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压轴题02 三角函数压轴题
题型/考向一：三角函数的图像与性质
题型/考向二：三角恒等变换
题型/考向三：三角函数综合应用
一、三角函数的图像与性质
热点一 三角函数图象的变换
1.沿x轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移.
沿y轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，下移.
2.沿x轴伸缩：若ω>0，A>0，由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍.
沿y轴伸缩：由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍.
热点二 三角函数的图象与解析式
已知图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A，B；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.
热点三 三角函数的性质
1.单调性：由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递减区间.
2.对称性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心；由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)可得对称轴.
3.奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数.
二、三角恒等变换
热点一 化简与求值(角)
1.同角三角函数的基本关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2.诱导公式的记忆口诀：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.
3.熟记三角函数公式的两类变形：(1)和差角公式的变形；(2)倍角公式的变形.
热点二 三角函数恒等式的证明
三角恒等式常从复杂一边向简单的一边转化，或者两边同时推出一个相同式子，有时要证等式先进行等价交换，进而证明其等价命题.
一 三角函数的图像与性质
一、单选题
1．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，关于函数的下列说法中错误的是（ ）
A．周期是 B．非奇非偶函数
C．图象关于点中心对称 D．在内单调递增
2．数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
3．将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，并沿轴向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象．若对于任意的，总存在，使得，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
4．函数在区间上的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数的部分图象如图所示，则满足的正整数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．已知函数在上单调，且曲线关于点对称，则（ ）
A．以为周期
B．的图象关于直线对称
C．将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数
D．函数在上有两个零点
7．已知函数的部分图像如图，则（ ）
A．
B．
C．将曲线向右平移个单位长度得到曲线
D．点为曲线的一个对称中心
8．已知函数的定义域为，对任意的，都有，且，当时，，则（ ）
A．是偶函数
B．
C．当，是锐角的内角时，
D．当，且，时，
9．已知某游乐场循环观光车路线近似为一个半径为的圆，观光车从起始站点P出发，沿图中顺时针方向行驶，记观光者从某次出发开始，行驶的时间为t小时.A，B是沿途两个站点，C是终点站，D是该游乐场的观景点之一.已知该观光车绕行一圈的时间是固定的，且.若要求起始站点P无论位于站台B，C之间的任何位置（异于B，C），观光车在的时间内，都要至少经过两次终点站C，则下列说法正确的是（ ）
A．该观光车绕行一周的时间小于
B．该观光车在内不一定会经过终点站C
C．该观光车的行驶速度一定大于
D．该观光车在内一定会经过一次观景点D
10．如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动（忽略小球的大小），它在时刻相对于平衡位置的高度可以田确定，则下列说法正确的是（ ）
A．小球运动的最高点与最低点的距离为
B．小球经过往复运动一次
C．时小球是自下往上运动
D．当时，小球到达最低点
二 三角恒等变换
一、单选题
1．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus，大约公元前417年—公元前369年）通过下图来构造无理数，，，…，记，，则（ ）
A． B． C． D．
3．若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点，O为坐标原点，余弦相似度similarity为向量夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知，，，若P，Q的余弦距离为，Q，R的余弦距离为，则（ ）
A．7 B． C．4 D．
5．已知函数，函数在上的零点的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．已知函数的图像如图所示，则ω的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．函数的对称轴方程为
D．函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
8．黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中，例如图中所示的建筑对应的黄金三角形，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比（黄金分割比）.在顶角为的黄金中，D为BC边上的中点，则（ ）
A．
B．
C．在上的投影向量为
D．是方程的一个实根
9．已知，且，，是在内的三个不同零点，则（ ）
A． B．
C． D．
10．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中，，动点P在上（含端点），连结OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．
三 三角函数综合应用
一、解答题
1．已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)求函数在区间的值域；
2．已知，设函数．
(1)当时，分别求函数取得最大值和最小值时的值；
(2)设的内角的对应边分别是且，，求的值．
3．已知函数.
(1)若，求函数的最小正周期；
(2)若图象在内有且仅有一条对称轴，求的取值范围.
4．已知函数（，）的部分图象如图所示.
(1)求的解析式，并求的单调递增区间；
(2)若对任意，都有，求实数的取值范围.
5．若实数，，且满足，则称x y是“余弦相关”的.
(1)若，求出所有与之“余弦相关”的实数；
(2)若实数x y是“余弦相关”的，求x的取值范围；
(3)若不相等的两个实数x y是“余弦相关”的，求证：存在实数z，使得x z为“余弦相关”的，y z也为“余弦相关”的.
1压轴题02 三角函数压轴题答案
题型/考向一：三角函数的图像与性质
题型/考向二：三角恒等变换
题型/考向三：三角函数综合应用
一、三角函数的图像与性质
热点一 三角函数图象的变换
1.沿x轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移.
沿y轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，下移.
2.沿x轴伸缩：若ω>0，A>0，由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍.
沿y轴伸缩：由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍.
热点二 三角函数的图象与解析式
已知图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A，B；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.
热点三 三角函数的性质
1.单调性：由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递减区间.
2.对称性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心；由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)可得对称轴.
3.奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数.
二、三角恒等变换
热点一 化简与求值(角)
1.同角三角函数的基本关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2.诱导公式的记忆口诀：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.
3.熟记三角函数公式的两类变形：(1)和差角公式的变形；(2)倍角公式的变形.
热点二 三角函数恒等式的证明
三角恒等式常从复杂一边向简单的一边转化，或者两边同时推出一个相同式子，有时要证等式先进行等价交换，进而证明其等价命题.
一 三角函数的图像与性质
一、单选题
1．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，关于函数的下列说法中错误的是（ ）
A．周期是 B．非奇非偶函数
C．图象关于点中心对称 D．在内单调递增
【答案】D
【详解】，
则，
则，故A正确；
因为，则，
故函数是非奇非偶函数，故B正确；
对于C，因为，
所以函数的图象关于点中心对称，故C正确；
对于D，因为，所以，
则函数在上不单调，故D错误.
故选：D.
2．数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】对于A，函数，
因为，所以函数为奇函数，
又，故A符合图象；
对于B，函数，
因为，所以函数为奇函数，
又，故B不符题意；
对于C，函数，
因为，故C不符题意；
对于D，当时，，故D不符题意.
故选：A.
3．将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，并沿轴向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象．若对于任意的，总存在，使得，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，
再沿轴向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的图象，
因为对于任意的，总存在，使得，
所以，
又当时，，，
所以，即，
所以，
因为，所以，
当时，，，故A不合题意．
当时，，取不到最大值1，故B不合题意．
当时，，，故C符合题意．
当时，，，故D不合题意．
故选：C.
4．函数在区间上的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】令，，即函数为偶函数，
图象关于轴对称，故AC错误；
令，即，解得，即该函数在区间上由5个零点，故B正确，D错误；
故选：B
5．已知函数的部分图象如图所示，则满足的正整数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由图象可得：的最小正周期，，
，，解得：，
又，，，
，，
则，或；
令，即，
，解得：，
此时最小正整数；
令，即，
，解得：，
此时最小正整数；
综上所述：正整数的最小值为.
故选：B.
二、多选题
6．已知函数在上单调，且曲线关于点对称，则（ ）
A．以为周期
B．的图象关于直线对称
C．将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数
D．函数在上有两个零点
【答案】BD
【详解】对于A，因为函数在上单调，所以的最小正周期T满足，即，所以，因为的图象关于点对称，所以，得，所以当时，，所以，故A错误；
对于B，当时，，故B正确；
对于C，将的图象向右平移个单位长度后得的图象，为奇函数，不是偶函数，故C错误；
对于D，令，当时，，直线与的图象在上有两个交点，故D正确．
故选：BD.
7．已知函数的部分图像如图，则（ ）
A．
B．
C．将曲线向右平移个单位长度得到曲线
D．点为曲线的一个对称中心
【答案】AD
【详解】由题图可知，解得
将点的坐标代入，得，所以．
由图像可知，点在图像的下降部分上，且，所以．
将点的坐标代入，得，解得，
则，A正确．
由A，得．
所以，B错误．
将曲线向右平移个单位长度得到曲线，C错误．
令，，解得，．
取，则，
所以点为曲线的一个对称中心，D正确．
故选：AD．
8．已知函数的定义域为，对任意的，都有，且，当时，，则（ ）
A．是偶函数
B．
C．当，是锐角的内角时，
D．当，且，时，
【答案】BCD
【详解】令，得，故B正确；
令，则，所以为奇函数，故A错误；
任取，且，则.
因为，
所以，所以.
因为，，所以，，
即在上单调递增.
因为A，B是锐角的内角，所以，所以，
所以.
因为，所以，故C正确；
因为，且，所以.
令，则，
令，则，所以.
因为，所以是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，故D正确.
故选：BCD
9．已知某游乐场循环观光车路线近似为一个半径为的圆，观光车从起始站点P出发，沿图中顺时针方向行驶，记观光者从某次出发开始，行驶的时间为t小时.A，B是沿途两个站点，C是终点站，D是该游乐场的观景点之一.已知该观光车绕行一圈的时间是固定的，且.若要求起始站点P无论位于站台B，C之间的任何位置（异于B，C），观光车在的时间内，都要至少经过两次终点站C，则下列说法正确的是（ ）
A．该观光车绕行一周的时间小于
B．该观光车在内不一定会经过终点站C
C．该观光车的行驶速度一定大于
D．该观光车在内一定会经过一次观景点D
【答案】ACD
【详解】对A，设该观光车的速度为，
构造函数，
则经过C时即为该函数的极大值点，经过D时即为该函数的极小值点，
由题意可知，，即A正确；
对B，因为，所以，
则当时，，，
所以函数在上一定有极大值点，即B错误；
对C，由题意可知，，，整理得，
当时，，
当时，，所以的范围为，即C正确；
对D，当时，，
又，
所以函数在上一定有极小值点，即D正确.
故选：ACD.
10．如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动（忽略小球的大小），它在时刻相对于平衡位置的高度可以田确定，则下列说法正确的是（ ）
A．小球运动的最高点与最低点的距离为
B．小球经过往复运动一次
C．时小球是自下往上运动
D．当时，小球到达最低点
【答案】BD
【详解】小球运动的最高点与最低点的距离为，所以选项A错误；
因为，所以小球经过往复运动一次，因此选项B正确；
当时，，所以是自下往上到最高点，再往下运动，因此选项C错误；
当时，，所以选项D正确，
故选：BD
二 三角恒等变换
一、单选题
1．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】,
①,
又②，
由①②得.
故选：D.
2．古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus，大约公元前417年—公元前369年）通过下图来构造无理数，，，…，记，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由图可知，，，，
所以
故选：B
3．若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为所以，
所以，
因为所以，
因为，所以，
所以.
故选：D
4．人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点，O为坐标原点，余弦相似度similarity为向量夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知，，，若P，Q的余弦距离为，Q，R的余弦距离为，则（ ）
A．7 B． C．4 D．
【答案】A
【详解】由，，，
，
，
所以，故，
则，
整理得.
故选：A
5．已知函数，函数在上的零点的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】因为，
所以
，
所以，
令，令，则，解得，
因为，所以或或，
所以函数在上的零点的个数为个.
故选：B
6．已知函数的图像如图所示，则ω的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数，
由图象可知函数过点，则，
所以，解得，
当时，，
故选：B.
二、多选题
7．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．函数的对称轴方程为
D．函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
【答案】ABD
【详解】依题意，，A正确；
函数的最小正周期为，B正确；
由，，得，，则函数的对称轴方程为，，C错误；
函数的图象向右平移，得，
因此函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，D正确．
故选：ABD
8．黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中，例如图中所示的建筑对应的黄金三角形，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比（黄金分割比）.在顶角为的黄金中，D为BC边上的中点，则（ ）
A．
B．
C．在上的投影向量为
D．是方程的一个实根
【答案】ABD
【详解】设，则，解得，则，
则，A正确.
，，B正确.
依题意可设，则，
则由余弦定理得，
过B作，垂足为E，
则在上的投影向量为，C错误.
由图可知，
则
，
设，则，整理得，D正确.
故选：ABD
9．已知，且，，是在内的三个不同零点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】解：由题知，，是的三个根，
可化为，即，
所以可得或，，
解得或，，
因为，所以不成立，
当，成立时，取，解得，
取，解得，取，解得，
取，解得（舍），
故，，，
所以选项A正确；
因为，所以选项B错误；
，
故选项C正确；
而
，
根据积化和差公式：，
所以原式可化为：
，故选项D正确.
故选：ACD
10．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中，，动点P在上（含端点），连结OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．
【答案】ABD
【详解】如图，作,分别以为x，y轴建立平面直角坐标系，
则，
设，则，
由可得 ，且，
若，则，
解得，（负值舍去），故，A正确；
若，则，，所以，
所以，故B正确；
，由于，故，
故，故C错误；
由于，
故
，而，所以，
所以，故D正确，
故选：ABD
三 三角函数综合应用
1．已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)求函数在区间的值域；
【详解】（1），
∴函数的最小正周期为.
令，，则，，
所以单调递增区间为，.
（2）∵，则，∴，
∴，故函数在区间的值域为.
2．已知，设函数．
(1)当时，分别求函数取得最大值和最小值时的值；
(2)设的内角的对应边分别是且，，求的值．
【详解】（1）由题知：，
，则，故，
∴当，即，得时取得最大值0，
当，即，得时取得最小值．
（2）由，即，又，则．
法一：由余弦定理A得：，解得：或．
法二：由正弦定理有，则或，
当时，，由勾股定理有；
当时，，则；
综上所解：或．
3．已知函数.
(1)若，求函数的最小正周期；
(2)若图象在内有且仅有一条对称轴，求的取值范围.
【详解】（1）解：，
，
，
，
由，得，
则；
（2）由，得，
因为图象在内有且仅有一条对称轴，
所以，解得，
因为，且，
所以，
所以的取值范围是.
4．已知函数（，）的部分图象如图所示.
(1)求的解析式，并求的单调递增区间；
(2)若对任意，都有，求实数的取值范围.
【详解】（1）由图象可得的最小正周期，∴，又可知，
由，解得，，
又因为，得，∴.
由，，解得，，
所以函数的单调递增区间为.
（2）
.
由得，.
∵，∴，
作出的部分图像如下：
结合图像可知：，解得.
所以实数的取值范围为.
5．若实数，，且满足，则称x y是“余弦相关”的.
(1)若，求出所有与之“余弦相关”的实数；
(2)若实数x y是“余弦相关”的，求x的取值范围；
(3)若不相等的两个实数x y是“余弦相关”的，求证：存在实数z，使得x z为“余弦相关”的，y z也为“余弦相关”的.
【答案】
（1）
代入得，，，
，又，或
（2）
由得
，
，
，
故，
，，
（3）
证明：先证明，
反证法，假设，
则由余弦函数的单调性可知，
，，
同理，相加得，与假设矛盾，故.
，且
故也是余弦相关的，
，即.
记则.
,
，故x z为“余弦相关”的；
同理y z也为“余弦相关”的
1

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