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5．3．1 函数的单调性
【题型归纳目录】
题型一：利用导数求函数的单调区间
题型二：函数图象与导函数图象的关系
题型三：已知单调性求参数的取值范围
题型四：判断、证明函数的单调性
题型五：含参数单调性讨论
情形一：函数为一次函数
情形二：函数为准一次函数
情形三：函数为二次函数型
1、可因式分解
2、不可因式分解型
情形四：函数为准二次函数型
【知识点梳理】
知识点一、函数的单调性与导数的关系
导数的符号与函数的单调性：
一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，
①若，则在这个区间上单调递增；
②若，则在这个区间上单调递减；
③若恒有，则在这一区间上为常函数．
反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．
知识点诠释：
1、因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上单调递增；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上单调递减；即导函数的正负决定了原函数的增减．
2、若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍单调递增（减函数的情形完全类似）．
即在某区间上，在这个区间上单调递增；
在这个区间上单调递减，但反之不成立．
3、在某区间上单调递增在该区间；
在某区间上单调递减在该区间．
在区间内，．．（或）是在区间内单调递增（或减）的充分不必要条件！
例如：，，，而在R上递增．
4、只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数．
5、注意导函数图象与原函数图象间关系．
知识点二、利用导数研究函数的单调性
利用导数判断函数单调性的基本方法
设函数在区间内可导，
（1）如果恒有，则函数在内单调递增；
（2）如果恒有，则函数在内单调递减；
（3）如果恒有，则函数在内为常数函数．
知识点诠释：
（1）若函数在区间内单调递增，则，若函数在内单调递减，则．
（2）或恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：或．
知识点三、利用导数求函数单调区间的基本步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）在函数的定义域内解不等式或；
（4）确定的单调区间．
或者：令，求出它在定义域内的一切实数根．把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号．
知识点诠释：
1、求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集．
2、求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确．
知识点四：讨论单调区间问题
类型一：不含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；
（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；
（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；
（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．
（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；
类型二：含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；
（5）导数图像定区间；
【典型例题】
题型一：利用导数求函数的单调区间
例1．（2024·福建漳州·高二漳州三中校考）函数的增区间为 ．
【答案】
【解析】有题知，函数的定义域为，
因为，所以，
令，解得，
故函数的增区间为
故答案为：
例2．（2024·北京·高二校考）已知函数，则函数的单调增区间为 .
【答案】
【解析】函数的定义域为R，，令，解得，所以函数的单调递增区间为.
故答案为：.
例3．（2024·河北邢台·高二统考阶段练习）函数的减区间为 ．
【答案】
【解析】由已知得，，
令，即，解得，
则的单调递减区间为，
故答案为:.
变式1．（2024·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）函数的单调减区间为 .
【答案】
【解析】的定义域为，
，
令，可得，可得，
又，则或，
所以的单调递减区间是.
故答案为：
【方法技巧与总结】
（1）求函数的单调区间常用解不等式，函数在解集与定义域的交集上单调递减．解不等式，函数在解集与定义域的交集上为单调递增．
（2）注意写单调区间时，不是连续的区间一般不能用并集符号“”．
题型二：函数图象与导函数图象的关系
例4．（多选题）（2024·高二课时练习）如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在区间上是减函数
B．在区间上是减函数
C．在区间上是增函数
D．在区间上是增函数
【答案】AC
【解析】对A：由导函数的图象知在区间上，，故在区间上单调递减，故A项正确；
对B、D：在区间，上分别有大于零和小于零的部分，故在区间，上不单调，故B、D项错误；
对C：在区间上，，所以函数在区间上单调递增，故D项正确.
故选:AC.
例5．（多选题）（2024·广西桂林·高二统考期末）设是定义域为R的奇函数，其导函数为，若时，图象如图所示，则可以使成立的x的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】由题意可知当时，；当时，；
由于是定义域为R的奇函数，故当时，；当时，；
又在上单调递增，在上单调递减，
结合是定义域为R的奇函数，得在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，当时，，
故当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
故可以使成立的x的取值范围是，，，
故选：ABD
例6．（多选题）（2024·福建漳州·高二统考期末）已知函数的导函数图象如图，那么的图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】从导函数的图象可知两个函数在处切线斜率相同，可以排除C，
再由导函数的函数值反映的是原函数的切线斜率大小，可明显看出的导函数的值在减小，
∴原函数切线斜率应该慢慢变小，排除A，
选项BD中的图象，都符合题意.
故选:BD．
变式2．（多选题）（2024·河北邯郸·高二校联考）已知函数的导函数的图象大致如图所示，下列结论正确的是（ ）

A．在上单调递增 B．在上单调递增
C．曲线在处的切线的斜率为0 D．曲线在处的切线的斜率为4
【答案】BD
【解析】由导函数的图象可知当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，A错误；
由图象可知当时，，在上单调递增，B正确；
由于，根据导数的几何意义可知在处的切线的斜率为4，C错误，D正确，
故选：BD
【方法技巧与总结】
（1）函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间内，若，则在上单调递增；如果，则在这个区间上单调递减；若恒有，则是常数函数，不具有单调性．
（2）函数图象变化得越快，的绝对值越大，不是的值越大．
题型三：已知单调性求参数的取值范围
例7．（2024·福建南平·高二福建省南平第一中学校考阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
因为在区间上单调递减，
所以，即，则在上恒成立，
因为在上单调递减，所以，故.
故选：A.
例8．（2024·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题可知，在上恒成立，
显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：D．
例9．（2024·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考期末）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．m>1
【答案】B
【解析】函数的定义域为，
且，
令，得，
因为在区间上不单调，
所以，解得：
故选：B.
变式3．（2024·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考）若函数的单调递减区间为，则实数k的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】A
【解析】由，由已知递减区间，则得：，
故，1是的两根，，，
故选：A
变式4．（2024·浙江·高二平湖市当湖高级中学校联考）已知函数在上有三个单调区间，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】由题意可知函数在上有三个单调区间，等价在有两个不同的根.，令，则，
即在有唯不为1的一根，则有有唯一不为1的根，
令，则，故当 单调递增，
当 单调递减，且
即，
故选：BD
变式5．（2024·江苏常州·高二统考期末）已知函数，若在R上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知可得，.
因为在R上单调递增，所以恒成立.
因为，
所以恒成立，
所以，，解得.
故选：D.
变式6．（2024·辽宁阜新·高二校考期末）若函数在区间上单调，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．不存在这样的实数
【答案】A
【解析】因为，该函数的定义域为，，
由可得，由可得或，
所以，函数的增区间为、，减区间为，
因为函数在区间上单调，
则或或，
若，则，解得；
若，则，解得；
若，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：A.
变式7．（2024·重庆江北·高二重庆十八中校考）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，
由题意可知：存在，使得，整理得，
且在上单调递减，则，可得，
所以实数的取值范围是.
故选：A.
【方法技巧与总结】
（1）利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即（或）恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
②先令（或），求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时是否满足题意．
（2）理清运算对象，选择运算方法，求得运算结果，充分体现数学运算的数学核心素养．
题型四：判断、证明函数的单调性
例10．（多选题）（2024·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）下列函数在定义域上为增函数的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由在上是增函数，故A正确；
对于函数，当时，，当时，，所以在定义域上不是增函数，故B错误；
函数的定义域为，所以在定义域上是增函数，故C正确；
，
定义域为，
在定义域内不是增函数，故D错误；
故选：AC.
例11．（多选题）（2024·山东青岛·高二统考阶段练习）若函数在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质．下列函数中具有M性质的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A选项，，在上单调递减，故不具有性质；
对于B选项，，，在上单调递增，故具有性质；
对于选项，，则，
在上单调递增，故具有性质．
对于选项，的定义域为，则，，
令，解得，所以在上单调递减，
故函数不具有性质；
故选：BC.
例12．（2024·高二课时练习）证明：函数在上严格增．
【解析】要证明在上严格增，即证明在上恒为正，
因为，所以，
因为在上恒成立，所以在上恒成立，
所以在上恒为正数，
则在上严格增.
变式8．（2024·全国·高二专题练习）已知函数.讨论在上的单调性；
【解析】由函数，可得
令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以的单调递增区间是，递减区间是.
变式9．（2024·吉林长春·高二长春市实验中学校考阶段练习）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间.
【解析】（1），所以切点为，
，，
所以切线方程为.
（2）设，
则，
所以在区间单调递减；
在区间单调递增.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
【方法技巧与总结】
判断、证明函数的单调性的步骤：
1、求导；2、变形（分解或配方）；3、判断导数式的符号，下结论．
题型五：含参数单调性讨论
情形一：函数为一次函数
例13．（2024·全国·高二专题练习）已知函数，其中，．求函数的单调区间；
【解析】；
①当时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；
②当时，令，解得：，
当时，；当时，；
的单调递减区间为，单调递增区间为；
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
例14．（2024·全国·高二专题练习）已知函数，求函数的单调区间．
【解析】由题意知：定义域为，；
①当时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；
②当时，令，解得：，
当时，；当时，；
的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
例15．（2024·四川眉山·高二校考）已知函数．
(1)若在上单调递增，求的取值范围．
(2)求的单调区间.
【解析】（1）的定义域为，，
当时，，在单调递增，满足题意；
当时，令，解得（舍去）或，要使在上单调递增，则，所以.
综上，的取值范围为.
（2）由（1）可知，当时，在单调递增，
当时，在单调递增，
令，解得，在单调递减.
综上，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
变式10．（2024·全国·高二专题练习）已知，讨论的单调性；
【解析】由函数，可得
①当时，恒成立，所以在上单调递增；
②当时，令，解得，
可得当时，；当时，，
所以在时单调递减，在时单调递增
综上所述：当时，在上单调递增
当时，在上单调递减，在上单调递增.
情形二：函数为准一次函数
例16．（2024·高二课时练习）已知函数，讨论函数的单调性.
【解析】由题意，令，得，
当时，
若，则，所以，
若，则，，所以；
当时，
若，则，所以，
若，则，，所以；
综上，在单调递减，在单调递增.
例17．（2024·高二课时练习）已知函数，，其中是的导函数.讨论函数的单调性.
【解析】由题设，
故，则，
当时，对，恒成立，故在上单调递增；
当时，令，解得；令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增.
例18．（2024·高二课时练习）已知函数 设是的导函数，讨论函数的单调性；
【解析】由，得，
设，
，
①当时，在上恒成立，
在上递增，
②当时，令得，
得，
在上递减，在上递增，
综上所述：当时，是上的增函数，
当时，在是减函数，在上是增函数.
变式11．（2024·全国·高二专题练习）讨论函数 的单调性；
【解析】由已知得，
则①当时， ， 所以在单调递增；
②当时，， 所以在单调递减；
③当时， 则，
当时，，当时，，
所以 在 上单调递减， 在上单调递增.
综上：当时，在单调递增；
当时，在单调递减；
当时， 在 上单调递减， 在上单调递增.
情形三：函数为二次函数型
1、可因式分解
例19．（2024·高二课时练习）已知函数 ).讨论的单调性；
【解析】由，
①当，即时，
因为恒成立，故在上为减函数；
②当，即时，
由得，或；由得，，
所以在和上为减函数，在上为增函数；
③当，即时，
由得，或；由得，，
所以在和上为减函数，在上为增函数.
综上：当时，在上为减函数；
当时，在和上为减函数，在上为增函数；
当时，在和上为减函数，在上为增函数.
例20．（2024·重庆璧山·高二重庆市璧山来凤中学校校考阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
【解析】（1）当时，，
，所以，曲线在处的切线方程为.
（2），
①当时，，所以函数在上单调递增；
②当时，令，则(舍)或，
，当时，函数单调递减；
，当时，函数单调递增.
③当时，令，则或(舍)，
，当时，函数单调递减；
，当时，函数单调递增.
综上所述：当时，函数在(0,+∞)上单调递增；
当时，当时，函数单调递减
当时，函数单调递增；
当时，当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增
例21．（2024·全国·高二专题练习）已知函数，讨论函数的单调性.
【解析】易知函数的定义域为，
，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，，令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上所述：当时，所以在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
变式12．（2024·全国·高二专题练习）已知函数.讨论的单调性；
【解析】的定义域是，，
（i）当时，，在递减，无增区间；
（ii）当时，令，解得，令，解得，
故在上递减，在上递增；
（iii）当时，令，解得，
令，解得，
故在递减，在递增；
综上，当时，的减区间为，无增区间；
当时，的减区间为，增区间为；
当时，的减区间为，增区间为.
2、不可因式分解型
变式13．（2024·高二课时练习）（1）已知函数，，当时，若在上为减函数，在上为增函数，求实数k的值；
（2）已知函数，讨论函数的单调区间.
【解析】（1）当时，，
∴，，
∵在上为减函数，
则，∴，
∵在上为增函数，
则，∴.
综上所述.
（2）函数的定义域为，
∴，
①当，即时，
得，则，
∴函数在上单调递增.
②当，即时，
令，得，
解得，
（i）若，则，
∵，令，得，或；
令，得，
∴在上单调递增，
在上单调递减.
（ii）若，则，令，得，
令，得，
∴函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增.
变式14．（2024·全国·高二专题练习）已知函数.讨论的单调性．
【解析】由题意知，定义域为，；
令，则.
①当，即时，（当且仅当，时取等号），
在上单调递减；
②当，即时，令，解得，，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
变式15．（2024·高二课时练习）已知函数，求函数的单调增区间.
【解析】的定义域为，
，，
令，
注意到，
①当时，，，故在上单调递增；
②当时，，令，得，，
令，解得，
所以的递增区间为；
综上：当时，的递增区间为；
当时，的递增区间为.
变式16．（2024·陕西延安·高二陕西延安中学校考）已知函数．
(1)若的图象在处的切线与直线垂直，求实数的值；
(2)讨论在上的单调性．
【解析】（1）已知函数，
则，
因为的图象在处的切线与直线垂直，
所以，则有，所以的值为.
（2）由（1）知，
令，对称轴为，所以在上单调递增，
则在上有最小值为，
所以，当，即时，，在上单调递增，
当，即时，在上有唯一零点，即，
在上，，在上，，
所以在上，在上单调递减，在上，在上单调递增.
变式17．（2024·高二单元测试）已知函数（其中）．
(1)若函数在点处的切线为，求实数，的值．
(2)求函数的单调区间．
【解析】（1）由，可得．
因为函数在点处的切线为，得
，即，解得．
（2）由（1）可知
令，得，
当，即时，在定义域内恒成立，
所以此时函数的单调递增区间为和，没有减区间；
当，即时，，，
当或时，单调递增，
当或时，单调递减.
综上所述，当时，函数的单调递增区间为和，没有减区间；
当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为和.
【方法技巧与总结】
1、关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）．
2、需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段．
3、利用草稿图像辅助说明．
情形四：函数为准二次函数型
例22．（2024·全国·高二专题练习）已知函数.讨论的单调性；
【解析】，
当时，，，，在上单调递增；
当时，令，解得：，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
例23．（2024·全国·高二专题练习）已知函数.讨论函数的单调性；
【解析】由题意得，函数的定义域为，
则，
，，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
综上所述：函数在上单调递减，在上单调递增.
例24．（2024·全国·高二专题练习）已知函数．若，讨论的单调性；
【解析】由题意知，，
的定义域为，．
若，则，所以在上单调递减；
若，令，解得．
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
变式18．（2024·江西·高二江西省宜丰中学校联考阶段练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
【解析】（1）由已知，则，
当时，，，
则曲线在处的切线方程为，即
（2）由（1）知，，
①当时，，
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减；
②当时，由，得，
（ⅰ）当时，，
当时，，在，单调递增；
当时，，在单调递减；
（ⅱ）当时，，，在单调递增；
（ⅲ）当时，，
当时，，在，单调递增；
当时，，在单调递减；
综上可得：①当时，在单调递增，在单调递减；
②当时，在，单调递增，在单调递减；
③当时，在单调递增；
④当时，在，单调递增，在单调递减.
【方法技巧与总结】
（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；
（5）导数图像定区间；
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·江苏常州·高二统考期末）函数的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为，
，
由得，
所以的单调减区间为.
故选：D.
2．（2024·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市实验学校校考阶段练习）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，知在区间上恒成立，
即在区间上恒成立．
因为，所以，
所以，所以.
故选：C．
3．（2024·四川南充·统考模拟预测）函数在上是减函数的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在上是减函数，只需要即可，
若，则，成立；
若，则是二次函数，由二次函数的性质可得，时恒成立.
若，当和时，，故不成立.
所以，当时，，而是的充分不必要条件.
故选：A.
4．（2024·湖北荆门·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习）已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，
，为奇函数，
则，
，，
，为减函数，
又，
则，
，
或.
故选：C
5．（2024·全国·模拟预测）若函数为偶函数，且当时，．若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为当时，，则，
所以在上单调递增，
又为偶函数，，所以，
则，即，解得．
故选：C．
6．（2024·全国·高三专题练习）设函数，则函数（ ）
A．在区间，内均有一个零点
B．在区间，内均无零点
C．在区间内有一个零点，在区间内无零点
D．在区间内无零点，在区间内有一个零点
【答案】D
【解析】当时，函数图象连续不断，且，
所以函数在上单调递减.
又
所以函数有唯一的零点在区间内.
故选：D
7．（2024·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数，则“在区间上单调递增”的一个充分不必要条件为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】在区间上单调递增等价于在区间上大于等于恒成立，
即在上恒成立，即，
故是的充分不必要条件，故D正确.
故选：D.
8．（2024·湖南·高三南县第一中学校联考阶段练习）设函数的定义域为，其导函数为，且满足，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，即，
在上单调递减，又，
∴不等式,
即原不等式的解集为．
故选:B．
二、多选题
9．（2024·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）已知函数，则（ ）
A．的一个周期为
B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称
D．在上单调递增
【答案】BD
【解析】，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，
因为，则，可知，
所以，故D正确.
故选：BD.
10．（2024·高二单元测试）函数的单调减区间可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由题意得，
令，解得或，
结合选项可知函数的单调减区间可以为,,
故选:AC.
11．（2024·江西宜春·高三江西省丰城中学校联考）下列函数中，是奇函数且在区间上是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，函数的定义域为R，是增函数，A不对；
对于B，函数的定义域为R，是奇函数，并且在上单调递减，B对；
对于C，函数的定义域为，是奇函数，并且在上单调递减，C对；
对于D，函数的定义域为R，且，是奇函数，对函数求导，
当，函数单调递减，即，解得，所以递减区间是.D不对．
故选：BC
12．（2024·广东·高三茂名市第一中学校联考阶段练习）已知是自然对数的底数，函数的定义域为，是的导函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】令函数，则，
所以在上单调递增，
又，所以
，即，
所以，而的大小不确定．
故选：AC.
三、填空题
13．（2024·广西·模拟预测）函数的单调递增区间为 ．
【答案】
【解析】函数的定义域为，
，
由得或（因为，故舍去），
所以在区间上单调递增．
故答案为：
14．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意知，
因为在区间上不单调，
即在区间有零点，
又，即为的零点在区间内，
所以解得，即m的取值范围是．
故答案为：
15．（2024·高二课时练习）函数在上的单调递增区间为 .
【答案】
【解析】由题意得，则，又，
解得，所以函数的单调递增区间为，
故答案为：.
16．（2024·浙江温州·高二温州中学校考阶段练习）已知函数，则使得成立的的取值范围是 .
【答案】
【解析】令，则的定义域为，
又，则是偶函数；
当时，，，
当时，显然，
当时，，，所以，
综上，在上单调递增，
因为，
所以由，得，即，
所以，即，解得.
故答案为：.
四、解答题
17．（2024·江苏扬州·高二扬州市广陵区红桥高级中学校考阶段练习）已知函数，且.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间.
【解析】（1）由题设，则，
所以且，则，，
所以点处的切线方程为，即.
（2）由（1），
当，即或，故在区间，上递增，
所以的增区间为，.
18．（2024·全国·高三专题练习）已知函数.判断函数的单调性.
【解析】的定义域为R，且.
由于，所以在R上恒成立，
所以，函数在R上单调递增.
19．（2024·陕西西安·高二统考期末）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数在区间上的单调性．
【解析】（1）的定义域为，．
曲线在处的切线的斜率为．
把代入中得，即切点坐标为．
所以曲线在处的切线方程为．
（2）令，得．
①当时，在区间上，，函数为单调减函数．
②当时，在区间上，，为单调减函数；
在区间上，，为单调增函数．
综上，当时，为单调减函数；
当时，在区间上，为单调减函数，在区间上，为单调增函数．
20．（2024·天津滨海新·高二统考期末）已知函数，（其中为常数）
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)设函数，若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，则，
此时，
所以，又，
所以切点为：
所以此时切线方程为．
（2）因为．
从而，列表如下：
1
0 0
递增 有极大值 递减 有极小值 递增
所以的单调递增区间是和；的单调递减区间是
（3）函数，
有，
设
当函数在区间上为单调递增时，
等价于在上恒成立，
由函数开口向下，对称轴为，
所以问题转化为只要即可，
即，
实数c的取值范围．
21．（2024·四川自贡·高二统考期末）已知函数．
(1)若的单调递减区间为，求实数的值；
(2)若函数在单调递减，求实数的取值范围．
【解析】（1）由题意得，
因为的单调递减区间为，即的解集为，
故是的两根，即，
当时，，由，解得，
等号仅在时取得，即的单调递减区间为，符合题意，
故.
（2）函数在单调递减，即在上恒成立，
即在上恒成立，此时，
即在上恒成立，而，故,
经验证当时, 即，
等号仅在时取得，此时函数在单调递减，符合题意，
故.
22．（2024·北京丰台·高二统考期末）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)判断与1.01的大小关系，并说明理由.
【解析】（1），所以，
，所以切点为，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）定义域为，
当时，对恒成立，
在上为增函数；
当时，令，所以，，
，，函数单调递减，
，，函数单调递增，
综上所述：
当时， 在上为增函数；
当时， ，函数单调递减；，函数单调递增；
（3）记，则，
当时，，故在上单调递增，
，即，
故有：；5．3．1 函数的单调性
【题型归纳目录】
题型一：利用导数求函数的单调区间
题型二：函数图象与导函数图象的关系
题型三：已知单调性求参数的取值范围
题型四：判断、证明函数的单调性
题型五：含参数单调性讨论
情形一：函数为一次函数
情形二：函数为准一次函数
情形三：函数为二次函数型
1、可因式分解
2、不可因式分解型
情形四：函数为准二次函数型
【知识点梳理】
知识点一、函数的单调性与导数的关系
导数的符号与函数的单调性：
一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，
①若，则在这个区间上单调递增；
②若，则在这个区间上单调递减；
③若恒有，则在这一区间上为常函数．
反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．
知识点诠释：
1、因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上单调递增；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上单调递减；即导函数的正负决定了原函数的增减．
2、若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍单调递增（减函数的情形完全类似）．
即在某区间上，在这个区间上单调递增；
在这个区间上单调递减，但反之不成立．
3、在某区间上单调递增在该区间；
在某区间上单调递减在该区间．
在区间内，．．（或）是在区间内单调递增（或减）的充分不必要条件！
例如：，，，而在R上递增．
4、只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数．
5、注意导函数图象与原函数图象间关系．
知识点二、利用导数研究函数的单调性
利用导数判断函数单调性的基本方法
设函数在区间内可导，
（1）如果恒有，则函数在内单调递增；
（2）如果恒有，则函数在内单调递减；
（3）如果恒有，则函数在内为常数函数．
知识点诠释：
（1）若函数在区间内单调递增，则，若函数在内单调递减，则．
（2）或恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：或．
知识点三、利用导数求函数单调区间的基本步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）在函数的定义域内解不等式或；
（4）确定的单调区间．
或者：令，求出它在定义域内的一切实数根．把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号．
知识点诠释：
1、求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集．
2、求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确．
知识点四：讨论单调区间问题
类型一：不含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；
（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；
（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；
（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．
（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；
类型二：含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；
（5）导数图像定区间；
【典型例题】
题型一：利用导数求函数的单调区间
例1．（2024·福建漳州·高二漳州三中校考）函数的增区间为 ．
例2．（2024·北京·高二校考）已知函数，则函数的单调增区间为 .
例3．（2024·河北邢台·高二统考阶段练习）函数的减区间为 ．
变式1．（2024·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）函数的单调减区间为 .
【方法技巧与总结】
（1）求函数的单调区间常用解不等式，函数在解集与定义域的交集上单调递减．解不等式，函数在解集与定义域的交集上为单调递增．
（2）注意写单调区间时，不是连续的区间一般不能用并集符号“”．
题型二：函数图象与导函数图象的关系
例4．（多选题）（2024·高二课时练习）如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在区间上是减函数
B．在区间上是减函数
C．在区间上是增函数
D．在区间上是增函数
例5．（多选题）（2024·广西桂林·高二统考期末）设是定义域为R的奇函数，其导函数为，若时，图象如图所示，则可以使成立的x的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
例6．（多选题）（2024·福建漳州·高二统考期末）已知函数的导函数图象如图，那么的图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
变式2．（多选题）（2024·河北邯郸·高二校联考）已知函数的导函数的图象大致如图所示，下列结论正确的是（ ）

A．在上单调递增 B．在上单调递增
C．曲线在处的切线的斜率为0 D．曲线在处的切线的斜率为4
【方法技巧与总结】
（1）函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间内，若，则在上单调递增；如果，则在这个区间上单调递减；若恒有，则是常数函数，不具有单调性．
（2）函数图象变化得越快，的绝对值越大，不是的值越大．
题型三：已知单调性求参数的取值范围
例7．（2024·福建南平·高二福建省南平第一中学校考阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例8．（2024·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例9．（2024·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考期末）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．m>1
变式3．（2024·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考）若函数的单调递减区间为，则实数k的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
变式4．（2024·浙江·高二平湖市当湖高级中学校联考）已知函数在上有三个单调区间，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2024·江苏常州·高二统考期末）已知函数，若在R上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式6．（2024·辽宁阜新·高二校考期末）若函数在区间上单调，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．不存在这样的实数
变式7．（2024·重庆江北·高二重庆十八中校考）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
（1）利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即（或）恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
②先令（或），求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时是否满足题意．
（2）理清运算对象，选择运算方法，求得运算结果，充分体现数学运算的数学核心素养．
题型四：判断、证明函数的单调性
例10．（多选题）（2024·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）下列函数在定义域上为增函数的有（ ）
A． B．
C． D．
例11．（多选题）（2024·山东青岛·高二统考阶段练习）若函数在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质．下列函数中具有M性质的为（ ）
A． B．
C． D．
例12．（2024·高二课时练习）证明：函数在上严格增．
变式8．（2024·全国·高二专题练习）已知函数.讨论在上的单调性；
变式9．（2024·吉林长春·高二长春市实验中学校考阶段练习）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间.
【方法技巧与总结】
判断、证明函数的单调性的步骤：
1、求导；2、变形（分解或配方）；3、判断导数式的符号，下结论．
题型五：含参数单调性讨论
情形一：函数为一次函数
例13．（2024·全国·高二专题练习）已知函数，其中，．求函数的单调区间；
例14．（2024·全国·高二专题练习）已知函数，求函数的单调区间．
例15．（2024·四川眉山·高二校考）已知函数．
(1)若在上单调递增，求的取值范围．
(2)求的单调区间.
变式10．（2024·全国·高二专题练习）已知，讨论的单调性；
情形二：函数为准一次函数
例16．（2024·高二课时练习）已知函数，讨论函数的单调性.
例17．（2024·高二课时练习）已知函数，，其中是的导函数.讨论函数的单调性.
例18．（2024·高二课时练习）已知函数 设是的导函数，讨论函数的单调性；
变式11．（2024·全国·高二专题练习）讨论函数 的单调性；
情形三：函数为二次函数型
1、可因式分解
例19．（2024·高二课时练习）已知函数 ).讨论的单调性；
例20．（2024·重庆璧山·高二重庆市璧山来凤中学校校考阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
例21．（2024·全国·高二专题练习）已知函数，讨论函数的单调性.
变式12．（2024·全国·高二专题练习）已知函数.讨论的单调性；
2、不可因式分解型
变式13．（2024·高二课时练习）（1）已知函数，，当时，若在上为减函数，在上为增函数，求实数k的值；
（2）已知函数，讨论函数的单调区间.
变式14．（2024·全国·高二专题练习）已知函数.讨论的单调性．
变式15．（2024·高二课时练习）已知函数，求函数的单调增区间.
变式16．（2024·陕西延安·高二陕西延安中学校考）已知函数．
(1)若的图象在处的切线与直线垂直，求实数的值；
(2)讨论在上的单调性．
变式17．（2024·高二单元测试）已知函数（其中）．
(1)若函数在点处的切线为，求实数，的值．
(2)求函数的单调区间．
【方法技巧与总结】
1、关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）．
2、需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段．
3、利用草稿图像辅助说明．
情形四：函数为准二次函数型
例22．（2024·全国·高二专题练习）已知函数.讨论的单调性；
例23．（2024·全国·高二专题练习）已知函数.讨论函数的单调性；
例24．（2024·全国·高二专题练习）已知函数．若，讨论的单调性；
变式18．（2024·江西·高二江西省宜丰中学校联考阶段练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
【方法技巧与总结】
（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；
（5）导数图像定区间；
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·江苏常州·高二统考期末）函数的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市实验学校校考阶段练习）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川南充·统考模拟预测）函数在上是减函数的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·湖北荆门·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习）已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）若函数为偶函数，且当时，．若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·全国·高三专题练习）设函数，则函数（ ）
A．在区间，内均有一个零点
B．在区间，内均无零点
C．在区间内有一个零点，在区间内无零点
D．在区间内无零点，在区间内有一个零点
7．（2024·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数，则“在区间上单调递增”的一个充分不必要条件为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·湖南·高三南县第一中学校联考阶段练习）设函数的定义域为，其导函数为，且满足，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）已知函数，则（ ）
A．的一个周期为
B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称
D．在上单调递增
10．（2024·高二单元测试）函数的单调减区间可以为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·江西宜春·高三江西省丰城中学校联考）下列函数中，是奇函数且在区间上是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·广东·高三茂名市第一中学校联考阶段练习）已知是自然对数的底数，函数的定义域为，是的导函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2024·广西·模拟预测）函数的单调递增区间为 ．
14．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ．
15．（2024·高二课时练习）函数在上的单调递增区间为 .
16．（2024·浙江温州·高二温州中学校考阶段练习）已知函数，则使得成立的的取值范围是 .
四、解答题
17．（2024·江苏扬州·高二扬州市广陵区红桥高级中学校考阶段练习）已知函数，且.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间.
18．（2024·全国·高三专题练习）已知函数.判断函数的单调性.
19．（2024·陕西西安·高二统考期末）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数在区间上的单调性．
20．（2024·天津滨海新·高二统考期末）已知函数，（其中为常数）
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)设函数，若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
21．（2024·四川自贡·高二统考期末）已知函数．
(1)若的单调递减区间为，求实数的值；
(2)若函数在单调递减，求实数的取值范围．
22．（2024·北京丰台·高二统考期末）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)判断与1.01的大小关系，并说明理由.

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