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第四章 指数函数与对数函数
知识总结与题型归纳
重点一：指数与指数幂的运算
1、 一般地，如果，那么叫做 的次方根。其中.
2、 当为奇数时，；当为偶数时，.
3、 我们规定：（1）； （2）；
4、 运算性质：（1）；（2）；
（3）.（4）a0=1
题型1：利用根式的性质化简求值
例1：(1)化简a＋的结果是(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．2a－1
C．1或2a－1 D．0
(2)当a、b∈R时，下列各式总能成立的是(　　)
A．(－)6＝a－b B.＝a2＋b2
C.－＝a－b D.＝a＋b
(3)设－3＜x＜3，求－的值．
针对训练
1.求下列各式的值：
(1)--；
(2)＋；
(3)()5＋()6(b>a)．
题型2：根式与分数指数幂的转化
例2：将下列根式化成分数指数幂形式．
(1)·；　(2) ；
(3)·； (4)()2·.
针对训练
2.用分数指数幂表示下列各式：
(1)·(a＜0)；
(2) （b＜0）；
(3)（x≠0）
题型3：指数幂的运算
例3：　计算：(1)；
(2).
针对训练
3.计算：
(1) ＋(0.002) －10(－2)－1＋(－)0；
(2)216＋－2－343－；
(3)3π×π＋＋1.
题型4：根式与分数指数幂的转化
例4：已知a＋a－1＝5，求下列各式的值：
(1)a2＋a－2；(2)a－a.
针对训练
4.已知x＝，y＝，求－的值．
重点二：指数函数
图像和性质：
通式 指数函数通式：（且）
定义域、值域 ①定义域：；②值域：。
定点 指数函数一定过点（任何数的零次方都等于）
单调性 ①当时：函数在上单调递减； ②当时：函数在上单调递增。
图像 当时 当时
题型5：指数函数的概念
例5：若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有(　　)
A．a＝1或2 B．a＝1
C．a＝2 D．a>0且a≠1
针对训练
5.若函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则(　　)
A．a＝1或a＝3 B．a＝1
C．a＝3 D．a>0，且a≠1
题型6：指数函数的解析式和应用
例6：(1)指数函数y＝f(x)的图象经过点，那么f(4)f(2)＝(　　)
A．8 B．16 C．32 D．64
(2)若指数函数f(x)的图象经过点(2,9)，求f(x)的解析式及f(－1)的值．
针对训练
6.若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f的值为(　　)
A．2 B．2 C．－2 D．－2
题型7：指数函数的定义域和值域
例7：求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2；
(2)y＝.
针对训练
7.求下列函数的定义域、值域：
(1)y＝；(2)y＝2；(3)y＝4x－2x＋1.
题型8：指数函数的图像和应用
例8：(1)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为(　　)
A．aB．bC．1D．a(2)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
针对训练
8.（1）函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是(　　)
（2）已知函数f(x)＝ax－16＋3(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g(x)的图象上，则幂函数g(x)的图象是(　　 )
题型9：比较大小问题（对数函数）
例9：设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则(　　)
A．y3＞y1＞y2　　　　　　 B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y3＞y2 D．y1＞y2＞y3
针对训练
9.已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．c＜a＜b　　　　　B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a
题型10：解不等式（对数函数）
例10：如果a－5x＞ax＋7(a＞0，a≠1)，求x的取值范围
针对训练
10.(1)已知3x≥30.5，求实数x的取值范围．
(2)已知0.2x<25，求实数x的取值范围．
重点三：对数与对数运算
1、； 2、； 3、，.
4、当时：
（1）； （2）；
（3）；（4）；（5）
5、换底公式： .
6、（1） ；（2）；
（3）；（4）
题型11：对数的定义及其应用
例11：(1)在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，实数x的取值范围是________．
(2)将下列指数式、对数式互化．
①53＝125；②log216＝4；③10－2＝0.01；④log＝6.
针对训练
11.(1)使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　 )
A.∪(1，＋∞)　　　　B．
C．(0,1)∪(1，＋∞) D．
（2）(多选)下列指数式与对数式互化正确的一组是 (　　)
A．100＝1与lg 1＝0
B．27＝与log27＝－
C．log39＝2与9＝3
D．log55＝1与51＝5
题型12：对数的计算
例12：(1)求下列各式的值．
①log981＝________；②log0.41＝________；③ln e2＝________.
(2)求下列各式中x的值．
①log64x＝－；
②logx8＝6；
③lg 100＝x.
　针对训练
12.求下列各式中x的值：
(1)4x＝5·3x；(2)log7(x＋2)＝2；
(3)lne2＝x；(4)logx27＝；
(5)lg0.01＝x.
题型13：对数运算性质的应用
例13：若a>0，且a≠1，x>y>0，n∈N*，则下列各式：
①logax·logay＝loga(x＋y)；
②logax－logay＝loga(x－y)；
③loga(xy)＝logax·logay；④＝loga；
⑤(logax)n＝logaxn；⑥logax＝－loga；
⑦＝loga；⑧loga＝－loga.
其中式子成立的个数为(　　)
A．3　　　　　　　 B．4
C．5 D．6
针对训练
13.如果lg x＝lg a＋3lg b－5lg c，那么(　　)
A．x＝ B．x＝.
C．x＝a＋3b－5c D．x＝a＋b3－c3
题型14：换底公式
例14：(1)计算：(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．
(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.
针对训练
14.计算下列各式：
(1)(log43＋log83)(log32＋log92)－log．
(2)×log6432.
题型15：对数的综合应用
例15：(1)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝2 000(e为自然对数的底数)．当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．(ln 3≈1.099)
(2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，分别求x，y，z的值．
针对训练
15.(1)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝(　　 )
A. B．10 C．20 D．100
（2）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)
A．1010.1 B．10.1 C．lg 10.1 D．10－10.1
重点四：对数函数
1、 图象和性质：
通式 对数函数的通式：（且）
定义域、值域 定义域：；值域：。
定点 对数函数一定过点（是任何数的零次方）
单调性 ①当时：函数在上单调递减； ②当时：函数在上单调递增。
性质逻辑 指数函数与对数函数互为反函数（自变量与应变量交换位置）。 定义域与值域交换，定点的横纵坐标交换位置，单调性相同。
图像 当时 当时
题型16：对数函数的概念
例16：（1）下列函数表达式中，是对数函数的有(　　)
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)．
A．1个　　　　　　　　 B．2个
C．3个 D．4个
（2）函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.
（3）已知对数函数f(x)的图象过点P(8,3)，则f＝________.
针对训练
16.(1)(1)已知对数函数f(x)的图象过点(8,3)，则f＝ .
(2)已知函数f(x)＝(2m2－m)logax＋m－1是对数函数，则m＝ .
题型17：对数型函数的定义域
例17：求下列函数的定义域：
(1)y＝log5(1－x)；
(2)y＝log1－x5；
(3)y＝；
(4)y＝(a＞0，且a≠1)．
针对训练
17.①若函数f(x)＝log2(a－4x)的定义域为(－∞，1)，则a的范围为________．
②若函数f(x)＝log2(4x－a)的定义域为R，则a的范围为________．
③若函数f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的定义域为R，则a的范围为________．
题型18：对数函数的实际应用
例18：森林具有净化空气的功能，经研究发现，森林净化空气质量Q与森林面积S的关系是Q＝Alog2，且当森林面积为40个单位时，森林净化量Q为100个单位．
(1)求A的值；
(2)当某森林面积为320个单位时，它能净化的空气量为多少个单位．
针对训练
18.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；
(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
题型19：对数函数的图像和性质
例19：　(1)函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．
(2)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________．
针对训练
19.(1)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　)
A．0＜a＜b＜1　　　B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1 D．b＞a＞1
（2）若函数y＝loga(x＋b)＋c(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b，c的值分别为________．
题型20：比较对数值的大小
例20：(1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　)
A．a＞c＞b　　　　　　　 B．b＞c＞a
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
(2)(全国丙卷)若a＞b＞0,0＜c＜1，则(　　)
A．logac＜logbc B．logca＜logcb
C．ac＜bc D．ca＞cb
针对训练
20.(1)若a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正确的是(　　 )
A．bC．c(2)下列不等式成立的是(其中a>0，且a≠1)(　　 )
A．loga5.1log2.2
C．log1.1(a＋1)题型21：对数函数的综合问题
例21：已知函数f(x)＝loga(3－ax)，
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．
(2)是否存在实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
针对训练
21.(1)下列函数中，既是单调函数，又是奇函数的是(　　)
A．y＝x－1 B．y＝3|x|
C．y＝log3x D．y＝log23x
(2)已知f(x)＝loga(a－ax)(a>1)．
①求f(x)的定义域和值域；
②判断并证明f(x)的单调性．
题型22：函数模型的选择
例22：某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
针对训练
22.政府气候变化专业委员会(I PCC)提供的一项报告指出：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加．据测，1994年，1995年，1996年大气中的CO2浓度分别比1993年增加了1个可比单位，3个可比单位，6个可比单位．若用一个函数模拟九十年代中每年CO2浓度增加的可比单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数或函数y＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数)，且又知1998年大气中的CO2浓度比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？
题型23：求函数的零点或判断零点的个数
例23：（1）求函数f(x)＝x3－7x＋6的零点．
（2）探求函数f(x)＝ax－x－a零点的个数
针对训练
23.（1）已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)
A.，0　　　 　B．－2,0 C. D．0
（2）函数f(x)＝ln x－的零点的个数是(　　 )
A．0 B．1 C．2 D．3
（3）若函数f(x)＝－2a有两个零点，则实数a的取值范围是(　　 )
A. B．(0,1) C. D．(1，＋∞)
题型24：判断函数的零点、方程的根所在的区间
例24：(1)函数y＝2x＋x的零点所在的区间是(　　)
A．(－2，－1)　　　　　　 B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
(2)若方程log3x＋x＝3的解所在的区间是(k，k＋1)且k∈Z，则k＝________.
针对训练
24.（1）函数f(x)＝2x＋log2x－3的零点所在区间为 (　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
（2）若函数f(x)＝x－x＋a的零点在区间(1，＋∞)上，则实数a的取值范围是________．
题型25：二次函数零点分布问题
例25：已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，分别求出下列条件成立的情况下，实数a的取值范围：
(1)两个零点均大于1；
(2)一个零点大于1，一个零点小于1；
(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．
针对训练
25.方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0有两个实根x1，x2，且满足0＜x1＜1＜x2＜4，则m的取值范围是(　　)
A. B．(－∞，－1)∪(5，＋∞)
C. D．
题型26：指数函数模型
例26：一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止，森林面积为a.
(1)求p%的值；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
针对训练
26.据报道，青海湖的湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2000年的湖水量为m，从2000年起，过x年后湖水量y与x的函数关系式为________．
题型27：对数函数模型
例27：2018年12月8日，我国的“长征”三号火箭成功发射了嫦娥四号探测器，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步．火箭的起飞质量M是箭体(包括搭载的飞行器)的质量m(吨)和燃料质量x(吨)之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y(km/s)关于x(吨)的函数关系式为y＝k[ln(m＋x)－ln(m)]＋4ln 2(其中k≠0)．当燃料质量为(－1)m吨时，该火箭的最大速度为4 km/s.
(1)求“长征”四号系列火箭的最大速度y与燃料质量x之间的函数关系式；
(2)已知“长征”四号火箭的起飞质量M是479.8吨，则应装载多少吨燃料才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s？(结果精确到0.1吨，e取2.718)
针对训练
27.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝log3－lg x0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0代表测量过程中该类候鸟每分钟的耗氧量偏差
(参考数据：lg 2≈0.30,31.2≈3.74,31.4＝4.66)．
(1)当x0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时，候鸟的飞行速度是多少？
(2)当x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？
(3)若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min，同类雌鸟的飞行速度为1.5 km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？第四章 指数函数与对数函数
知识总结与题型归纳
重点一：指数与指数幂的运算
1、 一般地，如果，那么叫做 的次方根。其中.
2、 当为奇数时，；当为偶数时，.
3、 我们规定：（1）； （2）；
4、 运算性质：（1）；（2）；
（3）.（4）a0=1
题型1：利用根式的性质化简求值
例1：(1)化简a＋的结果是(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．2a－1
C．1或2a－1 D．0
(2)当a、b∈R时，下列各式总能成立的是(　　)
A．(－)6＝a－b B.＝a2＋b2
C.－＝a－b D.＝a＋b
(3)设－3＜x＜3，求－的值．
【答案】(1)C　(2)B　(3)见解析
【详解】解析：(1)a＋＝a＋|1－a|＝1或2a－1，故选C.
(2)取a＝0，b＝1，A不成立．
取a＝0，b＝－1，C、D不成立．
∵a2＋b2≥0，∴B正确，故选B.
(3)原式＝－
＝|x－1|－|x＋3|.
∵－3＜x＜3，
∴当－3＜x＜1时，
原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x＜3时，
原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4，
∴原式＝
技巧：根式化简应遵循的3个原则
(1)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式．
(2)被开方数是带分数的要化成假分数．
(3)被开方数中不能含有分母；使用＝·(a≥0，b≥0)化简时，被开方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式．　
针对训练
1.求下列各式的值：
(1)--；
(2)＋；
(3)()5＋()6(b>a)．
【答案】（1）.（2）11（3）0
【详解】(1)原式＝－－
＝－－＝.
(2)原式＝－8＋|3－π|＝－8＋π－3＝π－11.
(3)原式＝(a－b)＋|b－a|＝a－b＋b－a＝0.
题型2：根式与分数指数幂的转化
例2：将下列根式化成分数指数幂形式．
(1)·；　(2) ；
(3)·； (4)()2·.
【答案】【详解】解析：(1)·＝·＝.
(2)原式＝··＝.
(3)原式＝·＝.
(4)原式＝()2··＝.
技巧：根式与分数指数幂的互化技巧
(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：a＝和a＝＝，其中字母a要使式子有意义．
(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂．
针对训练
2.用分数指数幂表示下列各式：
(1)·(a＜0)；
(2) （b＜0）；
(3)（x≠0）
【答案】【详解】(1)原式＝·＝－·
＝－(a＜0)．
(2)原式＝＝(b＜0)．
(3)原式＝＝＝
题型3：指数幂的运算
例3：　计算：(1)；
(2).
【答案】(1)6(2)
【详解】解析：(1)原式＝＝＝＝6.
(2)原式＝＝
＝
＝＝
＝＝.
针对训练
3.计算：
(1) ＋(0.002) －10(－2)－1＋(－)0；
(2)216＋－2－343－；
(3)3π×π＋＋1.
【答案】（1）.（2）11（3）0
【详解】(1)原式＝(－1)·＋－＋1
＝＋500－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
(2)原式＝(63)＋32－(73)－(5－3)＝36＋9－7－5＝33.
(3)3π×π＋＋1＝π＋22×＋1＝1π＋24＋1＝18.
题型4：根式与分数指数幂的转化
例4：已知a＋a－1＝5，求下列各式的值：
(1)a2＋a－2；(2)a－a.
【答案】【详解】解析：(1)法一：由a＋a－1＝5两边平方得：
a2＋2a·a－1＋a－2＝25，即a2＋a－2＝23.
法二：a2＋a－2＝a2＋2a·a－1＋a－2－2a·a－1
＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23.
(2)∵(a－a)2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，
∴|a－a|＝.
∴a－a＝±.
技巧：变形公式
(1)a±2ab＋b＝(a±b)2(a＞0，b＞0)．
(2)(a＋b)(a－b)＝a－b(a＞0，b＞0)．
(3)a＋b＝(a＋b)(a－ab＋b)．
(4)a－b＝(a－b)(a＋ab＋b)．　　
针对训练
4.已知x＝，y＝，求－的值．
【答案】【详解】－＝－＝.
∵x＝，y＝，
∴原式＝＝＝－24＝－8.
重点二：指数函数
图像和性质：
通式 指数函数通式：（且）
定义域、值域 ①定义域：；②值域：。
定点 指数函数一定过点（任何数的零次方都等于）
单调性 ①当时：函数在上单调递减； ②当时：函数在上单调递增。
图像 当时 当时
题型5：指数函数的概念
例5：若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有(　　)
A．a＝1或2 B．a＝1
C．a＝2 D．a>0且a≠1
【答案】C
【详解】解析：由y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，
∴∴a＝2.选C.
技巧：判断一个函数是不是指数函数，其关键是分析该函数是否具备指数函数三大特征：
(1)底数a>0，且a≠1；
(2)ax的系数为1；
(3)y＝ax中a是常数，x为自变量，自变量在指数位置上．
针对训练
5.若函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则(　　)
A．a＝1或a＝3 B．a＝1
C．a＝3 D．a>0，且a≠1
【答案】C
【详解】解析：由指数函数定义知，所以解得a＝3.故选C
题型6：指数函数的解析式和应用
例6：(1)指数函数y＝f(x)的图象经过点，那么f(4)f(2)＝(　　)
A．8 B．16 C．32 D．64
(2)若指数函数f(x)的图象经过点(2,9)，求f(x)的解析式及f(－1)的值．
【答案】（1）D（2）
【详解】解析：(1)选D　指数函数y＝f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点，可得a－2＝，解得a＝2，函数的解析式为y＝2x，f(4)f(2)＝24·22＝64，故选D.
(2)设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，将点(2,9)代入，得a2＝9，解得a＝3或a＝－3(舍去)．
所以f(x)＝3x.
所以f(－1)＝3－1＝.
针对训练
6.若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f的值为(　　)
A．2 B．2 C．－2 D．－2
【答案】B
【详解】解析：∵函数f(x)＝·ax是指数函数，∴a－3＝1，a＞0，a≠1，解得a＝8，∴f(x)＝8x，∴f＝＝2，故选B.
题型7：指数函数的定义域和值域
例7：求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2；
(2)y＝.
【答案】（1）(0,1)∪(1，＋∞)（2）[1，＋∞)
【详解】解析：　(1)令t＝，∵x∈R且x≠4.∴t≠0.
∴y＝2t∈(0,1)∪(1，＋∞)，
故原函数的定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞)，
值域为(0,1)∪(1，＋∞)．
(2)令t＝－|x|，可知x∈R，∴|x|≥0，t≤0.
∴y＝∈[1，＋∞)，
故原函数的定义域为R，值域为[1，＋∞)．
技巧：函数y＝af(x)的定义域、值域的求法
(1)函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．
(2)函数y＝af(x)的值域的求法如下：
①换元，令t＝f(x)；
②求t＝f(x)的定义域x∈D；
③求t＝f(x)的值域t∈M.
针对训练
7.求下列函数的定义域、值域：
(1)y＝；(2)y＝2；(3)y＝4x－2x＋1.
【答案】【详解】解析：(1)函数的定义域为R.∵y＝＝＝1－，
又∵3x＞0，∴1＋3x＞1，∴0＜＜1，∴－1＜－＜0，
∴0＜1－＜1，∴函数的值域为(0,1)．
(2)函数的定义域为R.∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，
∴2≤2，即y≤2.又2＞0，∴函数的值域为(0,2]．
(3)函数的定义域为R. y＝(2x)2－2x＋1＝2＋，
∵2x＞0，∴当2x＝，即x＝－1时，y取最小值，
∴函数的值域为.
题型8：指数函数的图像和应用
例8：(1)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为(　　)
A．aB．bC．1D．a(2)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
【答案】(1)B　(2)(3,4)
【详解】解析：(1)由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.
过点(1,0)作直线x＝1，如图所示，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则1(2)法一：因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函数的图象过定点(3,4)．
法二：将原函数变形，得y－3＝ax－3，然后把y－3看作是(x－3)的指数函数，所以当x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3，y＝4，所以原函数的图象过定点(3,4)．
针对训练
8.（1）函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是(　　)
（2）已知函数f(x)＝ax－16＋3(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g(x)的图象上，则幂函数g(x)的图象是(　　 )
【答案】（1）A（2）A
【详解】解析：（1）当a＞1时，函数f(x)＝ax单调递增，当x＝0时，g(0)＝a＞1，此时两函数的图象大致为选项A.
（2）f(x)＝ax－16＋3恒过定点P(16,4)，
设幂函数g(x)＝xα，则16α＝4，∴α＝，∴g(x)＝.故选A
题型9：比较大小问题（对数函数）
例9：设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则(　　)
A．y3＞y1＞y2　　　　　　 B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y3＞y2 D．y1＞y2＞y3
【答案】C
【详解】解析：y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝－1.5＝21.5，∵y＝2x是增函数，1.8＞1.5＞1.44，∴y1＞y3＞y2，故选C.
技巧：
针对训练
9.已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．c＜a＜b　　　　　B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a
【答案】D
【详解】解析：c＝＝＜1，又a＝，b＝，∴a＞b＞1.
故c＜b＜a，选D.
题型10：解不等式（对数函数）
例10：如果a－5x＞ax＋7(a＞0，a≠1)，求x的取值范围
【答案】
【详解】解析：①当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，则－5x＜x＋7，解得x＞－.
②当a＞1时，y＝ax为增函数，
则－5x＞x＋7，
∴x＜－，
综上，当0＜a＜1时，x∈(－，＋∞)，
当a＞1时，x∈(－∞，－)．
技巧：解含指数式的不等式的策略
(1)指数型不等式af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)的解法：
当a＞1时，f(x)＞g(x)；
当0＜a＜1时，f(x)＜g(x)．
(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a＞0，且a≠1)，a－x＝x(a＞0，且a≠1)等．
针对训练
10.(1)已知3x≥30.5，求实数x的取值范围．
(2)已知0.2x<25，求实数x的取值范围．
【答案】（1）[0.5，＋∞)（2）(－2，＋∞)
【详解】解析：(1)因为3>1，
所以指数函数f(x)＝3x在R上是增函数．
由3x≥30.5，可得x≥0.5，
即x的取值范围为[0.5，＋∞)．
(2)因为0<0.2<1，
所以指数函数f(x)＝0.2x在R上是减函数．
又因为25＝－2＝0.2－2，
所以0.2x<0.2－2，则x>－2，
即x的取值范围为(－2，＋∞)．
重点三：对数与对数运算
1、； 2、； 3、，.
4、当时：
（1）； （2）；
（3）；（4）；（5）
5、换底公式： .
6、（1） ；（2）；
（3）；（4）
题型11：对数的定义及其应用
例11：(1)在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，实数x的取值范围是________．
(2)将下列指数式、对数式互化．
①53＝125；②log216＝4；③10－2＝0.01；④log＝6.
【答案】（1）2【详解】解析：(1)由题意可知
解得2(2)①由53＝125，得log5125＝3.
②由log216＝4，得24＝16.
③由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2.
④由log 125＝6，得()6＝125.
针对训练
11.(1)使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　 )
A.∪(1，＋∞)　　　　B．
C．(0,1)∪(1，＋∞) D．
（2）(多选)下列指数式与对数式互化正确的一组是 (　　)
A．100＝1与lg 1＝0
B．27＝与log27＝－
C．log39＝2与9＝3
D．log55＝1与51＝5
【答案】（1）B（2）ABD
【详解】解析：（1）
使对数loga(－2a＋1)有意义的a需满足解得0＜a＜.故选B.
log39＝2与32＝9互化，9＝3与log93＝互化，易知选项A、B、D正确．
题型12：对数的计算
例12：(1)求下列各式的值．
①log981＝________；②log0.41＝________；③ln e2＝________.
(2)求下列各式中x的值．
①log64x＝－；
②logx8＝6；
③lg 100＝x.
【答案】D
【详解】解析：(1)①设log981＝x，所以9x＝81＝92，
故x＝2，即log981＝2.
②设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，
故x＝0，即log0.41＝0.
③设ln e2＝x，所以ex＝e2，
故x＝2，即ln e2＝2.
(2)①由log64x＝－得x＝64＝4＝4－2＝.
②由logx8＝6，得x6＝8，又x>0，
即x＝8＝＝.
③由lg 100＝x，得10x＝100＝102，即x＝2.
技巧：求对数式logaN的值的步骤
(1)设logaN＝m；
(2)将logaN＝m写成指数式am＝N；
(3)将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b.　
针对训练
12.求下列各式中x的值：
(1)4x＝5·3x；(2)log7(x＋2)＝2；
(3)lne2＝x；(4)logx27＝；
(5)lg0.01＝x.
【答案】
【详解】解析：(1)∵4x＝5·3x，∴＝5，∴x＝5，
题型13：对数运算性质的应用
例13：若a>0，且a≠1，x>y>0，n∈N*，则下列各式：
①logax·logay＝loga(x＋y)；
②logax－logay＝loga(x－y)；
③loga(xy)＝logax·logay；④＝loga；
⑤(logax)n＝logaxn；⑥logax＝－loga；
⑦＝loga；⑧loga＝－loga.
其中式子成立的个数为(　　)
A．3　　　　　　　 B．4
C．5 D．6
【答案】A
【详解】解析：对于①，取x＝4，y＝2，a＝2，
则log24·log22＝2×1＝2，而log2(4＋2)＝log26≠2，
∴logax·logay＝loga(x＋y)不成立；
对于②，取x＝8，y＝4，a＝2，则log28－log24＝1≠log2(8－4)＝2，
∴logax－logay＝loga(x－y)不成立；
对于③，取x＝4，y＝2，a＝2，则log2(4×2)＝log28＝3，而log24·log22＝2×1＝2≠3，
∴loga(xy)＝logax·logay不成立；
对于④，取x＝4，y＝2，a＝2，则＝2≠log2＝1，
∴＝loga不成立；
对于⑤，取x＝4，a＝2，n＝3，则(log24)3＝8≠log243＝6，∴(logax)n＝logaxn不成立；
⑥成立，由于－loga＝－logax－1＝loga(x－1)－1＝logax；
⑦成立，由于loga＝logax＝logax；
⑧成立，由于loga＝loga－1＝－loga.
故选A
针对训练
13.如果lg x＝lg a＋3lg b－5lg c，那么(　　)
A．x＝ B．x＝.
C．x＝a＋3b－5c D．x＝a＋b3－c3
【答案】A
【详解】解析：∵lg x＝lg a＋lg b3－lg c5，∴lg x＝lg.∴x＝.故选A
题型14：换底公式
例14：(1)计算：(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．
(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.
【答案】（1）13（2）
【详解】解析：(1)法一：原式＝
·log52＋＋
＝·log52＋＋
＝log25·(3log52)
＝13log25·＝13.
法二：原式＝
·＋＋
＝＋＋·＋＋
＝·＝13.
(2)因为log189＝a,18b＝5，所以log185＝b，于是
法一：log3645＝＝＝＝.
法二：因为＝log189＝a，所以lg 9＝alg 18，
同理得lg 5＝blg 18，
所以log3645＝＝＝＝＝.
技巧：利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
针对训练
14.计算下列各式：
(1)(log43＋log83)(log32＋log92)－log．
(2)×log6432.
【答案】（1）（2）
【详解】解析：(1)(log43＋log83)(log32＋log92)－log
＝－＝(log23＋log23)＋log232＝log23×log32＋＝××log23×log32＋＝＋＝.
(2)方法1：原式＝÷log23×＝÷log23×＝.
方法2：原式＝÷×＝××＝.
题型15：对数的综合应用
例15：(1)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝2 000(e为自然对数的底数)．当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．(ln 3≈1.099)
(2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，分别求x，y，z的值．
【答案】【详解】解析：(1)因为v＝ln2 000
＝2 000 ln，
所以v＝2 000 ln 3≈2 000×1.099＝2 198(m/s)．
故当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s.
(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，
∴＝logk2，＝logk3，＝logk5，
由＋＋＝1，
得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，
∴k＝30，
∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.
技巧：解对数应用题的步骤
针对训练
15.(1)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝(　　 )
A. B．10 C．20 D．100
（2）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)
A．1010.1 B．10.1 C．lg 10.1 D．10－10.1
【答案】（1）A（2）A
【详解】解析：（1）由2a＝5b＝m(m＞0)得a＝log2m，b＝log5m，所以＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，m2＝10，m＝，故选A.
（2）由题意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝lg，所以lg＝10.1，所以＝1010.1.故选A
重点四：对数函数
1、 图象和性质：
通式 对数函数的通式：（且）
定义域、值域 定义域：；值域：。
定点 对数函数一定过点（是任何数的零次方）
单调性 ①当时：函数在上单调递减； ②当时：函数在上单调递增。
性质逻辑 指数函数与对数函数互为反函数（自变量与应变量交换位置）。 定义域与值域交换，定点的横纵坐标交换位置，单调性相同。
图像 当时 当时
题型16：对数函数的概念
例16：（1）下列函数表达式中，是对数函数的有(　　)
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)．
A．1个　　　　　　　　 B．2个
C．3个 D．4个
（2）函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.
（3）已知对数函数f(x)的图象过点P(8,3)，则f＝________.
【答案】B
【详解】解析：（1）∵①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；∵②中底数a∈R不能保证a>0，且a≠1，∴②不是对数函数；∵⑤⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，∴⑤⑦也不是对数函数；∵⑥中log4x的系数为2，∴⑥也不是对数函数．只有③④符合对数函数的定义．故选B
（2）a2－a＋1＝1，解得a＝0或1.
又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1.
（3）设对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
∵f(x)的图象过点P(8,3)，
∴3＝loga8，∴a3＝8，a＝2.
∴f(x)＝log2x.f＝log2＝log22－5＝－5.
针对训练
16.(1)(1)已知对数函数f(x)的图象过点(8,3)，则f＝ .
(2)已知函数f(x)＝(2m2－m)logax＋m－1是对数函数，则m＝ .
【答案】（1）-5（2）1
【详解】解析：(1)设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，则3＝loga8，∴a3＝8，a＝2.
∴f(x)＝log2x，f＝log2＝log22－5＝－5.
(2)因为函数f(x)是对数函数，则解得m＝1.
题型17：对数型函数的定义域
例17：求下列函数的定义域：
(1)y＝log5(1－x)；
(2)y＝log1－x5；
(3)y＝；
(4)y＝(a＞0，且a≠1)．
【答案】D
【详解】解析：(1)要使函数式有意义，需1－x>0，解得x<1，
所以函数y＝log5(1－x)的定义域是{x|x<1}．
(2)要使函数式有意义，需
解得x<1，且x≠0，
所以函数y＝log1－x5的定义域是{x|x<1，且x≠0}．
(3)由得
∴x＞－1，且x≠999，
∴函数的定义域为{x|x＞－1，且x≠999}．
(4)loga(4x－3)≥0 loga(4x－3)≥loga1.
当a＞1时，有4x－3≥1，x≥1.
当0＜a＜1时，有0＜4x－3≤1，
解得＜x≤1.
综上所述，当a＞1时，函数的定义域为[1，＋∞)，
当0＜a＜1时，函数的定义域为.
针对训练
17.①若函数f(x)＝log2(a－4x)的定义域为(－∞，1)，则a的范围为________．
②若函数f(x)＝log2(4x－a)的定义域为R，则a的范围为________．
③若函数f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的定义域为R，则a的范围为________．
【答案】①{4}　②(－∞，0]　③(－2,2)
【详解】解析：①f(x)＝log2(a－4x)的定义域为(－∞，1)，
即a－4x＞0的解集为(－∞，1)，
即x＝1是a－4x＝0的根，
∴a＝4.
②由题意得4x－a＞0对 x∈R都成立，
∴a＜4x恒成立，
∴a≤0.
③只要u＝x2＋ax＋1与x轴无交点，即u＞0恒成立，
∴Δ＝a2－4＜0，
∴－2＜a＜2.
题型18：对数函数的实际应用
例18：森林具有净化空气的功能，经研究发现，森林净化空气质量Q与森林面积S的关系是Q＝Alog2，且当森林面积为40个单位时，森林净化量Q为100个单位．
(1)求A的值；
(2)当某森林面积为320个单位时，它能净化的空气量为多少个单位．
【答案】
【详解】解析：(1)由题意知Alog2＝100，∴A＝50.
(2)把S＝320代入Q＝50log2，得Q＝250.
所以当森林面积为320个单位时，它能净化的空气质量为250个单位．
针对训练
18.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；
(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
【答案】
【详解】解析：(1)由题意知y＝
(2)由题意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5，
即log5(x－9)＝2，∴x－9＝52，解得x＝34.
所以老江的销售利润是34万元．
题型19：对数函数的图像和性质
例19：　(1)函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．
(2)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________．
【答案】(1)(0，－2)　(2)b>a>1>d>c
【详解】解析：(1)因为函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1得x＝0，
此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，
所以函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2)．
(2)由图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a>1，b>1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0过点(0,1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c.
针对训练
19.(1)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　)
A．0＜a＜b＜1　　　B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1 D．b＞a＞1
（2）若函数y＝loga(x＋b)＋c(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b，c的值分别为________．
【答案】（1）0＜b＜a＜1（2）b＝－2，c＝2
【详解】解析：（1）作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.
（2）∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y＝loga(x＋b)＋c，得2＝loga(3＋b)＋c.
又当a＞0，且a≠1时，loga1＝0恒成立，
∴c＝2,3＋b＝1，∴b＝－2，c＝2.
题型20：比较对数值的大小
例20：(1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　)
A．a＞c＞b　　　　　　　 B．b＞c＞a
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
(2)(全国丙卷)若a＞b＞0,0＜c＜1，则(　　)
A．logac＜logbc B．logca＜logcb
C．ac＜bc D．ca＞cb
【答案】(1)D　(2)B
【详解】解析：(1)∵＜2＜3,1＜2＜，3＞2，
∴log3＜log32＜log33，log51＜log52＜log5，log23＞log22，∴＜a＜1，0＜b＜，c＞1，
∴c＞a＞b.故选D
(2)　法一：因为0＜c＜1，所以y＝logcx在(0，＋∞)上单调递减，又0＜b＜a，所以logca＜logcb.
法二：取a＝4，b＝2，c＝，则log4＝－＞log2，排除A；4＝2＞2，排除C；4＜2，排除D.故选B
技巧：比较对数值大小的方法
比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性．
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．
(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底数后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象，再进行比较．
(4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．
针对训练
20.(1)若a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正确的是(　　 )
A．bC．c(2)下列不等式成立的是(其中a>0，且a≠1)(　　 )
A．loga5.1log2.2
C．log1.1(a＋1)【答案】（1）D（2）B
【详解】解析：(1)因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，所以a＝log23＝log49>log46>1，又log32<1，所以b(2)对于选项A，因为a和1大小的关系不确定，无法确定对数函数的单调性，故A不成立；对于选项B，因为以为底的对数函数是减函数，所以成立；对于选项C，因为以1.1为底的对数函数是增函数，所以不成立；对于选项D，log32.9>0，log0.52.2<0，故不成立，故选B.
题型21：对数函数的综合问题
例21：已知函数f(x)＝loga(3－ax)，
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．
(2)是否存在实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】
【详解】解析：(1)由题设，3－ax>0对x∈[0,2]恒成立，且a>0，a≠1.
设g(x)＝3－ax，则g(x)在[0,2]上为减函数，
∴g(x)min＝g(2)＝3－2a>0，∴a<.
∴a的取值范围是(0,1)∪.
(2)假设存在这样的实数a，则由题设知f(1)＝1，
即loga(3－a)＝1，∴a＝.
此时f(x)＝log.
但x＝2时，f(x)＝log0无意义．
故这样的实数a不存在．
技巧：形如f(x)＝logag(x)(a＞0，且a≠1)的函数的单调区间的求法：
(1)先求g(x)＞0的解集(也就是函数f(x)的定义域)．
(2)当底数a＞1时，在g(x)＞0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间．
(3)当底数0＜a＜1时，在g(x)＞0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是f(x)的单调增区间．　　
针对训练
21.(1)下列函数中，既是单调函数，又是奇函数的是(　　)
A．y＝x－1 B．y＝3|x|
C．y＝log3x D．y＝log23x
(2)已知f(x)＝loga(a－ax)(a>1)．
①求f(x)的定义域和值域；
②判断并证明f(x)的单调性．
【答案】（1）D（2）看解析
【详解】解析：(1)y＝x－1在定义域内不是单调函数；y＝3|x|为偶函数；y＝log3x既不是奇函数也不是偶函数，故A，B，C均不正确．又∵log23－x＝log2(3x)－1＝－log23x，log23x的定义域为R，∴函数y＝log23x为奇函数．
又∵y＝log23x在(－∞，＋∞)上为增函数，
∴选D.
(2)①由a>1，a－ax>0，即a>ax，得x<1.
故f(x)的定义域为(－∞，1)．
由0故函数f(x)的值域为(－∞，1)．
②f(x)在(－∞，1)上为减函数，证明如下：
任取1>x1>x2，
又∵a>1，
∴ax1>ax2，
∴a－ax1∴loga(a－ax1)即f(x1)故f(x)在(－∞，1)上为减函数．
题型22：函数模型的选择
例22：某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
【答案】
【详解】解析：作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
针对训练
22.政府气候变化专业委员会(I PCC)提供的一项报告指出：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加．据测，1994年，1995年，1996年大气中的CO2浓度分别比1993年增加了1个可比单位，3个可比单位，6个可比单位．若用一个函数模拟九十年代中每年CO2浓度增加的可比单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数或函数y＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数)，且又知1998年大气中的CO2浓度比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？
【答案】
【详解】解析：若以f(x)＝px2＋qx＋r作模拟函数，则依题意得： ∴f(x)＝x2＋x.
若以g(x)＝a·bx＋c作模拟函数，
则 ∴g(x)＝·()x－3.
利用f(x)，g(x)对1994年CO2浓度作估算，则其数值分别为：f(5)＝15可比单位，g(5)＝17.25可比单位，
∵|f(5)－16|<|g(5)－16|，
故f(x)＝x2＋x作模拟函数与1998年的实际数据较为接近，用f(x)＝x2＋x作模拟函数较好．
题型23：求函数的零点或判断零点的个数
例23：（1）求函数f(x)＝x3－7x＋6的零点．
（2）探求函数f(x)＝ax－x－a零点的个数
【答案】D
【详解】解析：（1）令f(x)＝0，即x3－7x＋6＝0，
∴x3－x－(6x－6)＝0，
∴x(x－1)(x＋1)－6(x－1)＝0，
∴(x－1)(x－2)(x＋3)＝0，
解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3，
∴函数f(x)＝x3－7x＋6的零点是1,2，－3.
（2）作y＝ax及y＝x＋a的图象，当01时，图象如②所示．
由图可知：当0当a>1时，两图象有2个交点，即原函数有2个零点．
针对训练
23.（1）已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)
A.，0　　　 　B．－2,0 C. D．0
（2）函数f(x)＝ln x－的零点的个数是(　　 )
A．0 B．1 C．2 D．3
（3）若函数f(x)＝－2a有两个零点，则实数a的取值范围是(　　 )
A. B．(0,1) C. D．(1，＋∞)
【答案】（1）D（2）C（3）
【详解】解析：（1）当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0；当x＞1时，令1＋log2x＝0，得x＝，此时无解．综上所述，函数f(x)的零点为0.故选D.
（2）如图，画出y＝ln x与y＝的图象，由图知y＝ln x与y＝(x>0，且x≠1)的图象有两个交点．故函数f(x)＝ln x－的零点有2个．
（3）由题意可得f(x)＝－2a＝0，即＝2a，
函数f(x)＝－2a有两个零点，
即函数y＝与y＝2a的图象有两个交点，
作出图象，如图所示：则0＜2a＜1，即0＜a＜.故选A.
题型24：判断函数的零点、方程的根所在的区间
例24：(1)函数y＝2x＋x的零点所在的区间是(　　)
A．(－2，－1)　　　　　　 B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
(2)若方程log3x＋x＝3的解所在的区间是(k，k＋1)且k∈Z，则k＝________.
【答案】（1）B（2）2
【详解】解析：(1)记f(x)＝2x＋x，则f(－2)＝2－2＋(－2)＝－<0，f(－1)＝2－1＋(－1)＝－<0，f(0)＝20＋0＝1>0，所以零点所在的区间为(－1,0)．
(2)令f(x)＝log3x＋x－3，
则f(2)＝log32－1＜0，
f(3)＝1＞0，由零点存在性定理得f(2)·f(3)＜0，
∴零点所在区间为(2,3)，∴k＝2.
技巧：确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
解方程法 当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上
零点存 在定理 首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点
数形结合法 通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断
针对训练
24.（1）函数f(x)＝2x＋log2x－3的零点所在区间为 (　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
（2）若函数f(x)＝x－x＋a的零点在区间(1，＋∞)上，则实数a的取值范围是________．
【答案】（1）B（2）
【详解】解析：（1）由题意，可得函数在定义域上为增函数，f(1)＝2＋log21－3＝－1＜0，f(2)＝22＋log22－3＝5－3＝2＞0，
所以f(1)f(2)＜0，根据零点存在定理，f(x)的零点所在区间为(1,2)．故选B.
（2）易知函数f(x)＝x－x＋a在定义域上单调递增，
又∵函数f(x)＝x－x＋a的零点在区间(1，＋∞)上，
∴f(1)＝＋a＜0，∴a＜－.
题型25：二次函数零点分布问题
例25：已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，分别求出下列条件成立的情况下，实数a的取值范围：
(1)两个零点均大于1；
(2)一个零点大于1，一个零点小于1；
(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．
【答案】
【详解】解析：(1)由已知并结合二次函数的图象，得
解得2≤a＜，故实数a的取值范围是.
(2)由已知并结合二次函数的图象得f(1)＝5－2a＜0，
解得a＞，因此实数a的取值范围是.
(3)由已知并结合二次函数的图象与零点存在定理，
得解得＜a＜，
因此实数a的取值范围是.
针对训练
25.方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0有两个实根x1，x2，且满足0＜x1＜1＜x2＜4，则m的取值范围是(　　)
A. B．(－∞，－1)∪(5，＋∞)
C. D．
【答案】A
【详解】解析：设f(x)＝x2＋2(m－1)x＋2m＋6，由题意可得，
即解得－＜m＜－，故选A.
题型26：指数函数模型
例26：一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止，森林面积为a.
(1)求p%的值；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
【答案】
【详解】(1)由题意得a(1－p%)10＝，即(1－p%)10＝，解得p%＝1－.
(2)设经过m年森林面积为a，则a(1－p%)m＝a，即＝，得＝，
解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，n年后森林面积为a·(1－p%)n，
令a(1－p%)n≥a，即(1－p%)n≥，
≥，得≤，解得n≤15，故今后最多还能砍伐15年．
针对训练
26.据报道，青海湖的湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2000年的湖水量为m，从2000年起，过x年后湖水量y与x的函数关系式为________．
【答案】
【详解】解析：设每年湖水量为上一年的q%，则(q%)50＝0.9，解得q%＝0.9，即x年后的湖水量为0.9·m.
题型27：对数函数模型
例27：2018年12月8日，我国的“长征”三号火箭成功发射了嫦娥四号探测器，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步．火箭的起飞质量M是箭体(包括搭载的飞行器)的质量m(吨)和燃料质量x(吨)之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y(km/s)关于x(吨)的函数关系式为y＝k[ln(m＋x)－ln(m)]＋4ln 2(其中k≠0)．当燃料质量为(－1)m吨时，该火箭的最大速度为4 km/s.
(1)求“长征”四号系列火箭的最大速度y与燃料质量x之间的函数关系式；
(2)已知“长征”四号火箭的起飞质量M是479.8吨，则应装载多少吨燃料才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s？(结果精确到0.1吨，e取2.718)
【答案】
【详解】(1)由题意得
4＝k{ln[m＋(－1)m]－ln(m)}＋4ln 2，
解得k＝8，
所以y＝8[ln(m＋x)－ln(m)]＋4ln 2＝8ln .
(2)由已知得M＝m＋x＝479.8，
则m＝479.8－x，又y＝8，
则8＝8ln，解得x≈303.3.
故应装载大约303.3吨燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s.
针对训练
27.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝log3－lg x0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0代表测量过程中该类候鸟每分钟的耗氧量偏差
(参考数据：lg 2≈0.30,31.2≈3.74,31.4＝4.66)．
(1)当x0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时，候鸟的飞行速度是多少？
(2)当x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？
(3)若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min，同类雌鸟的飞行速度为1.5 km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？
【答案】
【详解】解析：(1)由题意，x0＝2，x＝8 100，
得v＝log3－lg 2≈1.7，
故此时候鸟的飞行速度为1.7 km/min.
(2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是0，
可得0＝log3－lg 5，
即log3＝2lg 5＝2(1－lg 2)，解得x≈466，
故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量约为466个单位．
(3)设雄鸟的耗氧量为x1，雌鸟的耗氧量为x2，
由题意得，
两式相减可得1＝log3，解得＝9，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍．

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