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七年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题十二 一元一次方程的应用 （一）
方法大串讲
一元一次方程应用一般步骤：
（1）审题；（2）设未知数；（3）列方程；（4）解方程；（5）验算；（6）作答。
弄清题目中“几倍、多、少、差、几分之几”等关键词体现的等量关系。
解方程应用题的关键：
一元一次方程应用题的解题关键就是：先找出等量关系，根据基本量设未知数。一般是问什么设什么，但是一些特殊的题目为了使方程简便有时会设一些中间量为未知数。解方程应用题的关键就是要“抓住基本量，找出相等关系”。
找等量关系：①从题目中的关键语句入手寻找等量关系；②利用某些基本公式寻找等量关系；③从变化的关系中寻找不变的量，进而找到等量关系。
不管是什么问题，关键是要了解各个具体问题所具有的基本量，并了解各个问题所本身隐含的等量关系，结合具体的问题，根据等量关系列出方程。
类型一、行程问题
行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。
等量关系为：①路程=速度×时间；
②速度=路程/时间；
③时间=路程/速度
1.航行问题
①顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）；
②逆水（风）速度=静水（无风）速度－水流速度（风速）。
由此可得到航行问题中一个重要等量关系：
顺水（风）速度－水流速度（风速）＝逆水（风）速度+水流速度（风速）＝静水（无风）速度。
【例1-1】一架飞机从A地到B地顺风航行需要2.8小时，沿相同的路线返回时需要3.2小时，若航行时风的速度为28千米/时，求飞机无风航行时的速度？
2.相遇问题
A走的路程+B走的路程=两地之间的距离
【例1-2】甲乙两人同时从相距3000米的两地相向而行，甲每分钟行70米，乙每分钟行80米．一只小狗与甲一起出发，每分钟跑100米，狗与乙相遇后立即掉头向甲跑去，遇到甲后又向乙跑去，如此反复直到两人相遇，这只狗跑了多少米？
3.追击问题
同时不同地出发：A走的路程-B走的路程=被追赶的路程（A、B出发时相距的距离）
【例1-3】甲、乙两人相距40km，甲先出发1.5h后乙再出发，甲在后，乙在前，两人同向而行，甲的速度是8km/h，乙的速度是6km/h，问甲出发几小时后追上乙？
4.环形问题
（1）同向行驶，如果A速度较快，则A走的路程-B走的路程=n环/圈（n表示第n次相遇）
（2）反向行驶，A走的路程+B走的路程=n环/圈（n表示第n次相遇）
【例1-4】甲、乙二人绕学校操场的环形跑道跑步，甲80秒跑一圈，乙48秒，两人同时同地同向跑，则第一次相遇要经过　 　秒．
针对练习1
1．《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海，大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过x天相遇，根据题意可列方程为（　　）
A．（9+7）x＝1 B．（9﹣7）x＝1
C． D．
2．我国古代有很多经典的数学题，其中有一道题目是：良马日行二百里，驽马日行一百二十里，驽马先行十日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走200里，跑得慢的马每天走120里，慢马先走10天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意可列方程为（　　）
A．120+10x＝200x B．120+200x＝120×10
C．200x＝120x+120×10 D．200x＝120x+200×10
3 .湖的周围有一条环行的公共汽车线路．从路上一点A乘车向右绕湖一周时，从A到B地是平路，B地到C地是上坡路，C地到A地是下坡路．11时整，汽车甲从A出发向右开，同时汽车乙从A地出发向左开．途中两车在11时28分相遇，然后甲在12时整，乙在11时48分，分别回到A地．公共汽车走平路、上坡路和下坡路的速度分别为20公里/小时、15公里/小时和30公里/小时，不考虑途中停车的时间．问：
（1）相遇处在哪一段路上：AB、BC还是CA，说明理由；
（2）求平路AB的长．
4．甲、乙两站相距240千米，一列慢车从甲站开出，每小时行90千米，一列快车从乙站开出，每小时行150千米．
（1）若慢车先开出1小时，快车再开，两车相向而行，快车开出 　　小时后两车相遇．
（2）若两车同时同向开出，快车再慢车后面，快车开出 　4　小时后两车相遇．
（3）若两车同时开出，相向而行，慢车几小时后两车相距150千米？（第1问和第2问直接写答案，第3问写出解答过程）
5．一列高铁列车和一列动车都从A市驶向B市，高铁列车用了5h，动车用了7.5h，已知高铁列车的速度是动车的2倍少100km/h，求高铁列车的速度和A、B两市之间的路程．
6 .2022年11月30日，陕西省交通厅召开新闻发布会，西安至延安高速铁路开工建设，标志着西延高铁全线开工．该高铁开通后，西安至延安的运行时间由目前的2.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了约30千米．已知高铁的平均速度比目前列车的平均速度每小时快180千米，求高铁的平均速度．
7 .两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，水流速度是a km/h．
（1）若两船在静水中的速度都是50km/h，求2h后甲船比乙船多航行多少千米？
（2）一艘小快艇送游客在甲、乙两个码头间往返．其中去程的时间是回程的时间3倍，则小快艇在静水中的速度m与水流速度a的关系是 　 ．
8．以下是两张不同类型火车（“Dxxx次”表示动车，“Gxxx次”表示高铁）的车票：
（1）根据车票中的信息填空：该列动车和高铁是 　同　（填“相”或“同”）向而行，该列动车比高铁发车 　 　（填“早”或“晚”）．
（2）已知该列动车和高铁的平均速度分别为200km/h，300km/h，两列火车的长度不计，高铁比动车早到1h，求A，B两地之间的距离．
（3）在（2）的条件下，求高铁出发多少小时后两车相距150km．
类型二、工程问题
1.工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。关系式为：工作量=工作效率×工作时间；
工作时间=工作量/工作效率；工作效率=工作量/工作时间。
2 .常见的相等关系有两种：
①如果以工作量作相等关系，A工作量+B工作量 =总工作量。
②如果以时间作相等关系，对于同一工作：A工作时间-B工作时间=时间差
一般情况下，合作的工作效率=A工作效率+B工作效率
工作总量不明
工程问题中，在工作总量不明的情况下一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为1/t。
【例2-1】某厂接到一所中学的冬季校服订做任务，计划用A、B两台大型设备进行加工.如果单独用A型设备需要90天做完，如果单独用B型设备需要60天做完，为了同学们能及时领到冬季校服，工厂决定由两台设备同时赶制.(1).两台设备同时加工，共需多少天才能完成 (2).若两台设备同时加工30天后，B型设备出了故障，暂时不能工作，此时离发冬季校服时间还有13天.如果由A型设备单独完成剩下的任务，会不会影响学校发校服的时间 请通过计算说明理由.
工作总量确定
【例2-2】某工厂计划在规定时间内生产24000个零件．若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．(1).求原计划每天生产的零件个数和规定的天数
(2).为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的 个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%．按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．
针对练习2
1 .由甲、乙两个工程公司共同修建一条高速公路.若由甲公司单独施工，则需要3年完成；若由乙公司单独施工，则需要2年完成.在实际施工中，甲公司单独施工半年后，求乙公司才加入施工.乙公司施工后多长时间能建成这条公路
2 .一项工程，甲工程队单独做40天可以完成，乙工程队单独做100天可以完成，若乙工程队先做30天后，剩下的再由甲、乙两工程队合作完成.(1).求甲、乙两工程队合作的天数.(2).若将该工程分成两部分，甲做其中的一部分，乙做另一部分，共用了79天，问甲、乙各做了多少天
3 .一项工程，由一个人做需要80个小时完成.计划先由一部分人做2个小时，再增加5人做8个小时，共完成了这项工程的.请问先安排多少人做2个小时 (假设个人的工作效率相同)
4 .要加工200个零件，甲先单独加工了5小时，然后又与乙一起加工了4小时完成了任务．已知甲每小时比乙多加工2个零件，问甲、乙二人每小时各加工多少个零件？
类型三、配套问题
将配套问题转化为比例问题解决。
比例的性质：若，则
【例3-1】某口罩厂有50名工人，每人每天可以生产500个口罩面或1000个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例3-2】石城是“中国白莲之乡”，某食品加工厂对白莲进行深加工做成即食罐头，需要用白铁皮做罐头盒．已知每张白铁皮可制盒身25个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套．
(1)若用5张白铁皮制作盒底，需要用______张白铁皮制作盒身，才能正好做成罐头盒，此时可以做成______个罐头盒．
(2)现在有36张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可使盒身与盒底正好配套？
针对练习3
1 .某防护服厂有54名工人，每人每天可加工防护服8件或防护面罩10个，已知一件防护服配一个防护面罩．

(1)为了使每天生产的防护服与防护面罩正好配套，需要安排多少人生产防护服？
(2)由于有新疫情爆发，该厂接到任务，要在10天内加工3000件防护服和3000个防护面罩，按照（1）中的安排，在不增加工人工作量的情况下，该厂是否能按时完成任务？为什么？
2 .做自己健康第一责任人，抗击疫情，人人有责．某检测仪器成了抗疫必备器械，一套检测仪器由一个A部件和三个B部件构成，用钢材可以做40个A部件或240个B部件．
(1)现在要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，可以恰好配成这种仪器多少套？
(2)现在某公司要租赁这批仪器a套，每天的付费方案有两种选择：
方案一：当a不超过60套时，每套支付租金100元；当a超过60套时，超过的套数每套支付租金打八折；
方案二：不论租赁多少套，每套支付租金90元．
当a超过60套时，请回答下列问题：
①若按照方案一租赁，公司每天需支付租金________元（用含a代数式表示）；若按照方案二租赁，公司每天需支付租金________元（用含a代数式表示）．
②假如你是公司负责人，请你谋划一下，选择哪种租赁方案更合算？并说明理由．
3 .某车间有名工人，每人每天可以生产个螺钉或个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，怎样安排工人生产螺钉？
4 .新型冠状肺炎疫情蔓延期间，口罩成了人们生活中必不可少的物品．某口罩厂有40名工人，每人每天可以生产1000个口罩面或1200根耳绳．一个口罩面需要配两根耳绳，为使每天生产的口罩与耳绳刚好配套，应该安排多少名工人生产口罩面，安排多少工人生产耳绳？该口罩厂每天可生产多少个口罩？
类型四、销售盈亏问题
1 .价格费用问题
费用问题中的基本量：费用（总价）、单价、数量
基本关系式有
费用（总价）=单价×数量
分段计费：总费用=第一阶段单价×数量+第二阶段单价×数量+……
【例4-1】某市收取水费按以下规定：若每月每户用水不超过20立方米，则每立方米按1.2元收费；若超过20立方米，则超过的部分每立方米按2元收费，如果某户居民某月所交水费的平均水价为每立方米1.5元，那么这一个月用了多少水？请你设未知数并列出方程．
【例4-2】某人购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后出售，每件文化衫的批发价和零售价如下表：
类别 批发价（元） 零售价（元）
黑色文化衫 10 25
白色文化衫 8 20
若文化衫全部售出共获利1860元，则黑白两种文化衫各购买了多少件？（只列方程）
针对练习4-1
1 .为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用阶梯价格调控手段达到节水目的，价目表如下图．
价目表
每月用水量 单价
不超过的部分 3元
超过不超过的部分 4元
超过的部分 6元
注：水费按月结算
(1)若某户居民1月份用水，则水费为_________元．
(2)若某户居民某月用水，请用含x的代数式表示水费．
(3)若某户居民3，4月份共用水，且4月份用水量超过，3月份用水量超过，共交水费94元，则该户居民3、4月份各用水多少m
2 .某地今年夏季降雨量大幅下降，水电发电量严重受限，再加上高温天气持续，居民用电量居高不下，电力供需形势十分严峻．已知该地为节约用电，利用价格调控的手段，规定了居民生活用电的阶梯收费标准如下：
价目表
每月用电量 价格
不超过180千瓦时的部分 0.5元/千瓦时
超过180千瓦时，但不超过280千瓦时的部分 0.6元/千瓦时
超过280千瓦时的部分 0.8元/千瓦时
(1)若小明家8月份用电200千瓦时，则应缴多少电费；
(2)若小明家8月份用电a千瓦时（其中），则应缴多少电费；（用含a的代数式表示，并化简）
(3)若小明家8月份缴电费326元，求小明家8月份用电多少千瓦时．
3 .我市某水果批发市场苹果的价格如下表：
购买苹果（千克） 不超过20千克 20千克以上但不超过40千克 40千克以上
每千克的价格 6元 5元 4元
（1）李明分两次共购买苹果40千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，共付216元，若设第一次购买x千克，用x的代数式表示第二次购买苹果的数量为　 　千克．
（2）根据（1）的题意，列出正确的方程是　 　．
A.6x+4（40﹣x）＝216 B.5x+4（40﹣x）＝216 C.6x+5（40﹣x）＝216 D.5x+6（40﹣x）＝216
（3）张强分两次共购买苹果100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，且两次购买每千克苹果的单价不相同，共付出432元，请问张强第一次，第二次分别购买苹果多少千克？（列方程解应用题）
4 .为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准：
每户每月用电量 不超过210度 超过210度（超出部分的收费）
收费标准 每度元 每度元
(1)小林家4月份用电180度，则小林家4月份应付的电费为：　　；
(2)小林家6月份用电度，请你用x表示小林家6月份应付的电费：　　；
(3)小林家11月份交付电费181元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量．
2 .销售利润问题
利润问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。
基本关系式有：
利润＝销售价（收入）-成本（进价）；
成本（进价）＝销售价（收入）-利润；
利润率＝；
利润＝成本（进价）×利润率。
在有折扣的销售问题中，实际销售价=标价×折扣率。打折问题中常以进价不变作相等关系。
打折：n折即表示标价的n/10，如7折为70%
【例4-3】用方程描述下列实际问题中数量之间的相等关系：
某商场把进价为1980元的某商品按标价的8折出售，仍获利198元．求该商品的标价．
【例4-4】惠民商场批购了一批服装，价格为200元/件，商场将服装价格提高50%作为售价，后因销售不畅，商场两次将该服装打折，且每次折数相同，打折后该服装每件仍获利43元，则该服装每次打了几折？
针对练习4-2
1．商场销售某种商品，若按原价销售每天可卖50件，元旦期间，每件商品降价20元，结果销售量为60件，且每天销售额相同，求该商品原价为多少元？
2．“五一”期间，某电器城按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元，该电器的成本价为多少元？（只列方程）
3．列方程解应用题：一件衬衫先按进价加价60元标价，再以8折出售，仍可获利24元，这件衬衫的进价是多少钱？
审题：A设：　______________________　．
B：
进价 标价 折数 售价 利润
　______ 　______　 　 折　 ________ 　 　 ________ 　 　
C：列方程　_____________　．
4．一件衬衫先按成本加价60元标价，再以8折出售，仍可获利24元，这件衬衫的成本是多少钱？设衬衫的成本为x元．
（1）填写下表：（用含有x的代数式表示）
成本 标价 售价
x 　x+60　 　0.8x+48　
（2）根据相等关系列出方程：　 　．
3 .存贷问题
存贷问题中有本金、利息、利率、本息等基本量。
其关系式有：
①利息＝本金×利率×期数；
②本息和（本利）＝本金+利息
【例4-5】储户到银行存款，一段时间后，银行要向储户付存款利息．
（1）设银行一年期的存款利率为x，则1000元存款一年后应得的利息是多少；
（2）若小王将20000元人民币存入银行，一年后实际取得的人民币为20360元，你能算出银行一年期的存款利率吗？（只列方程，不求解）
【例4-6】根据实际问题的意义列出方程：
某商场对超过15000元的物品提供分期付款服务，顾客可以先付5000元，以后每月付2000元，李叔叔想用分期付款的形式购买价值17000元的电视机，他需要用多长时间才能付清全部货款？
针对练习4-3
1．本人三年前存了一份3000元的教育储蓄，今年到期时的本利和为3243元，请你帮我算一算这种储蓄的年利率．若年利率为x%，则可列方程 　 　．（年存储利息＝本金×年利率×年数，不计利息税）
2．备小颖5年后上大学的学费10000元，她的父母现在想为她做教育储蓄．他们考虑从下面三种储蓄方式中选择一种（附：中国银行2016年10月最新存款年利率表）
（1）直接存一个5年期
（2）先存一个3年期，3年后将本息和再转存一个2年期；
（3）先存一个2年期，2年后将本息和再转存一个3年期．
请按照提供的分析思路，完成以下填空：
解：设开始存入的本金为x元．
（1）如果按照第一种储蓄方式，5年后本息和要达到10000元，则可列方程　 　．
（2）如果按照第二种储蓄方式，3年后本息和是　 　．再将此本息和转存2年后达到10000元，可列方程为　 　．
（3）如果按照第三种储蓄方式，2年后的本息和是　 　，
再将此本息和转存3年后要达到10000元，可列方程为　 　．
（4）根据以上的分析，如果计算出来哪种方式开始存入的资金　少　（填多或少），哪种方式更合算．
整存整取定期存款 年利率（%）
一年 1.75
二年 2.25
三年 2.75
五年 2.75
3．某人把若干元按三年期的定期储蓄存入银行，假设年利率为，到期支取扣除时所得税实得利息为7200元（银行存款所得税的税率为，所得税金额所得利息，求存入银行的本金是多少？（用一元一次方程解答）
4．A公司和B公司是分别拥有96名和100名工人的小型企业．疫情期间，为了缓解下岗人的再就业问题，两企业2021年1月都吸收了部分下岗人员并向银行贷款：A公司吸收了12名下岗人员，得到的贷款额和两年的补贴费共万元；B公司也吸收了12名下岗人员，但因贷款少，两年的补贴费比A公司的补贴费少．国家对吸收下岗人员的企业按季度（一年四个季度）给予补贴，每季度补贴费用=×贷款额×．
(1)2021年1月A公司得到的贷款是多少？
(2)2021年1月B公司得到的贷款是多少？
(3)银行规定：企业还贷款，应每年一还，还本金和利息，若第一年没还，则第一年的本金和利息作为第二年的贷款本金计算，以此类推，假设两公司第一年都没有还贷款的本金和利息，而是在两年后即2023年1月才一次性还清本金和利息，B公司还贷款的本金和利息比A公司少万元，求企业贷款年利率．（利息=本金×年利率）
七年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题十二 一元一次方程的应用 （一）
方法大串讲
一元一次方程应用一般步骤：
（1）审题；（2）设未知数；（3）列方程；（4）解方程；（5）验算；（6）作答。
弄清题目中“几倍、多、少、差、几分之几”等关键词体现的等量关系。
解方程应用题的关键：
一元一次方程应用题的解题关键就是：先找出等量关系，根据基本量设未知数。一般是问什么设什么，但是一些特殊的题目为了使方程简便有时会设一些中间量为未知数。解方程应用题的关键就是要“抓住基本量，找出相等关系”。
找等量关系：①从题目中的关键语句入手寻找等量关系；②利用某些基本公式寻找等量关系；③从变化的关系中寻找不变的量，进而找到等量关系。
不管是什么问题，关键是要了解各个具体问题所具有的基本量，并了解各个问题所本身隐含的等量关系，结合具体的问题，根据等量关系列出方程。
类型一、行程问题
行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。
等量关系为：①路程=速度×时间；
②速度=路程/时间；
③时间=路程/速度
1.航行问题
①顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）；
②逆水（风）速度=静水（无风）速度－水流速度（风速）。
由此可得到航行问题中一个重要等量关系：
顺水（风）速度－水流速度（风速）＝逆水（风）速度+水流速度（风速）＝静水（无风）速度。
【例1-1】一架飞机从A地到B地顺风航行需要2.8小时，沿相同的路线返回时需要3.2小时，若航行时风的速度为28千米/时，求飞机无风航行时的速度？
【分析】根据顺风速度＝无风速度+风速、逆风速度＝无风速度﹣风速来列一元一次方程解答．
【解答】解：设飞机无风航行时的速度x千米/时．
2.8（x+28）＝3.2（x﹣28），
2.8x+78.4＝3.2x﹣89.6，
0.4x＝168，
x＝420，
答：飞机无风航行时的速度420千米/时．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，关键找到题中的等量关系来解答．
2.相遇问题
A走的路程+B走的路程=两地之间的距离
【例1-2】甲乙两人同时从相距3000米的两地相向而行，甲每分钟行70米，乙每分钟行80米．一只小狗与甲一起出发，每分钟跑100米，狗与乙相遇后立即掉头向甲跑去，遇到甲后又向乙跑去，如此反复直到两人相遇，这只狗跑了多少米？
【分析】设这只狗跑了x分钟，两人从出发到相遇用的时间与这只狗跑的时间相同，则两人行走的距离之和为（70x+80x）米，列方程得70x+80x＝3000，解方程求出x的值，再求出这只狗跑的距离即可．
【解答】解：设这只狗跑了x分钟，
根据题意得70x+80x＝3000，
解得x＝20，
∴100×20＝2000（米），
答：这只狗跑了2000米．
【点评】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，求出这只狗跑的时间是解题的关键．
3.追击问题
同时不同地出发：A走的路程-B走的路程=被追赶的路程（A、B出发时相距的距离）
【例1-3】甲、乙两人相距40km，甲先出发1.5h后乙再出发，甲在后，乙在前，两人同向而行，甲的速度是8km/h，乙的速度是6km/h，问甲出发几小时后追上乙？
【分析】设甲出发x小时后追上乙，由题意得等量关系：甲的速度×甲的时间﹣乙的速度×乙的时间＝40km，根据等量关系列出方程，再解方程即可．
【解答】解：设甲出发x小时后追上乙，由题意得：
8x﹣6（x﹣1.5）＝40，
解得x＝15.5，
答：甲出发15.5小时后追上乙．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
4.环形问题
（1）同向行驶，如果A速度较快，则A走的路程-B走的路程=n环/圈（n表示第n次相遇）
（2）反向行驶，A走的路程+B走的路程=n环/圈（n表示第n次相遇）
【例1-4】甲、乙二人绕学校操场的环形跑道跑步，甲80秒跑一圈，乙48秒，两人同时同地同向跑，则第一次相遇要经过　120　秒．
【分析】两人同向而行相遇属于追及问题，等量关系为：甲路程﹣乙路程＝环形跑道一圈的长度，列出方程，即可解答．
【解答】解：设环形跑道一圈为a米，x秒后第一次相遇，根据题意得出：
x＝a，
解得：x＝120．
答：120秒后第一次相遇，
故答案为：120．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是设出未知数，列方程．
针对练习1
1．《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海，大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过x天相遇，根据题意可列方程为（　　）
A．（9+7）x＝1 B．（9﹣7）x＝1
C． D．
【分析】设总路程为1，野鸭每天飞，大雁每天飞，当相遇的时候，根据野鸭的路程+大雁的路程＝总路程即可得出答案．
【解答】解：设经过x天相遇，根据题意得：，
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程．
2．我国古代有很多经典的数学题，其中有一道题目是：良马日行二百里，驽马日行一百二十里，驽马先行十日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走200里，跑得慢的马每天走120里，慢马先走10天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意可列方程为（　　）
A．120+10x＝200x B．120+200x＝120×10
C．200x＝120x+120×10 D．200x＝120x+200×10
【分析】设快马 x 天可追上慢马，根据行程相等即可列出一元一次方程，故可求解．
【解答】解：设快马 x 天可追上慢马，
根据题意可得200x＝120x+120×10，
故选：C．
【点评】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程求解．
3 .湖的周围有一条环行的公共汽车线路．从路上一点A乘车向右绕湖一周时，从A到B地是平路，B地到C地是上坡路，C地到A地是下坡路．11时整，汽车甲从A出发向右开，同时汽车乙从A地出发向左开．途中两车在11时28分相遇，然后甲在12时整，乙在11时48分，分别回到A地．公共汽车走平路、上坡路和下坡路的速度分别为20公里/小时、15公里/小时和30公里/小时，不考虑途中停车的时间．问：
（1）相遇处在哪一段路上：AB、BC还是CA，说明理由；
（2）求平路AB的长．
【分析】（1）假设相遇处在AB上，根据相等长度的平路上两车所需时间应该相等推出矛盾，可得相遇处不可能在AB上；假设相遇处在CA上，求出时间比，推出与假设矛盾，可得相遇处不可能在CA上，则相遇处在BC上；
（2）由题意可知时间差来自于相同路程的上下坡之分，根据时间差和上坡和下坡所需时间的比求出甲车相遇前上坡段所用时间，然后可得平路上所用时间，进而可得答案．
【解答】解：（1）相遇处在BC上；
理由：假设相遇处在AB上，则甲车前28分钟都在走平路，乙后20分钟在走平路，
因为相等长度的平路上两车所需时间应该相等，
所以与假设矛盾，相遇处不可能在AB上；
假设相遇处在CA上，则乙车前28分钟在走上坡路，甲车后32分钟在走下坡路，时间比为28：32＝7：8，
因为上坡速度和下坡速度之比为15：30＝1：2，
所以相等路程的时间比为2：1，与假设矛盾，相遇处不可能在CA上；
所以相遇处在BC上；
（2）由（1）知，两车相遇在BC上，不妨设相遇点距离点B的距离为S，
甲车从出发到相遇，28分钟内走的路程为S平+S上坡，
乙车相遇后，20分钟内走的路程为S平+S下坡，
因为平路上所用时间相等，
所以时间差来自于相同路程的上下坡之分，
因为路程相同时，上坡和下坡的速度之比为1：2，
所以上坡和下坡所需时间的比为2：1，
则甲车相遇前上坡段所用时间为（28﹣20）÷（2﹣1）×2＝16（分钟），
所以平路上所用时间为28﹣16＝12（分钟），
所以平路AB的长为千米．
【点评】本题考查了反证法，有理数混合运算的实际应用，掌握路程、速度与时间之间的数量关系是解题的关键．
4．甲、乙两站相距240千米，一列慢车从甲站开出，每小时行90千米，一列快车从乙站开出，每小时行150千米．
（1）若慢车先开出1小时，快车再开，两车相向而行，快车开出 　　小时后两车相遇．
（2）若两车同时同向开出，快车再慢车后面，快车开出 　4　小时后两车相遇．
（3）若两车同时开出，相向而行，慢车几小时后两车相距150千米？（第1问和第2问直接写答案，第3问写出解答过程）
【分析】（1）设快车开出x小时后两车相遇，根据两车行驶路程和为240公里列出方程式即可解题；
（2）设x小时后快车追上慢车，根据快车每小时比慢车多走（150﹣90）公里即可列出方程式，即可解题；
（3）设慢车yh后与快车相距150km，列方程240﹣（150+90）y＝150，解答即可．
【解答】解：（1）设快车开出x小时后两车相遇，
则有90+（150+90）x＝240，
解得：x＝．
答：快车开出小时后两车相遇；
故答案为：；
（2）设x小时后快车追上慢车，
则有 （150﹣90）x＝240，
解得：x＝4．
答：4小时后快车追上慢车．
故答案为：4；
（3）设慢车yh后与快车相距150km，根据题意得：
240﹣（150+90）y＝150，
解得y＝，
答：慢车小时后与快车相距150km．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据每一问的速度和路程列出关于时间的方程式并求解是解题的关键．
5．一列高铁列车和一列动车都从A市驶向B市，高铁列车用了5h，动车用了7.5h，已知高铁列车的速度是动车的2倍少100km/h，求高铁列车的速度和A、B两市之间的路程．
【分析】设动车速度为x km/h，则高铁列车的速度为（2x﹣100）km/h，根据A、B两市之间的路程不变得出方程解答即可．
【解答】解：设动车速度为x km/h，则高铁列车的速度为（2x﹣100）km/h，
根据题意可得：7.5x＝5（2x﹣100），
解得：x＝200，
2x﹣100＝300（km/h），
7.5x＝1500（km），
答：高铁列车的速度为300km/h，A、B两市之间的路程为1500km．
【点评】此题考查一元一次方程的应用，关键是根据题意列出方程解答．
6 .2022年11月30日，陕西省交通厅召开新闻发布会，西安至延安高速铁路开工建设，标志着西延高铁全线开工．该高铁开通后，西安至延安的运行时间由目前的2.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了约30千米．已知高铁的平均速度比目前列车的平均速度每小时快180千米，求高铁的平均速度．
【分析】设高铁的平均速度为x km/h，则普通列车的平均速度为（x﹣180）km/h，根据路程＝时间×速度列出方程求解即可．
【解答】解：设高铁的平均速度为x km/h，则普通列车的平均速度为（x﹣180）km/h，
由题意，得x+30＝2.5（x﹣180），
解得x＝320．
答：高铁的平均速度为320km/h．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
7 .两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，水流速度是a km/h．
（1）若两船在静水中的速度都是50km/h，求2h后甲船比乙船多航行多少千米？
（2）一艘小快艇送游客在甲、乙两个码头间往返．其中去程的时间是回程的时间3倍，则小快艇在静水中的速度m与水流速度a的关系是 　m＝2a　．
【分析】（1）根据顺水速度＝50+a，逆水速度＝50﹣a，再根据路程＝速度×时间，即可计算出2h后甲船比乙船多航行多少千米；
（2）设回程用的时间为x小时，则去程用的时间为3x小时，再根据去程和回程的路程是一样的，即可列出相应的方程，从而可以求得m与a的关系．
【解答】解：（1）由题意可得，
2（50+a）﹣2（50﹣a）
＝100+2a﹣100+2a
＝4a（千米），
答：2h后甲船比乙船多航行4a千米；
（2）由题意可得，去程为逆水航行，回程为顺水航行，
设回程用的时间为x小时，则去程用的时间为3x小时，
3x（m﹣a）＝x（m+a），
解得m＝2a，
即小快艇在静水中的速度m与水流速度a的关系是m＝2a，
故答案为：m＝2a．
【点评】本题考查一元一次方程的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程和代数式．
8．以下是两张不同类型火车（“Dxxx次”表示动车，“Gxxx次”表示高铁）的车票：
（1）根据车票中的信息填空：该列动车和高铁是 　同　（填“相”或“同”）向而行，该列动车比高铁发车 　早　（填“早”或“晚”）．
（2）已知该列动车和高铁的平均速度分别为200km/h，300km/h，两列火车的长度不计，高铁比动车早到1h，求A，B两地之间的距离．
（3）在（2）的条件下，求高铁出发多少小时后两车相距150km．
【分析】（1）根据票面信息作答即可；
（2）设A，B两地之间的距离为x km，根据题意，列出方程进行求解即可；
（3）设高铁出发y小时后两车相距150km，分高铁未追上动车时，追上动车之后，到达目的地后，三种情况列出方程求解即可．
【解答】解：（1）由图可知：该列动车和高铁是同向而行，该列动车比高铁发车早；
故答案为：同，早；
（2）设A，B两地之间的距离为x km．
根据题意得，
解得x＝1200．
答：A，B两地之间的距离为1200km．
（3）设高铁出发y小时后两车相距150km，
①当高铁还未追上动车时，200（y+1）﹣300y＝150，
解得；
②当高铁追上动车后，300y﹣200（y+1）＝150，
解得．
③当高铁到达B地后，200（y+1）＝1200﹣150，
解得．
答：当高铁出发或或后两车相距150km．
【点评】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是找到等量关系式．读懂题意，正确的列出方程，是解题的关键．
类型二、工程问题
1.工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。关系式为：工作量=工作效率×工作时间；
工作时间=工作量/工作效率；工作效率=工作量/工作时间。
2 .常见的相等关系有两种：
①如果以工作量作相等关系，A工作量+B工作量 =总工作量。
②如果以时间作相等关系，对于同一工作：A工作时间-B工作时间=时间差
一般情况下，合作的工作效率=A工作效率+B工作效率
工作总量不明
工程问题中，在工作总量不明的情况下一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为1/t。
【例2-1】某厂接到一所中学的冬季校服订做任务，计划用A、B两台大型设备进行加工.如果单独用A型设备需要90天做完，如果单独用B型设备需要60天做完，为了同学们能及时领到冬季校服，工厂决定由两台设备同时赶制.(1).两台设备同时加工，共需多少天才能完成 (2).若两台设备同时加工30天后，B型设备出了故障，暂时不能工作，此时离发冬季校服时间还有13天.如果由A型设备单独完成剩下的任务，会不会影响学校发校服的时间 请通过计算说明理由.
(1).【答案】解：设共需x天才能完成.
根据题意得()x=1，
解得x=36.
答：两台设备同时加工，共需36天才能完成.
【解析】
(2).【答案】解：设由A型设备单独完成剩下的任务需要y天才能完成.
依题意得()×30+=1，
解得 y=15>13.
答：会影响学校发校服的时间.
工作总量确定
【例2-2】某工厂计划在规定时间内生产24000个零件．若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．(1).求原计划每天生产的零件个数和规定的天数
(2).为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的 个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%．按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．
【解答】解：设原计划每天生产的零件x个，依题意有
(1).【答案】 = ，
解得x=2400，
经检验，x=2400是原方程的根，且符合题意．
∴规定的天数为24000÷2400=10（天）．
答：原计划每天生产的零件2400个，规定的天数是10天；
【解析】可设原计划每天生产的零件x个，根据时间是一定的，列出方程求得原计划每天生产的零件个数，再根据工作时间=工作总量÷工作效率，即可求得规定的天数。
【解答】
(2).【答案】设原计划安排的工人人数为y人，依题意有
[5×20×（1+20%）× +2400]×（10﹣2）=24000，
解得y=480，
经检验，y=480是原方程的根，且符合题意．
答：原计划安排的工人人数为480人．
【解析】可设原计划安排的工人人数为y人，根据等量关系：恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，列出方程求解即可．
针对练习2
1 .由甲、乙两个工程公司共同修建一条高速公路.若由甲公司单独施工，则需要3年完成；若由乙公司单独施工，则需要2年完成.在实际施工中，甲公司单独施工半年后，求乙公司才加入施工.乙公司施工后多长时间能建成这条公路
【答案】解：设乙公司施工x年后能建成这条公路.根据题意，得=1，
解得x=1.
答：乙公司施工1年后能建成这条公路.
2 .一项工程，甲工程队单独做40天可以完成，乙工程队单独做100天可以完成，若乙工程队先做30天后，剩下的再由甲、乙两工程队合作完成.(1).求甲、乙两工程队合作的天数.(2).若将该工程分成两部分，甲做其中的一部分，乙做另一部分，共用了79天，问甲、乙各做了多少天
(1).【答案】解：设甲、乙两工程队合作了x天.
则30×+x()=1，解得x=20.
答：甲、乙两工程队合作的天数为20天.
【解析】
(2).【答案】解：设甲做其中一部分用了y天，乙做另一部分用了(79 y)天.
依题意，得=1，
解得y=14，79 y=65.
答：甲做了14天，乙做了65天.
3 .一项工程，由一个人做需要80个小时完成.计划先由一部分人做2个小时，再增加5人做8个小时，共完成了这项工程的.请问先安排多少人做2个小时 (假设个人的工作效率相同)
【答案】解：设先安排x人做2个小时.
根据题意可得，
解得x=2.
答：先安排2人做2个小时.
4 .要加工200个零件，甲先单独加工了5小时，然后又与乙一起加工了4小时完成了任务．已知甲每小时比乙多加工2个零件，问甲、乙二人每小时各加工多少个零件？
【答案】解：设乙每小时加工x个零件，那么甲每小时加工（x+2）个零件． 根据题意，列方程，得
5（x+2）+4（x+x+2）=200，
解这个方程，得
x=14，
x+2=14+2=16，
答：甲每小时加工16个零件，乙每小时加工14个零件
【解析】如果乙每小时加工x个零件，那么甲每小时加工（x+2）个零件，根据要加工200个零件，甲先单独加工5小时，然后又与乙一起加工4小时，完成了任务以及甲每小时比乙多加工2个，可列出方程q求出即可．
类型三、配套问题
将配套问题转化为比例问题解决。
比例的性质：若，则
【例3-1】某口罩厂有50名工人，每人每天可以生产500个口罩面或1000个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，题目已经设出安排x名工人生产口罩面，则人生产耳绳，由一个口罩面需要配两个耳绳可知耳绳的个数是口罩面个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程．
【详解】解：设安排x名工人生产口罩面，则人生产耳绳，由题意得，
故选：C．
【例3-2】石城是“中国白莲之乡”，某食品加工厂对白莲进行深加工做成即食罐头，需要用白铁皮做罐头盒．已知每张白铁皮可制盒身25个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套．
(1)若用5张白铁皮制作盒底，需要用______张白铁皮制作盒身，才能正好做成罐头盒，此时可以做成______个罐头盒．
(2)现在有36张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可使盒身与盒底正好配套？
【答案】(1)4；100
(2)用16张制盒身，20张制盒底
【分析】（1）利用制作盒身所需白铁皮的数量制作盒底的数量，即可求出制作盒身所需白铁皮的数量；利用做成罐头盒的数量制作盒底的数量，即可求出做成罐头盒的数量；
（2）设用张制盒身，则用张制盒底，根据制作盒底的总数量是制作盒身总数量的2倍，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：（张），
（个）．
故答案为：4；100．
（2）设用张制盒身，则用张制盒底，
依题意得：，
解得：，
．
答：用16张制盒身，20张制盒底，可使盒身与盒底正好配套．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
针对练习3
1 .某防护服厂有54名工人，每人每天可加工防护服8件或防护面罩10个，已知一件防护服配一个防护面罩．

(1)为了使每天生产的防护服与防护面罩正好配套，需要安排多少人生产防护服？
(2)由于有新疫情爆发，该厂接到任务，要在10天内加工3000件防护服和3000个防护面罩，按照（1）中的安排，在不增加工人工作量的情况下，该厂是否能按时完成任务？为什么？
【答案】(1)30人
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）设需要安排x人生产防护服，则有人生产防护面罩，根据生产的防护服数量等于防护面罩，列出方程解方程即可；
（2）求出10天最多可以完成的套数，然后与3000进行比较即可．
【详解】（1）解：设需要安排x人生产防护服，则有人生产防护面罩，
根据题意，得，
解得：，
（人），
答：需要安排30人生产防护服．
（2）解：不能．
∵，且，
∴在不增加工人工作量的情况下，该厂不能按时完成任务．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．
2 .做自己健康第一责任人，抗击疫情，人人有责．某检测仪器成了抗疫必备器械，一套检测仪器由一个A部件和三个B部件构成，用钢材可以做40个A部件或240个B部件．
(1)现在要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，可以恰好配成这种仪器多少套？
(2)现在某公司要租赁这批仪器a套，每天的付费方案有两种选择：
方案一：当a不超过60套时，每套支付租金100元；当a超过60套时，超过的套数每套支付租金打八折；
方案二：不论租赁多少套，每套支付租金90元．
当a超过60套时，请回答下列问题：
①若按照方案一租赁，公司每天需支付租金________元（用含a代数式表示）；若按照方案二租赁，公司每天需支付租金________元（用含a代数式表示）．
②假如你是公司负责人，请你谋划一下，选择哪种租赁方案更合算？并说明理由．
【答案】(1)应用钢材做A部件，钢材做B部件，可以恰好配成这种仪器160套；
(2)①；；②当时，选择租赁方案二更合算；当时，两种租赁方案同样合算；当时，选择租赁方案一更合算．
【分析】（1）设用钢材做A部件，用钢材做B部件，根据一个A部件和两个B部件刚好配成套，列方程求解；
（2）①方案一租金根据当a超过60套时，超过的套数每套支付租金打八折列式计算可得；方案二租金根据每套支付租金90元列式计算可得；
②根据，得到．分三种情况分析即可．
【详解】（1）解：设应用钢材做A部件，钢材做B部件，
依题意，得，
解得，，
∴，，
答：应用钢材做A部件，钢材做B部件，可以恰好配成这种仪器160套；
（2）解：①方案一：元，
方案二：元；
故答案为：；；
②由，
得，
∴当时，选择租赁方案二更合算；
当时，两种租赁方案同样合算；
当时，选择租赁方案一更合算．
【点睛】此题考查了一元一次方程的实际应用，配套问题的解决方法，正确理解题意列得方程或列式计算是解题的关键．
3 .某车间有名工人，每人每天可以生产个螺钉或个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，怎样安排工人生产螺钉？
【答案】安排人生产螺钉
【分析】设安排x人生产螺钉，则安排人生产螺母，根据题意得，进行计算即可得．
【详解】解：设安排x人生产螺钉，则安排人生产螺母，


答：安排人生产螺钉．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题意找出等量关系列出方程．
4 .新型冠状肺炎疫情蔓延期间，口罩成了人们生活中必不可少的物品．某口罩厂有40名工人，每人每天可以生产1000个口罩面或1200根耳绳．一个口罩面需要配两根耳绳，为使每天生产的口罩与耳绳刚好配套，应该安排多少名工人生产口罩面，安排多少工人生产耳绳？该口罩厂每天可生产多少个口罩？
【答案】应该安排名工人生产口罩面，安排名工人生产耳绳，该口罩厂每天可生产个口罩
【分析】设应安排x名工人生产口罩面，则安排名工人生产耳绳，根据题意列出相应的方程，然后解方程，即可解答本题．
【详解】解：设应安排x名工人生产口罩面，则安排名工人生产耳绳，
，
解得（人），
生产耳绳的工人数：（人），
则一天生产的口罩数量为：（个），
答：应该安排名工人生产口罩面，安排名工人生产耳绳，该口罩厂每天可生产个口罩．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
类型四、销售盈亏问题
1 .价格费用问题
费用问题中的基本量：费用（总价）、单价、数量
基本关系式有
费用（总价）=单价×数量
分段计费：总费用=第一阶段单价×数量+第二阶段单价×数量+……
【例4-1】某市收取水费按以下规定：若每月每户用水不超过20立方米，则每立方米按1.2元收费；若超过20立方米，则超过的部分每立方米按2元收费，如果某户居民某月所交水费的平均水价为每立方米1.5元，那么这一个月用了多少水？请你设未知数并列出方程．
【分析】设这一个月用了水x立方米，根据该户居民某月所交水费的平均水价为每立方米1.5元，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设这一个月用了水x立方米，
依题意得：1.2×20+2（x﹣20）＝1.5x．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【例4-2】某人购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后出售，每件文化衫的批发价和零售价如下表：
类别 批发价（元） 零售价（元）
黑色文化衫 10 25
白色文化衫 8 20
若文化衫全部售出共获利1860元，则黑白两种文化衫各购买了多少件？（只列方程）
【分析】根据“共获利1860元”列方程求解．
【解答】解：设黑两种文化衫购买了x件，
则：（25﹣10）x+（20﹣8）（140﹣x）＝1860，
解得：x＝60，
∴140﹣x＝80，
答：黑文化衫买了60件，白文化衫购买了80件．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
针对练习4-1
1 .为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用阶梯价格调控手段达到节水目的，价目表如下图．
价目表
每月用水量 单价
不超过的部分 3元
超过不超过的部分 4元
超过的部分 6元
注：水费按月结算
(1)若某户居民1月份用水，则水费为_________元．
(2)若某户居民某月用水，请用含x的代数式表示水费．
(3)若某户居民3，4月份共用水，且4月份用水量超过，3月份用水量超过，共交水费94元，则该户居民3、4月份各用水多少m
【答案】(1)18
(2)水费为元
(3)该户居民3月份的用水量为，4月份的用水量为
【分析】（1）利用表格中收费标准求解即可；
（2）分不超过的部分、超过不超过的部分、超过的部分三部分计算求和即可；
（3）设3月份的用水量为，则4月份的用水量为，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：（元），
故答案为：18；
（2）解：由题意，当时，水费为元．
（3）解：设3月份的用水量为，则4月份的用水量为．
根据题意，，
则，
解得，
4月份的用水量为．
答：该户居民3月份的用水量为，4月份的用水量为．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用、列代数式，理解题意，找到所需的等量关系，并正确列出代数式和方程是解答的关键．
2 .某地今年夏季降雨量大幅下降，水电发电量严重受限，再加上高温天气持续，居民用电量居高不下，电力供需形势十分严峻．已知该地为节约用电，利用价格调控的手段，规定了居民生活用电的阶梯收费标准如下：
价目表
每月用电量 价格
不超过180千瓦时的部分 0.5元/千瓦时
超过180千瓦时，但不超过280千瓦时的部分 0.6元/千瓦时
超过280千瓦时的部分 0.8元/千瓦时
(1)若小明家8月份用电200千瓦时，则应缴多少电费；
(2)若小明家8月份用电a千瓦时（其中），则应缴多少电费；（用含a的代数式表示，并化简）
(3)若小明家8月份缴电费326元，求小明家8月份用电多少千瓦时．
【答案】(1)102元
(2)
(3)500千瓦时
【分析】（1）由小明家8月份用电200千瓦时，可知小明家8月份电费应分2部分计算；
（2）由，可知小明家8月份电费应分3部分计算；
（3）先根据缴电费326元判断用电量的范围，再求解即可．
【详解】（1）（元）
答：应缴电费102元．
（2）
（3）由于用电280千瓦时应缴电费为元，而，
所以用电量超过了280千瓦时，
故由（2）得
答：小明家8月份用电500千瓦时．
【点睛】本题考查了整式加减的应用，解一元一次方程的应用，掌握一元一次方程的解法，根据题意列式或列方程是解题关键．
3 .我市某水果批发市场苹果的价格如下表：
购买苹果（千克） 不超过20千克 20千克以上但不超过40千克 40千克以上
每千克的价格 6元 5元 4元
（1）李明分两次共购买苹果40千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，共付216元，若设第一次购买x千克，用x的代数式表示第二次购买苹果的数量为　 　千克．
（2）根据（1）的题意，列出正确的方程是　 　．
A.6x+4（40﹣x）＝216 B.5x+4（40﹣x）＝216 C.6x+5（40﹣x）＝216 D.5x+6（40﹣x）＝216
（3）张强分两次共购买苹果100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，且两次购买每千克苹果的单价不相同，共付出432元，请问张强第一次，第二次分别购买苹果多少千克？（列方程解应用题）
【分析】（1）设第一次购买x千克苹果，根据两次共购买苹果40千克，可得第二次购买（40﹣x）千克苹果；
（2）根据第二次购买的数量多于第一次购买的数量，可得40﹣x＞x，解得x＜20，即第一次购买的数量少于20千克，进而得出第二次购买的数量在20千克以上但不超过40千克，然后根据两次购买共付出216元建立方程，求解即可；
（3）设第一次购买x千克苹果，则第二次购买（100﹣x）千克苹果．分三种情况进行讨论：①第一次购买苹果少于20千克，第二次购买苹果20千克以上但不超过40千克；②第一次购买苹果少于20千克，第二次购买苹果超过40千克．③第一次购买苹果20千克以上但不超过40千克，第二次购买苹果超过40千克；根据小强分两次购买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，共付出432元建立方程，求解即可．
【解答】解：（1）由题意，可得第二次购买苹果的数量为（40﹣x）千克．
故答案为（40﹣x）；
（2）设第一次购买x千克，则第二次购买（40﹣x）千克．
∵第二次购买的数量多于第一次购买的数量，
∴40﹣x＞x，解得x＜20，
∴﹣x＞﹣20，
∴40﹣x＞20，
又x＞0，
∴40﹣x＜40，
∴20＜40﹣x＜40．
根据题意，得6x+5（40﹣x）＝216．
故选C；
（3）设第一次购买x千克苹果，则第二次购买（100﹣x）千克苹果．分三种情况考虑：
①当第一次购买苹果不超过20千克，第二次购买苹果超过20千克以上但不超过40千克的时候，显然不够100千克，不成立；
②当第一次购买苹果不超过20千克，第二次购买苹果超过40千克，
根据题意，得6x+4（100﹣x）＝432，
解得：x＝16，
则100﹣x＝100﹣16＝84（千克）；
③第一次购买苹果20千克以上但不超过40千克，第二次购买苹果超过40千克，
根据题意，得5x+4（100﹣x）＝432，
解得：x＝32，
则100﹣x＝100﹣32＝68（千克）．
答：第一次购买16千克苹果，第二次购买84千克苹果或者第一次购买32千克苹果，第二次购买68千克苹果．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是通过讨论x的取值范围，得到两次购买苹果的单价，进而根据两次购买的总价列出方程．
4 .为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准：
每户每月用电量 不超过210度 超过210度（超出部分的收费）
收费标准 每度元 每度元
(1)小林家4月份用电180度，则小林家4月份应付的电费为：　　；
(2)小林家6月份用电度，请你用x表示小林家6月份应付的电费：　　；
(3)小林家11月份交付电费181元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量．
【答案】(1)
(2)
(3)小林家在11月份的用电量为305度．
【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用．
（1）由可得此时单价为每度元，利用总价等于单价乘以数量即可得到答案；
（2）由小林家月份用电度，可得此时分两段计费，其中度每度元，超过部分度，每度元，从而可得答案；
（3）设小林家在月份的用电量为度，由，可得，再列方程，解方程可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴小林家4月份应付的电费(元)．
故答案为：90；
（2）解：∵小林家6月份用电度，
∴小林家6月份应付的电费元，
故答案为：；
（3）解：设小林家在11月份的用电量为x度，
∵，
∴．
根据题意得：，
解得：．
答：小林家在11月份的用电量为305度．
2 .销售利润问题
利润问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。
基本关系式有：
利润＝销售价（收入）-成本（进价）；
成本（进价）＝销售价（收入）-利润；
利润率＝；
利润＝成本（进价）×利润率。
在有折扣的销售问题中，实际销售价=标价×折扣率。打折问题中常以进价不变作相等关系。
打折：n折即表示标价的n/10，如7折为70%
【例4-3】用方程描述下列实际问题中数量之间的相等关系：
某商场把进价为1980元的某商品按标价的8折出售，仍获利198元．求该商品的标价．
【分析】利用商品的进价与标价和打折以及获利之间的关系得出等式求出即可．
【解答】解：设该商品标价为x元，根据题意可得：
0.8x＝1980+198．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据题意得出正确等量关系是解题关键．
【例4-4】惠民商场批购了一批服装，价格为200元/件，商场将服装价格提高50%作为售价，后因销售不畅，商场两次将该服装打折，且每次折数相同，打折后该服装每件仍获利43元，则该服装每次打了几折？
【分析】设服装每次打了x折，根据打折后该服装每件仍获利43元得：200×（1+50%）（）2＝200+43，即可解得答案．
【解答】解：设服装每次打了x折，
根据题意得：200×（1+50%）（）2＝200+43，
解得x＝9或x＝﹣9（舍去），
答：服装每次打了9折．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题．
针对练习4-2
1．商场销售某种商品，若按原价销售每天可卖50件，元旦期间，每件商品降价20元，结果销售量为60件，且每天销售额相同，求该商品原价为多少元？
【分析】设该商品原价为x元，然后根据销售额＝单价×数量列出方程求解即可．
【解答】解：设该商品原价为x元，
由题意得，50x＝60（x﹣20），
∴50x＝60x﹣1200，
解得x＝120，
答：该商品的原价为120元．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，掌握题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
2．“五一”期间，某电器城按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元，该电器的成本价为多少元？（只列方程）
【分析】设该电器的成本价为x元，根据成本价×（1+30%）×80%＝售价为2080元可列出方程．
【解答】解：设该电器的成本价为x元，依题意有
x（1+30%）×80%＝2080．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
3．列方程解应用题：一件衬衫先按进价加价60元标价，再以8折出售，仍可获利24元，这件衬衫的进价是多少钱？
审题：A设：　这件衬衫的进价是x元　．
B：
进价 标价 折数 售价 利润
　x元　 　（x+60）元　 　8折　 　0.8（x+60）元　 　[0.8（x+60）﹣x]元　
C：列方程　0.8（x+60）﹣x＝24　．
【分析】设这件衬衫的进价是x元，根据题意：标价＝成本价+60，售价＝标价×0.8，利润＝销售价﹣成本，即可列出方程．
【解答】解：A设：这件衬衫的进价是x元，
B：
进价 标价 折数 售价 利润
x元 （x+60）元 8折 0.8（x+60）元 [0.8（x+60）﹣x]元
C：列方程：0.8（x+60）﹣x＝24．
故答案为：这件衬衫的进价是x元；（x+60）元；8折；0.8（x+60）元；[0.8（x+60）﹣x]元；0.8（x+60）﹣x＝24．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，弄清楚，成本价、标价、销售价，以及利润、成本、售价之间的关系是解本题的关键．
4．一件衬衫先按成本加价60元标价，再以8折出售，仍可获利24元，这件衬衫的成本是多少钱？设衬衫的成本为x元．
（1）填写下表：（用含有x的代数式表示）
成本 标价 售价
x 　x+60　 　0.8x+48　
（2）根据相等关系列出方程：　（0.8x+48）﹣x＝24　．
【分析】（1）设这件衬衫的成本是x元，根据题意：标价＝成本价+60，售价＝标价×0.8，由此即可解决问题．
（2）设这件衬衫的成本是x元，根据：利润＝销售价﹣成本，即可列出方程．
【解答】解：（1）可得：标价为：x+60；售价为：0.8x+48，
故答案为：x+60；0.8x+48；
（2）根据题意可得：（0.8x+48）﹣x＝24，
故答案为：（0.8x+48）﹣x＝24．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，搞清楚，成本价、标价、销售价，以及利润、成本、售价之间的关系是解本题的关键．
3 .存贷问题
存贷问题中有本金、利息、利率、本息等基本量。
其关系式有：
①利息＝本金×利率×期数；
②本息和（本利）＝本金+利息
【例4-5】储户到银行存款，一段时间后，银行要向储户付存款利息．
（1）设银行一年期的存款利率为x，则1000元存款一年后应得的利息是多少；
（2）若小王将20000元人民币存入银行，一年后实际取得的人民币为20360元，你能算出银行一年期的存款利率吗？（只列方程，不求解）
【分析】（1）根据利息＝成本×利率，即可写出1000元存款一年后应得的利息是多少；
（2）根据本息和＝本金+利息，即可列出相应的方程．
【解答】解：（1）由题意可得，
1000元存款一年后应得的利息是1000x元；
（2）设银行一年期的存款利率为x，
由题意可得，20000+20000×x×1＝20360，
即20000+20000x＝20360．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
【例4-6】根据实际问题的意义列出方程：
某商场对超过15000元的物品提供分期付款服务，顾客可以先付5000元，以后每月付2000元，李叔叔想用分期付款的形式购买价值17000元的电视机，他需要用多长时间才能付清全部货款？
【分析】等量关系为：首付5000+2000×需要的月数＝17000．
【解答】解：设阮叔叔需用x月的时间，则：5000+2000x＝17000，
解得：x＝6，
答：需用6个月的时间．
【点评】本题考查一元一次方程应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
针对练习4-3
1．本人三年前存了一份3000元的教育储蓄，今年到期时的本利和为3243元，请你帮我算一算这种储蓄的年利率．若年利率为x%，则可列方程 　3000+3000×3×x%＝3243　．（年存储利息＝本金×年利率×年数，不计利息税）
【分析】本利和＝本金+利息＝本金+本金×年利率×年数，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵本金为3000元，年利率为x%，存了3年．
∴利息为3000×x%×3，
∴可列方程为3000+3000×3×x%＝3243，
故答案为：3000+3000×3×x%＝3243．
【点评】本题考查了列一元一次方程解决实际问题，明确关系式：本利和＝本金+利息是解题的关键．
2．备小颖5年后上大学的学费10000元，她的父母现在想为她做教育储蓄．他们考虑从下面三种储蓄方式中选择一种（附：中国银行2016年10月最新存款年利率表）
（1）直接存一个5年期
（2）先存一个3年期，3年后将本息和再转存一个2年期；
（3）先存一个2年期，2年后将本息和再转存一个3年期．
请按照提供的分析思路，完成以下填空：
解：设开始存入的本金为x元．
（1）如果按照第一种储蓄方式，5年后本息和要达到10000元，则可列方程　 　．
（2）如果按照第二种储蓄方式，3年后本息和是　x+2.75%x×3　．再将此本息和转存2年后达到10000元，可列方程为　 　．
（3）如果按照第三种储蓄方式，2年后的本息和是　 　，
再将此本息和转存3年后要达到10000元，可列方程为　 　．
（4）根据以上的分析，如果计算出来哪种方式开始存入的资金　少　（填多或少），哪种方式更合算．
整存整取定期存款 年利率（%）
一年 1.75
二年 2.25
三年 2.75
五年 2.75
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以解答本题；
（2）根据题意和表格中的数据可以求出相应的本息和并列出相应的方程；
（3）根据题意和表格中的数据可以求出相应的本息和并列出相应的方程；
（4）根据题意，可知存入的本金越少越合算，即可解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
x+2.75%x×5＝10000，
故答案为：x+2.75%x×5＝10000；
（2）如果按照第二种储蓄方式，3年后本息和是：x+2.75%x×3，
再将此本息和转存2年后达到10000元，可列方程为：（x+2.75%x×3）+2.25%（x+2.75%x×3）×2＝10000，
故答案为：x+2.75%x×3、（x+2.75%x×3）+2.25%（x+2.75%x×3）×2＝10000；
（3）如果按照第三种储蓄方式，2年后的本息和是：x+2.25%x×2，
再将此本息和转存3年后要达到10000元，可列方程为：（x+2.25%x×2）+2.75%（x+2.25%x×2）×3＝10000，
故答案为：x+2.25%x×2、（x+2.25%x×2）+2.75%（x+2.25%x×2）×3＝10000；
（4）根据以上的分析，如果计算出来哪种方式开始存入的资金少，则那种方式更合算，
故答案为：少．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的方程．
3．某人把若干元按三年期的定期储蓄存入银行，假设年利率为，到期支取扣除时所得税实得利息为7200元（银行存款所得税的税率为，所得税金额所得利息，求存入银行的本金是多少？（用一元一次方程解答）
【答案】60000元
【分析】设存入银行的本金为x元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设存入银行的本金为元，
根据题意得：，
解得：．
答：存入银行的本金为60000元．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意的等量关系，列出方程是解本题的关键．
2．A公司和B公司是分别拥有96名和100名工人的小型企业．疫情期间，为了缓解下岗人的再就业问题，两企业2021年1月都吸收了部分下岗人员并向银行贷款：A公司吸收了12名下岗人员，得到的贷款额和两年的补贴费共万元；B公司也吸收了12名下岗人员，但因贷款少，两年的补贴费比A公司的补贴费少．国家对吸收下岗人员的企业按季度（一年四个季度）给予补贴，每季度补贴费用=×贷款额×．
(1)2021年1月A公司得到的贷款是多少？
(2)2021年1月B公司得到的贷款是多少？
(3)银行规定：企业还贷款，应每年一还，还本金和利息，若第一年没还，则第一年的本金和利息作为第二年的贷款本金计算，以此类推，假设两公司第一年都没有还贷款的本金和利息，而是在两年后即2023年1月才一次性还清本金和利息，B公司还贷款的本金和利息比A公司少万元，求企业贷款年利率．（利息=本金×年利率）
【答案】(1)A公司得到的贷款是60万元
(2)B公司得到的贷款是50万元
(3)企业贷款年利率为
【分析】（1）贷款额和两年的补贴费共万元，找出等量关系式，列出方程即可解得；
（2）根据两年的补贴费比A公司的补贴费少，找出等量关系式，列出方程即可解得；
（3）找出等量关系式，列出方程即可解得．
【详解】（1）设A公司得到的贷款是x万元，
由题意，得：，
解得．
答：A公司得到的贷款是60万元；
（2）设B公司得到的贷款是y万元，
由题意，得：，
解得．
答：B公司得到的贷款是50万元；
（3）设企业贷款年利率是a，由题意得：
，
解得（不符题意，舍去），
答：企业贷款年利率为．
【点睛】此题考查了列方程解决问题，解题的关键是根据题意找出等量关系式
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