间的数量关系是．
【变式训练】
10．在中，点E，点F在直线上，，过点B作，交射线于点N，过点F作，交直线于点M．
(1)当是的角平分线，点M在边BA延长线上时，如图①，求证：AM+MF＝BN；（提示：延长，相交于点P．）
(2)当是的角平分线，点M在边上时，如图②；当是外角的角平分线，点M在边延长线上时，如图③，请直接写出线段，，．之间的数量关系，不需要证明；
(3)在（1）、（2）的条件下，若，则　 　．
考点五、过腰或底作平行线构造新等腰（边）三角形
例题：
11．如图，在中，D为延长线上一点，且交于点F．
　　
(1)求证：是等腰三角形；
(2)在（1）的条件下（如图2），F为中点．求证：．
【变式训练】
12．已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且．
(1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： 　 　 （填“＞”、“＜”或“＝”）．
(2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由． 　 　 （填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作，交于点F．（请你完成以下解答过程）．
(3)【拓展结论，设计新题】在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（直接写出结果）．
考点六、利用倍角关系构造新等腰三角形
例题：
13．如图，在中，，的平分线交于点D．求证：．

【变式训练】
14．在中，，
(1)如图①，当，为的角平分线时，在上截取，连接，易证．请证明；
(2)①如图②，当，为的角平分线时，线段又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明；
②如图③，当，为的外角平分线时，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．
过关检测
一、解答题
15．如图，已知，点在边上，，点，在边上，，若，求的长．

16．如图，点是内部一点，且，，连接．
(1)求证：；
(2)若，直接写出的面积．
17．在中，点是边上的两点．

(1)如图1，若，．求证：；
(2)如图2，若，，设，．
①猜想与的数量关系，并说明理由；
②在①的条件下，，请直接写出的度数．
18．如图，已知中，，点D、E在直线上，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过点D向下作，交的延长线于点F，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，若，求四边形的面积．
19．如图，在中，，P是线段上一个动点．
(1)如图1，若平分，交于点F，求证：；
(2)在（1）的条件下，若，求的长；
(3)如图2，若，过直角顶点C作，并延长交于点E．为的角平分线，连接，当时，求的长．
20．（1）【感悟】如图1，是的高线，，若，，求的长．小明同学的解法是：将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处．请你画出图形并写出完整的解题过程；
（2）【探究】如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明；
（3）【拓展】如图3，在四边形中，平分，，，，则的长为__________．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)；
(2)，理由见解析．
【分析】（1）连接，由等腰直角三角形的性质可得，，根据可推导，进而证明，即可得到线段与线段的数量关系；
（2）连接，利用（1）中的证明思路，再次证明，证得，即可利用等量代换得到．
【详解】（1）解：连接，

∵，，点是的中点，
∴，且，平分，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
连接，

由（1）可知：，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解决问题的关键．
2．
【分析】首先证明出，得到，进而得到，推理出要的面积最大，则的面积最小即可，然后得到当最小时，的面积最小，最后利用求解即可．
【详解】如图，连接，

∵在中，，，点F是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为定值，
∴要的面积最大，则的面积最小即可，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
则当最小时，的面积最小，
当时，最小，此时，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
3．(1)见解析
(2)18
(3)2
【分析】（1）连接，证明即可；
（2）连接，，得出，利用三角形面积公式进行计算即可；
（3）连接，过点作，交的延长线于点，证明，得出，，证明，得出，即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，，点为的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，，点为的中点，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：18．
（3）解：如图，连接，过点作，交的延长线于点，
∵，，点为的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，作出辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
4．(1)见解析；
(2)90°．
【分析】（1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF=CF，DF=EF，相减后即可得到正确的结论．
（2）根据等边三角形的判定得到△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．
【详解】（1）证明：如图，过点A作AF⊥BC于F．
∵AB＝AC，AD＝AE．
∴BF＝CF，DF＝EF，
∴BD＝CE．
（2）解：∵AD＝DE＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝∠ADE＝60°．
∵AD＝BD，
∴∠DAB＝∠DBA．
∴∠DAB∠ADE＝30°．
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质是本题的关键．
5．4
【分析】过点作于点，利用含角的直角三角形的性质以及等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：过点作于点，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查含角的直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，熟练运用含角的直角三角形的性质以及等腰三角形的三线合一的性质是解决本题的关键．
6．(1)；
(2)见解析；
(3)与相等或互补
【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等得，根据与互余得 ，由即可求出的度数；
（2）作根据AAS证明≌,则，由等腰三角形三线合一可得，因此，问题得证；
（3）由与的面积相等得高相等.情况①：作于,于,根据可得≌，则可得=；情况②:是钝角三角形，作于，作垂直于的延长线于，根据可得≌，则可得，由于与互补，因此与互补．
【详解】（1）解：中，，且=,

．
（2）
如图，过点作于E点，
中，，，
，
中，
，
，
,=，


．
在和中，,,，
∴≌，
∴，
∴．
（3）
①如图，作于，于，
∵与的面积相等，
∴，
又∵ ,
∴≌(HL)
∴
即=

②如图，作于，作垂直于的延长线于．
则．
∵，，
∴，
∵与的面积相等，
∴．
∴≌．
∴．
，
∴，
综上，与相等或互补．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同底等高的两个三角形面积相等，综合能力较强，有一定难度.熟练掌握以上知识是解题的关键．
7．(1)
(2)
(3)，证明见解析
(4)的面积是
【分析】（1）证（），得，即可；
（2）延长交于点F，由问题情境可知，，再由等腰三角形的性质得，然后由三角形的外角性质即可得出结论；
（3）拓展延伸延长、交于点F，证（），得，再由问题情境可知，，即可得出结论；
（4）实际应用延长交于E，由问题情境可知，，，则，再由三角形面积关系得，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（），
∴，，
故答案为：；
（2）解：如图2，延长交于点F，

由可知，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）解：，证明如下：

如图3，延长、交于点F，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴（），
∴，
由问题情境可知，，
∴；
（4）解：如图4，延长交于E，

由问题情境可知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
答：的面积是．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
8．(1)3
(2)，理由见解析
(3)①证明见解析；②12
【分析】（1）如图，分别延长，交于点．证明，得到，再证明，即可得到；
（2）如图，分别延长交于点E，由（1）可得，得，再证得到，由此可得结论；
（3）如图所示， 在上截取，证明，得到，，进一步证明，则；
②如图所示，过点C作于G，则都是等腰直角三角形，可得，由全等三角形的性质得到则，据此求出，则，进一步求出则．
【详解】（1）解：如图，分别延长，交于点．

∵，
∴，
又∵，
∴．
在和中，
∴．
∴；
∵，
∴，
∵平分，
∴．
在和中，
∴．
∴；
（2）解：，理由如下：
如图所示，延长，交于点．

由（1）可得，，
∴．
∵，
∴，
∵平分，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∵．
∴．
（3）解：①如图所示， 在上截取，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴；

②如图所示，过点C作于G，
∴，
∴都是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形面积，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
9．(1)；
(2)成立；理由见解析
(3)
【分析】（1）根据，、的平分线相交于点，可得，，，，再加上题目中给出的，可得出等腰三角形的个数；根据等腰三角形的性质，即可得出与、之间的关系；
（2）证明和是等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可得出与、的关系；
（3）证明和是等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可得出与、的关系．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∵、的平分线相交于点，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴等腰三角形有：，，，，，共个，
与、的数量关系是：，
故答案为：；．
（2）与、的数量关系是：．理由如下：
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
（3）与、间的数量关系是：．
理由如下：
∵，
∴，，
又∵，分别是与的角平分线，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质．线段间的等量代换是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)
(3)2或14
【分析】（1）延长，相交于点P，根据是的角平分线证得，证明，再通过线段的加减即可得到．
（2）设、交于点G，证明，，延长交于H，通过线段的加减即可得到．
（3）根据，得到，，在（1）的条件下，，利用的性质得到，在（2）的条件下，，通过线段的加减即可解得．
【详解】（1）证明：如图①，延长，相交于点P，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图②，设、交于点G，
同（1）可得：，，
∴，
∴；
如图③，延长交于H，
则AM＝MH，，
∴，
∵，
∴，
综上所述，；
（3）解：∵，
∴，，
在（1）的条件下，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
在（2）的条件下，，
同在（1）的条件下，，，
∴，
∴，
故答案为：2或14．
【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形全等、角平分线的性质、线段的加减，解题的关键是综合运用平行线的性质、三角形全等、角平分线的性质、线段的加减的相关知识．
11．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)根据等边对等角，等角的余角相等，对顶角相等，运用等角对等边证明．
(2) 过A作于G，证明，即可得证．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）过A作于G，
∵，，
∴，

又∵，，
∴，
又∵F为中点,
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形三线合一性质的应用，熟练掌握等腰三角形判定和性质是解题的关键．
12．(1)
(2)，见解析
(3)3
【分析】（1）由等腰三角形的性质得到，再由等边三角形的性质得到，然后证，得出即可得出结论；
（2）过点E作，交于点F，证出为等边三角形，得出，再证，得出，即可得出结论；
（3）点E在延长线上时，作，同（2）得出为等边三角形，，则，，即可得出答案．
【详解】（1），
理由如下：，
，
三角形为等边三角形，
，
点E为的中点，
，，
，
，
，
，
，
；
（2），
理由如下：过点E作，交于点F，
则，，，
为等边三角形，
，，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）点E在延长线上时，作，
同（2）可得则为等边三角形，
如图所示，同理可得，
∵，，
∴，
，
∵，
则．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
13．证明见解析
【分析】方法一：（截长）在上截取，连接．结合角平分线的定义，证明，得到，，再利用三角形外角的性质，得到，进而得到，即可证明结论；
方法二：（补短）延长到点使得，连接．结合角平分线的定义，证明，得到，再利用三角形外角的性质，得到，进而得到，即可证明结论；
方法三：（补短）延长到点使得，连接．根据等腰三角形的性质，得到，，再结合三角形角平分线的定义和外角的性质，得到，即可证明结论．
【详解】证明：方法一：（截长）在上截取，连接．

在和中，
，
，
，，
，，
，
；
方法二：（补短）延长到点使得，连接．

在和中，
，
，
，，
，
，
；
方法三：（补短）延长到点使得，连接，

，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形角平分线的定义，外角的性质，利用“截长补短”模型添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
14．(1)证明见解析
(2)①；②，证明见解析
【分析】（1）先证明，然后证明，进而推导可得结论；
（2）①首先在上截取，连接，易证，则可得，又由，，所以，即，易证，则可求得；②首先在的延长线上截取，连接，易证，可得，又由，易证，则可求得．
【详解】（1）∵为的角平分线，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①猜想：．
证明：如图，在上截取，连接，
∵为的角平分线时，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
②猜想：．
证明：在的延长线上截取，连接．
∵平分，
∴．
在与中，，，，
∴．
∴，．
∴．
又，，．
∴．
∴．
∴．
【点睛】此题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
15．4
【分析】过点作于点，利用含角的直角三角形的性质以及等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：过点作于点，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查含角的直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，熟练运用含角的直角三角形的性质以及等腰三角形的三线合一的性质是解决本题的关键．
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）只需要证明，即可证明；
（2）如图所示，延长交于D，根据三线合一定理得到，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，延长交于D，
∵，
∴
∵，
∴，
∵，即，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形三线合一定理，三角形面积，掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）过A作于F，根据三线合一得到，，利用线段的和差可得结果；
（2）①根据等边对等角和三角形内角和求出，再根据，整理可得结果；②根据等边对等角和三角形内角和求出，再根据，代入化简可得结果．
【详解】（1）解：如图，过A作于F，
∵，，
∴，，
∴，即；

（2）①猜想：，理由是：
∵，，
∴，
∵，，
∴，即，
整理得：；
②∵，
∴，
∵，
∴
．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等边对等角，三角形内角和，角的和差计算，解题的关键是利用这些性质找出角的关系．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)10
【分析】（1）先由等角对等边得出，再根据等角的补角相等得出，最后根据“边角边”证明，根据全等三角形的性质即可证明；
（2）过点A作，垂足为H，先证明，根据含30度的直角三角形的性质得出，再证明，根据全等三角形的性质即可证明；
（3）过点A作，垂足为H，过点B作，垂足为N，先证明，继而得出，再根据全等三角形的性质等得出，即可求出，，进而求解即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）
如图2，过点A作，垂足为H，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）
如图3中，过点A作，垂足为H，过点B作，垂足为N，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等角的补角相等，含30度的直角三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握知识点并作出适当的辅助线是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)5
(3)6
【分析】（1）证出，由等腰三角形的判定可得出结论；
（2）设，则，由勾股定理得出，则可得出答案；
（3）延长交于点M，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，由勾股定理求出的长，则可得出答案．
【详解】（1）证明：，
，
平分，
，
，
；
（2）设，则，
，
，
，
；
（3）延长交于点M，
平分，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
20．（1）见解析；（2），见解析；（3）18
【分析】（1）根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，由可得，再由三角形外角的定义及性质可得，推出，进而得到，最后进行计算即可得到答案；
（2）在上截取，连接，证明得到，，证明，再由得到，再根据三角形外角的定义及性质得出，进而得到，即可得证；
（3）在上截取，连接，证明，得到，，从而得到，进而，再由即可得证；由得，结合可得，从而推出是等边三角形，得出，最后由即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处，由折叠的性质可得：，，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
证明：如图，在上截取，连接，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，在上截取，连接，
平分，
，
在和中，
，
,
，，
，
，
，
，
，
由得，，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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