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专题03 函数
一、函数的定义
一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集.
函数的四个特征：
①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的.
②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.
③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）.
二、函数的三要素
（1）定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．
（2）对应关系：对应关系 是函数的核心，它是对自变量 实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．
（3）值域：与 的值相对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域．
三、待定系数法求函数解析式
若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法．
四、分段函数
在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．
五、函数的单调性
1．单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
2．单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
六、函数的奇偶性
1.偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.
2.奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.
3.函数奇偶性的判断
(1)定义法：
（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称.
（2）求，根据与的关系，判断的奇偶性：
①若是奇函数
②若是偶函数
③若既是奇函数又是偶函数
④若既不是奇函数也不是偶函数
(2)图象法：
（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称.
（2）若的图象关于轴对称是偶函数
（3）若的图象关于原点对称是奇函数
1. 求函数的定义域
2. 求函数解析式
3.求自变量、函数值
5.二次函数单调区间、对称轴
6.判断函数单调性
7.判断函数奇偶性
8.由函数单调性比较大小
1. 待定系数法
2.分类讨论
3. 等价转化法
4. 函数与方程思想
5. 数形结合思想
考点一 函数的概念
例1．下列各组函数为同一函数的是（　　）
①与;
②与;
③与.
A．①② B．① C．② D．③
【答案】B
【分析】依次判断函数的定义域和对应关系是否相等得到答案.
【详解】对①:与的定义域、对应关系均相同，是同一函数；
对②:由，而,对应关系不同，不是同一函数；
对③：，，对应关系不同，不是同一函数.
故选：B
【变式探究】下列函数中，与函数y＝x(x≥0)有相同图象的一个是(　 　)
A．y＝ B．y＝()2
C．y＝ D．y＝
【解析】　A、C、D选项中函数的定义域与题目中的定义域不同，故不是同一个函数．故选B．
考点二 求函数的定义域
例3．已知函数的定义域是 .
【答案】
【解析】,故答案为.
【变式探究】函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据对数的定义域以及根式的性质即可求解.
【详解】由题意可知的定义域需要满足，解得，
故定义域为，
故选：D
考点三 求自变量、函数值
例4．设函数= ，则 .
答案：4
例5．函数f(x)＝，若f(x)＝3，则x的值为(　 　)
A．1　　　 B．1或
C．　　　 D．
【解析】　当x≤－1时，由x＋2＝3，得x＝1(舍)；当－1＜x＜2时，由x2＝3得x＝或x＝－(舍)；当x≥2时，由2x＝3得x＝(舍)．故选D．
【变式探究】已知函数，则______.
【答案】
【分析】先计算的值，再计算的值.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
考点四 求函数解析式
例6．已知函数f(x)是反比例函数，且f(－1)＝2，则f(x)＝__ __．
【解析】　设f(x)＝(k≠0)，
∴f(－1)＝－k＝2，∴k＝－2，∴f(x)＝－．
例7．已知f(2x＋1)＝4x2，则下列结论正确的是(　 　)
A．f(3)＝36 B．f(－3)＝17
C．f(x)＝16x2＋16x＋4 D．f(x)＝x2－2x＋1
【解析】　当2x＋1＝3时，x＝1，因此f(3)＝4×12＝4，所以A不符合题意；当2x＋1＝－3时，x＝－2，因此f(－3)＝4×(－2)2＝16，所以B不符合题意；令t＝2x＋1，则x＝，因此f(t)＝4×()2＝t2－2t＋1，所以C不符合题意，D符合题意．故选D．
【变式探究】已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)= ；
【答案】3x－1
【解析】令x＋1＝t，∴x＝t－1，∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，∴f(x)＝3x－1．
考点五 函数的单调性
例7．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是(　 　)
A．y＝3－x B．y＝x2＋1
C．y＝ D．y＝－x2
【答案】B
【解析】　分别画出各个函数的图象，在区间(0,2)上上升的图象只有B．
例7．已知f(x)＝(3a－1)x＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是(　 　)
A．(－∞，)　　　　　 B．(，＋∞)
C．(－∞，) D．[，＋∞]
[解析]　f(x)＝(3a－1)x＋b为增函数，应满足3a－1＞0，即a＞，故选B．
【变式探究】若函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，－2)时是减函数，则f(1)＝__ __．
【答案】13
【解析】　由条件知x＝－2是函数f(x)图象的对称轴，所以＝－2，m＝－8，则f(1)＝13．
考点六 函数的奇偶性
例7．下例函数中，偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
例7．函数f(x)＝x2－2mx＋4是偶函数，则实数m＝__ __．
[解析]　f(x)为偶函数，则对称轴为x＝m＝0．
【变式探究】下列函数中，既是偶函数又在区间（）上是单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
考点七 函数的应用
例7．A市居民生活用水原收费标准为4元/m3，为保护生态，鼓励节约用水，A市从2016年1月1日起，调整居民生活用水收费标准，具体规定如下：第一阶梯：每户用水量不超过25m3的部分（含25m3），按3元/m3计费；第二阶梯：每户用水量超过25m3且不超过35m3的部分（含35m3），按4元/m3计费；第三阶梯：每户用水量超过35m3的部分，按6元/m3计费．如：当某户月用水量为30m3时，该户当月应缴水费为3×25＋4×(30－25)＝95(元)．假设某户月用水量为xm3时，当月应缴水费为y元．
(I)求调整收费标准后y与自变量x的函数关系；
(II)当某户用水量超过多少m3时，按调整后收费标准应缴水费超过按原收费标准应缴水费？
答案：(I)由题意得某户月用水量为，当月应缴水费为元.
第一阶梯：当时，；
第二阶梯：当时，；
第三阶梯：当时，.
综上， .
(II) 当时，，的取值范围不存在；
当时，，的取值范围不存在；
当时，，解得.
所以当某户用水量超过47.5m3时，按调整后收费标准应缴水费超过按原收费标准应缴水费.
【变式探究】某社区超市的某种商品的日利润（单位：元）与该商品的当日售价（单位：元）之间的关系为，那么该商品的日利润最大时，当日售价为（ ）
A．5元 B．6元 C．7元 D．26元
【答案】B
【分析】直接利用二次函数性质得到答案.
【详解】，所以当时，取最大值.
故选：B.
1. (2022年)下列函数为偶函数且在是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
解析：A，为偶函数且在是增函数，故A正确；为偶函数但在不是单调函数，故排除B；是非奇非偶函数，故排除C；是非奇非偶函数，故排除D.
2. (2022年) 函数 .
解析：
3. (2022年) 函数的定义域为 .
解析：要使得 有意义，则，故函数的定义域为
4. (2022年)如图，已知OM⊥ON, 0M=16米，ON=20米。动点A和B同时从0点分别沿路径0→N和0→M方向匀速移动。已知动点A的速度为2米/秒，动点B的速度为1米/秒。在动点A向点N移动过程中，当移动时间x为多少秒时，三角形ABM的面积最大，最大面积是多少平方米？
5. (2021年)已知函数的图像关于y轴对称，则函数是（ ）
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
解析：A，函数的图像关于y轴对称，即函数是偶函数，则k=0，则函数是奇函数，故选A.
6. (2021年)下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
解析：D，，排除A；，排除B；，排除C；，故选D.
7. (2021年)函数，则 .
解析：
8. (2020年河北对口)已知函数f(x)=sinx2，则f(x)是( )
A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
【答案】B
【解析】函数f(x)=sinx2定义域为R，，所以函数f(x)=sinx2是偶函数，故选B.
9.（2020年河北对口高考）函数的定义域为( )
A.{-1,1} B.[-1,1] C.(-1,1) D.(-∞，-1]∪[1，+∞)
【答案】A
【解析】，故选A.
10.（2020年河北对口高考）函数的定义域为 。
【答案】
【解析】,故答案为
11. （2020年河北对口高考）若,则f[f(-3)]= .
【答案】3
【解析】f[f(-3)]= .
12. （2020年河北对口高考）某火车站计划使用36米长的栅栏材料在靠墙（墙足够长）的位置设置一块平行四边形的临时隔离区域，如图所示，由于地形条件所限，要求∠DAB=120°,问AB长为多少米时，所围成的隔离区域的面积最大，最大的面积是多少平方米？
【解析】设AB的长为x米，所围成的隔离区域的面积为y平方米，
易知，则平行四边形的面积
故当AB的长为18米，所围成的隔离区域的面积最大，最大面积为平方米.
13.（2019年河北对口高考）下列四组函数中，图像相同的是（ ）
A、 B、
C、 D、
【答案】D
【解析】的定义域为,的定义域为R，故A错；的定义域为R，的定义域为，故B错；的定义域为,的定义域为，故C错；的定义域均为R，，故选D.
14．(2019年河北对口)已知一次函数y=kx+b 关于原点对称， 则二次函数y=ax2 +bx+c(a0) 一定是（ ）
A. 奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.奇偶性和c有关
【答案】B
【解析】一次函数y=kx+b 关于原点对称，则b=0, 二次函数y=ax2 +bx+c(a0)化为y=ax2 +c(a0)，为偶函数，故选B.
15.（2019年河北对口高考）函数的定义域为 。
【答案】
【解析】,故答案为.
16. （2019年河北对口高考）某广告公司计划设计一块周长为16 米的矩形广告牌， 设计费为每平方米500 元.设该矩形一条边长为x 米，面积为y 平方米 .
（1）写出y 与 x 的函数关系式；
（2）问矩形广告牌长和宽各为多少米时，设计费最多，最多费用为多少元？
【解析】矩形的另一边长为（米）
则
当x=4米时，矩形的面积最大，最大面积为16平方米，此时广告费为500*16=8000元.
所以当广告牌长各宽为4米时矩形面积最大，设计费用最多，最多费用为8000元.
17．(2018年河北对口)下列函数中既是奇函数又是减函数的是（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】是偶函数，排除B； 是增函数，排除A；在定义域上不是减函数，排除D；故选C.
18. (2018年河北对口)函数的定义域为
【答案】
【解析】，故答案为.
19.（2018年河北对口高考）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A、 B、
C、 D、
【答案】C
【解析】,解析式不同，排除A； ,解析式不同，排除B；，故选C；,解析式不同，排除D.
20. （2018年河北对口高考）已知函数 。
【答案】4
【解析】
21．(2017年河北对口)设奇函数在上为增函数，且最大值为，那么在上为（ ）
A．增函数，且最小值为 B．增函数，且最大值为
C．减函数，且最小值为 D．减函数，且最大值为
【答案】A
22. （2017年河北对口高考）设函数是一次函数，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】,解得，故选D.
23. （2017年河北对口高考）已知函数，则 .
【答案】
【解析】
24 . （2017年河北对口高考）某物业管理公司有套公寓对外出租，经市场调查发现，每套公寓租价为2500元时，可以全部租出. 租价每上涨100元，就会少租出一套公寓，问每套公寓租价为多少元时，租金总收入最大？最大收入为多少元？
【解析】设每套公寓租价为元，总收入为元.
则依题意得
显然当时最大，的最大值为.
25．(2016年河北对口)下列函数中是奇函数且在内单调递增的是（ ）
A．　 B. C. 　　 D.
【答案】B
【解析】,偶函数，排除A. ，故选B；,偶函数，排除C. 在内有增有减，排除D.专题03 函数
一、函数的定义
一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集.
函数的四个特征：
①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的.
②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.
③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）.
二、函数的三要素
（1）定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．
（2）对应关系：对应关系 是函数的核心，它是对自变量 实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．
（3）值域：与 的值相对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域．
三、待定系数法求函数解析式
若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法．
四、分段函数
在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．
五、函数的单调性
1．单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
2．单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
六、函数的奇偶性
1.偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.
2.奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.
3.函数奇偶性的判断
(1)定义法：
（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称.
（2）求，根据与的关系，判断的奇偶性：
①若是奇函数
②若是偶函数
③若既是奇函数又是偶函数
④若既不是奇函数也不是偶函数
(2)图象法：
（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称.
（2）若的图象关于轴对称是偶函数
（3）若的图象关于原点对称是奇函数
1. 求函数的定义域
2. 求函数解析式
3.求自变量、函数值
5.二次函数单调区间、对称轴
6.判断函数单调性
7.判断函数奇偶性
8.由函数单调性比较大小
1. 待定系数法
2.分类讨论
3. 等价转化法
4. 函数与方程思想
5. 数形结合思想
考点一 函数的概念
例1．下列各组函数为同一函数的是（　　）
①与;
②与;
③与.
A．①② B．① C．② D．③
【变式探究】下列函数中，与函数y＝x(x≥0)有相同图象的一个是(　 　)
A．y＝ B．y＝()2
C．y＝ D．y＝
考点二 求函数的定义域
例2．已知函数的定义域是 .
【变式探究】函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
考点三 求自变量、函数值
例3．设函数= ，则 .
例4．函数f(x)＝，若f(x)＝3，则x的值为(　 　)
A．1　　　 B．1或
C．　　　 D．
【变式探究】已知函数，则______.
考点四 求函数解析式
例5．已知函数f(x)是反比例函数，且f(－1)＝2，则f(x)＝__ __．
例6．已知f(2x＋1)＝4x2，则下列结论正确的是(　 　)
A．f(3)＝36 B．f(－3)＝17
C．f(x)＝16x2＋16x＋4 D．f(x)＝x2－2x＋1
【变式探究】已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)= ；
考点五 函数的单调性
例7．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是(　 　)
A．y＝3－x B．y＝x2＋1
C．y＝ D．y＝－x2
例8．已知f(x)＝(3a－1)x＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是(　 　)
A．(－∞，)　　　　　 B．(，＋∞)
C．(－∞，) D．[，＋∞]
【变式探究】若函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，－2)时是减函数，则f(1)＝__ __．
考点六 函数的奇偶性
例9．下例函数中，偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
例10．函数f(x)＝x2－2mx＋4是偶函数，则实数m＝__ __．
【变式探究】下列函数中，既是偶函数又在区间（）上是单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
考点七 函数的应用
例7．A市居民生活用水原收费标准为4元/m3，为保护生态，鼓励节约用水，A市从2016年1月1日起，调整居民生活用水收费标准，具体规定如下：第一阶梯：每户用水量不超过25m3的部分（含25m3），按3元/m3计费；第二阶梯：每户用水量超过25m3且不超过35m3的部分（含35m3），按4元/m3计费；第三阶梯：每户用水量超过35m3的部分，按6元/m3计费．如：当某户月用水量为30m3时，该户当月应缴水费为3×25＋4×(30－25)＝95(元)．假设某户月用水量为xm3时，当月应缴水费为y元．
(I)求调整收费标准后y与自变量x的函数关系；
(II)当某户用水量超过多少m3时，按调整后收费标准应缴水费超过按原收费标准应缴水费？
【变式探究】某社区超市的某种商品的日利润（单位：元）与该商品的当日售价（单位：元）之间的关系为，那么该商品的日利润最大时，当日售价为（ ）
A．5元 B．6元 C．7元 D．26元
1. (2022年)下列函数为偶函数且在是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
2. (2022年) 函数 .
3. (2022年) 函数的定义域为 .
4. (2022年)如图，已知OM⊥ON, 0M=16米，ON=20米。动点A和B同时从0点分别沿路径0→N和0→M方向匀速移动。已知动点A的速度为2米/秒，动点B的速度为1米/秒。在动点A向点N移动过程中，当移动时间x为多少秒时，三角形ABM的面积最大，最大面积是多少平方米？
5. (2021年)已知函数的图像关于y轴对称，则函数是（ ）
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
6. (2021年)下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
7. (2021年)函数，则 .
8. (2020年河北对口)已知函数f(x)=sinx2，则f(x)是( )
A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
函数f(x)=sinx2定义域为R，，所以函数f(x)=sinx2是偶函数，故选B.
9.（2020年河北对口高考）函数的定义域为( )
A.{-1,1} B.[-1,1] C.(-1,1) D.(-∞，-1]∪[1，+∞)
10.（2020年河北对口高考）函数的定义域为 。
11.（2020年河北对口高考）若,则f[f(-3)]= .
12. （2020年河北对口高考）某火车站计划使用36米长的栅栏材料在靠墙（墙足够长）的位置设置一块平行四边形的临时隔离区域，如图所示，由于地形条件所限，要求∠DAB=120°,问AB长为多少米时，所围成的隔离区域的面积最大，最大的面积是多少平方米？
13.（2019年河北对口高考）下列四组函数中，图像相同的是（ ）
A、 B、
C、 D、
14．(2019年河北对口)已知一次函数y=kx+b 关于原点对称， 则二次函数y=ax2 +bx+c(a0) 一定是（ ）
A. 奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.奇偶性和c有关
15.（2019年河北对口高考）函数的定义域为 。
,故答案为.
16. （2019年河北对口高考）某广告公司计划设计一块周长为16 米的矩形广告牌， 设计费为每平方米500 元.设该矩形一条边长为x 米，面积为y 平方米 .
（1）写出y 与 x 的函数关系式；
（2）问矩形广告牌长和宽各为多少米时，设计费最多，最多费用为多少元？
17．(2018年河北对口)下列函数中既是奇函数又是减函数的是（ ）
A、 B、 C、 D、
18. (2018年河北对口)函数的定义域为
19.（2018年河北对口高考）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A、 B、
C、 D、
20. （2018年河北对口高考）已知函数 。
21．(2017年河北对口)设奇函数在上为增函数，且最大值为，那么在上为（ ）
A．增函数，且最小值为 B．增函数，且最大值为
C．减函数，且最小值为 D．减函数，且最大值为
22. （2017年河北对口高考）设函数是一次函数，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
23. （2017年河北对口高考）已知函数，则 .
24 . （2017年河北对口高考）某物业管理公司有套公寓对外出租，经市场调查发现，每套公寓租价为2500元时，可以全部租出. 租价每上涨100元，就会少租出一套公寓，问每套公寓租价为多少元时，租金总收入最大？最大收入为多少元？
25．(2016年河北对口)下列函数中是奇函数且在内单调递增的是（ ）
A．　 B. C. 　　 D.

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