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七年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题十七 直线、射线、线段上的动点问题大串讲
解题策略：
点动、线动、形动构成的问题称为动态几何问题，它以几何图形为载体，运动变化为主线，将多个知识点综合起来，构成各类考试的压轴题。
这类问题往往与行程问题中的相遇、追及问题相结合，因此应用方程方法解决这类问题是常用的方法之一。同时问题中经常涉及多个不同情况或不同过程，分类讨论思想也是一个重要的考查点，有时还与定值问题相关联。
类型一、线段（直线）上的动点
方法：①设元，表示这个量，用代数式表示其他相关联的量。
②推理计算这个量的结果。
【例1-1】（1）如图，点C是线段AB的中点．若点D在线段CB上，且DB＝3.5cm，AD＝6.5cm，求线段CD的长度；
（2）若将（1）中的“点D在线段CB上”改为“点D在直线CB上”，其他条件不变，请画出相应的示意图，并求出此时线段CD的长度；
（3）若线段AB＝12cm，点C在线段AB上，点E，F分别是线段AC，BC的中点．
①当点C恰好是AB的中点时，EF＝　 　cm；
②当AC＝4cm时，EF＝　 　cm；
③当点C在线段AB上运动时（点C不与点A，B重合），求线段EF的长度．
【例1-2】【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
（1）填空：
①A、B两点间的距离AB＝　 　，线段AB的中点表示的数为 　 　；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 　 　；点Q表示的数为 　 　．
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
（3）求当t为何值时，PQ＝AB；
（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
【例1-3】已知，直线l上线段AB＝6、线段CD＝2（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧）．
（1）若线段BC＝1，则线段AD＝　7或9　；
（2）如图2，点P、Q分别为AD、BC的中点，求线段PQ的长度；
（3）若线段CD从点B开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时，点M从点A开始以2个单位/秒的速度向右运动，点N是线段BD的中点，若MN＝2DN，求线段CD运动的时间．
针对练习1
1．如图，已知线段AB＝15cm，CD＝3cm，点E是AC的中点，点F是BD的中点．
（1）若AC＝4cm，求线段CF的长；
（2）当线段CD在线段AB上从左向右或从右向左运动时（点C，D不与点A、B重合），试判断线段EF的长度是否发生变化？若不变，请求出线段EF的长；若变化，请说明理由．
2．如图，在射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如图所示），点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发．
（1）当PA＝2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的运动速度．
（2）若点Q运动速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70cm．
（3）当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，求的值．
3．已知线段AB＝12，CD＝6，线段CD在直线AB上运动（A在B、C左侧，C在D左侧）．
（1）M、N分别是线段AC、BD的中点，若BC＝4，求MN；
（2）当CD运动到D点与B点重合时，P是线段AB延长线上一点，下列两个结论：①是定值；②是定值，请作出正确的选择，并求出其定值．
4．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）
（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置；
（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值．
（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
5．（1）如图，点C是线段AB的中点．若点D在线段CB上，且DB＝3.5cm，AD＝6.5cm，求线段CD的长度；
（2）若将（1）中的“点D在线段CB上”改为“点D在直线CB上”，其他条件不变，请画出相应的示意图，并求出此时线段CD的长度；
（3）若线段AB＝12cm，点C在线段AB上，点E，F分别是线段AC，BC的中点．
①当点C恰好是AB的中点时，EF＝　6　cm；
②当AC＝4cm时，EF＝　6　cm；
③当点C在线段AB上运动时（点C不与点A，B重合），求线段EF的长度．
类型二、数轴上的动点
①确定动点的起点② 确定动点的运动方向③ 用代数式表示动点
向右运动起点数+运动路程；向左运动起点数-运动路程
【例2-1】已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且满足|a+12|+|b+6|+（c﹣9）2＝0，动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动．
（1）直接写出a＝　 ，b＝　 　，c＝ 　；
（2）若M为PA的中点，N为PB的中点，试判断在P点运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化，请说明理由；
（3）当点P运动到点B时，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动，直至P点停止运动，Q点也停止运动．当P点开始运动后的第　 ， 　秒时，P，Q两点之间的距离为2．
【例2-2】如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上一点，且AC＝8，动点P从点B出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）直接写出数轴上点C表示的数，并用含t的代数式表示线段CP的长度；
（2）设M是AP的中点，N是CP的中点．点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说出理由，若不变，求MN长度．
【例2-3】已知数轴上三点A，O，B对应的数分别为﹣6，0，1，点M为数轴上任意一点，其对应的数为x．
（1）A、B两点间的距离是　 　，若点M到点A、点B的距离相等，那么x的值是　 　；
（2）数轴上是否存在点M，使点M到点A，点B的距离之和是59？若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由．
（3）如果点M以每秒2个单位长度的速度从点O向左运动时，点A和点B分别以每秒5个单位长度和每秒1个单位长度的速度也向右运动，且三点同时出发，那么几秒种后点M运动到点A、点B之间，且点M到点A、点B的距离相等？
针对练习2
1．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
（1）填空：
①A、B两点间的距离AB＝　 　，线段AB的中点表示的数为 　 　；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 　 　；点Q表示的数为 　 　．
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
（3）求当t为何值时，PQ＝AB；
（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
2．已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a、b、c，且满足|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0；动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．
（1）求a、b、c的值；
（2）若点P到A点距离是到B点距离的2倍，求点P的对应的数；
（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由．
3．如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为6，BC＝4，AB＝12．
（1）求点A、B对应的数；
（2）动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动．M为AP的中点，N在线段CQ上，且CN＝CQ，设运动时间为t（t＞0）．
①求点M、N对应的数（用含t的式子表示）； ②t为何值时，OM＝2BN．
4．先阅读材料：如图（1），在数轴上A表示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB＝b﹣a．
解决问题：如图（2），数轴上点A表示的数是﹣4，点B表示的数是2，点C表示的数是6．
（1）若数轴上有一点D，且AD＝3，则点D表示的数为 　 　；
（2）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．
则点A表示的数是 　 　（用含t的代数式表示），BC＝　 　（用含t的代数式表示）．
（3）请问：3BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
5．如图，点A、B和线段CD都在数轴上，点A、C、D、B起始位置所表示的数分别为﹣2、0、3、12；线段CD沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒．
（1）当t＝0秒时，AC的长为　 　，当t＝2秒时，AC的长为　 　．
（2）用含有t的代数式表示AC的长为　 　．
（3）当t＝　6　秒时AC﹣BD＝5，当t＝　 　秒时AC+BD＝15．
（4）若点A与线段CD同时出发沿数轴的正方向移动，点A的速度为每秒2个单位，在移动过程中，是否存在某一时刻使得AC＝2BD，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
6．如图，数轴上点O为原点，A，B两点所表示的数分别为﹣2和8．
（1）线段AB的长为 　 　．
（2）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
①当0＜t＜10时，PA＝ 　，PB＝　 　，点P表示的数为 　 　.（用含t的式子表示）
②若M是线段PA的中点，N是线段PB的中点，试判断线段MN的长度是否与点P的运动时间t有关．若有关，请求出线段MN的长度与t的关系式；若无关，请说明理由，并求出线段MN的长度．
类型三、动点与定值
【例3-1】如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以2个单位/秒的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．
（1）出发多少秒后，PB＝2AM；
（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM﹣BP为定值．
（3）当P在AB延长线上运动，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变； ②MN+PN的值不变．选出一个正确的结论，并求其值．
【例3-2】已知b是最小的正整数，且a、c满足：|a+2|+（c﹣7）2＝0．
（1）直接写出a、b、c的值：a＝　﹣2　，b＝　1　，c＝　7　．
（2）数a、b、c所表示的点分别为数轴上A、B、C三点：点P为数轴上的一动点，其对应的数为x，且0≤x≤3，化简|x﹣1|﹣|x+2|+|x﹣7|．
（3）在（1）（2）的条件下，设点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，点A、B、C三点同时在数轴上运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B、点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒，请问3BC﹣2AB的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，求其值．
针对练习3
1．如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以每秒2cm的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒（t不超过10秒）
（1）当t＝2秒时，AB＝　 　cm；
（2）当t＝8秒时，求线段CD的长度；
（3）在运动过程中，若AB的中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由．
2．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝22，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是 　 　；点P表示的数是 　 　（用含t的代数式表示）
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？
（3）若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．
3．如图，线段AB＝12，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．
（1）出发多少秒后，PB＝2AM？
（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM﹣BP为定值．
（3）当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MA+PN的值不变，选择一个正确的结论，并求出其值．
七年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题十七 直线、射线、线段上的动点问题大串讲（解析版）
解题策略：
点动、线动、形动构成的问题称为动态几何问题，它以几何图形为载体，运动变化为主线，将多个知识点综合起来，构成各类考试的压轴题。
这类问题往往与行程问题中的相遇、追及问题相结合，因此应用方程方法解决这类问题是常用的方法之一。同时问题中经常涉及多个不同情况或不同过程，分类讨论思想也是一个重要的考查点，有时还与定值问题相关联。
类型一、线段（直线）上的动点
方法：①设元，表示这个量，用代数式表示其他相关联的量。
②推理计算这个量的结果。
【例1-1】（1）如图，点C是线段AB的中点．若点D在线段CB上，且DB＝3.5cm，AD＝6.5cm，求线段CD的长度；
（2）若将（1）中的“点D在线段CB上”改为“点D在直线CB上”，其他条件不变，请画出相应的示意图，并求出此时线段CD的长度；
（3）若线段AB＝12cm，点C在线段AB上，点E，F分别是线段AC，BC的中点．
①当点C恰好是AB的中点时，EF＝　6　cm；
②当AC＝4cm时，EF＝　6　cm；
③当点C在线段AB上运动时（点C不与点A，B重合），求线段EF的长度．
【分析】（1）根据线段的和差，可得AB的长，根据线段中点的性质，可得BC的长，再根据线段的和差，可得答案；
（2）分类讨论：①点D在线段BC上，②点D在CB的延长线上，根据线段的和差，可得AB的长，根据线段中点的性质，可得BC的长，再根据线段的和差，可得答案；
（3）根据线段的和差，可得AB的长，根据线段中点的性质，可得BC的长，再根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：（1）∵DB＝3.5cm，AD＝6.5cm，
∴AB＝10cm，
∵点C为AB的中点，
∴CB＝5cm，
∴CD＝CB﹣DB＝5﹣3.5＝1.5（cm）．
故答案为：1.5．
（2）①点D在线段BC上，则CD＝1.5cm，
②点D在CB的延长线上：
，
则AB＝AD﹣DB＝3．
∴BC＝1.5，
∴DC＝1.5+3.5＝5；
答：此时线段 CD 的长度为 1.5 cm 或5 cm；
（3）①设AC＝xcm，则BC＝（12﹣x）cm
因为点E，F分别为线段 AC，BC的中点，
所以CE＝xcm，CF＝（12﹣x）cm，所以 EF＝CE+CF＝＝6（cm）．
答：线段 EF 的长度为6 cm．
②设AC＝4cm，则BC＝（12﹣4）＝8cm
因为点E，F分别为线段 AC，BC的中点，
所以CE＝2cm，CF＝4cm，
FE＝CE+CF＝6cm，
③设AC＝xcm，则BC＝（12﹣x）cm，
又D、E分别为AC、BC中点，
CD＝，CE＝，
DE＝CD+CE＝+＝6（cm）．
【点评】本题考查了两点间的距离，分类讨论是解题关键，以防遗漏．
【例1-2】【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
（1）填空：
①A、B两点间的距离AB＝　10　，线段AB的中点表示的数为 　3　；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 　﹣2+3t　；点Q表示的数为 　8﹣2t　．
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
（3）求当t为何值时，PQ＝AB；
（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等列方程得到t＝2，于是得到当t＝2时，P、Q相遇，即可得到结论；
（3）由t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，于是得到PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，列方程即可得到结论；
（4）由点M表示的数为 ＝﹣2，点N表示的数为 ＝+3，即可得到结论．
【解答】解：（1）①10，3；
②﹣2+3t，8﹣2t；
（2）∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等
∴﹣2+3t＝8﹣2t，
解得：t＝2，
∴当t＝2时，P、Q相遇，
此时，﹣2+3t＝﹣2+3×2＝4，
∴相遇点表示的数为4；
（3）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，
∴PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，
又PQ＝AB＝×10＝5，
∴|5t﹣10|＝5，
解得：t＝1或3，
∴当：t＝1或3时，PQ＝AB；
（4）不变．
∵点M表示的数为 ＝﹣2，
点N表示的数为 ＝+3，
∴MN＝|（﹣2）﹣（+3）|＝|﹣2﹣﹣3|＝5．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
【例1-3】已知，直线l上线段AB＝6、线段CD＝2（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧）．
（1）若线段BC＝1，则线段AD＝　7或9　；
（2）如图2，点P、Q分别为AD、BC的中点，求线段PQ的长度；
（3）若线段CD从点B开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时，点M从点A开始以2个单位/秒的速度向右运动，点N是线段BD的中点，若MN＝2DN，求线段CD运动的时间．
【分析】（1）①当点C在点B的左侧时，②当点C在点B的右侧时，根据线段的和差即可得到结论；
（2）设BC＝x，则AD＝AB+BC+CD＝12+x，根据线段中点的定义得到PD＝AD＝6+x，CQ＝x，于是得到结论；
（3）线段CD运动的时间为t，则AM＝2t，BC＝t，列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）①当点C在点B的左侧时，
∵AB＝6，BC＝1，CD＝2，
∴AC＝5，
∴AD＝AC+CD＝7，
②当点C在点B的右侧时，
∵AB＝6，BC＝1，CD＝2，
∴AD＝AB+BC+CD＝9，
∴线段AD＝7或9；
故答案为：7或9；
（2）设BC＝x，
则AD＝AB+BC+CD＝8+x，
∵点P、Q分别为AD、BC的中点，
∴PD＝AD＝4+x，CQ＝x，
∴PQ＝PD﹣CD﹣CQ＝4+x﹣2﹣x＝2；
（3）线段CD运动的时间为t，
则AM＝2t，BC＝t，
∴BM＝AB﹣AM＝6﹣2t或BM＝AM﹣AB＝2t﹣6，BD＝BC+CD＝t+2，
∵点N是线段BD的中点，
∴DN＝BN＝BD＝t+1，
∵MN＝2DN，
∴6﹣2t+t+1＝2（t+1）或（2t﹣6）﹣（t+1）＝2（t+1），
解得：t＝2或t＝18
故线段CD运动的时间为2s或18s．
【点评】本题主要考查了两点间的距离，依据线段的和差关系列方程是解决问题的关键．
针对练习1
1．如图，已知线段AB＝15cm，CD＝3cm，点E是AC的中点，点F是BD的中点．
（1）若AC＝4cm，求线段CF的长；
（2）当线段CD在线段AB上从左向右或从右向左运动时（点C，D不与点A、B重合），试判断线段EF的长度是否发生变化？若不变，请求出线段EF的长；若变化，请说明理由．
【分析】（1）由BD＝AB﹣AC﹣CD可求解BD的长，结合中点的定义可求解CF的长；
（2）由中点的定义可得，根据EF＝AB﹣AE﹣BF可求解EF的长为定值，即可求解．
【解答】解：（1）根据题意，AC＝4cm，CD＝3cm，AB＝15cm，
∴BD＝AB﹣AC﹣CD
＝15﹣4﹣3
＝8（cm），
根据题意，点F是BD的中点，
∴，
∴CF＝CD+DF
＝3+4
＝7（cm）；
（2）线段EF的长度不发生变化．
根据题意，点E是AC的中点，点F是BD的中点，
∴，
，
∴EF＝AB﹣AE﹣BF
＝
＝
＝
＝15﹣×12
＝9（cm）．
【点评】本题主要考查两点间的距离，掌握中点的定义求解线段的长是关键．
2．如图，在射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如图所示），点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发．
（1）当PA＝2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的运动速度．
（2）若点Q运动速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70cm．
（3）当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，求的值．
【分析】此题较为复杂，但仔细阅读，读懂题意根据速度公式就可求解．
（1）从题中我们可以看出点P及Q是运动的，不是静止的，当PA＝2PB时实际上是P正好到了AB的三等分点上，而且PA＝40，PB＝20．由速度公式就可求出它的运动时间，即是点Q的运动时间，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，这里的三等分点是两个点，因此此题就有二种情况，分别是AQ＝时，BQ＝时，由此就可求出它的速度．
（2）若点Q运动速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70cm，这也有两种情况即当它们相向而行时，和它们直背而行时，此题可设运动时间为t秒，按速度公式就可解了．
（3）此题就可把它当成一个静止的线段问题来解决了，但必须借助图形．
【解答】解：（1）①当P在线段AB上时，由PA＝2PB及AB＝60，可求得PA＝40，OP＝60，故点P运动时间为60秒．
若AQ＝时，BQ＝40，CQ＝50，点Q的运动速度为50÷60＝（cm/s）；
若BQ＝时，BQ＝20，CQ＝30，点Q的运动速度为30÷60＝（cm/s）．
②点P在线段AB延长线上时，由PA＝2PB及AB＝60，可求得PA＝120，OP＝140，故点P运动时间为140秒．
若AQ＝时，BQ＝40，CQ＝50，点Q的运动速度为50÷140＝（cm/s）；
若BQ＝时，BQ＝20，CQ＝30，点Q的运动速度为30÷140＝（cm/s）．
（2）设运动时间为t秒，则t+3t＝90±70，t＝5或40，
∵点Q运动到O点时停止运动，
∴点Q最多运动30秒，当点Q运动30秒到点O时PQ＝OP＝30cm，之后点P继续运动40秒，则
PQ＝OP＝70cm，此时t＝70秒，
故经过5秒或70秒两点相距70cm；
（3）如图1，设OP＝x cm，点P在线段AB上，20≤x≤80，OB﹣AP＝80﹣（x﹣20）＝100﹣x，
EF＝OF﹣OE＝（OA+AB）﹣OE＝（20+30）﹣＝50﹣，
∴＝＝2．
【点评】做这类题时学生一定要认真仔细地阅读，利用已知条件求出未知值．学生平时就要培养自己的思维能力．而且要图形结合，与生活实际联系起来，也可以把此题当成一道路程题来对待．
3．已知线段AB＝12，CD＝6，线段CD在直线AB上运动（A在B、C左侧，C在D左侧）．
（1）M、N分别是线段AC、BD的中点，若BC＝4，求MN；
（2）当CD运动到D点与B点重合时，P是线段AB延长线上一点，下列两个结论：①是定值；②是定值，请作出正确的选择，并求出其定值．
【分析】（1）需要分类讨论：①如图1，当点C在点B的右侧时，根据“M、N分别为线段AC、BD的中点”，先计算出AM、DN的长度，然后计算MN＝AD﹣AM﹣DN；②如图2，当点C位于点B的左侧时，利用线段间的和差关系求得MN的长度；
（2）计算①或②的值是一个常数的，就是符合题意的结论．
【解答】解：（1）如图1，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，
∴AM＝AC＝（AB+BC）＝8，
DN＝BD＝（CD+BC）＝5，
∴MN＝AD﹣AM﹣DN＝9；
如图2，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，
∴AM＝AC＝（AB﹣BC）＝4，
DN＝BD＝（CD﹣BC）＝1，
∴MN＝AD﹣AM﹣DN＝12+6﹣4﹣4﹣1＝9；
（2）①正确．
证明：＝2．
∵＝＝＝2，
∴①是定值2．
【点评】本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
4．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）
（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置；
（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值．
（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
【分析】（1）根据C、D的运动速度知BD＝2PC，再由已知条件PD＝2AC求得PB＝2AP，所以点P在线段AB上距离A的处；
（2）由题设画出图示，根据AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然后求得AP＝BQ，从而求得PQ与AB的关系；
（3）当点C停止运动时，有，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB表示的PM与PN的值，所以．
【解答】解：（1）根据C、D的运动速度知：BD＝2PC
∵PD＝2AC，
∴BD+PD＝2（PC+AC），即PB＝2AP，
∴点P在线段AB上的处；
（2）如图：
∵AQ﹣BQ＝PQ，
∴AQ＝PQ+BQ；
又AQ＝AP+PQ，
∴AP＝BQ，
∴，
∴．
当点Q'在AB的延长线上时
AQ'﹣AP＝PQ'
所以AQ'﹣BQ'＝PQ＝AB
所以＝1；
（3）②．
理由：当CD＝AB时，点C停止运动，此时CP＝5，AB＝30
①如图，当M，N在点P的同侧时
MN＝PN﹣PM＝PD﹣（PD﹣MD）＝MD﹣PD＝CD﹣PD＝（CD﹣PD）＝CP＝
②如图，当M，N在点P的异侧时
MN＝PM+PN＝MD﹣PD+PD＝MD﹣PD＝CD﹣PD＝（CD﹣PD）＝CP＝
∴＝＝
当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，所以，＝．
【点评】本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
5．（1）如图，点C是线段AB的中点．若点D在线段CB上，且DB＝3.5cm，AD＝6.5cm，求线段CD的长度；
（2）若将（1）中的“点D在线段CB上”改为“点D在直线CB上”，其他条件不变，请画出相应的示意图，并求出此时线段CD的长度；
（3）若线段AB＝12cm，点C在线段AB上，点E，F分别是线段AC，BC的中点．
①当点C恰好是AB的中点时，EF＝　6　cm；
②当AC＝4cm时，EF＝　6　cm；
③当点C在线段AB上运动时（点C不与点A，B重合），求线段EF的长度．
【分析】（1）根据线段的和差，可得AB的长，根据线段中点的性质，可得BC的长，再根据线段的和差，可得答案；
（2）分类讨论：①点D在线段BC上，②点D在CB的延长线上，根据线段的和差，可得AB的长，根据线段中点的性质，可得BC的长，再根据线段的和差，可得答案；
（3）根据线段的和差，可得AB的长，根据线段中点的性质，可得BC的长，再根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：（1）∵DB＝3.5cm，AD＝6.5cm，
∴AB＝10cm，
∵点C为AB的中点，
∴CB＝5cm，
∴CD＝CB﹣DB＝5﹣3.5＝1.5（cm）．
故答案为：1.5．
（2）①点D在线段BC上，则CD＝1.5cm，
②点D在CB的延长线上：
，
则AB＝AD﹣DB＝3．
∴BC＝1.5，
∴DC＝1.5+3.5＝5；
答：此时线段 CD 的长度为 1.5 cm 或5 cm；
（3）①设AC＝xcm，则BC＝（12﹣x）cm
因为点E，F分别为线段 AC，BC的中点，
所以CE＝xcm，CF＝（12﹣x）cm，所以 EF＝CE+CF＝＝6（cm）．
答：线段 EF 的长度为6 cm．
②设AC＝4cm，则BC＝（12﹣4）＝8cm
因为点E，F分别为线段 AC，BC的中点，
所以CE＝2cm，CF＝4cm，
FE＝CE+CF＝6cm，
③设AC＝xcm，则BC＝（12﹣x）cm，
又D、E分别为AC、BC中点，
CD＝，CE＝，
DE＝CD+CE＝+＝6（cm）．
【点评】本题考查了两点间的距离，分类讨论是解题关键，以防遗漏．
类型二、数轴上的动点
方法：①确定动点的起点② 确定动点的运动方向③ 用代数式表示动点
向右运动起点数+运动路程；向左运动起点数-运动路程
【例2-1】已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且满足|a+12|+|b+6|+（c﹣9）2＝0，动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动．
（1）直接写出a＝　 ，b＝　 　，c＝ 　；
（2）若M为PA的中点，N为PB的中点，试判断在P点运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化，请说明理由；
（3）当点P运动到点B时，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动，直至P点停止运动，Q点也停止运动．当P点开始运动后的第　 ， 　秒时，P，Q两点之间的距离为2．
【分析】（1）根据非负数和为0即可求解；
（2）设点P表示的数为x，分为点P在点B左侧和右侧两种情况，分别将点M，N表示的数求出来，再相减得出MN的长度，即可判断；
（3）根据点Q的运动速度可知点Q从A运动至C的时间为7s，点P从点B运动至点C所需时间为15s，即可将P，Q两点距离为2的情况分为4种，利用线段之间的等量关系分别求解即可．
【解答】解：（1）非负数的和为0，这几个非负数都对应0得：
a+12＝0，b+6＝0，c﹣9＝0，
∴a＝﹣12，b＝﹣6，c＝9，
故答案为：﹣12，﹣6，9；
（2）线段MN的长度不发生变化，理由如下：
设点P运动时间为t，
①当P在A，B之间时，PA＝t，PB＝6﹣t，
M为PA的中点，则PM＝AM＝，
N为PB的中点，则PN＝BN＝，
MN＝PM+PN
＝+
＝3；
②当点P运动到点B的右边时，PA＝t，PB＝6﹣t，
M为PA的中点，则PM＝AM＝，
N为PB的中点，则PN＝BN＝，
MN＝PM﹣PN
＝﹣
＝3，
故线段MN的长度不发生变化；
（3）∵点P运动到点B时，点Q再从点A出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，
当点P运动2秒时，PQ＝2；
点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动，
∵AB＝﹣6﹣（﹣12）＝6，BC＝9﹣（﹣6）＝15，AC＝9﹣（﹣12）＝21，
∴点P从点B运动至点C的时间为：＝15s，点Q从点A运动至点C的时间为：＝7s，
∴可将P，Q两点距离为2的情况分为以下4种，
设点P从点B运动t s后，P，Q两点距离为2，
∴BP＝t，AQ＝3t，PQ＝2，
①如图，当点P，点Q向右运动，且点P在点Q右侧时，
∵AP＝AB+BP＝t+6，AP＝AQ+PQ，
∴t+6＝3t+2，
解得：t＝2，
∴AP＝t+6＝8s，
∴P点开始运动后的第8秒，P，Q两点之间的距离为2；
②如图，当点P，点Q向右运动，且点P在点Q左侧时，
∵AP＝AB+BP＝t+6，AQ＝AP+PQ，
∴3t＝t+6+2，
解得：t＝4，
∴AP＝t+6＝10s，
∴P点开始运动后的第10秒，P，Q两点之间的距离为2；
③如图，当点P向右运动，点Q向左运动，且点P在点Q左侧时，
∵AC+CQ＝3t，
∴CQ＝3t﹣21，
∵AP＝AB+BP＝t+6，AC＝AP+PQ+CQ，
∴21＝t+6+2+3t﹣21，
解得：t＝8.5，
∴AP＝t+6＝14.5s，
∴P点开始运动后的第14.5秒，P，Q两点之间的距离为2；
④如图，当点P向右运动，点Q向左运动，且点P在点Q右侧时，
∵AC+CQ＝3t，
∴CQ＝3t﹣21，
∵AP＝AB+BP＝t+6，AC＝AP+CQ﹣PQ，
∴21＝t+6+3t﹣21﹣2，
解得：t＝9.5，
∴AP＝t+6＝15.5s，
∴Q点开始运动后的第15.5秒，P，Q两点之间的距离为2；
综上，当点P运动的第8，10，14.5，15.5秒，P，Q两点之间的距离为2．
【点评】本题考查数轴的应用，非负实数的性质，解一元一次方程等知识点，解题的关键是利用分类讨论逐一讨论．
【例2-2】如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上一点，且AC＝8，动点P从点B出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）直接写出数轴上点C表示的数，并用含t的代数式表示线段CP的长度；
（2）设M是AP的中点，N是CP的中点．点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说出理由，若不变，求MN长度．
【分析】（1）C点表示的数为4﹣8＝﹣4，线段CP的长度为|1﹣6t+4|；
（2）分类讨论：①当点P在点A、C两点之间运动时；②当点P运动到点C的左侧时；利用中点的定义和线段的和差易求出MN．
【解答】解：（1）C点表示的数为4﹣8＝﹣4，线段CP的长度为|1﹣6t+4|＝|5﹣6t|；
（2）线段MN的长度不发生变化．
理由：分两种情况：
①当点P在A、C两点之间运动时，如图：
MN＝MP+NP＝PA+PC＝AC＝4；
②当点P运动到点C的左边时，如图：
MN＝MP﹣NP＝AP﹣PC＝AC＝4．
综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为4．
【点评】本题考查了两点间的距离，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键，注意第二问需要分类讨论．
【例2-3】已知数轴上三点A，O，B对应的数分别为﹣6，0，1，点M为数轴上任意一点，其对应的数为x．
（1）A、B两点间的距离是　 　，若点M到点A、点B的距离相等，那么x的值是　 　；
（2）数轴上是否存在点M，使点M到点A，点B的距离之和是59？若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由．
（3）如果点M以每秒2个单位长度的速度从点O向左运动时，点A和点B分别以每秒5个单位长度和每秒1个单位长度的速度也向右运动，且三点同时出发，那么几秒种后点M运动到点A、点B之间，且点M到点A、点B的距离相等？
【分析】（1）由点A，B对应的数，根据两点间的距离公式得到A、B两点间的距离，根据中点距离公式得到x的值；
（2）根据题意得方程，即可得到结论；
（3）设t秒种后点M运动到点A、点B之间，且点M到点A、点B的距离相等，根据点M到点A、点B的距离相等列出方程求解即可．
【解答】解：（1）A、B两点间的距离是1﹣（﹣6）＝7，若点M到点A、点B的距离相等，那么x的值是（﹣6+1）÷2＝﹣2.5；
（2）根据题意得：|x﹣（﹣6）|+|x﹣1|＝59，
解得：x＝﹣32或27；
∴当x为＝﹣32或27时，点M到点A、点B的距离之和是59；
（3）设t秒种后点M运动到点A、点B之间，且点M到点A、点B的距离相等，依题意有
﹣2t﹣（﹣6+5t）＝（1+t）﹣（﹣2t），
解得t＝0.5．
故0.5秒种后点M运动到点A、点B之间，且点M到点A、点B的距离相等．
故答案为：7，﹣2.5．
【点评】此题主要考查了数轴的应用以及一元一次方程的应用，根据题意得出等量关系是解题关键．
针对练习2
1．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
（1）填空：
①A、B两点间的距离AB＝　 　，线段AB的中点表示的数为 　 　；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 　 　；点Q表示的数为 　 　．
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
（3）求当t为何值时，PQ＝AB；
（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等列方程得到t＝2，于是得到当t＝2时，P、Q相遇，即可得到结论；
（3）由t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，于是得到PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，列方程即可得到结论；
（4）由点M表示的数为 ＝﹣2，点N表示的数为 ＝+3，即可得到结论．
【解答】解：（1）①10，3；
②﹣2+3t，8﹣2t；
（2）∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等
∴﹣2+3t＝8﹣2t，
解得：t＝2，
∴当t＝2时，P、Q相遇，
此时，﹣2+3t＝﹣2+3×2＝4，
∴相遇点表示的数为4；
（3）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，
∴PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，
又PQ＝AB＝×10＝5，
∴|5t﹣10|＝5，
解得：t＝1或3，
∴当：t＝1或3时，PQ＝AB；
（4）不变．
∵点M表示的数为 ＝﹣2，
点N表示的数为 ＝+3，
∴MN＝|（﹣2）﹣（+3）|＝|﹣2﹣﹣3|＝5．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
2．已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a、b、c，且满足|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0；动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．
（1）求a、b、c的值；
（2）若点P到A点距离是到B点距离的2倍，求点P的对应的数；
（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由．
【分析】（1）根据绝对值和偶次幂具有非负性可得a+24＝0，b+10＝0，c﹣10＝0，解可得a、b、c的值；
（2）分两种情况讨论可求点P的对应的数；
（3）分类讨论：当P点在Q点的右侧，且Q点还没追上P点时；当P在Q点左侧时，且Q点追上P点后；当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时；当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时，根据两点间的距离是4，可得方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：（1）∵|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0，
∴a+24＝0，b+10＝0，c﹣10＝0，
解得：a＝﹣24，b＝﹣10，c＝10；
（2）﹣10﹣（﹣24）＝14，
①点P在AB之间，AP＝14×＝，
﹣24+＝﹣，
点P的对应的数是﹣；
②点P在AB的延长线上，AP＝14×2＝28，
﹣24+28＝4，
点P的对应的数是4；
（3）当P点在Q点的右侧，且Q点还没追上P点时，3t+4＝14+t，解得t＝5；
当P在Q点左侧时，且Q点追上P点后，3t﹣4＝14+t，解得t＝9；
当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时，14+t+4+3t﹣34＝34，t＝12.5；
当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时，14+t﹣4+3t﹣34＝34，解得t＝14.5，
综上所述：当Q点开始运动后第5、9、12.5、14.5秒时，P、Q两点之间的距离为4．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，掌握非负数的性质，再结合数轴解决问题．
3．如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为6，BC＝4，AB＝12．
（1）求点A、B对应的数；
（2）动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动．M为AP的中点，N在线段CQ上，且CN＝CQ，设运动时间为t（t＞0）．
①求点M、N对应的数（用含t的式子表示）； ②t为何值时，OM＝2BN．
【分析】（1）点B表示的数是6﹣4，点A表示的数是2﹣12，求出即可；
（2）①求出AM，CN，根据A、C表示的数求出M、N表示的数即可；②求出OM、BN，得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）∵点C对应的数为6，BC＝4，
∴点B表示的数是6﹣4＝2，
∵AB＝12，
∴点A表示的数是2﹣12＝﹣10．
（2）①∵动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度，时间是t，
∴AP＝6t，CQ＝3t，
∵M为AP的中点，N在CQ上，且CN＝CQ，
∴AM＝AP＝3t，CN＝CQ＝t，
∵点A表示的数是﹣10，C表示的数是6，
∴M表示的数是﹣10+3t，N表示的数是6+t．
②∵OM＝|﹣10+3t|，BN＝BC+CN＝4+t，OM＝2BN，
∴|﹣10+3t|＝2（4+t）＝8+2t，
由﹣10+3t＝8+2t，得t＝18，
由﹣10+3t＝﹣（8+2t），得t＝，
故当t＝18秒或t＝秒时OM＝2BN．
【点评】本题考查了线段中点，两点间的距离的应用，主要考查学生综合运用定义进行计算的能力，有一定的难度．
4．先阅读材料：如图（1），在数轴上A表示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB＝b﹣a．
解决问题：如图（2），数轴上点A表示的数是﹣4，点B表示的数是2，点C表示的数是6．
（1）若数轴上有一点D，且AD＝3，则点D表示的数为 　 　；
（2）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．
则点A表示的数是 　 　（用含t的代数式表示），BC＝　 　（用含t的代数式表示）．
（3）请问：3BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【分析】（1）设点D表示的数为d，于是得到|﹣4﹣d|＝3，求得d＝﹣1或﹣7，于是得到结论；
（2）利用题意结合数轴表示出A、B、C三点表示的数，进而可得结论；
（3）根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）设点D表示的数为d，
∵点A表示的数是﹣4，AD＝3，
∴|﹣4﹣d|＝3，
解得：d＝﹣1或﹣7，
∴点D表示的数为﹣7或﹣1，
故答案为：﹣7或﹣1；
（2）点A表示的数是﹣4﹣t，点B表示的数是2t+2，点C表示的数是3t+6，
∴BC＝（3t+6）﹣（2t+2）＝t+4，
故答案为：﹣4﹣t，t+4；
（3）不变，理由如下：3BC﹣AB＝3（t+4）﹣（3t+6）
＝3t+12﹣3t﹣6，
＝6．
【点评】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．
5．如图，点A、B和线段CD都在数轴上，点A、C、D、B起始位置所表示的数分别为﹣2、0、3、12；线段CD沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒．
（1）当t＝0秒时，AC的长为　 　，当t＝2秒时，AC的长为　 　．
（2）用含有t的代数式表示AC的长为　 　．
（3）当t＝　6　秒时AC﹣BD＝5，当t＝　 　秒时AC+BD＝15．
（4）若点A与线段CD同时出发沿数轴的正方向移动，点A的速度为每秒2个单位，在移动过程中，是否存在某一时刻使得AC＝2BD，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）依据A、C两点间的距离＝|a﹣b|求解即可；
（2）t秒后点C运动的距离为t个单位长度，从而点C表示的数；根据A、C两点间的距离＝|a﹣b|求解即可．
（3）t秒后点C运动的距离为t个单位长度，点D运动的距离为t个单位长度，从而可得到点A、点D表示的数；根据两点间的距离＝|a﹣b|表示出AC、BD，根据AC﹣BD＝5和AC+BD＝15得到关于t的含绝对值符号的一元一次方程，分别解方程即可得出结论；
（4）假设能够相等，找出AC、BD，根据AC＝2BD即可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）当t＝0秒时，AC＝|﹣2﹣0|＝|﹣2|＝2；
当t＝2秒时，移动后C表示的数为2，
∴AC＝|﹣2﹣2|＝4．
故答案为：2；4．
（2）点A表示的数为﹣2，点C表示的数为t；
∴AC＝|﹣2﹣t|＝t+2．
故答案为t+2．
（3）∵t秒后点C运动的距离为t个单位长度，点D运动的距离为t个单位长度，
∴C表示的数是t，D表示的数是3+t，
∴AC＝t+2，BD＝|12﹣（3+t）|，
∵AC﹣BD＝5，
∴t+2﹣|12﹣（t+3）|＝5．
解得：t＝6．
∴当t＝6秒时AC﹣BD＝5；
∵AC+BD＝15，
∴t+2+|12﹣（t+3）|＝15，
t＝11；
当t＝11秒时AC+BD＝15，
故答案为6，11；
（4）假设能相等，则点A表示的数为2t﹣2，C表示的数为t，D表示的数为t+3，B表示的数为12，
∴AC＝|2t﹣2﹣t|＝|t﹣2|，BD＝|t+3﹣12|＝|t﹣9|，
∵AC＝2BD，
∴|t﹣2|＝2|t﹣9|，
解得：t1＝16，t2＝．
故在运动的过程中使得AC＝2BD，此时运动的时间为16秒和秒．
【点评】本题考查了数轴以及一元一次方程的应用，根据数量关系列出一元一次方程是解题的关键．
6．如图，数轴上点O为原点，A，B两点所表示的数分别为﹣2和8．
（1）线段AB的长为 　 　．
（2）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
①当0＜t＜10时，PA＝ 　，PB＝　 　，点P表示的数为 　 　.（用含t的式子表示）
②若M是线段PA的中点，N是线段PB的中点，试判断线段MN的长度是否与点P的运动时间t有关．若有关，请求出线段MN的长度与t的关系式；若无关，请说明理由，并求出线段MN的长度．
【分析】（1）利用两点间的距离公式求得线段AB的长；
（2）①根据路程＝速度×时间可求点P与点A之间的距离，进一步得到点P表示的数；
②先利用中点公式求得点M和点N表示的数，再计算MN的线段长度．
【解答】解：（1）线段AB的长为|8﹣（﹣2）|＝10；
故答案为：10；
（2）①当0＜t＜10时，PA＝t，PB＝10﹣t，点P表示的数为﹣2+t；
故答案为：t，10﹣t，﹣2+t；
②MN的长与点P的运动时间t无关．
当0＜t≤10时，PA＝t，PB＝10﹣t，因为M，N分别是PA，PB的中点，
所以，，
所以，
当t＞10时，PA＝t，PB＝t﹣10，
因为M，N分别是PA，PB的中点，所以，，
所以，
综上所述，MN的长与点P的运动时间t无关，MN的长度为5．
【点评】本题考查了数轴上的动点问题，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离．
类型三、动点与定值
【例3-1】如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以2个单位/秒的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．
（1）出发多少秒后，PB＝2AM；
（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM﹣BP为定值．
（3）当P在AB延长线上运动，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变； ②MN+PN的值不变．选出一个正确的结论，并求其值．
【分析】（1）分两种情况讨论，①点P在点B左边，②点P在点B右边，分别求出t的值即可．
（2）AM＝x，BM＝24﹣x，PB＝24﹣2x，表示出2BM﹣BP后，化简即可得出结论．
（3）PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x﹣24，PN＝PB＝x﹣12，分别表示出MN，MN+PN的长度，即可作出判断．
【解答】解：（1）如图1，设出发x秒后PB＝2AM，
当点P在点B左边时，PA＝2x，PB＝24﹣2x，AM＝x，
由题意得，24﹣2x＝2x，
解得：x＝6；
当点P在点B右边时，P′A＝2x，P′B＝2x﹣24，AM＝x，
由题意得：2x﹣24＝2x，方程无解；
综上可得：出发6秒后PB＝2AM．
（2）∵AM＝x，BM＝24﹣x，PB＝24﹣2x，
∴2BM﹣BP＝2（24﹣x）﹣（24﹣2x）＝24；
（3）选①；
如图2，∵PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x﹣24，PN＝PB＝x﹣12，
∴①MN＝PM﹣PN＝x﹣（x﹣12）＝12（定值）；
②MN+PN＝12+x﹣12＝x（变化）．
【点评】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度，有一定难度．
【例3-2】已知b是最小的正整数，且a、c满足：|a+2|+（c﹣7）2＝0．
（1）直接写出a、b、c的值：a＝　﹣2　，b＝　1　，c＝　7　．
（2）数a、b、c所表示的点分别为数轴上A、B、C三点：点P为数轴上的一动点，其对应的数为x，且0≤x≤3，化简|x﹣1|﹣|x+2|+|x﹣7|．
（3）在（1）（2）的条件下，设点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，点A、B、C三点同时在数轴上运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B、点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒，请问3BC﹣2AB的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，求其值．
【分析】（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；
（2）根据x的范围，确定x﹣1，x﹣7，x+2的符号，然后根据绝对值的意义即可化简；
（3）先求出3BC﹣2AB＝12，从而得出3BC﹣2AB的值随着时间的变化是不变的．
【解答】解：（1）依题意得，b＝1，a+2＝0，c﹣7＝0，
解得a＝﹣2，c＝7；
故答案为：﹣2，1，7；
（2）∵0≤x≤3，
∴当0≤x≤1时，x﹣1≤0，x﹣7＜0，x+2＞0，原式＝1﹣x﹣2﹣x+7﹣x＝﹣3x+6；
当1＜x≤3时，x﹣1＞0，x﹣7＜0，x+2＞0，原式＝x﹣1﹣x﹣2+7﹣x＝﹣x+4；
（3）不变化．理由如下：
t秒时，点A对应的数为﹣2﹣t，点B对应的数为2t+1，点C对应的数为4t+7．
∴BC＝（4t+7）﹣（2t+1）＝2t+6，AB＝（2t+1）﹣（﹣2﹣t）＝3t+3，
∴3BC﹣2AB＝3（2t+6）﹣2（3t+3）＝12，
即3BC﹣2AB的值随着时间t的变化是不变的．
【点评】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
针对练习3
1．如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以每秒2cm的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒（t不超过10秒）
（1）当t＝2秒时，AB＝　 　cm；
（2）当t＝8秒时，求线段CD的长度；
（3）在运动过程中，若AB的中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由．
【分析】（1）根据速度乘以时间等于路程，可得答案；
（2）根据速度乘以时间等于路程，可得BD的长，根据线段中点的性质，可得答案；
（3）根据线段中点的性质，可得EB，BC的长，根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：（1）当t＝2秒时，AB＝2×2＝4cm，
故答案为：4；
（2）当t＝8秒时，BD＝（8﹣5）×2＝6cm，
CD＝BD＝×6＝3cm，
线段CD的长度时3cm；
（3）不变，理由如下：
由AB的中点为E，C是线段BD的中点，得
EB＝AB，BC＝BD．
EC＝AB+BD＝AD＝×10＝5cm，
【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出EB、BC的长是解题关键．
2．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝22，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是 　 　；点P表示的数是 　 　（用含t的代数式表示）
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？
（3）若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．
【分析】（1）根据已知可得B点表示的数为8﹣22；点P表示的数为8﹣5t；
（2）点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC＝5x，BC＝3x，根据AC﹣BC＝AB，列出方程求解即可；
（3）分①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可．
【解答】解：（1）∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB＝22，
∴点B表示的数是8﹣22＝﹣14，
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，
∴点P表示的数是8﹣5t．
故答案为：﹣14，8﹣5t；
（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，
则AC＝5x，BC＝3x，
∵AC﹣BC＝AB，
∴5x﹣3x＝22，
解得：x＝11，
∴点P运动11秒时追上点Q；
（3）线段MN的长度不发生变化，都等于11；理由如下：
①当点P在点A、B两点之间运动时：
MN＝MP+NP＝AP+BP＝（AP+BP）＝AB＝×22＝11，
②当点P运动到点B的左侧时：
MN＝MP﹣NP＝AP﹣BP＝（AP﹣BP）＝AB＝11，
∴线段MN的长度不发生变化，其值为11．
【点评】本题考查了数轴一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．
3．如图，线段AB＝12，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．
（1）出发多少秒后，PB＝2AM？
（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM﹣BP为定值．
（3）当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MA+PN的值不变，选择一个正确的结论，并求出其值．
【分析】（1）由题意表示：AP＝2t，则PB＝12﹣2t，根据PB＝2AM列方程即可；
（2）把BM＝12﹣t和BP＝12﹣2t代入2BM﹣BP中计算即可；
（3）分别代入求MN和MA+PN的值，发现①正确；②不正确．
【解答】解：（1）如图1，由题意得：AP＝2t，则PB＝|12﹣2t|，
∵M为AP的中点，
∴AM＝t，
由PB＝2AM得：|12﹣2t|＝2t，
即12﹣2t＝2t或2t﹣12＝2t，
t＝3，
答：出发3秒后，PB＝2AM；
（2）如图1，当P在线段AB上运动时，BM＝12﹣t，
2BM﹣BP＝2×（12﹣t）﹣（12﹣2t）＝24﹣2t﹣12+2t＝12，
∴当P在线段AB上运动时，2BM﹣BP为定值12；
（3）选①；
如图2，由题意得：MA＝t，PB＝2t﹣12，
∵N为BP的中点，
∴PN＝BP＝（2t﹣12）＝t﹣6，
①MN＝PA﹣MA﹣PN＝2t﹣t﹣（t﹣6）＝6，
∴当P在AB延长线上运动时，MN长度不变；
所以选项①叙述正确；
②MA+PN＝t+（t﹣6）＝2t﹣6，
∴当P在AB延长线上运动时，MA+PN的值会改变．
所以选项②叙述不正确．
【点评】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度，有一定难度．
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