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(共16张PPT)
课题学习 简单的十字相乘法
1.理解十字相乘法分解因式的步骤
2.会运用十字相乘法解决x2 + (p + q)x + pq这种二次三项式的因式分解
学习目标
复习导入
1.我们已经学习了哪些因式分解的方法？
①提公因式法：
②公式法：
pa + pb + pc = p(a + b + c)
平方差公式 ：a2 - b2 = (a + b)(a - b)
完全平方公式：a2±2ab + b2 = (a ± b)2
整式乘法
因式分解
一个多项式
几个整式的积
2.因式分解和整式乘法的关系是？
是方向相反的变形
探究新知
探究：1.计算：
(1) ( x + 1 )( x + 2 ) = ___________； (2) ( x - 3)( x + 2 ) =____________；
(3) ( x + 5 )( x - 3 ) =____________；
2. 根据题 1 和等式的性质填空：
(1) x2 + 3x + 2 = ______________ ；
(2) x2 - x - 6 =_______________；
(3) x2 + 2x - 15 =_______________；
x2 + 3x + 2
x2 - x -6
x2 + 2x -15
( x +1 )( x + 2 )
( x -3)( x +2 )
( x + 5 )( x - 3 )
x2 + (p + q)x + pq =
规律
(x + p)
(x + q).
分解因式，得(x +p)(x +q) .
·
×
p
q
x2 +(p+q)x + pq
px
+qx
=(p+q)x
运算法则：
x2 + (p + q)x + pq
= (x + p)(x + q)
利用十字交叉线来分解二次三项式的分解因式的方法叫做十字相乘法
新知讲解
① 竖分常数项与二次项；
② 交叉相乘，积相加；
③ 检验确定，横写因式.
例1 分解因式：x2 7x + 10 .
x2 7x + 10 ；
解：原式=(x 2)(x 5)
·
×
-2
-5
2x + ( 5)x = -7x
③ 检验确定，横写因式.
① 竖分常数项与二次项；
② 交叉相乘，积相加；
例题讲解
1. 把下列多项式因式分解：
(1) x2 - 6x + 8； (2) x2 + 4x 5 .
解：原式=(x 2)(x 4) .
·
×
-2
-4
解：原式=(x 1)(x + 5) .
·
×
-1
5
小试牛刀
2、填空：因式分解：
= ；
= ；
= ；
= ；
（y+2)(y+5)
（y-4)(y+2)
（x-3)(x-4)
（x-2)(x+9)
小试牛刀
当堂练习
1.下列因式分解正确的是( )
A．2x3－8x = 2x(x2－4) B．x2－x+2 = (x + 1)(x－2)
C．x2 + 2x－3 =(x - 1)(x+3) D．x2－2x + 1 = x(x－2) + 1
2.把多项式 x2 + mx-6 因式分解成 (x + 3)(x－n)，则
m 的值为( ).
A．m = 1 B．m = 2 C．m = 3 D．m = 4
C
A
3.因式分解：(1) -x3 + 4x2 + 12x；
(2) -3a2 - 18a - 24.
解：(1) 原式＝-x(x2 - 4x -12)
＝-x(x -6)(x + 2).
(2) 原式＝-3(a2 + 6a + 8)
＝-3(a + 2)(a +4).
当堂练习
4. 已知整式 A = x(x＋3)＋5，整式 B = ax－1.
(1) 若 A＋B＝(x－2)2，求 a 的值；
(2) 若 A－B 可以分解为 (x－2)(x－3)，求 a 的值.
解：(1) ∵A＋B＝x(x＋3)＋5＋ax－1
＝x2＋(3＋a)x＋4，
＝x2－4x＋4，
且 A＋B＝(x－2)2，
∴ 3＋a＝－4.
∴ a＝－7.
当堂练习
(2) ∵A－B＝x(x＋3)＋5－(ax－1)
＝x2＋(3－a)x＋6，
且 A＋B＝(x－2)(x－3)，
∴ 3－a＝－2＋(－3).
(2) 若 A－B 可以分解为 (x－2)(x－3)，求 a 的值.
∴ a＝8.
当堂练习
对于多项式：12x2-29x+15，我们可以按照下面方法进行因式分解
解：-20x2+9x+20
-4x
5x
5
4
-16x
+25x=
9x
∴-20x2+9x+20=(-4x+5)(5x+4）
∴12x2-29x+15
=(4x-3)(3x-5）
12x2-29x+15
4x
3x
-3
-5
-20x
+（-9x）=
-29x
请仿照材料的方法，
因式分解：-20x2+9x+20
能力提升
十字相乘法
分解因式
公式
x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)
步骤
① 竖分常数项与二次项；
② 交叉相乘，积相加；
③ 检验确定，横写因式.
课后小结
作业布置：详见《精准作业》
作业布置课题学习（简单十字相乘法） 教学设计
教学目标：
1. 理解十字相乘法分解因式的步骤
2. 会运用十字相乘法解决x2 + (p + q)x + pq这种二次三项式的因式分解
教学重点：理解十字相乘法分解因式的步骤
教学难点：会运用十字相乘法解决x2 + (p + q)x + pq这种二次三项式的因式分解
一、温故知新
1.我们已经学习了哪些因式分解的方法？
①提公因式法：pa + pb + pc = p(a + b + c)
②公式法：平方差公式 ：a2 - b2 = (a + b)(a - b)
完全平方公式：a2±2ab + b2 = (a ± b)2
2.因式分解和整式乘法的关系是？
2、新知探究
探究：1.计算：
(1) ( x + 1 )( x + 2 ) =x2 + 3x + 2； (2) ( x - 3)( x + 2 ) =x2 - x - 6；
(3) ( x + 5 )( x - 3 ) = x2 + 2x - 15；
2. 根据题 1 和等式的性质填空：
(1) x2 + 3x + 2 =( x + 1 )( x + 2 ) ；
(2) x2 - x - 6 =( x - 3)( x + 2 )；
(3) x2 + 2x - 15 =( x + 5 )( x - 3 )；
规律：x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)
三、新知讲解
x2 +(p+q)x + pq=(x +p)(x +q)
四、例题讲解
例1 分解因式：x2 7x + 10 .
解：原式=(x 2)(x 5)
五、小试牛刀
1. 把下列多项式因式分解：
(1) x2 - 6x + 8； (2) x2 + 4x 5 .
2、填空
EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT
EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT
EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT
EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT
六、当堂练习
1.下列因式分解正确的是( C )
A．2x3－8x = 2x(x2－4) B．x2－x+2 = (x + 1)(x－2)
C．x2 + 2x－3 =(x - 1)(x+3) D．x2－2x + 1 = x(x－2) + 1
2.把多项式 x2 + mx-6 因式分解成 (x + 3)(x－n)， m 的值为( A ).
A．m = 1 B．m = 2 C．m = 3 D．m = 4
3.因式分解：(1) -x3 + 4x2 + 12x； (2) -3a2 - 18a - 24.
4. 已知整式 A = x(x＋3)＋5，整式 B = ax－1.
(1) 若 A＋B＝(x－2)2，求 a 的值；
(2) 若 A－B 可以分解为 (x－2)(x－3)，求 a 的值.
解：(1) ∵A＋B＝x(x＋3)＋5＋ax－1＝x2＋(3＋a)x＋4，
且 A＋B＝(x－2)2，＝x2－4x＋4，
∴ 3＋a＝－4.
∴ a＝－7.
(2) ∵A－B＝x(x＋3)＋5－(ax－1)＝x2＋(3－a)x＋6，
且 A＋B＝(x－2)(x－3)，
∴ 3－a＝－2＋(－3).
∴ a＝8.
5、对于多项式：12x2-29x+15，我们可以按照下面方法进行因式分解
请仿照材料的方法，
因式分解：-20x2+9x+20
七、归纳总结
八、作业布置 详见《精准作业》
九、板书设计
利用十字交叉线来分解二次三项式的分解因式的方法叫做十字相乘法
② 交叉相乘，积相加；
③ 检验确定，横写因式.
① 竖分常数项与二次项；
解：原式=(x 1)(x + 5) .
解：原式=(x 2)(x 4) .
=（y+2)(y+5)
=（y+2)(y-4)
=（x-3)(y-4)
=（x-2)(y+9)
(2) 原式＝-3(a2 + 6a + 8)
＝-3(a + 2)(a +4)
解：(1) 原式＝-x(x2 - 4x -12)
＝-x(x -6)(x + 2).
课题学习（简单十字相乘法）
第 3 页 共 3 页课题学习（简单十字相乘法）精准作业设计
课前诊断
1．分解因式
（1）x2y﹣y； （2）ax2﹣6ax+9a．
精准作业
一、单选题
1、下列各组式子中，因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2、已知二次三项式能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数的取值有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3、因式分解：＝ ．
4、已知二次三项式x2+px+q因式分解的结果是（x－3）（x－5），则p+q= ．
5、分解因式：
(1) (2) (3) (4)
探究题
下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的_________．
A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
(2)该同学在第四步将用所设中的的代数式代换，这个结果是否分解到最后？_________．（填“是”或“否”）如果否，请直接写出最后的结果________________．
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
(4)请你模仿以上方法解关的方程．
课题学习（简单十字相乘法）精准作业答案
课前诊断
1．解：（1）原式＝y（x2﹣1）
＝y（x+1）（x﹣1）；
（2）原式＝a（x2﹣6x+9）
＝a（x﹣3）2．
精准作业
A 2．D 3、x(x+3)(x+2) 4、7
5、(1)（x-2）(x-5) (2)(x-3)(x-6) (3)(x+1)(x-6) (4)(x+2)(x-11)
探究题
C
(2)否，(x-2)4
(3)(x-1)4
(4)，课题学习（简单十字相乘法） 学案设计
教学目标：
理解十字相乘法分解因式的步骤
会运用十字相乘法解决x2 + (p + q)x + pq这种二次三项式的因式分解
教学重点：理解十字相乘法分解因式的步骤
教学难点：会运用十字相乘法解决x2 + (p + q)x + pq这种二次三项式的因式分解
一、温故知新
1.我们已经学习了哪些因式分解的方法？
①提公因式法：pa + pb + pc =
②公式法：平方差公式 ：a2 - b2 =
完全平方公式：a2±2ab + b2 =
2.因式分解和整式乘法的关系是？
新知探究
探究：1.计算：
(1) ( x + 1 )( x + 2 ) = ___________； (2) ( x - 3)( x + 2 ) =____________；
(3) ( x + 5 )( x - 3 ) =____________；
2. 根据题 1 和等式的性质填空：
(1) x2 + 3x + 2 = ______________ ；
(2) x2 - x - 6 =_______________；
(3) x2 + 2x - 15 =_______________；
规律：x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)
三、新知讲解
x2 +(p+q)x + pq=
四、例题讲解
例1 分解因式：x2 7x + 10 .
五、小试牛刀
1. 把下列多项式因式分解：
(1) x2 - 6x + 8； (2) x2 + 4x 5 .
填空
六、当堂练习
1.下列因式分解正确的是( )
A．2x3－8x = 2x(x2－4) B．x2－x+2 = (x + 1)(x－2)
C．x2 + 2x－3 =(x - 1)(x+3) D．x2－2x + 1 = x(x－2) + 1
2.把多项式 x2 + mx-6 因式分解成 (x + 3)(x－n)， m 的值为( ).
A．m = 1 B．m = 2 C．m = 3 D．m = 4
3.因式分解：(1) -x3 + 4x2 + 12x； (2) -3a2 - 18a - 24.
4. 已知整式 A = x(x＋3)＋5，整式 B = ax－1.
(1) 若 A＋B＝(x－2)2，求 a 的值；
(2) 若 A－B 可以分解为 (x－2)(x－3)，求 a 的值.
对于多项式：12x2-29x+15，我们可以按照下面方法进行因式分解
请仿照材料的方法，
因式分解：-20x2+9x+20
七、归纳总结
八、作业布置 详见《精准作业》
利用十字交叉线来分解二次三项式的分解因式的方法叫做
② 交叉相乘，积相加；
③ 检验确定，横写因式.
① 竖分常数项与二次项；
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