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寒假作业05 轴对称与垂直平分线
1.轴对称图形与轴对称的概念
轴对称图形：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁部分折叠后能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.
2.轴对称图形的性质
（1）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
（2）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等.
（3）画一个与已知图形关于对称轴对称图形的步骤：①描出图形关键点；②过关键点画对称轴垂线，并截取对应长度线段，端点为对应点；③按上述步骤确定所有关键点的对应点；④连线.
3.线段的垂直平分线的性质和判定
（1）垂直平分线（中垂线）：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线.
（2）垂直平分线（中垂线）的画法：尺规作图.
（3）垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
（4）垂直平分线的判定：到一条直线两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
（5）三角形的外心：三角形三边的垂直平分线的交点；外心性质：外心到该三角形三顶点的距离相等.
4.对称点的坐标特征 已知点P（x，y）.
①点P关于x轴（直线y=0）的对称点为 Q1（x，-y）；②点P关于y轴（直线x=0）的对称点为 Q2（-x，y）；
③点P关于直线x=m的对称点为Q1（2m-x，y）； ④点P关于直线y=n的对称点为Q2（x，2n-y）.
1．在每一个学子心中或许都梦想过自己心目中大学的模样，很多大学的校徽设计也会融入数学元素，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够互相重合；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，所以是轴对称图形．故选C．
2．如图，和关于直线l对称，连接，其中与直线l交于点O，点D为直线l上一点，且不与点O重合，连接．下列说法错误的是（　　）
A． B．线段被直线l垂直平分
C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线l上
【答案】D
【解析】A、∵和关于直线l对称，
∴，∴，正确，不符合题意；
B、∵和关于直线l对称，
∴线段被直线l垂直平分，正确，不符合题意；
C、∵和关于直线l对称，∴l是线段的垂直平分线，
∴为等腰三角形，正确，不符合题意；
D、∵和关于直线l对称，
∴线段所在直线的交点一定在直线l上，原说法错误，符合题意．故选D．
3．如图为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，
一共有5条对称轴．故选D.
4．如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点，连接．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴,
∵直线为线段的垂直平分线，∴.故选B.
5．在中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N．作直线交于点D，交于点E，连接．则下列结论不一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由作图可知，垂直平分线段，
∴，，，故选项B，C，D正确，故选A．
6．如图，中，，的垂直平分线交于E，连接，，则的周长是 ．
【答案】
【解析】∵是的垂直平分线，∴，
∴的周长为，故答案为：．
7．尺规作图：如图，某地有两个小区A，和两条相交的供水管道，．现计划在S区域内修建一个蓄水池，要求到两个小区的距离相等，到两条公路的距离也相等，请确定蓄水池的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
【解析】如图所示，点即为所求.
8．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)在图中画岀关于轴对称的图形，并写出顶点的坐标 ；
(2)若以所在直线为对称轴，请在图中画出关于直线对称的图形，并写出顶点的坐标 ；
(3)观察与的位置关系，思考：若点为内部的任意一点，它在的内部的对应点为，则的坐标为 ．（用含和的式子表示）
【解析】（1）关于轴对称的图形为，则各点到轴的距离等于各点到轴的距离，如图，∴即为所求图形.
∵关于轴对称的图形为，，∴，故答案为：．
（2）关于直线对称的图形为，则各点到的距离等于各点到的距离，如图，∴即为所求图形.
∵，，∴，，
∴所在直线是，则点到的距离是，
∴点到的距离是，∴，故答案为：．
（3）由上述计算可得，，，即点A向右平移个单位长度，
∴内部的点向右平移个单位长度得，∴，故答案为：．
9．如图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，，均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图.
（1）在图①中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且，为格点．
（2）在图②中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且，为格点．
（3）在图③中，画一个，使与关于某条直线对称，且，，为格点．
【解析】（1）如图①，的正方形网格的对称轴l，描出点A，B关于直线l的对称点M，N，连接即为所求.
（2）如图②，同理（1）可得，即为所求.
（3）如图③，同理（1）可得，即为所求．
10．如图，的角平分线与线段的垂直平分线交于点D，，垂足分别为点E、F．
(1)求证：；
(2)求证：．
【解析】（1）如图，连接，
垂直平分，，
平分，，，
在和中，，
∴，.
（2）在和中，
，∴，，
，，．
11．如图，直线，相交于点，为这两条直线外一点，连接．点关于直线，的对称点分别是点，．若，则点，之间的距离可能是（ ）
A．0 B．5 C．7 D．9
【答案】B
【解析】如图，连接，
∵点关于直线，的对称点分别是点，，且，，
在中，，，故选B．
12．如图，在平面直角坐标系中．（每个方格表示一个单位长度）
(1)画出关于y轴对称的；
(2)在y轴上找一点P，使最小，请画出点P；
(3)若与全等，请直接写出点D的坐标．
【解析】（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，点即为所求，；
（3）如图所示，点的坐标为或或．
13．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线，交于点．
(1)求证：点在线段的垂直平分线上；
(2)连接，求证：平分；
(3)设，其他条件不变时，求的度数．（用含的式子表示）
【解析】（1）如图，连接，，
∵垂直平分，垂直平分AC，∴，，
∴，∴点在线段的垂直平分线上；
（2）由（）知，，∴，
∵垂直平分，∴，，∴，，
∴，同理，∴，即平分.
（3）∵垂直平分，垂直平分，∴，，，
设，，∴，，
在中，，，
∴，即，
在四边形中，，
∴．
14．如图的四个图案中，具有一个共有的性质，那么在下列各数中也满足上述性质的是（ ）
A．212 B．444 C．535 D．808
【答案】D
【解析】∵五角星是轴对称图形，三圆两两相切图形是轴对称图形，
心形是轴对称图形，箭头是轴对称图形，∴他们的共有性质是轴对称，
在四个选项中只有D是轴对称图形．故选D．
15．定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”．若点，幸福直线是，则点A关于这条幸福直线的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，，即，故选A．
16．在平面直角坐标系中，已知点，我们将经过点且垂直于轴的直线记为直线，将经过点且垂直于轴的直线记为直线．
对于点给出如下定义，将点关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，称点为点关于的“对应点”．
对于图形给出如下定义，将图形关于直线对称得到图形，再将图形关于直线对称得到图形，称图形为图形关于的“对应图形”．
已知的顶点坐标为，，.
(1)如图1，若点.
①由定义知，将点A关于直线对称得到点，再将点关于直线对称，得到点，则点A关于的对应点为．那么，点关于的对应点为 ，点关于的对应点为 ．
②已知点和点，若线段关于的对应线段位于的内部（不含三角形的边），求的取值范围．
(2)若轴上存在点，使得点关于的对应点恰好落在的边上，直接写出点横坐标的取值范围．
【解析】（1）①将点关于直线对称得到点，
再将点关于直线对称得到点，则点关于的“对应点”为，
将点关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，
则点关于的“对应点”为，故答案为：，；
②由上述可得点关于的“对应点”为，
点关于的“对应点”为．
如图，线段在的内部，此时只需在轴下方，在的上方，
即，解得，∴的取值范围是：．
（2）设点，∵，∴点关于的对应点，
∵点关于的对应点恰好落在的边上，
则，∴，即的取值范围是．
17．（2023·江苏·中考真题）剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形；
选项B能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形.故选B．
18．（2023·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于x轴成轴对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵三点，，关于x轴对称的坐标分别为，，，结合，∴得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，故的坐标为．故选B．
19．（2023·吉林长春·中考真题）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为
度．
【答案】
【解析】∵正五边形的每一个内角为，
∴将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则，
∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，
∴，，
在中，，故答案为：．
20．（2023·山东枣庄·中考真题）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________．
（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．
【解析】（1）观察发现都是轴对称图形，且面积相等.
故答案为：轴对称图形，面积相等.
（2）如图：
21．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，是五边形的一边，若垂直平分，垂足为M，且____________，____________，则____________．
给出下列信息：①平分；②；③．请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．
【解析】②，③，①
证明：根据题意补全图形如图所示：
垂直平分，，（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
在与中，，，，
在与中，，，，
又，，
即，平分．
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寒假作业05 轴对称与垂直平分线
1.轴对称图形与轴对称的概念
轴对称图形：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁部分折叠后能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.
2.轴对称图形的性质
（1）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
（2）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等.
（3）画一个与已知图形关于对称轴对称图形的步骤：①描出图形关键点；②过关键点画对称轴垂线，并截取对应长度线段，端点为对应点；③按上述步骤确定所有关键点的对应点；④连线.
3.线段的垂直平分线的性质和判定
（1）垂直平分线（中垂线）：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线.
（2）垂直平分线（中垂线）的画法：尺规作图.
（3）垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
（4）垂直平分线的判定：到一条直线两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
（5）三角形的外心：三角形三边的垂直平分线的交点；外心性质：外心到该三角形三顶点的距离相等.
4.对称点的坐标特征 已知点P（x，y）.
①点P关于x轴（直线y=0）的对称点为 Q1（x，-y）；②点P关于y轴（直线x=0）的对称点为 Q2（-x，y）；
③点P关于直线x=m的对称点为Q1（2m-x，y）； ④点P关于直线y=n的对称点为Q2（x，2n-y）.
1．在每一个学子心中或许都梦想过自己心目中大学的模样，很多大学的校徽设计也会融入数学元素，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，和关于直线l对称，连接，其中与直线l交于点O，点D为直线l上一点，且不与点O重合，连接．下列说法错误的是（　　）
A． B．线段被直线l垂直平分
C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线l上
3．如图为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点，连接．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N．作直线交于点D，交于点E，连接．则下列结论不一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，中，，的垂直平分线交于E，连接，，则的周长是 ．
7．尺规作图：如图，某地有两个小区A，和两条相交的供水管道，．现计划在S区域内修建一个蓄水池，要求到两个小区的距离相等，到两条公路的距离也相等，请确定蓄水池的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
8．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)在图中画岀关于轴对称的图形，并写出顶点的坐标 ；
(2)若以所在直线为对称轴，请在图中画出关于直线对称的图形，并写出顶点的坐标 ；
(3)观察与的位置关系，思考：若点为内部的任意一点，它在的内部的对应点为，则的坐标为 ．（用含和的式子表示）
9．如图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，，均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图.
（1）在图①中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且，为格点．
（2）在图②中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且，为格点．
（3）在图③中，画一个，使与关于某条直线对称，且，，为格点．
10．如图，的角平分线与线段的垂直平分线交于点D，，垂足分别为点E、F．
(1)求证：；
(2)求证：．
11．如图，直线，相交于点，为这两条直线外一点，连接．点关于直线，的对称点分别是点，．若，则点，之间的距离可能是（ ）
A．0 B．5 C．7 D．9
12．如图，在平面直角坐标系中．（每个方格表示一个单位长度）
(1)画出关于y轴对称的；
(2)在y轴上找一点P，使最小，请画出点P；
(3)若与全等，请直接写出点D的坐标．
13．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线，交于点．
(1)求证：点在线段的垂直平分线上；
(2)连接，求证：平分；
(3)设，其他条件不变时，求的度数．（用含的式子表示）
14．如图的四个图案中，具有一个共有的性质，那么在下列各数中也满足上述性质的是（ ）
A．212 B．444 C．535 D．808
15．定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”．若点，幸福直线是，则点A关于这条幸福直线的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
16．在平面直角坐标系中，已知点，我们将经过点且垂直于轴的直线记为直线，将经过点且垂直于轴的直线记为直线．
对于点给出如下定义，将点关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，称点为点关于的“对应点”．
对于图形给出如下定义，将图形关于直线对称得到图形，再将图形关于直线对称得到图形，称图形为图形关于的“对应图形”．
已知的顶点坐标为，，.
(1)如图1，若点.
①由定义知，将点A关于直线对称得到点，再将点关于直线对称，得到点，则点A关于的对应点为．那么，点关于的对应点为 ，点关于的对应点为 ．
②已知点和点，若线段关于的对应线段位于的内部（不含三角形的边），求的取值范围．
(2)若轴上存在点，使得点关于的对应点恰好落在的边上，直接写出点横坐标的取值范围．
17．（2023·江苏·中考真题）剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于x轴成轴对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
19．（2023·吉林长春·中考真题）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为
度．
20．（2023·山东枣庄·中考真题）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________．
（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．
21．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，是五边形的一边，若垂直平分，垂足为M，且____________，____________，则____________．
给出下列信息：①平分；②；③．请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．
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