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七年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题十六 第四章 几何图形初步大串讲专题
知识点大串讲
一、 几何图形
①几何图形的定义：我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形。
②几何图形分为立体图形图形平面图形图形。
③ 平面图形：图形所表示的各个部分都在同一平面 内的图形，如直线、三角形等。
④ 立体图形：图形所表示的各个部分不在同一平面内的图形，如圆柱体。
二、常见的立体图形
①柱体：A棱柱： B 圆柱 ② 椎体：A棱锥 B圆锥 球体等
立体图形的三视图：
从不同方向观察几何体,从正面、上面、左面三个不同方向看一个物体，然后描出三张所看到的图（分别叫做主视图、左视图、俯视图），这样就可以把立体图形转化为平面图形。
①会观察小正方体堆积图形画出三视图 ②会根据三视图知道堆积的小正方体的个数
立体图形的展开图
①圆柱的侧面展开图是长方形。②圆锥的侧面展开图是扇形。③n棱柱的侧面展开图是 n边 形 ，n棱柱有 两个底面，都是n边形 ，n棱柱的侧面展开图是长方形。④n棱锥的侧面展开图是 n个三角形 形 ，n棱锥有一个底面，是多边形。⑤正方体的展开图共分四类：
①掌握在正方体展开图中找相对面的方法 ②会根据展开图中的图案判断是哪个图形的展开图
点、线、面、体
立体图形是几何体，简称体；包围着体的是面，面有平面和曲面；面和面相交的地方形成线，线有直线和曲线；线和线相交的地方是点。
2、几何图形都是由点、线、面、体组成，点是构成图形的基本元素。
六、直线、射线、线段
1、线段：直线上两个点和它们之间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点。
射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。
直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线。
2、点与直线的位置关系：点p在直线a上(或说直线a经过点p)；
点p不在直线a上(或说直线a不经过点p) 。
过一点可画无数条直线，过两点有且仅有一条直线。简述为：两点确定一条直线。
3、线段的中点：把一线段分成两相等线段的点。
两点的所有连线中，线段最短，简述为：两点之间，线段最短。
两点间的距离：连接两点间的线段的长度。
线段的长短比较：⑴度量法；⑵叠合法
角：
1 .角：由两条具有公共端点引出射线组成的图形(也可看做是由一射线绕端点旋转而成）。
2.角的表示：三个大写字母;一个大写字母(不混淆情况下方可使用);一个数字;一个希腊字母。
3.角的要素：顶点和边，角的大小与边的长短无关。
4.角的单位：度,分,秒 ①1°的60分之一为1分，记作1′，即1°＝60′
②1′的60分之一为1秒，记作1″，即1′＝60″
5.角的大小比较：⑴度量法；⑵叠合法。
6.角平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个等角，这条射线叫角平分线。
7.余角和补角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角。
8.性质：等角的补角相等；等角的余角相等。
七、数学思想
1.分类思想：位置不确定需要分类，数量关系不确定需要分类
2 .方程思想：在处理有关角的大小，线段大小的计算时利用方程列出等量关系
化归思想.在进行线段、射线、直线、角以及相关图形的计数时总要化归到公式的具体运用上来.
高频考点练练练
【考点1】立体图形与平面图形
【例1-1】如图，下列五个几何体中，柱体有（　　）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【例1-2】下列说法错误的是（　　）
A．柱体的上、下两个底面一样大
B．棱柱至少由5个面围成
C．长方体属于棱柱
D．圆锥由两个面围成，且这两个面都是曲面
针对练习1
1．下列几何体是棱锥的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列几何图形中，不属于平面图形的是（　　）
A．三角形 B．球 C．圆 D．长方形
【考点2】立体图形的展开图
【例2-1】下列图形中，经过折叠不能得到三棱柱的是（　　）
A． B． C． D．
【例2-2】现有4枚相同的骰子，骰子的表面展开图如图所示．这4枚骰子摞在一起后，如图所示，相互接触的两个面的点数之和都是8，每枚骰子都有一个面被阴影遮住了，你能说出每个被阴影遮住的面的点数吗？
针对练习2
1．如图，白纸上有一个表面涂满染料的小正方体．在不脱离白纸的情况下，转动正方体，使其各面染料都能印在白纸上，切各面仅能接触白纸一次，则在白纸上可以形成的图形有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2 .把正方体的六个面分别标上1，2，3，4，5，6，现将上述四个完全一样的正方体排成一个如图水平放置的长方体那么长方体的下底面的所有数字之和为 　12　．
【考点3】三视图
【例3-1】如图所示，在一次数学活动课上，小明用16个小正方体搭成了一个几何体，然后他想用其他同样的小正方体继续搭成一个长方体，若不改变小明开始所搭几何体的形状，那么他至少还需要 　20　个小正方体才能搭成长方体．
【例3-2】如图所示，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为3cm正方体堆成的一个几何体．如果在这个几何体的表面（露出的部分）喷上黄色的漆，求这个几何体喷漆的面积 　 　．
针对练习3
1．把5个正方体按如图所示方式摆放，沿箭头方向观察这个立体图形，得到的平面图形是（　　）
A． B．
C． D．
2．搭出同时符合下面要求的物体，需要（　　）个小正方体．
A．10 B．7 C．8 D．9
【考点4】点、线、面、体
【例4-1】．探究：有一长6cm，宽4cm的矩形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转180°，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作：
方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①；
方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．
（1）请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大；
（2）如果该矩形的长宽分别是5cm和3cm呢？请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大；
（3）通过以上探究，你发现对于同一个矩形（不包括正方形），以其一组对边中点所在直线为轴旋转得到一个圆柱，怎样操作所得到的圆柱体积大（不必说明原因）？
【例4-2】探究：有一长9cm，宽6cm的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转180°，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作：方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①；方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．
（1）请通过计算说明哪种方案构造的圆柱体积大；
（2）若将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为多少？
针对练习4
1．如图，将长方形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（　　）
A． B．
C． D．
2．“枪打一条线，棍扫一大片”从字面上理解这句话所描述的现象，用数学知识可解释为：　 　．
【考点5】直线、射线、线段
【例5-1】探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，直线上有两点A与B，图中有线段　 　条；
（2）拓展延伸：
图2直线上有A，B，C三个点，以A为端点，有线段AB，线段AC；同样以C为端点，有线段CA，线段CB；以B为端点，有线段BA，线段BC，去除重复线段，图2共有　 　条线段；
同样方法探究出图3中有　 　条线段；
（3）探索归纳：
如果直线上有n（n为正整数）个点，则共有　 　条线段．（用含n的式子表示）
（4）解决问题：
①中职篮（CBA）2018﹣﹣2019赛季，比赛队伍数仍然为20支，截止2018年12月14日，赛程已经过半（每两队之间都赛了一场），请你帮助计算一下目前一共进行了多少场比赛？
②2018年11月30日，赤峰至京沈高铁喀左站客运专线路基工程全部完成，将正式进入轨道铺设阶段，预计2020年7月1日通车，北京至赤峰有北京星火站，顺义西站，怀柔南站，密云站，兴隆西站，安匠站，承德南站，承德县北站，平泉北站，牛河梁站，喀左站，宁城站、平庄西站、赤峰西站等共计14个车站，请你帮助计算一下，应该设计多少种高铁车票？
【例5-2】根据下列语句，画出图形．如图，已知四点A，B，C，D．
（1）顺次连接A、B、C、D；
（2）在线段AB反向延长线上取一点E，使AE＝AD；
（3）在四边形ABCD内取一点O，连OA，OB，OC，OD，使A、O、C三点不共线；B、O、D三点不共线．
（4）在四边形ABCD内找一点P，使PA+PB+PC+PD最小．
针对练习5
1．如图，在同一个平面内有四个点，请用直尺和圆规按下列要求作图（不写作图步骤，保留作图痕迹，而且要求作图时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑）：
（1）作射线AB；
（2）作直线AC与直线BD相交于点O；
（3）在射线AB上作线段AC′，使线段AC′与线段AC相等．
2．如图，在平面内有A，B，C三点．
（1）画直线AB；画射线AC；画线段BC；
（2）在线段BC上任取一点D（不同于B，C），连接AD，并延长AD至点E，使DE＝AD；
（3）数一数，此时图中共有多少条线段？多少条射线？
【考点6】线段的大小比较
【例6-1】如图所示，已知点C是线段AB的中点，D是AC上任意一点，M、N分别是AD、DB的中点，若AB＝16，求MN的长．
【例6-2】已知AB＝10cm，直线AB上有一点C，BC＝4cm，M是线段AC的中点，求AM的长．
针对练习6
1．如果点B在线段AC上，那么下列表达式中：①AB＝AC，②AB＝BC，③AC＝2AB，④AB+BC＝AC，能表示B是线段AC的中点的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知，B是线段AD上一点，C是线段AD的中点，若AD＝10，BC＝3，则AB＝　 　．
3．如图，已知点A、B、C、D、E在同一直线上，且AC＝BD，E是线段BC的中点．
（1）点E是线段AD的中点吗？说明理由；
（2）当AD＝10，AB＝3时，求线段BE的长度．
4．如图，已知C点为线段AB的中点，D点为BC的中点，AB＝10cm，求AD的长度．
【考点7】角
【例7-1】观察图，回答下列问题：
（1）在图①中有几个角？
（2）在图②中有几个角？
（3）在图③中有几个角？
（4）以此类推，如图④所示，若一个角内有n条射线，此时共有多少个角？
【例7-2】钟面上的角的问题．
（1）3点45分，时针与分针的夹角是多少？
（2）在9点与10点之间，什么时候时针与分针成100°的角？
针对练习7
1．如图，回答下列问题：
（1）写出能用一个字母表示的角：　 　；
（2）写出以B为顶点的角：　 　；
（3）图中共有几个小于平角的角？分别把它们表示出来．
2．（1）如图①所示，当以点O为端点的射线有3条时，图中共有 　 　个角，它们分别是 　 　；
（2）如图②所示，当以点O为端点的射线有4条时，图中共有 　 　个角，它们分别是 　 　；
（3）如图③所示，当以点O为端点的射线有5条时，图中共有 　 　个角，它们分别是 　 ；
（4）当以点O为端点的射线有n（n为大于或等于3的正整数）条时，请你猜想共有 　　个角，并简述理由．
3．（1）钟表上2时15分时，时针与分针所成的锐角的度数是多少？
（2）若时针由2点30分走到2点55分，问分针转过多大的角度？
4．计算：．
【考点8】角的比较与运算
【8-1】（1）如图1，射线OC在∠AOB的内部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，若∠AOB＝110°，求∠MON的度数；
（2）射线OC，OD在∠AOB的内部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，若∠AOB＝100°，∠COD＝20°，求∠MON的度数；
（3）在（2）中，∠AOB＝m°，∠COD＝n°，其他条件不变，请用含m，n的代数式表示MON的度数（不用说理）．
【8-2】已知：点O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OE是∠BOD的平分线．
（1）当点C、D、E在直线AB的同侧（如图1）时，
①若∠COE＝30°，求∠AOD的度数
②若∠COE＝β，则∠AOD＝　2β　．（用含β的式子表示）
（2）当点C与点D，E在直线AB的两侧（如图2）时，（1）中②的结论是否仍然成立？请给出你的结论并说明理由．
针对练习8
1．如图，O是直线CE上一点，以O为顶点作∠AOB＝90°，且OA，OB位于直线CE两侧，OB平分∠COD．
（1）当∠AOC＝60°时，求∠DOE的度数；
（2）请你猜想∠AOC和∠DOE的数量关系，并说明理由．
2．如图，射线OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线，且∠AOB＝90°．
（1）求∠MON的度数；
（2）当OC在∠AOB内转动时，∠MON的度数是否会发生变化？简单说明理由．
3．如图，已知点O是直线AD上一点，射线OC、OE分别是∠AOB、∠BOD的平分线．
（1）若∠AOC＝20°，求∠BOE的度数和∠COE的度数．
（2）如果把“∠AOC＝20°”条件去掉，那么∠COE的度数有变化吗？请说明理由．
【考点9】方向角
【例9-1】如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，射线OD是OB的反向延长线．
（1）射线OC的方向是　北偏东70°　；
（2）求∠COD的度数；
（3）若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数．
【例9-2】如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船与货船的速度比为4：3，出发1小时后，客船比货船多走了10海里．客船沿北偏东25°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若此时两船相距100海里．
（1）求两船的速度分别是多少？
（2）求货船航行的方向．
针对练习9
1．如图，射线OA表示的方向是北偏东44°，射线OB表示的方向是北偏东76°，已知图中∠BOC＝122°．
（1）求∠AOB的度数；
（2）写出射线OC的方向．
2．如图，B处在C处的南偏东30°方向，B处在A处的北偏东70°方向，C处在A处的北偏东45°方向，求∠ABC的度数．
【考点10】余角、补角
【例10-1】以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝60°，将一个直角三角形DOE的直角顶点放在点O处．
（1）如图1，若直角三角形DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝　30°　；
（2）如图2，将直角三角形DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，请判断OD是否平分∠BOC，并说明理由；
（3）将三角形DOE绕点O逆时针转动到某个位置时，若恰好∠AOE＝5∠COD，求∠BOD的度数．
【例10-2】如图，在直线AD上任取一点O，过点O做射线OB，OE平分∠DOB，OC平分∠AOB，当∠AOC＝27°58'时，求∠DOE的度数．
针对练习10
1．如图1，OC平分∠AOB，OD是∠BOC内部从点O出发的一条射线，OE平分∠AOD．
（1）【基础尝试】如图2，若∠AOB＝120°，∠COD＝10°，求∠DOE的度数；
（2）【画图探究】设∠COE＝x°，用x的代数式表示∠BOD的度数；
（3）【拓展运用】若∠COE与∠BOD互余，∠AOB与∠COD互补，求∠AOB的度数．
2．如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE，OF⊥CD，垂足为O．
（1）写出图中所有与∠AOD互补的角；
（2）若∠AOE＝120°，求∠BOD的度数．
七年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题十六 第四章 几何图形初步大串讲专题
知识点大串讲
一、 几何图形
①几何图形的定义：我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形。
②几何图形分为立体图形图形平面图形图形。
③ 平面图形：图形所表示的各个部分都在同一平面 内的图形，如直线、三角形等。
④ 立体图形：图形所表示的各个部分不在同一平面内的图形，如圆柱体。
二、常见的立体图形
①柱体：A棱柱： B 圆柱 ② 椎体：A棱锥 B圆锥 球体等
立体图形的三视图：
从不同方向观察几何体,从正面、上面、左面三个不同方向看一个物体，然后描出三张所看到的图（分别叫做主视图、左视图、俯视图），这样就可以把立体图形转化为平面图形。
①会观察小正方体堆积图形画出三视图 ②会根据三视图知道堆积的小正方体的个数
立体图形的展开图
①圆柱的侧面展开图是长方形。②圆锥的侧面展开图是扇形。③n棱柱的侧面展开图是 n边 形 ，n棱柱有 两个底面，都是n边形 ，n棱柱的侧面展开图是长方形。④n棱锥的侧面展开图是 n个三角形 形 ，n棱锥有一个底面，是多边形。⑤正方体的展开图共分四类：
①掌握在正方体展开图中找相对面的方法 ②会根据展开图中的图案判断是哪个图形的展开图
点、线、面、体
立体图形是几何体，简称体；包围着体的是面，面有平面和曲面；面和面相交的地方形成线，线有直线和曲线；线和线相交的地方是点。
2、几何图形都是由点、线、面、体组成，点是构成图形的基本元素。
六、直线、射线、线段
1、线段：直线上两个点和它们之间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点。
射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。
直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线。
2、点与直线的位置关系：点p在直线a上(或说直线a经过点p)；
点p不在直线a上(或说直线a不经过点p) 。
过一点可画无数条直线，过两点有且仅有一条直线。简述为：两点确定一条直线。
3、线段的中点：把一线段分成两相等线段的点。
两点的所有连线中，线段最短，简述为：两点之间，线段最短。
两点间的距离：连接两点间的线段的长度。
线段的长短比较：⑴度量法；⑵叠合法
角：
1 .角：由两条具有公共端点引出射线组成的图形(也可看做是由一射线绕端点旋转而成）。
2.角的表示：三个大写字母;一个大写字母(不混淆情况下方可使用);一个数字;一个希腊字母。
3.角的要素：顶点和边，角的大小与边的长短无关。
4.角的单位：度,分,秒 ①1°的60分之一为1分，记作1′，即1°＝60′
②1′的60分之一为1秒，记作1″，即1′＝60″
5.角的大小比较：⑴度量法；⑵叠合法。
6.角平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个等角，这条射线叫角平分线。
7.余角和补角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角。
8.性质：等角的补角相等；等角的余角相等。
七、数学思想
1.分类思想：位置不确定需要分类，数量关系不确定需要分类
2 .方程思想：在处理有关角的大小，线段大小的计算时利用方程列出等量关系
化归思想.在进行线段、射线、直线、角以及相关图形的计数时总要化归到公式的具体运用上来.
高频考点练练练
【考点1】立体图形与平面图形
【例1-1】如图，下列五个几何体中，柱体有（　　）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】认识立体图形．版权所有
【分析】柱体的结构特征：有两个面互相平行，由这些面所围成的多面体叫做柱体．
【解答】解：左边第一个图是四棱锥；左边第二个图是圆柱；左边第三个图是圆锥；左边第四个图是三棱柱；左边第五个图是球；
综上分析可知，柱体有2个，故C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了立体图形的认识，关键是对圆柱体结构特征的认识．
【例1-2】下列说法错误的是（　　）
A．柱体的上、下两个底面一样大
B．棱柱至少由5个面围成
C．长方体属于棱柱
D．圆锥由两个面围成，且这两个面都是曲面
【考点】认识立体图形．版权所有
【分析】根据各几何体面的构成特点逐一解答即可．
【解答】解：对于A选项，根据柱体的特点可以得出该选项正确，不符合题意；
对于B选项，根据棱柱的特点可以得出该选项正确，不符合题意；
对于C选项，根据棱柱和长方体的特点可以得出该选项正确，不符合题意；
对于D选项，根据圆锥是由两个面围成，它的侧面是曲面，底面是平面，可以得出该选项不正确，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了几何体的面的定义及分类，正确掌握面的及各几何体的特点是解题的关键．
针对练习1
1．下列几何体是棱锥的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】认识立体图形．版权所有
【分析】根据棱锥的定义判定，即可．
【解答】解：A、属于棱锥，符合题意；
B、 是圆柱，不符合题意；
C、 是圆锥，不符合题意；
D、是棱柱，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查棱锥的知识，解题的关键是理解棱锥的定义：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫棱锥．
2．下列几何图形中，不属于平面图形的是（　　）
A．三角形 B．球 C．圆 D．长方形
【考点】认识平面图形．版权所有
【分析】根据几何图形的分类结合所给几何图形进行分析判断即可．
【解答】解：A、三角形是平面图形，不符合题意；
B、球是立体图形，不是平面图形，符合题意；
C、圆是平面图形，不符合题意；
D、长方形是平面图形，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了几何图形的分类，熟悉常见几何图形中的平面图形和立体图形是解答本题的关键．
【考点2】立体图形的展开图
【例2-1】下列图形中，经过折叠不能得到三棱柱的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】认识立体图形．版权所有
【分析】根据三棱柱展开图的特征进行判断即可．
【解答】解：根据三棱柱的展开图的特征可知，选项C中的展开图不能折叠成三棱柱，
故选：C．
【点评】本题考查认识立体图形，掌握三棱柱的形体特征是正确判断的前提．
【例2-2】现有4枚相同的骰子，骰子的表面展开图如图所示．这4枚骰子摞在一起后，如图所示，相互接触的两个面的点数之和都是8，每枚骰子都有一个面被阴影遮住了，你能说出每个被阴影遮住的面的点数吗？
【考点】认识立体图形．版权所有
【分析】根据几何体的展开图和相互接触的两个面的点数之和都是8，逐项分析判断即可．
【解答】解：①为1；②为6；③4；④为3．
【点评】本题考查了立体图形的展开图，从几何体的展开图和相互接触的两个面的点数之和都是8是解题的关键．
针对练习2
1．如图，白纸上有一个表面涂满染料的小正方体．在不脱离白纸的情况下，转动正方体，使其各面染料都能印在白纸上，切各面仅能接触白纸一次，则在白纸上可以形成的图形有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】认识立体图形．版权所有
【分析】根据图形能否折叠成正方体及各面仅能接触白纸一次逐一分析即可．
【解答】解：①能折叠成正方体且各面仅能接触白纸一次，符合题意；
②能折叠成正方体且各面仅能接触白纸一次，符合题意；
③不能折叠成正方体，不符合题意；
④不能折叠成正方体，不符合题意；
综上分析可知，符合题意的有2个，故B正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方体的展开图，解题的关键是熟练掌握正方体展开图的特点．
2 .把正方体的六个面分别标上1，2，3，4，5，6，现将上述四个完全一样的正方体排成一个如图水平放置的长方体那么长方体的下底面的所有数字之和为 　12　．
【考点】认识立体图形；有理数的加法．版权所有
【分析】根据题意得图中四个小正方体的上面可以看到数字，则求长方体的下底面的数字之和就是求上面已知的四个数字的对面数字之和；由于最右边的小正方体各面的已知数字看到的最多，结合左面两个小正方体的已知数字中都有3，则可知3的四个相邻面的数字，则3的对面数字即可推出；继而可知1的四个相邻面的数字，其对面数字可知，则剩余一对对面数字即可得出；按得出的三对相对面的数字即可求出上面已知的四个数字的对面数字，计算出和即可．
【解答】解：因为观察3的相邻面有2，4，1，6，
所以3的对面为5，
因为1的相邻面有2，6，3，5，
所以1的对面是4，
所以6的对面是2．
所以长方体下底面数字之和为5+1+4+2＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查立体图形中正方体的展开与折叠，正确判断出“对面”是解决问题的关键．
【考点3】三视图
【例3-1】如图所示，在一次数学活动课上，小明用16个小正方体搭成了一个几何体，然后他想用其他同样的小正方体继续搭成一个长方体，若不改变小明开始所搭几何体的形状，那么他至少还需要 　20　个小正方体才能搭成长方体．
【考点】认识立体图形．版权所有
【分析】根据小明所搭长方体的长、宽、高分别由3个正方体、3个正方体、4个正方体构成，可得出所搭长方体所用小正方体的个数，进而根据小明用了16个小正方体可得出答案．
【解答】解：依题意得：小明所搭长方体的长、宽、高分别由3个正方体、3个正方体、4个正方体构成，
∴所搭长方体所用小正方体的个数为：3×3×4＝36（个）
又∵小明用了16个小正方体，
∴他至少还需要的小正方体个数为：36﹣16＝20（个）．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了长方体的认识，长方体的体积，理解题意，准确识图，熟练掌握长方体的体积计算公式是解决问题的关键．
【例3-2】如图所示，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为3cm正方体堆成的一个几何体．如果在这个几何体的表面（露出的部分）喷上黄色的漆，求这个几何体喷漆的面积 　288cm2　．
【考点】认识立体图形．版权所有
【分析】求出这个组合体的主视图、左视图、俯视图的面积，再根据表面积的定义和计算方法进行计算即可．
【解答】解：这个组合体的主视图的面积为3×3×6＝54（cm2），左视图的面积为3×3×6＝54（cm2），俯视图的面积为3×3×6＝54（cm2），
所以这个几何体喷漆的面积为54×5+3×3×2＝288（cm2），
故答案为：288cm2．
【点评】本题考查认识立体图形，求出这个组合体的主视图、左视图、俯视图的面积以及被“遮挡”的面积是正确解答的关键．
针对练习3
1．把5个正方体按如图所示方式摆放，沿箭头方向观察这个立体图形，得到的平面图形是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】认识平面图形；认识立体图形．版权所有
【分析】根据观察方向即可求解．
【解答】解：由题意可知：该立体图形的正视图为A．
故选：A．
【点评】本题考查立体图的三视图．属于简单题．
2．搭出同时符合下面要求的物体，需要（　　）个小正方体．
A．10 B．7 C．8 D．9
【考点】认识立体图形．版权所有
【分析】关键三视图的形状，在俯视图的相应位置标注所摆放的小正方体的个数即可．
【解答】解：由这个组合体的三视图的形状，在俯视图的相应位置标注所摆放的小正方体的个数如图所示：上
所以需要的小正方体的个数为7个，
故选：B．
【点评】本题考查认识立体图形，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的前提．
【考点4】点、线、面、体
【例4-1】．探究：有一长6cm，宽4cm的矩形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转180°，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作：
方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①；
方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．
（1）请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大；
（2）如果该矩形的长宽分别是5cm和3cm呢？请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大；
（3）通过以上探究，你发现对于同一个矩形（不包括正方形），以其一组对边中点所在直线为轴旋转得到一个圆柱，怎样操作所得到的圆柱体积大（不必说明原因）？
【考点】点、线、面、体．版权所有
【分析】（1）根据矩形旋转是圆柱，可得几何体，根据圆柱的体积公式，可得答案；
（2）根据矩形旋转是圆柱，可得几何体，根据圆柱的体积公式，可得答案；
（3）根据矩形旋转所的几何体的大小比较，可得答案．
【解答】解：（1）方案一：π×32×4＝36π（cm3），
方案二：π×22×6＝24π（cm3），
∵36π＞24π，
∴方案一构造的圆柱的体积大；
（2）方案一：π×（）2×3＝π（cm3），
方案二：π×（）2×5＝π（cm3），
∵π＞π，
∴方案一构造的圆柱的体积大；
（3）由（1）、（2），得
以较长一组对边中点所在直线为轴旋转得到的圆柱的体积大．
【点评】本题考查了点线面体，利用矩形旋转得圆柱是解题关键．
【例4-2】探究：有一长9cm，宽6cm的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转180°，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作：方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①；方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．
（1）请通过计算说明哪种方案构造的圆柱体积大；
（2）若将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为多少？
【考点】点、线、面、体．版权所有
【分析】（1）根据矩形旋转是圆柱，可得几何体，根据圆柱的体积公式，可得答案；
（2）根据圆柱的体积公式，可得答案．
【解答】解：（1）方案一：π×（4.5）2×6＝121.5π（cm3），
方案二：π×32×9＝81π（cm3），
∵121.5π＞81π，
∴方案一构造的圆柱的体积大；
（2）以较短一条边所在的直线为轴旋转360°，其体积为：π×92×6＝486π（cm3），
以较长一条边所在的直线为轴旋转360°，其体积为：π×62×9＝324π（cm3）．
【点评】本题考查了点线面体，掌握矩形旋转得圆柱是关键．
针对练习4
1．如图，将长方形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】点、线、面、体．版权所有
【分析】根据面动成体：一个长方形绕着它的一条边所在的直线旋转一周后所得到的立体图形是圆柱，据此判断即可．
【解答】解：由题意可知：
一个长方形绕着它的一条边所在的直线旋转一周后所得到的立体图形是圆柱．
故选：A．
【点评】本题考查了圆柱的概念和面动成体，属于应知应会题型，熟练掌握基础知识是解题关键．
2．“枪打一条线，棍扫一大片”从字面上理解这句话所描述的现象，用数学知识可解释为：　点动成线，线动成面　．
【考点】点、线、面、体．版权所有
【分析】子弹可看作一个点，棍可看作一条线，由此可得出这个现象的本质．
【解答】解：“枪打一条线，棍扫一大片”从字面上理解这句话所描述的现象，用数学知识可解释为：点动成线，线动成面，
故答案为：点动成线，线动成面．
【点评】本题考查了点、线、面、体，把生活中的实物抽象为数学上的模型是解题的关键．
【考点5】直线、射线、线段
【例5-1】探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，直线上有两点A与B，图中有线段　1　条；
（2）拓展延伸：
图2直线上有A，B，C三个点，以A为端点，有线段AB，线段AC；同样以C为端点，有线段CA，线段CB；以B为端点，有线段BA，线段BC，去除重复线段，图2共有　3　条线段；
同样方法探究出图3中有　6　条线段；
（3）探索归纳：
如果直线上有n（n为正整数）个点，则共有　　条线段．（用含n的式子表示）
（4）解决问题：
①中职篮（CBA）2018﹣﹣2019赛季，比赛队伍数仍然为20支，截止2018年12月14日，赛程已经过半（每两队之间都赛了一场），请你帮助计算一下目前一共进行了多少场比赛？
②2018年11月30日，赤峰至京沈高铁喀左站客运专线路基工程全部完成，将正式进入轨道铺设阶段，预计2020年7月1日通车，北京至赤峰有北京星火站，顺义西站，怀柔南站，密云站，兴隆西站，安匠站，承德南站，承德县北站，平泉北站，牛河梁站，喀左站，宁城站、平庄西站、赤峰西站等共计14个车站，请你帮助计算一下，应该设计多少种高铁车票？
【考点】直线的性质：两点确定一条直线；列代数式；直线、射线、线段．版权所有
【分析】（1）根据线段的定义解答；
（2）根据线段的定义解答；
（3）根据线段的定义解答；
（4）根据线段的定义解答即可得到结论．
【解答】解：（1）直线上有两点A与B，图中有线段1条；
故答案为：1；
（2）图2直线上有A，B，C三个点，以A为端点，有线段AB，线段AC；同样以C为端点，有线段CA，线段CB；以B为端点，有线段BA，线段BC，去除重复线段，图2共有3条线段；
同样方法探究出图3中有6条线段，
故答案为：3条，6条；
（3）如果直线上有n（n为正整数）个点，则共有条，
故答案为：；
（4）①20×（20﹣1）÷2＝190场，
答：一共进行了190场比赛；
②14×（14﹣1）＝182种，
答：应该设计182种高铁车票．
【点评】本题考查了直线、射线、线段，角的概念，熟记概念是解题的关键，要注意两站之间需要两种车票．
【例5-2】根据下列语句，画出图形．如图，已知四点A，B，C，D．
（1）顺次连接A、B、C、D；
（2）在线段AB反向延长线上取一点E，使AE＝AD；
（3）在四边形ABCD内取一点O，连OA，OB，OC，OD，使A、O、C三点不共线；B、O、D三点不共线．
（4）在四边形ABCD内找一点P，使PA+PB+PC+PD最小．
【考点】线段的性质：两点之间线段最短；直线、射线、线段．版权所有
【分析】（1）根据题意连接顺次连接A、B、C、D即可；
（2）延长BA，以点A为圆心，AD为半径画弧，交BA的延长线于点E，点E即为所求，
（3）根据题意画出点O即可；
（4）连接AC，BD交于点P，点P即为所求．
【解答】解：（1）如图所示，
（2）如图所示，延长BA，以点A为圆心，AD为半径画弧，交BA的延长线于点E，点E即为所求，
（3）如图所示，
（4）如图所示，连接AC，BD交于点P，点P即为所求．
【点评】此题考查了作线段等于已知线段，两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．
针对练习5
1．如图，在同一个平面内有四个点，请用直尺和圆规按下列要求作图（不写作图步骤，保留作图痕迹，而且要求作图时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑）：
（1）作射线AB；
（2）作直线AC与直线BD相交于点O；
（3）在射线AB上作线段AC′，使线段AC′与线段AC相等．
【考点】直线、射线、线段．版权所有
【分析】（1）（2）按要求作图；
（3）根据作一条线段等于已知线段作图即可．
【解答】解：（1）作射线AB，如图所示；
（2）作直线AC与直线BD相交于点O，如图所示；
（3）作法：以A为圆心，线段AC′的长为半径，在射线AB上画弧，交射线AB于C′，线段AC′就是所求．
【点评】本题考查了作线段、直线和射线的基本作图，还考查了角平分线的定义，难度不大，属于基础题．
2．如图，在平面内有A，B，C三点．
（1）画直线AB；画射线AC；画线段BC；
（2）在线段BC上任取一点D（不同于B，C），连接AD，并延长AD至点E，使DE＝AD；
（3）数一数，此时图中共有多少条线段？多少条射线？
【考点】直线、射线、线段．版权所有
【分析】（1）依据直线、射线、线段的定义，即可得到直线AB，射线AC，线段BC；
（2）依据在线段BC上任取一点D（不同于B，C），连接线段AD，并延长AD至点E，使DE＝AD作图即可求解；
（3）根据图中的线段为AB，AC，AD，AE，DE，BD，CD，BC，即可得到图中线段的条数，再根据端点得到图中射线的条数．
【解答】解：（1）如图，直线AB，线段BC，射线AC即为所求；
（2）如图，线段AD和线段DE即为所求；
（3）图中共有8条线段，6条射线．
【点评】本题主要考查了直线、射线、线段的定义，熟练掌握各定义是解题的关键．
3 .举一个实际例子，说明“经过两点有一条而且只有一条直线”的应用．
【考点】直线的性质：两点确定一条直线．版权所有
【分析】例如，挖地基在地上画线时，先在地上钉两根木桩，就可以拉一条线．
【解答】解：例如，挖地基在地上画线时，先在地上钉两根木桩，就可以拉一条线；这就说明经过两点有一条而且只有一条直线．
【点评】本题考查的是直线的性质：两点确定一条直线．学生要熟练掌握直线的性质，并要善于应用，在实践中遇到画直线的问题时，由两点即可确定．
【考点6】线段的大小比较
【例6-1】如图所示，已知点C是线段AB的中点，D是AC上任意一点，M、N分别是AD、DB的中点，若AB＝16，求MN的长．
【考点】比较线段的长短．版权所有
【分析】由图可看出AD+BD等于AB的长，已知N，M分别是AD，DB的中点，所以NM即AB的一半．
【解答】解：∵点C是线段AB的中点，D是AC上任意一点，M、N分别是AD、DB的中点，AB＝16
∴AD+BD＝AB＝16
∴MN＝MD+DN＝（AD+BD）＝8．
【点评】此题主要考查学生的读图能力及线段长短的比较．
【例6-2】已知AB＝10cm，直线AB上有一点C，BC＝4cm，M是线段AC的中点，求AM的长．
【考点】比较线段的长短．版权所有
【分析】由已知条件可知，分两种情况讨论：
（1）点C在线段AB上；
（2）点C在线段AB的延长线上．
【解答】解：
（1）如图1，点C在线段AB上，
∵AB＝10cm，BC＝4cm，
∴AC＝AB﹣BC＝10﹣4＝6（cm），
∵M是AC的中点，
∴AM＝AC＝3（cm）．
（2）如图2，点C在线段AB的延长线上．
∵AB＝10cm，BC＝4cm，
∴AC＝AB+BC＝10+4＝14（cm），
∵M是AC的中点，
∴AM＝AC＝7（cm）．
∴AM的长为3cm或7cm．
【点评】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
针对练习6
1．如果点B在线段AC上，那么下列表达式中：①AB＝AC，②AB＝BC，③AC＝2AB，④AB+BC＝AC，能表示B是线段AC的中点的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】比较线段的长短．版权所有
【分析】根据题意，画出图形，观察图形，一一分析选项，排除错误答案．
【解答】
解：如图，若B是线段AC的中点，
则AB＝AC，AB＝BC，AC＝2AB，
而AB+BC＝AC，B可是线段AC上的任意一点，
∴表示B是线段AC的中点的有①②③3个．
故选：C．
【点评】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性，同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
2．已知，B是线段AD上一点，C是线段AD的中点，若AD＝10，BC＝3，则AB＝　2或8　．
【考点】比较线段的长短．版权所有
【分析】根据题意，正确画出图形，显然此题有两种情况：
当点B在中点C的左侧时，AB＝AC﹣BC；
当点B在中点C的右侧时，AB＝AC+BC．
【解答】
解：如图，∵C是线段AD的中点，
∴AC＝CD＝AD＝5，
∴当点B在中点C的左侧时，AB＝AC﹣BC＝2．
当点B在中点C的右侧时，AB＝AC+BC＝8．
∴AB＝2或8．
【点评】注意此类题要分情况画图，然后根据中点的概念以及图形进行相关计算．
3．如图，已知点A、B、C、D、E在同一直线上，且AC＝BD，E是线段BC的中点．
（1）点E是线段AD的中点吗？说明理由；
（2）当AD＝10，AB＝3时，求线段BE的长度．
【考点】比较线段的长短．版权所有
【分析】（1）点E是线段AD的中点．由于AC＝BD可以得到AB＝CD，又E是线段BC的中点，利用中点的性质即可证明结论；
（2）由于AD＝10，AB＝3，由此求出BC，然后利用中点的性质即可求出BE的长度．
【解答】解：（1）点E是线段AD的中点．（1分）
∵AC＝BD，
∴AB+BC＝BC+CD，
∴AB＝CD．（3分）
∵E是线段BC的中点，
∴BE＝EC，
∴AB+BE＝CD+EC，即AE＝ED，
∴点E是线段AD的中点．（5分）
（2）∵AD＝10，AB＝3，
∴BC＝AD﹣2AB＝10﹣2×3＝4，
∴BE＝BC＝×4＝2．
即线段BE的长度为2．（8分）．
【点评】此题主要考查了线段的长度的比较，其中利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
4．如图，已知C点为线段AB的中点，D点为BC的中点，AB＝10cm，求AD的长度．
【考点】比较线段的长短．版权所有
【分析】根据C点为线段AB的中点，D点为BC的中点，可知AC＝CB＝AB，CD＝CB，AD＝AC+CD，又AB＝10cm，继而即可求出答案．
【解答】解：∵C点为线段AB的中点，D点为BC的中点，AB＝10cm，
∴AC＝CB＝AB＝5cm，CD＝BC＝2.5cm，
∴AD＝AC+CD＝5+2.5＝7.5cm．
【点评】本题考查了比较线段的长短的知识，注意理解线段的中点的概念．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．
【考点7】角
【例7-1】观察图，回答下列问题：
（1）在图①中有几个角？
（2）在图②中有几个角？
（3）在图③中有几个角？
（4）以此类推，如图④所示，若一个角内有n条射线，此时共有多少个角？
【考点】角的概念．版权所有
【分析】解答此题首先要弄清楚题目的规律：当角内有n条射线时，每条射线都与（n﹣1）条射线构成了（n﹣1）个角，则共有n（n﹣1）个角，由于两条射线构成一个角，因此角的总数为：，可根据这个规律，直接求出（1）（2）（3）的结论；
在解答（4）题时，首先要弄清图中共有多少条射线，已知角内共n条射线，那么图中共有（n+2）条射线，代入上面的规律，即可得到所求的结论．
【解答】解：由分析知：
（1）①图中有2条射线，则角的个数为：＝1（个）；
（2）②图中有3条射线，则角的个数为：＝3（个）；
（3）③图中有4条射线，则角的个数为：＝6（个）；
（4）由前三问类推，角内有n条射线时，图中共有（n+2）条射线，则角的个数为个．
【点评】解答此类规律型问题，一定要弄清题目的规律，可以从简单的图形入手进行总结，然后得到一般化结论再进行求解．
【例7-2】钟面上的角的问题．
（1）3点45分，时针与分针的夹角是多少？
（2）在9点与10点之间，什么时候时针与分针成100°的角？
【考点】钟面角．版权所有
【分析】（1）由图知，由3点到3点45分，分针转了270°，时针转了270°×，180°减去时针转的度数，即为夹角；
（2）设分针转的度数为x，则时针转的度数为，可根据关系式，①90°+x﹣＝100°，②90°+﹣（x﹣180°）＝100°，求得x值，根据分针走1分，其转动6°，可得到时间；
【解答】解：（1）如图，∵由3点到3点45分，分针转了270°，时针转了270°×，
∴时针与分针的夹角是：180°﹣270°×＝157.5°；
（2）设分针转的度数为x，则时针转的度数为，
得①90°+x﹣＝100°，
解得，x＝°，
°÷6°＝（分）；
②90°+﹣（x﹣180°）＝100°，
解得，x＝°，
°÷6°＝（分）；
∴9点过或分钟时，时针与分针成100°的角．
【点评】本题考查了钟表分针所转过的角度计算．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
针对练习7
1．如图，回答下列问题：
（1）写出能用一个字母表示的角：　∠A，∠C　；
（2）写出以B为顶点的角：　∠ABE，∠ABC，∠EBC　；
（3）图中共有几个小于平角的角？分别把它们表示出来．
【考点】角的概念．版权所有
【分析】根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案．
【解答】解：（1）能用一个字母表示的角有2个：∠A，∠C；
（2）以B为顶点的角有3个：∠ABE，∠ABC，∠EBC；
（3）图中小于平角的角有7个：∠A，∠C，∠ABE，∠ABC，∠EBC，∠AEB，∠BEC．
故答案为：∠A，∠C；∠ABE，∠ABC，∠EBC；7个．
【点评】利用了角的概念求解．从一点引出两条射线组成的图形就叫做角．角的表示方法一般有以下几种：
1、角+3个大写英文字母；
2、角+1个大写英文字母；
3、角+小写希腊字母；
4、角+阿拉伯数字．
2．（1）如图①所示，当以点O为端点的射线有3条时，图中共有 　3　个角，它们分别是 　∠AOC、∠AOB、∠BOC　；
（2）如图②所示，当以点O为端点的射线有4条时，图中共有 　6　个角，它们分别是 　∠AOC、∠AOD、∠AOB、∠COD、∠COB、∠DOB　；
（3）如图③所示，当以点O为端点的射线有5条时，图中共有 　10　个角，它们分别是 　∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠AOB、∠COD、∠COE、∠COB、∠DOE、∠DOB、∠EOB　；
（4）当以点O为端点的射线有n（n为大于或等于3的正整数）条时，请你猜想共有 　　个角，并简述理由．
【考点】角的概念．版权所有
【分析】（1）根据角的定义解决此题．
（2）根据角的定义解决此题．
（3）根据角的定义解决此题．
（4）根据角的定义解决此题．
【解答】解：（1）图①中角的个数有2+1＝3（个），分别为∠AOC、∠AOB、∠BOC．
故答案为：3，∠AOC、∠AOB、∠BOC．
（2）图②中角的个数有3+2+1＝6（个），分别为∠AOC、∠AOD、∠AOB、∠COD、∠COB、∠DOB．
故答案为：6，∠AOC、∠AOD、∠AOB、∠COD、∠COB、∠DOB．
（3）图③中角的个数有4+3+2+1＝10（个），分别为∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠AOB、∠COD、∠COE、∠COB、∠DOE、∠DOB、∠EOB．
故答案为：10，∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠AOB、∠COD、∠COE、∠COB、∠DOE、∠DOB、∠EOB．
（4）当以点O为端点的射线有n（n为大于或等于3的正整数）条时，角的个数为n﹣1+n﹣2+…+2+1＝（个）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查角，熟练掌握角的定义是解决本题的关键．
3．（1）钟表上2时15分时，时针与分针所成的锐角的度数是多少？
（2）若时针由2点30分走到2点55分，问分针转过多大的角度？
【考点】钟面角．版权所有
【分析】（1）利用钟表的钟面上每一格的度数为30度，然后利用时针从数字2开始转动的角度为15×0.5°＝7.5°，然后用30°减去7.5°得到时针与分针所成的锐角的度数；
（2）利用分针每分钟转动6°求解．
【解答】解：（1）2点15分时分针指向数字3，而时针从数字2开始转动的角度为15×0.5°＝7.5°，
所以钟表上2时15分时，时针与分针所成的锐角的度数为30°﹣7.5°＝22.5°；
（2）分针转过的角度为25×6°＝150°．
【点评】本题考查了钟面角：分针每分钟转动的角度为：360°÷60＝6°；时针每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°．
4．计算：．
【考点】度分秒的换算．版权所有
【分析】根据度分秒的进制，进行计算即可解答．
【解答】解：
＝
＝36°16'+14°20'
＝50°36'．
【点评】本题考查了角度的运算、度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
【考点8】角的比较与运算
【8-1】（1）如图1，射线OC在∠AOB的内部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，若∠AOB＝110°，求∠MON的度数；
（2）射线OC，OD在∠AOB的内部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，若∠AOB＝100°，∠COD＝20°，求∠MON的度数；
（3）在（2）中，∠AOB＝m°，∠COD＝n°，其他条件不变，请用含m，n的代数式表示MON的度数（不用说理）．
【考点】角的计算；角平分线的定义．版权所有
【分析】（1）根据角平分线的定义可得：∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠BOC，相加可得∠MON的度数；
（2）根据角平分线的定义可得：∠COM＝∠AOC，∠DON＝∠BOD，将∠MON分成三个角相加，并等量代换可得结论；
（3）同理可得结论．
【解答】解：（1）∵OM平分∠AOC，
∴∠COM＝∠AOC，
同理∠CON＝∠BOC，
∵∠MON＝∠COM+∠CON，
∴∠MON＝∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝×110°＝55°；
（2）∵OM平分∠AOC，
∴∠COM＝∠AOC，
同理可得：∠DON＝∠BOD，
∴∠MON＝∠COM+∠DON+∠COD，
＝∠AOC+∠BOD+∠COD，
＝（∠AOC+∠BOD）+∠COD，
＝（∠AOB﹣∠COD）+∠COD，
＝（∠AOB+∠COD），
∵∠AOB＝100°，∠COD＝20°，
∴∠MON＝（100°+20°）＝60°，
（3）由（2）得：∠MON＝（m+n）°．
【点评】本题是有关角的计算，考查了角平分线的定义及角的和差倍分，注意利用数形结合的思想．
【8-2】已知：点O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OE是∠BOD的平分线．
（1）当点C、D、E在直线AB的同侧（如图1）时，
①若∠COE＝30°，求∠AOD的度数
②若∠COE＝β，则∠AOD＝　2β　．（用含β的式子表示）
（2）当点C与点D，E在直线AB的两侧（如图2）时，（1）中②的结论是否仍然成立？请给出你的结论并说明理由．
【考点】角的计算；角平分线的定义．版权所有
【分析】（1）①根据∠COD＝90°，∠COE＝30°，求出∠EOD，再根据角平分线得到∠BOD，即可得到答案；②根据∠COD＝90°，∠COE＝β，求出∠EOD，再根据角平分线得到∠BOD，即可得到答案；
（2）根据∠COD＝90°，∠COE＝β，求出∠EOD，再根据角平分线得到∠BOD，即可得到答案．
【解答】解：（1）①∵∠COD＝90°，∠COE＝30°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣30°＝60°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠DOE＝2×60°＝120°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣120°＝60°；
②∵∠COD＝90°，∠COE＝β，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣β，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠DOE＝180°﹣2β；
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣（180°﹣2β）＝2β，
故答案为：2β；
（2）（1）中结论仍然成立，理由如下，
∵∠COD＝90°，∠COE＝β，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣β，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠DOE＝180°﹣2β；
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣（180°﹣2β）＝2β．
【点评】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，灵活运用所学知识是解题的关键．
针对练习8
1．如图，O是直线CE上一点，以O为顶点作∠AOB＝90°，且OA，OB位于直线CE两侧，OB平分∠COD．
（1）当∠AOC＝60°时，求∠DOE的度数；
（2）请你猜想∠AOC和∠DOE的数量关系，并说明理由．
【考点】角的计算；角平分线的定义．版权所有
【分析】（1）根据互余，可求出∠BOC，再根据角平分线，求出∠BOD，最后根据补角的意义求出∠DOE；
（2）由特殊到一般，利用等量代换得出结论．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝90°﹣60°＝30°，
∵OB平分∠COD，
∴∠BOC＝∠BOD＝30°，
∴∠DOE＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
（2）∠DOE＝2∠AOC，
理由如下：∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣∠AOC，
∵OB平分∠COD，
∴∠BOC＝∠BOD＝90°﹣∠AOC，
∴∠DOE＝180°﹣2∠BOC＝180°﹣2（90°﹣∠AOC）＝2∠AOC．
【点评】本题考查角的计算、角平分线的意义，等量代换和恒等变形是常用的方法．
2．如图，射线OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线，且∠AOB＝90°．
（1）求∠MON的度数；
（2）当OC在∠AOB内转动时，∠MON的度数是否会发生变化？简单说明理由．
【考点】角的计算；角平分线的定义．版权所有
【分析】（1）由OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线，利用角平分线的定义及等量代换即可得出所求角的度数；
（2）当OC在∠AOB内转动时，∠MON的度数不会发生变化，根据（1）的过程即可得到结果．
【解答】解：（1）∵OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线，
∴，，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC
＝
＝
＝45°；
（2）当OC在∠AOB内转动时，∠MON的度数不会发生变化，
由（1）可得，
所以只要∠AOB的大小不变，无论OC在∠AOB内怎样转动，∠MON的度数不会发生变化．
【点评】此题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解决本题的关键．
3．如图，已知点O是直线AD上一点，射线OC、OE分别是∠AOB、∠BOD的平分线．
（1）若∠AOC＝20°，求∠BOE的度数和∠COE的度数．
（2）如果把“∠AOC＝20°”条件去掉，那么∠COE的度数有变化吗？请说明理由．
【考点】角的计算；角平分线的定义．版权所有
【分析】（1）根据两角互补和是180°，求得∠BOD＝120°，在利用角平分线的定义，很容易求出所求角的度数；
（2）由角平分线的定义得∠BOE＝∠BOD，∠BOC＝，再根据角的和差得∠COE＝＝（∠BOD+∠AOB），便可得结论．
【解答】解：（1）∵OC平分∠AOB，∠AOC＝20°，
∴∠AOB＝2∠AOC＝40°，∠BOC＝∠AOC＝20°，
∵∠AOB+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝140°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠BOD＝70°．
∴∠COE＝∠BOE+∠BOC＝70°+20°＝90°；
（2）∠COE的度数不变化，理由如下：
∵射线OC、OE分别是∠AOB、∠BOD的平分线，
∴∠BOE＝∠BOD，∠BOC＝，
∴∠COE＝∠BOE+∠BOC＝∠BOD+∠AOB＝（∠BOD+∠AOB）＝＝90°，
∴∠COE的度数不变化．
【点评】本题考查了角平分线的定义．此题关键是充分利用角平分线的定义和两角互补的定义．
【考点9】方向角
【例9-1】如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，射线OD是OB的反向延长线．
（1）射线OC的方向是　北偏东70°　；
（2）求∠COD的度数；
（3）若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数．
【考点】方向角．版权所有
【分析】（1）先求出∠AOB＝55°，再求得∠NOC的度数，即可确定OC的方向；
（2）根据∠AOB＝55°，∠AOC＝∠AOB，得出∠BOC＝110°，进而求出∠COD的度数；
（3）根据射线OE平分∠COD，即可求出∠COE＝35°再利用∠AOC＝55°求出答案即可．
【解答】解：（1）∵OB的方向是北偏西40°，OA的方向是北偏东15°，
∴∠NOB＝40°，∠NOA＝15°，
∴∠AOB＝∠NOB+∠NOA＝55°，
∵∠AOB＝∠AOC，
∴∠AOC＝55°，
∴∠NOC＝∠NOA+∠AOC＝70°，
∴OC的方向是北偏东70°；
故答案为：北偏东70°；
（2）∵∠AOB＝55°，∠AOC＝∠AOB，
∴∠BOC＝110°．
又∵射线OD是OB的反向延长线，
∴∠BOD＝180°．
∴∠COD＝180°﹣110°＝70°．
（3）∵∠COD＝70°，OE平分∠COD，
∴∠COE＝35°．
∵∠AOC＝55°．
∴∠AOE＝90°．
【点评】此题主要考查了方向角的表达即方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度．
【例9-2】如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船与货船的速度比为4：3，出发1小时后，客船比货船多走了10海里．客船沿北偏东25°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若此时两船相距100海里．
（1）求两船的速度分别是多少？
（2）求货船航行的方向．
【考点】方向角．版权所有
【分析】（1）设客船与货船的速度分别是4x海里/小时和3x海里/小时，依据客船1小时比货船多走10海里，列方程求解即可；
（2）依据AC2+AB2＝BC2，可得△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，再根据货船航行方向，即可得到客船航行的方向．
【解答】解：（1）设客船与货船的速度分别是4x海里/小时和3x海里/小时，
根据题意得4x﹣3x＝10，
解得x＝10，
∴4x＝40，3x＝30，
即客船与货船的速度分别是40海里/小时和30海里/小时；
（2）∵AB＝30×2＝60海里，AC＝40×2＝80海里，BC＝100海里，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∵∠DAC＝25°，
∴∠BAE＝90°﹣∠DAC＝65°，
即货船航行的方向为南偏东65°．
【点评】本题主要考查了方向角以及勾股定理的应用，正确得出AB的长是解题的关键．
针对练习9
1．如图，射线OA表示的方向是北偏东44°，射线OB表示的方向是北偏东76°，已知图中∠BOC＝122°．
（1）求∠AOB的度数；
（2）写出射线OC的方向．
【考点】方向角．版权所有
【分析】（1）根据方向角的定义，结合图形中角的和差关系得出答案；
（2）根据角的和差关系求出∠NOC即可．
【解答】解：（1）如图，射线OA表示的方向是北偏东44°，即∠NOA＝44°
射线OB表示的方向是北偏东76°，即∠NOB＝76°，
∴∠AOB＝∠NOB﹣∠NOA＝76°﹣44°＝32°，
即∠AOB＝32°；
（2）∵∠BOC＝122°，∠NOB＝76°，
∴∠NOC＝∠BOC﹣∠NOB
＝122°﹣76°
＝46°，
∴射线OC的方向为北偏西46°．
【点评】本题考查方向角，理解方向角的定义以及角的和差关系是正确解答的前提．
2．如图，B处在C处的南偏东30°方向，B处在A处的北偏东70°方向，C处在A处的北偏东45°方向，求∠ABC的度数．
【考点】方向角．版权所有
【分析】根据平行线的性质和利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：由题知∠EAC＝45°，∠BCF＝30°，∠EAB＝70°，
∵AE∥CF，
∴∠ACF＝∠EAC＝45°，
∵∠BCF＝30°，
∴∠ACB＝75°，
∵∠EAC＝45°，∠EAB＝70°，
∴∠CAB＝25°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CAB﹣∠ACB＝80°．
【点评】本题考查了方向角，三角形内角和定理，熟练掌握方向角的定义，以及三角形内角和定理是解题的关键．
【考点10】余角、补角
【例10-1】以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝60°，将一个直角三角形DOE的直角顶点放在点O处．
（1）如图1，若直角三角形DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝　30°　；
（2）如图2，将直角三角形DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，请判断OD是否平分∠BOC，并说明理由；
（3）将三角形DOE绕点O逆时针转动到某个位置时，若恰好∠AOE＝5∠COD，求∠BOD的度数．
【考点】余角和补角；角的计算．版权所有
【分析】（1）根据∠COE＝∠DOE﹣∠BOC即可作答；
（2）由∠BOC＝60°，得∠AOC＝180°﹣60°＝120°，根据OE恰好平分∠AOC，有∠EOC＝120°÷2＝60°，即可得∠COD＝∠EOD﹣∠EOC＝90°﹣60°＝30°，即可得∠BOD＝∠COD，问题得解；
（3）由∠AOE＝5∠COD，设∠COD＝x，则∠AOE＝5x，分两种情况：第一种OD在∠AOC内，第二种OD在∠BOC内，列出方程，即可作答．
【解答】解：（1）∵∠DOE＝90°，∠BOC＝60°，
∴∠COE＝∠DOE﹣∠BOC＝30°，
故答案为：30°；
（2）OD平分∠BOC，理由如下：
∵直线AB上一点O，
∴∠AOB＝180°，
∵∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝180°﹣60°＝120°，
∵OE恰好平分∠AOC，
∴∠EOC＝120°÷2＝60°，
∵∠EOD＝90°，
∴∠COD＝∠EOD﹣∠EOC＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝60°﹣30°＝30°，
∴∠BOD＝∠COD，
∴OD平分∠BOC；
（3）∵∠AOE＝5∠COD，
∴设∠COD＝x，则∠AOE＝5x．
分两种情况：
①如图，OD在∠AOC内，
∵∠AOB＝∠AOE+∠EOD+∠COD+∠BOC＝180°，
∴5x+90°+x+60°＝180°，
∴6x＝30°，
∴x＝5，
∴∠COD＝5°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝60°+5°＝65°；
②如图，OD在∠BOC内，
∵∠AOE+∠BOD＝∠AOB﹣∠EOD＝180°﹣90°＝90°，
∴∠AOE+∠BOC﹣∠COD＝90°，
∴5x+60°﹣x＝90°，
解得x＝7.5°，
∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝60°﹣7.5°＝52.5°；
综上∠BOD＝65°或52.5°．
【点评】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键．
【例10-2】如图，在直线AD上任取一点O，过点O做射线OB，OE平分∠DOB，OC平分∠AOB，当∠AOC＝27°58'时，求∠DOE的度数．
【考点】余角和补角；角的概念；度分秒的换算；角平分线的定义．版权所有
【分析】先根据角平分线的定义得到∠AOB＝55°56'，再由平角的定义求出∠BOD＝124°4'，即可由角平分线的定义得到∠DOE＝62°2'．
【解答】解：OC平分∠AOB，∠AOC＝27°58'，
∴∠AOB＝2∠AOC＝55°56'，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOB＝124°4'，
∵OE平分∠DOB，
∴．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算，正确求出∠BOD＝124°4'是解题的关键．
针对练习10
1．如图1，OC平分∠AOB，OD是∠BOC内部从点O出发的一条射线，OE平分∠AOD．
（1）【基础尝试】如图2，若∠AOB＝120°，∠COD＝10°，求∠DOE的度数；
（2）【画图探究】设∠COE＝x°，用x的代数式表示∠BOD的度数；
（3）【拓展运用】若∠COE与∠BOD互余，∠AOB与∠COD互补，求∠AOB的度数．
【考点】余角和补角；角平分线的定义．版权所有
【分析】（1）由角平分线的定义，得出∠AOC＝∠COB＝60°，再结合图形，即可求解；
（2）由角平分线的定义，得出，表示出∠COE，即可求解；
（3）由（2）得∠BOD＝2∠COE，再由题意确定∠COE＝30°，∠BOD＝60°，结合图形，列出关于∠AOB的方程组，即可求解．
【解答】解：（1）∵OC平分∠AOB，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠COB＝60°，
∵∠COD＝10°，
∴∠AOD＝60°+10°＝70°，
∵OE平分∠AOD，
∴．
（2）∵OC平分∠AOB，OE平分∠AOD，
∴，
∵∠COE＝x°，
∴，
即，
∴∠BOD＝2x°；
（3）∵由（2）得∠BOD＝2∠COE，
∵∠COE与∠BOD互余，∠COE+∠BOD＝90°，
∴∠COE＝30°，∠BOD＝60°，
∵∠AOB与∠COD互补，
∴∠AOB+∠COD＝180°，
∵，
∴∠AOB，
∴∠AOB＝160°．
【点评】本题考查的是余角和补角，角的计算及一元一次方程的应用，解题关键是由角平分线定义得出有关等式．
2．如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE，OF⊥CD，垂足为O．
（1）写出图中所有与∠AOD互补的角；
（2）若∠AOE＝120°，求∠BOD的度数．
【考点】余角和补角．版权所有
【分析】（1）根据邻补角的定义确定出∠AOC和∠BOD，再根据角平分线的定义可得∠AOF＝∠EOF，根据垂直的定义可得∠COF＝∠DOF＝90°，然后根据等角的余角相等求出∠DOE＝∠AOC，从而最后得解；
（2）根据角平分线的定义求出∠AOF，再根据余角的定义求出∠AOC，然后根据对顶角相等解答．
【解答】解：（1）∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠AOC和∠BOD与∠AOD互补，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝∠DOF＝90°，
∴∠DOE＝∠AOC，
∴∠DOE也是∠AOD的补角，
∴与∠AOD互补的角有∠AOC，∠BOD，∠DOE；
（2）∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠AOE＝60°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOC＝∠COF﹣∠AOF＝90°﹣60°＝30°，
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠BOD＝∠AOC＝30°．
【点评】本题考查了余角和补角，对顶角相等的性质，角平分线的定义，难点在于（1）根据等角的余角相等确定出与∠AOD互补的第三个角．
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