资源简介

(共36张PPT)
5.5.2 简单的三角恒等变换
学习目标
1. 能运用和差角的正弦、余弦公式及二倍角公式等进行简单的恒等
变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式和辅助角公式).
(数学抽象和逻辑推理)
2. 能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明.(数学运算)
内容提要
二倍角公式及半角公式
辅助角公式
三角恒等变换的综合应用
复习回顾
两角和差的余弦公式
两角和差的正弦公式
两角和差的正切公式
二倍角公式
2cos2α-1
1-2sin2α
探究新知
那么如何用表示，，呢？
2cos2α-1
1-2sin2α
提示：是的二倍角，是的倍角.
所以，在倍角公式2cos2α-1中，以替代，以替代，得：
2cos2-1
1+
同理可得：
1-2sin2
1-
由 得
知识梳理
知识点一：半角公式
半角公式
正弦 .
余弦 .
正切 .
知识点二：辅助角公式
证明：
知识点三：积化和差、和差化积公式
题型探究
题型一：半角公式的应用
答案
答案
答案
方法技巧
例1：
返回
例2：
返回
例3：
返回
2．化简三角函数式的基本思路
三角函数式的化简是三角恒等变换的一个重要方面，其基本方法是统一角，统一三角函数的名称．常用方法有：异名函数化为同名函数，异角化为同角，异次化为同次，切弦互化，特殊角的三角函数与特殊值的互化等．在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简．最后结果应满足以下几点：
(1)能求值尽量求值； (2)三角函数名称尽量少； (3)项数尽量少；
(4)次数尽量低； (5)分母、根号下尽量不含三角函数．　　
题型探究
题型二：三角恒等式的证明
答案
答案
方法技巧
返回
返回
[方法技巧] 三角恒等式证明的五种常用方法
执因索果法 证明的形式一般化繁为简
左右归一法 证明左右两边都等于同一个式子
拼凑法 针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同
比较法 设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”
分析法 从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立
题型探究
题型三：积化和差、和差化积公式的应用
答案
答案
方法技巧
返回
返回
延伸探究 在例6(1)中,若不利用积化和差公式,如何求解
返回
[方法技巧]
1.当条件或结论式比较复杂时,往往先将它们化为最简形式,再求解.
2.当要证明的不等式一边复杂,另一边非常简单时,往往从复杂的一边入手证明,类似于化简.
题型探究
题型四：辅助角公式的应用
例7. 将下列各式化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式:
答案
答案
方法技巧
返回
返回
[方法技巧] 将三角函数y=f(x)化为f(x)=Asin(ωx+φ)+m的步骤
(1)将sin xcos x运用二倍角公式化为sin 2x,对sin2x,cos2x运用降幂公式,对sin(x±α),cos(x±α)运用两角和与差的公式展开.
(2)将(1)中得到的式子利用asin α+bcos α=·sin(α+φ)化为f(x)=Asin(ωx+φ)+m的形式.
(1)求ω的值；
因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，
反思感悟
研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的
三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，
再研究转化后函数的性质.在这个过程中通常利用辅助角公式，
将y＝asin x＋bcos x转化为y＝Asin(x＋φ)或y＝Acos(x＋φ)的形
式，以便研究函数的性质.
三角恒等变换的解题方法
题型探究
题型五：三角函数的实际应用
例9.　如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？
解　连接OB(图略)，设∠AOB＝θ，
因为A，D关于原点对称，所以AD＝2OA＝40cos θ.
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ.
反思感悟
(1)三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用三角恒等变换的方法解决实际的优化问题.
(2)解决此类问题的关键是引进角为参数，列出三角函数式.
课堂小结
1.知识清单：
(1)半角公式；
(2)辅助角公式；
(3)三角恒等变换的综合问题；
(4)三角函数在实际问题中的应用.
2.方法归纳：换元思想，化归思想.
3.常见误区：半角公式符号的判断，实际问题中的定义域.

展开更多......

收起↑