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压轴题01 数列压轴题答案
题型/考向一：等差数列、等比数列性质的综合
题型/考向二：以古文化、实际生活等情境综合
题型/考向三：数列综合应用
一、等差数列、等比数列的基本公式
1.等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d；
2.等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1.
3.等差数列的求和公式：
Sn＝＝na1＋d；
4.等比数列的求和公式：
Sn＝
二、等差数列、等比数列的性质
1.通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列，有aman＝apaq＝a.
2.前n项和的性质(m，n∈N*)：
对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外).
数列求和的常用方法
热点一 分组求和与并项求和
1.若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，或cn＝且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
2.若数列的通项公式中有(－1)n等特征，根据正负号分组求和.
热点二 裂项相消法求和
裂项常见形式：(1)分母两项的差等于常数
＝；
＝.
(2)分母两项的差与分子存在一定关系
＝－；
＝.
(3)分母含无理式
＝－.
热点三 错位相减法求和
如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，那么求数列{an·bn}的前n项和Sn时，可采用错位相减法.用其法求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)在写“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn－qSn”的表达式.
一 等差数列、等比数列性质的综合
1．已知等比数列满足，则（ ）
A．32 B．64 C．96 D．128
【答案】B
【详解】设的公比为q，则，得，
所以 ．
故选:B
2．已知等比数列的公比且，前项积为，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，由且可知，同号，所以.
故选：C
3．已知等差数列满足，，数列满足．记数列的前项和为，则使的的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设等差数列的公差为，
则由得：，解得：，
，则当时，；当时，；
当时，；当时，；当时，；当时，；
，，，，，，
，，
，，
，，，
，当时，，
当时，，则使得的的最小值为.
故选：C.
4．设函数，，，．记，，则，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．，的大小无法确定
【答案】A
【详解】因为函数在上单调递增，
数列为单调递增数列，
所以
所以.
令，则，因为函数在上单调递增，
在上单调递减，函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以
因为，所以
所以.
故选：A
5．数列满足，，现求得的通项公式为，，若表示不超过的最大整数，则的值为（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
【答案】D
【详解】联立方程；
解得，，
则，
由题可得，，，且，
所以，
则，
因为，所以，故，
故选：D.
二 以古文化、实际生活等情境综合
6．小李年初向银行贷款万元用于购房，购房贷款的年利率为，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分次等额还清，每年次，问每年应还（ ）万元.
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设每年应还万元，则有，
得 ，
解得．
故选：B．
7．传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦的总重量大约为（ ）吨.（1kg麦子大约20000粒，lg2=0.3）
A．105 B．107 C．1012 D．1015
【答案】C
【详解】64个格子放满麦粒共需，
麦子大约20000粒，1吨麦子大约粒，
，
故选：C.
8．中国古代某数学名著中有这样一个类似问题：“四百四十一里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程是（ ）
A．7里 B．8里 C．9里 D．10里
【答案】A
【详解】设第六天走的路程为，第五天走的路程为……第一天走的路程记为，
根据题意每天走的路程为前一天的一半，所以公比，且，，所以，从而解得，
故选：A.
9．2022年10月16日上午10时，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕.某单位组织全体党员在报告厅集体收看党的二十大开幕式，认真聆听习近平总书记向大会所作的报告.已知该报告厅共有10排座位，共有180个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为（ ）
A．23 B．25 C．27 D．29
【答案】C
【详解】根据题意，把各排座位数看作等差数列，设等差数列通项为，首项为，公差为，前项和为，则=2，，
因为，所以，即得.
故选：C
10．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了垛积问题，涉及逐项差数之差或者高次差成等差数列的高阶等差数列.现有一个高阶等差数列的前6项分别为，则该数列的第18项为（ ）
A．172 B．183 C．191 D．211
【答案】C
【详解】设该数列为，则，
故
，
也适合该式，
故第18项为，
故选：C
三 数列综合应用
11．在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，故可得，，…，，及累加可得，
则，所以，
则．
故选：B．
12．已知正项数列的前n项和为，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为，
所以，即，
所以，
因为数列的各项都是正项，即，
所以，即，
所以当时，，
所以数列从第二项起，构成以为首项，公比的等比数列.
所以.
故选：D
13．已知一族曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．则下列结论错误的是（ ）
A．数列的通项为 B．数列的通项为
C．当时， D．
【答案】B
【详解】设直线，联立，
得，
则由，即，
得(负值舍去)，
所以可得，，
所以A对，B错；
因为，，
所以，
故C对；
因为，
令，，
可得在上递减，可知在上恒成立，
又.所以成立，
故D正确.
故选：B.
14．在数列中给定，且函数的导函数有唯一零点，函数且，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为有唯一的零点，为偶函数，
则，可得，，所以数列为等差数列．
则，所以数列是公差为2的等差数列.
又，
令，则为奇函数，
因为，所以在上单调递增，
由题意得，则，
∵数列是公差为2的等差数列，其中，
则，假设，
因为是奇函数且在上单调递增，则在上单调递增，
所以，
∵，
∴，与已知矛盾，故不成立；
假设，同理可得，与已知矛盾，故不成立；
综上，．
故选：C.
15．已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，则，
所以，
所以.
故选：C.
1压轴题01 数列压轴题
题型/考向一：等差数列、等比数列性质的综合
题型/考向二：以古文化、实际生活等情境综合
题型/考向三：数列综合应用
一、等差数列、等比数列的基本公式
1.等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d；
2.等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1.
3.等差数列的求和公式：
Sn＝＝na1＋d；
4.等比数列的求和公式：
Sn＝
二、等差数列、等比数列的性质
1.通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列，有aman＝apaq＝a.
2.前n项和的性质(m，n∈N*)：
对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外).
数列求和的常用方法
热点一 分组求和与并项求和
1.若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，或cn＝且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
2.若数列的通项公式中有(－1)n等特征，根据正负号分组求和.
热点二 裂项相消法求和
裂项常见形式：(1)分母两项的差等于常数
＝；
＝.
(2)分母两项的差与分子存在一定关系
＝－；
＝.
(3)分母含无理式
＝－.
热点三 错位相减法求和
如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，那么求数列{an·bn}的前n项和Sn时，可采用错位相减法.用其法求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)在写“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn－qSn”的表达式.
一 等差数列、等比数列性质的综合
1．已知等比数列满足，则（ ）
A．32 B．64 C．96 D．128
2．已知等比数列的公比且，前项积为，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列满足，，数列满足．记数列的前项和为，则使的的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．设函数，，，．记，，则，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．，的大小无法确定
5．数列满足，，现求得的通项公式为，，若表示不超过的最大整数，则的值为（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
二 以古文化、实际生活等情境综合
6．小李年初向银行贷款万元用于购房，购房贷款的年利率为，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分次等额还清，每年次，问每年应还（ ）万元.
A． B． C． D．
7．传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦的总重量大约为（ ）吨.（1kg麦子大约20000粒，lg2=0.3）
A．105 B．107 C．1012 D．1015
8．中国古代某数学名著中有这样一个类似问题：“四百四十一里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程是（ ）
A．7里 B．8里 C．9里 D．10里
9．2022年10月16日上午10时，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕.某单位组织全体党员在报告厅集体收看党的二十大开幕式，认真聆听习近平总书记向大会所作的报告.已知该报告厅共有10排座位，共有180个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为（ ）
A．23 B．25 C．27 D．29
10．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了垛积问题，涉及逐项差数之差或者高次差成等差数列的高阶等差数列.现有一个高阶等差数列的前6项分别为，则该数列的第18项为（ ）
A．172 B．183 C．191 D．211
三 数列综合应用
11．在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知正项数列的前n项和为，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
13．已知一族曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．则下列结论错误的是（ ）
A．数列的通项为 B．数列的通项为
C．当时， D．
14．在数列中给定，且函数的导函数有唯一零点，函数且，则（ ）．
A． B． C． D．
15．已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
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