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七年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题十八 角度计算中的动态问题串讲
解题策略：
角度计算中的动态问题通常以线动、形动构成的问题为多，它以几何图形为载体，运动变化为主线，将多个知识点综合起来，构成以角度为载体的压轴题。
①结合线段中的动点、动线段问题进行思考，用类比线段动态问题的方法学习角的动态问题。
②注意角的内部、外部变化带来的分类讨论问题。
类型一、射线的旋转
方法：①设元，一般表示较小的角这个量，用代数式表示其他相关联的量。
②推理计算这个量的结果。
【例1-1】直线AB外有一定点C，O是直线AB上的一个动点．
（1）如图1所示，当点O从左向右运动时，观察∠α的变化情况，正确的是 　 　．
A．逐渐变大
B．逐渐变小
C．大小不变
D．无法确定
（2）当点O运动到∠α＝140°时，点O运动停止，然后将射线OB绕着点O顺时针旋转到如图2位置，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
①求图2中∠AOC，∠BOC的度数；
②在图2的基础上，作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，如图3，求∠MON的度数．
【例1-2】已知：如图，∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE．
（1）当∠BOC＝70°时，求∠DOE的度数：
（2）当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠DOE的大小是否发生变化？说明理由；
（3）当射线OC在∠AOB外绕O点旋转且∠AOC为钝角时，直接写出相应的∠DOE的度数（不必写出过程）
【例1-3】已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（0秒≤t≤90秒）．
（1）用含t的代数式表示∠MOA的度数．
（2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值．
（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．
针对练习1
1．已知如图ON是∠BOC的平分线，OM是∠AOC的平分线，∠AOC＝28°，∠COB＝42°．
（1）求∠MON的度数．
（2）当射线OC在∠AOB的内部线绕点O转动时，射线OM、ON的位置是否发生变化？说明理由．
（3）在（2）的条件下，∠MON的大小是否发生变化？如果不变，求其度数；如果变化，说出其变化范围．
2．（1）如图1，∠EOC＝4∠COD，∠COD＝20°，OE为∠AOD的平分线，求∠AOD的大小，请补全解题过程．
解：∵∠EOC＝4∠COD，∠COD＝20°，
∴∠EOC＝　 　°，
∴∠DOE＝∠EOC﹣∠COD＝　 　°，
∵OE为∠AOD的平分线，则∠AOD＝2∠DOE＝120°．
（2）已知OC是∠AOB内部的一条射线，M，N分别为OA，OC上的点，线段OM，ON同时分别以30°/s，10°/s的速度绕点O逆时针转动，设转动时间为t s．
如图2，若∠AOB＝120°，OM，ON逆时针转动到OM'，ON'处．
①若OM，ON的转动时间t为2，则∠BON'+∠COM'＝　 °　；
②若OM'平分∠AOC，ON'平分∠BOC，则∠M'ON'＝　 　°．
3．如图所示已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）∠MON＝　 　°；
（2）如图∠AOB＝90°，将OC绕O点向下旋转，使∠BOC＝2x°，仍然分别作∠AOC，∠BOC的平分线OM，ON，能否求出∠MON的度数？若能，求出其值；若不能，试说明理由；
（3）∠AOB＝α，∠BOC＝β，仍然分别作∠AOC，∠BOC的平分线OM，ON，能否求出∠MON的度数？若能，求∠MON的度数；并从你的求解中看出什么规律吗？
4．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线．
（1）一个角的角平分线 　 　这个角的奇妙线．（填是或不是）
（2）如图2，若∠MPN＝60°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当∠QPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．
①当t为何值时，射线PM是∠QPN的奇妙线？
②若射线PM同时绕点P以每秒6°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止旋转．请求出当射线PQ是∠MPN的奇妙线时t的值．
类型二、角的旋转
【例2-1】如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°）
（1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，则∠MON＝　 　°；
（2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数；
（3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），直接写出所有使∠MON＝2∠BOC的n值．
【例2-2】如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°）
（1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝　20　°；
（2）如图②，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数；
（3）如图③，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由．
针对练习2
1．如图，将直角三角板OPQ的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AOQ．
（1）如图（1），若∠BOQ＝60°，求∠AOP的度数；
（2）如图（2），若∠COQ＝2∠BOQ，求∠COP的度数；
（3）将直角三角板OPQ绕顶点O按逆时针方向旋转一周，在旋转过程中：当∠BOQ＝80°时，求∠COP的度数．
2．已知O为直线AB上一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE．
（1）如图1，若∠COF＝35°，求∠BOE的度数；
（2）如图1，若∠BOE等于m度，求∠COF的度数；（用含m的代数式表示）
（3）当∠COE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，∠BOE与∠COF的数量关系是什么？请说明理由．
3．已知O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OE平分∠BOC．
（1）如图1，①若∠AOC＝60°，则∠DOE＝　 　度；
②若∠AOC＝α°，则∠DOE＝　 　度；（用含α的代数式表示）；
（2）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α°，那么②中所求出的结论是否还成立？请说明理由．
4．已知∠AOB＝110°，∠COD＝30°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）
（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数；
（2）按以下条件画图并完成探究：
探究一：当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜70）时，∠AOE﹣∠BOF的值是否为定值？若是定值，请求出这个值；若不是，请说明理由；
探究二：当∠COD从图1所示位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜140，且n≠30，n≠110）时，是否存在n使得∠AOD+∠EOF＝5∠COD，若存在请求出n的值，若不存在，请说明理由．
类型三、直角三角板的旋转
注意利用三角形旋转时公共顶点的角是定角的特点，表示相关的角。
【例3-1】将一副三角板的两个锐角顶点重合，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线．
（1）如图1，当OB与OC重合时，则∠MON的大小为 　 　；
（2）当∠COD绕着点O旋转至如图2所示，且∠BOC＝10°时，求∠MON的度数；
（3）当∠COD绕着点O旋转至如图3所示，且∠BOC＝n°时，求∠MON的度数．
【例3-2】如图，平面内点O为直线AB上一点，一直角三角板COD（∠COD＝90°）的
直角顶点与O重合，OM平分∠BOD，设∠AOC＝α．（本题中所有角均小于等于180°）．
（1）如图，请直接写出∠AOM＝　135°+　（用含α的式子表示）；
（2）若图中α＝50°，三角板COD从图中的位置出发，绕O点以每秒5°的速度顺时针旋转，同时ON从OA出发，以每秒2°的速度逆时针旋转．设运动时间为t秒（0＜t＜30）．
①当t为何值时，∠AOM+∠CON＝270°？
②是否存在一负数k，使得∠AOM+k∠CON取值与t无关．若存在，求此时k的值；若不存在，说明理由．
针对练习3
1．如图，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起．
（1）∠ACE 　 　∠BCD（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）当∠DCE＝15°时，求∠ACB的度数；
（3）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
（4）将三角板ACD绕点C逆时针旋转一周，请直接写出此时∠ACE为多少度时，∠ECD与∠ACB的大小是二倍关系．
2．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起．
（1）若∠DCE＝35°，则∠ACB的度数为 　 　；
（2）若∠ACB＝144°42′，则∠DCE的度数为 　 　；
（3）猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，并说明理由．
3．将一副三角板按图1摆放在直线MN上，AF平分∠BAD，AG平分∠BAE．
（1）∠BAD＝　 　；∠FAG＝　 　；
（2）如图2，若将三角板ABC绕A点以5°/秒的速度顺时针旋转t秒（t＜21），求∠FAG的度数；
（3）如图3，三角板ABC绕A点以m°/秒的速度顺时针旋转，同时，三角板ADE绕A点以n°/秒的速度逆时针旋转，当AD与AB边首次重合时两三角板都停止运动，若运行t秒时，有∠MAD＝∠CAE成立，试求此时m与n的关系．
4．将一副三角板中的含有60°角的三角板的顶点和另一块的45°角的顶点重合于一点O，绕着点O旋转60°的三角板，拼成如图的情况（OB在∠COD内部），请回答问题：
（1）如图1放置，将含有60°角的一边与45°角的一边重合，求出此时∠AOD的度数．
（2）绕着点O，转动三角板AOB，恰好使OB平分∠COD，此时∠AOD的度数应该是多少？
（3）是否存在这种情况，∠AOC的度数恰好等于∠BOD度数的3倍．如果存在，请求出∠AOD的度数，如果不存在请说明理由．
类型四、钟表的表针旋转。
时钟的时针每分钟转0.5度。钟表上有12个数字，时针转1圈为360度，每两个相邻数字之间的角度是：360÷12=30度。1小时等于60分钟，则时针每走过1分钟对应的角度应为：30÷60=0.5度。
时钟的分针每分钟转6度。
【例4-1】某电视台录制的“奔跑吧兄弟第四季”将在周五21：10播出，此时时钟上的分针与时针所成的角是多少度？在如图中大致标出此时的角（用短箭头、长箭头分别表示时针和分针），并用至少两种方式写出这个角？（可在表盘上标注相应的字母或数字）
【例4-2】观察常用时钟，回答下列问题：
（1）早晨7时整，时针和分针构成多少度的角？
（2）时针多长时间转一圈？它转动的速度是每小时多少度？
（3）从7：00到7：40，分针转动了多少度？
针对练习4
1．钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，在钟面上，点O为钟面的圆心，图中的圆我们称之为钟面圆．为便于研究，我们规定：钟面圆的半径OA表示时针，半径OB表示分针，它们所成的钟面角为∠AOB；本题中所提到的角都不小于0°，且不大于180°；本题中所指的时刻都介于0点整到12点整之间．
（1）时针每分钟转动的角度为 　 　°，分针每分钟转动的角度为 　 °；
（2）8点整，钟面角∠AOB＝　 °，钟面角与此相等的整点还有：　 　点；
（3）如图，设半径OC指向12点方向，在图中画出6点15分时半径OA、OB的大概位置，并求出此时∠AOB的度数．
2．知识的迁移与应用
问题一：甲、乙两车分别从相距180km的 A、B两地出发，甲车速度为36km/h，乙车速度为24km/h，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），　5或25　后两车相距120km？
问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，OA表示时针，OB表示分针（O为两针的旋转中心）．下午3点时，OA与OB成直角．
（1）3：40时，时针与分针所成的角度　 　；
（2）分针每分钟转过的角度为　 　，时针每分钟转过的角度为　 　；
（3）在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分针成60°角？
七年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题十八 角度计算中的动态问题串讲（解析版）
解题策略：
角度计算中的动态问题通常以线动、形动构成的问题为多，它以几何图形为载体，运动变化为主线，将多个知识点综合起来，构成以角度为载体的压轴题。
①结合线段中的动点、动线段问题进行思考，用类比线段动态问题的方法学习角的动态问题。
②注意角的内部、外部变化带来的分类讨论问题。
类型一、射线的旋转
方法：①设元，一般表示较小的角这个量，用代数式表示其他相关联的量。
②推理计算这个量的结果。
【例1-1】直线AB外有一定点C，O是直线AB上的一个动点．
（1）如图1所示，当点O从左向右运动时，观察∠α的变化情况，正确的是 　B　．
A．逐渐变大
B．逐渐变小
C．大小不变
D．无法确定
（2）当点O运动到∠α＝140°时，点O运动停止，然后将射线OB绕着点O顺时针旋转到如图2位置，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
①求图2中∠AOC，∠BOC的度数；
②在图2的基础上，作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，如图3，求∠MON的度数．
【分析】（1）由图形及角的概念即可得到答案；
（2）①根据α的度数可得∠AOC＝40°，再根据比例可得∠BOC的度数；
②根据角之间的比例关系可得∠CON和∠MOC的度数，再根据角的和差可得答案．
【解答】解：（1）由图可知，当点O从左向右运动时，∠α逐渐变小，
故选：B；
（2）①当∠α＝140°时，∠AOC＝180°﹣140°＝40°，
∵∠AOC：∠BOC＝1：2，
∴∠BOC＝2∠AOC＝80°，
答：∠AOC＝40°，∠BOC＝80°；
②由①得，∠BOC＝80°，
∵∠CON：∠BON＝1：3，
∴∠CON＝∠BOC＝20°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC＝AOC＝20°，
∴∠MON＝20°+20°＝40°．
【点评】此题主要考查角的运算和旋转的基础知识，理清图形中的角的和差关系，以及旋转的意义是解题的关键．
【例1-2】已知：如图，∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE．
（1）当∠BOC＝70°时，求∠DOE的度数：
（2）当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠DOE的大小是否发生变化？说明理由；
（3）当射线OC在∠AOB外绕O点旋转且∠AOC为钝角时，直接写出相应的∠DOE的度数（不必写出过程）
【分析】（1）根据角平分线的定义，OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，则可求得∠COE、∠COD的值，∠DOE＝∠COE+∠COD；
（2）结合角的特点，∠DOE＝∠DOC+∠COE，求得结果进行判断和计算；
（3）正确作出图形，判断大小变化．
【解答】解：（1）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝×70°＝35°，
∠COD＝∠AOC＝×20°＝10°，
∴∠DOE＝45°；
（2）∠DOE的大小不变等于45°，
理由：∠DOE＝∠DOC+∠COE
＝∠BOC+∠AOC
＝（∠AOC+∠BOC）
＝×90°
＝45°；
（3）∠DOE的大小发生变化，∠DOE＝45°或135度．
如图①，则为45°；如图②，则为135°．（说明过程同（2））
【点评】本题考查了角的计算，正确作图，熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键．
【例1-3】已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（0秒≤t≤90秒）．
（1）用含t的代数式表示∠MOA的度数．
（2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值．
（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）∠AOM的度数等于OA旋转速度乘以旋转时间；
（2）当∠AOB第二次达到60°时，射线OB在OA的左侧，根据∠AOM+∠BON﹣∠MON＝60°列方程求解可得；
（3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有三种情况：
①OB平分∠AOM时，根据∠AOM＝∠BOM，列方程求解，
②OB平分∠MON时，根据∠BOM＝∠MON，列方程求解，
③OB平分∠AON时，根据∠BON＝∠AON，列方程求解．
【解答】解：（1）∠MOA＝2t°；
（2）如图，
根据题意知：∠AOM＝2t°，∠BON＝4t°，
当∠AOB第二次达到60°时，∠AOM+∠BON﹣∠MON＝60°，
即2t+4t﹣180＝60，解得：t＝40，
故t＝40秒时，∠AOB第二次达到60°；
（3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况：
①OB平分∠AOM时，∵∠AOM＝∠BOM，
∴t＝180﹣4t，
解得：t＝36；
②OB平分∠MON时，∵∠BOM＝∠MON，即∠BOM＝90°，
∴4t＝90，或4t﹣180＝90，
解得：t＝22.5，或t＝67.5；
③OB平分∠AON时，∵∠BON＝∠AON，
∴4t＝（180﹣2t），
解得：t＝18；
综上，当t的值分别为18、22.5、36、67.5秒时，射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线．
【点评】本题主要考查角的计算和角平分线性质的运用，OB为角平分线时分类讨论是解题的关键和难点．
针对练习1
1．已知如图ON是∠BOC的平分线，OM是∠AOC的平分线，∠AOC＝28°，∠COB＝42°．
（1）求∠MON的度数．
（2）当射线OC在∠AOB的内部线绕点O转动时，射线OM、ON的位置是否发生变化？说明理由．
（3）在（2）的条件下，∠MON的大小是否发生变化？如果不变，求其度数；如果变化，说出其变化范围．
【分析】（1）根据角平分线的定义得出，进而根据即可求解；
（2）根据，则OC转动时OM同样在动，同理ON也在动；
（3）根据（1）的结论即可求解．
【解答】解：（1）解：∵ON是∠BOC的平分线，OM是∠AOC的平分线，∠AOC＝28°，∠COB＝42°
∴，
∴
（2）∵，
∴OC转动时OM同样在动，
同理ON同样转动；
（3）∠MON不变同样35°；
当射线OC在∠AOB的内部线绕点O转动时，
∵ON是∠BOC的平分线，OM是∠AOC的平分线，∠AOC＝28°，∠COB＝42°
∴，
∴．
【点评】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算是解题的关键．
2．（1）如图1，∠EOC＝4∠COD，∠COD＝20°，OE为∠AOD的平分线，求∠AOD的大小，请补全解题过程．
解：∵∠EOC＝4∠COD，∠COD＝20°，
∴∠EOC＝　 　°，
∴∠DOE＝∠EOC﹣∠COD＝　 　°，
∵OE为∠AOD的平分线，则∠AOD＝2∠DOE＝120°．
（2）已知OC是∠AOB内部的一条射线，M，N分别为OA，OC上的点，线段OM，ON同时分别以30°/s，10°/s的速度绕点O逆时针转动，设转动时间为t s．
如图2，若∠AOB＝120°，OM，ON逆时针转动到OM'，ON'处．
①若OM，ON的转动时间t为2，则∠BON'+∠COM'＝　 °　；
②若OM'平分∠AOC，ON'平分∠BOC，则∠M'ON'＝　 　°．
【分析】（1）先求出∠EOC＝80°，进而求出∠DOE＝60°，再根据角平分线的定义即可得到∠AOD＝2∠DOE＝120°；
（2）①求出∠AOM'＝60°，∠CON'＝20°，则∠BON'+∠COM'＝∠AOB﹣∠CON'﹣∠AOM'＝40°；②根据角平分线的定义得到，可得，由此即可得到答案．
【解答】解：（1）∵∠EOC＝4∠COD，∠COD＝20°，
∴∠EOC＝80°，
∴∠DOE＝∠EOC﹣∠COD＝60°，
∵OE为∠AOD的平分线，则∠AOD＝2∠DOE＝120°．
故答案为：80，60；
（2）①当t＝2时，∠AOM'＝60°，∠CON'＝20°，
∴∠BON'+∠COM'＝∠AOB﹣∠CON'﹣∠AOM'＝40°，
故答案为：40°；
②∵OM'平分∠AOC，ON'平分∠BOC，
∴，
∴，
∴∠M'ON'＝60°，
故答案为：60．
【点评】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
3．如图所示已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）∠MON＝　 　°；
（2）如图∠AOB＝90°，将OC绕O点向下旋转，使∠BOC＝2x°，仍然分别作∠AOC，∠BOC的平分线OM，ON，能否求出∠MON的度数？若能，求出其值；若不能，试说明理由；
（3）∠AOB＝α，∠BOC＝β，仍然分别作∠AOC，∠BOC的平分线OM，ON，能否求出∠MON的度数？若能，求∠MON的度数；并从你的求解中看出什么规律吗？
【分析】（1）根据角平分线的以求出∠MOC与∠NOC的度数，然后相减即可求出∠MON的度数；
（2）根据（1）的求解思路，先利用角平分线的定义表示出∠MOC与∠NOC的度数，然后相减即可得到∠MON的度数；
（3）根据前两题的求解思路把具体数据换为α、β，然后整理即可得出规律．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+30°＝120°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠AOC＝×120°＝60°，
∠NOC＝∠BOC＝×30°＝15°，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝60°﹣15°＝45°；（3分）
（2）能．
∵∠AOB＝90°，∠BOC＝2x°，
∴∠AOC＝90°+2x°，（4分）
∵OM、ON分别平分∠AOC，∠BOC，
∴∠MOC＝∠AOC＝（90°+2x°）＝45°+x，
∴∠CON＝∠BOC＝x°，（5分）
∴∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝45°+x﹣x＝45°；（6分）
（3）能．
∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，
∴∠AOC＝α+β，（7分）
∵OM、ON分别平分∠AOC，∠BOC，
∴∠MOC＝∠AOC＝（α+β），
∠CON＝∠BOC＝β，（8分）
∴∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝（α+β）﹣β＝α，
即∠MON＝α．（9分）
【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，读懂题意，看懂题目图形找准解题思路是解题的关键，此类题目通常都是各小题都用同一个解题思路，所以准确确定思路比较关键．
4．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线．
（1）一个角的角平分线 　 　这个角的奇妙线．（填是或不是）
（2）如图2，若∠MPN＝60°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当∠QPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．
①当t为何值时，射线PM是∠QPN的奇妙线？
②若射线PM同时绕点P以每秒6°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止旋转．请求出当射线PQ是∠MPN的奇妙线时t的值．
【分析】（1）根据奇妙线定义即可求解；
（2）①分3种情况，根据奇妙线定义得到方程求解即可；
②分3种情况，根据奇妙线定义得到方程求解即可．
【解答】解：（1）一个角的平分线是这个角的“奇妙线”；
（2）①依题意有
（a）10t＝60+×60，
解得t＝9；
（b）10t＝2×60，
解得t＝12；
（c）10t＝60+2×60，
解得t＝18．
故当t为9或12或18时，射线PM是∠QPN的“奇妙线”；
②依题意有
（a）10t＝（6t+60），
解得t＝；
（b）10t＝（6t+60），
解得t＝；
（c）10t＝（6t+60），
解得t＝．
故当射线PQ是∠MPN的奇妙线时t的值为或或．
故答案为：是．
【点评】本题考查了旋转的性质，奇妙线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“奇妙线”的定义是解题的关键．
类型二、角的旋转
【例2-1】如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°）
（1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，则∠MON＝　 　°；
（2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数；
（3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），直接写出所有使∠MON＝2∠BOC的n值．
【分析】（1）当∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，可得∠MON＝∠MOB+∠BON，再根据已知条件进行计算即可；
（2）根据∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），分两种情况画图：①当0＜n＜60时，如（图1），②当60＜n＜120时，如（图2），结合（1）进行角的和差计算即可；
（3）根据∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），∠MON＝2∠BOC，分两种情况画图：①当0＜n＜60时，如图3，②当60＜n＜180时，如图4，结合（2）进行角的和差计算即可．
【解答】解：（1）∵∠AOM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，
∴∠MOC＝∠AOC，∠DON＝∠BOD，
当∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，
∴∠MON＝∠MOB+∠BON
＝∠AOC+BOD
＝×120°+60°
＝80°+20°
＝100°；
故答案为：100°；
（2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），
①当0＜n＜60时，如（图1），
∵∠BOC＝n°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°，
∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝60°﹣n°，
∴∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON
＝（120°﹣n°）+n°+（60°﹣n°）
＝100°；
②当60＜n＜120时，如（图2），
∵∠BOC＝n°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°，
∠BOD＝∠BOC﹣∠DOC＝n°﹣60°，
∴∠MON＝∠MOC+∠DOC+∠DON
＝（120°﹣n°）+60°+（n°﹣60°）
＝100°；
综上所述：∠MON的度数为100°；
（3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），∠MON＝2∠BOC，
①当0＜n＜60时，如图3，
∵∠BOC＝n°，
∴∠MON＝2∠BOC＝2n°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°+n°，
∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝n°+60°，
∴∠MON＝∠MOC+∠DOC﹣∠DON
＝（120°+n°）+60°﹣（n°+60°）
＝100°，
∴2n°＝100°
∴n＝50；
②当60＜n＜180时，如图4，
∵∠BOC＝n°，
∴∠MON＝2∠BOC＝2n°，
∴∠AOC＝360°﹣（∠AOB+∠BOC）＝360°﹣（120°+n°）＝240°﹣n°，
∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝n°+60°，
∴∠MON＝360°﹣∠AOM﹣∠AOB﹣∠BON
＝360°﹣（240°﹣n°）﹣120°﹣（60°+n°）
＝140°，
∴2n°＝140°，
∴n＝70；
综上所述：n的值为50或70．
【点评】本题考查了角的计算，解决本题的关键是分情况画图讨论．
【例2-2】如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°）
（1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝　20　°；
（2）如图②，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数；
（3）如图③，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由．
【分析】（1）根据图形得出∠COE＝∠DOE﹣∠BOC，代入求出即可；
（2）根据角平分线定义求出∠EOB＝2∠BOC＝140°，代入∠BOD＝∠BOE﹣∠DOE，求出∠BOD，代入∠COD＝∠BOC﹣∠BOD求出即可；
（3）根据图形得出∠BOD+∠COD＝∠BOC＝70°，∠COE+∠COD＝∠DOE＝90°，相减即可求出答案．
【解答】解：（1）如图①，∠COE＝∠DOE﹣∠BOC＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：20；
（2）如图②，∵OC平分∠EOB，∠BOC＝70°，
∴∠EOB＝2∠BOC＝140°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠BOD＝∠BOE﹣∠DOE＝50°，
∵∠BOC＝70°，
∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝20°；
（3）∠COE﹣∠BOD＝20°，
理由是：如图③，∵∠BOD+∠COD＝∠BOC＝70°，∠COE+∠COD＝∠DOE＝90°，
∴（∠COE+∠COD）﹣（∠BOD+∠COD）
＝∠COE+∠COD﹣∠BOD﹣∠COD
＝∠COE﹣∠BOD
＝90°﹣70°
＝20°，
即∠COE﹣∠BOD＝20°．
【点评】本题考查了角的计算的应用，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键．
针对练习2
1．如图，将直角三角板OPQ的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AOQ．
（1）如图（1），若∠BOQ＝60°，求∠AOP的度数；
（2）如图（2），若∠COQ＝2∠BOQ，求∠COP的度数；
（3）将直角三角板OPQ绕顶点O按逆时针方向旋转一周，在旋转过程中：当∠BOQ＝80°时，求∠COP的度数．
【分析】（1）OPQ为直角三角板，所以∠POQ＝90°，又因为∠BOQ＝60°，所以∠AOP＝180°﹣∠POQ﹣∠BOQ＝30°；
（2）OC平分∠AOQ，所以∠AOC＝∠COQ，又因为∠COQ＝2∠BOQ，根据∠AOC+∠COQ+∠BOQ＝180°，得到∠BOQ＝36°，∠COQ＝72°，即可得到∠COP＝∠POQ﹣∠COQ＝18°；
（3）分类讨论，当OQ在直线AB上方时并作图；当OQ在直线AB下方时并作图，根据图形信息和条件信息进行列式计算即可．
【解答】解：（1）∵OPQ为直角三角板，
∴∠POQ＝90°，
∵∠BOQ＝60°，∠AOP+∠POQ+∠BOQ＝180°，
∴∠AOP＝180°﹣∠POQ﹣∠BOQ＝180﹣90°﹣60°＝30°；
（2）∵OC平分∠AOQ，
∴∠AOC＝∠COQ，
∵∠COQ＝2∠BOQ，
设∠BOQ＝x，则∠COQ＝∠AOC＝2x，
∵∠AOC+∠COQ+∠BOQ＝180°，
∴2x+2x+x＝180°，x＝36°，
∴∠BOQ＝36°，∠COQ＝72°，
由（1）得∠POQ＝90°，
∴∠COP＝∠POQ﹣∠COQ＝90°﹣72°＝18°，
（3）①如图3.1，当OQ在直线AB上方时，
∵∠BOQ＝80°，
∴∠AOQ＝100°，
∵OC平分∠AOQ，
∴，
∵∠POQ＝90°，
∴∠COP＝∠POQ﹣∠COQ＝90°﹣50°＝40°，
②如图3.2，当OQ在直线AB下方时，
∵∠BOQ＝80°，
∴∠AOQ＝100°，
∵OC平分∠AOQ，
∴，
∵∠POQ＝90°，
∴∠COP＝∠POQ+∠COQ＝90°+50°＝140°；
综上所述：∠COP的度数为40°或140°．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义及角的计算，熟练掌握角平分线的定义及角的计算的方法进行求解是解决本题的关键．
2．已知O为直线AB上一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE．
（1）如图1，若∠COF＝35°，求∠BOE的度数；
（2）如图1，若∠BOE等于m度，求∠COF的度数；（用含m的代数式表示）
（3）当∠COE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，∠BOE与∠COF的数量关系是什么？请说明理由．
【分析】（1）先由直角的定义得到∠COE＝90°，进而得到∠COF＝35°，再由角平分线的定义得到∠AOE＝2∠EOF＝110°，则由平角的定义可得答案；
（2）先由平角的定义得到∠AOE＝180°﹣m°，再由角平分线的定义得到，由直角的定义得到∠COE＝90°，则；
（3）先由直角的定义得到∠COE＝90°，则∠EOF＝90°﹣∠COF，再由角平分线的定义得到∠AOE＝2∠EOF＝180°﹣2∠COF，则由平角的定义可得∠BOE＝180°﹣∠AOE＝2∠COF．
【解答】解：（1）∵∠COE是直角，
∴∠COE＝90°，
∵∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝55°，
∴∠COF＝35°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝110°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝70°；
（2）∵∠BOE＝m°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣m°，
∵OF平分∠AOE，
∴，
∵∠COE是直角，
∴∠COE＝90°，
∵；
（3）∠BOE＝2∠COF，理由如下：
∵∠COE是直角，
∴∠COE＝90°，
∴∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝90°﹣∠COF，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝180°﹣2∠COF，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝2∠COF，
∴∠BOE＝2∠COF．
【点评】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理清角之间的关系是解题的关键．
3．已知O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OE平分∠BOC．
（1）如图1，①若∠AOC＝60°，则∠DOE＝　 　度；
②若∠AOC＝α°，则∠DOE＝　 　度；（用含α的代数式表示）；
（2）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α°，那么②中所求出的结论是否还成立？请说明理由．
【分析】（1）①根据平角的定义和∠COD＝90°，从而∠AOC+∠BOD＝90°，结合∠AOC＝60°求得∠BOD＝30°，由角平分线定义得，利用角的差可得结论；
②根据平角的定义和∠COD＝90°，从而∠AOC+∠BOD＝90°，结合∠AOC＝α°求得∠BOD＝90°﹣α°，由角平分线定义得，利用角的差可得结论；
（2）根据平角的定义得，根据角的差可得②中的结论还成立．
【解答】解：（1）①∵∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝60°，
∴∠BOD＝30°，∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝60°﹣30°＝30°；
故答案为：30；
②∵∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝α°，
∴∠BOD＝90°﹣α°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α°，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）②中的结论还成立．理由如下：
∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝α°，
∴∠BOC＝180°﹣α°，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∵∠COD＝90°，
∴．
【点评】本题考查了角平分线的定义、平角的定义及角的和差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键．
4．已知∠AOB＝110°，∠COD＝30°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）
（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数；
（2）按以下条件画图并完成探究：
探究一：当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜70）时，∠AOE﹣∠BOF的值是否为定值？若是定值，请求出这个值；若不是，请说明理由；
探究二：当∠COD从图1所示位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜140，且n≠30，n≠110）时，是否存在n使得∠AOD+∠EOF＝5∠COD，若存在请求出n的值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得∠EOB和∠COF的度数，然后根据∠EOF＝∠EOB+∠COF求解；
（2）探究一：∠AOE﹣∠BOF的值是定值．由题意得：∠AOB＝110°，∠COD＝30°，∠BOC＝n°，∠AOC＝110°+n°，∠BOD＝n°+30°，再运用角平分线定义即可求得答案；
探究二：分三种情况讨论：①当0＜n＜30时，②当30＜n＜110时，③当110＜n＜140时．
【解答】解：（1）如图1，当OB、OC重合时，
∵∠AOB＝110°，∠COD＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB＝110°，∠BOD＝∠COD＝30°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠AOC＝55°，∠BOF＝∠BOD＝15°，
∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝55°+15°＝70°；
（2）探究一：∠AOE﹣∠BOF的值是定值．理由如下：
如图2，∵∠AOB＝110°，∠COD＝30°，∠BOC＝n°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝110°+n°，∠BOD＝∠BOC+∠COD＝n°+30°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE＝∠AOC＝55°+n°，∠BOF＝∠BOD＝n°+15°，
∴∠AOE﹣∠BOF＝（55°+n°）﹣（n°+15°）＝40°，
∴∠AOE﹣∠BOF的值为40°，是定值；
探究二：
①当0＜n＜30时，如图3，∠BOC＝n°，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝110°﹣n°，∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝30°﹣n°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝110°+30°﹣n°＝140°﹣n°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠EOC＝∠AOC＝55°﹣n°，∠BOF＝∠BOD＝15°﹣n°，
∴∠EOF＝∠EOC+∠BOC+∠BOF＝（55°﹣n°）+n°+（15°﹣n°）＝70°，
∵∠AOD+∠EOF＝5∠COD，
∴140°﹣n°+70°＝5×30°，
解得：n＝60（不符合题意，舍去）；
②当30＜n＜110时，如图4，∠BOC＝n°，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝110°﹣n°，∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝n°﹣30°，
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝110°﹣（n°﹣30°）＝140°﹣n°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠EOC＝∠AOC＝55°﹣n°，∠DOF＝∠BOD＝n°﹣15°，
∴∠EOF＝∠EOC+∠COD+∠DOF＝（55°﹣n°）+30°+（n°﹣15°）＝70°，
∵∠AOD+∠EOF＝5∠COD，
∴140°﹣n°+70°＝5×30°，
解得：n＝60，符合题意；
③当110＜n＜140时，如图5，∠BOC＝n°，∠AOC＝∠BOC﹣∠AOB＝n°﹣110°，∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝n°﹣30°，
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝110°﹣（n°﹣30°）＝140°﹣n°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠EOA＝∠AOC＝n°﹣55°，∠DOF＝∠BOD＝n°﹣15°，
∴∠EOF＝∠EOA+∠AOD+∠DOF＝（n°﹣55°）+140°﹣n°+（n°﹣15°）＝70°，
∵∠AOD+∠EOF＝5∠COD，
∴140°﹣n°+70°＝5×30°，
解得：n＝60（不符合题意，舍去）；
综上所述，n的值为60．
【点评】本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键．
类型三、直角三角板的旋转
注意利用三角形旋转时公共顶点的角是定角的特点，表示相关的角。
【例3-1】将一副三角板的两个锐角顶点重合，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线．
（1）如图1，当OB与OC重合时，则∠MON的大小为 　 　；
（2）当∠COD绕着点O旋转至如图2所示，且∠BOC＝10°时，求∠MON的度数；
（3）当∠COD绕着点O旋转至如图3所示，且∠BOC＝n°时，求∠MON的度数．
【分析】（1）根据角平分线定义当OB与OC重合时，即可求得∠MON的大小；
（2）根据角平分线定义当∠COD绕着点O旋转至如图②所示，当∠BOC＝10°时，即可求得∠MON的大小；
（3）根据角平分线定义当∠COD绕着点O旋转至如图③所示，当∠BOC＝n°时，即可求得∠MON的大小．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，
∴∠BON＝∠BOD＝15°，∠MOB＝∠AOC＝22.5°，
∴∠MON＝∠BON+∠BOM＝37.5°．
故答案为：37.5°；
（2）当∠BOC＝10°时，
∠AOC＝35°，∠BOD＝20°，
∴∠BON＝∠BOD＝10°，
∴∠MOC＝∠AOC＝17.5°，
∴∠MON＝∠MOC+∠BON+∠BOC＝17.5°+10°+10°＝37.5°．
答：∠MON的大小为37.5°；
（3）当∠BOC＝n°时，∠AOC＝45°+n°，∠BOD＝30°+n°，
∵∠BON＝∠BOD
＝（30°+n°）＝15°+n°，
∴∠MOB＝∠AOC﹣∠BOC
＝（45°+n°）﹣n°
＝22.5°﹣n°
∴∠MON＝∠MOB+∠BON
＝15°+n°+22.5°﹣n°
＝37.5°．
答：∠MON的大小为37.5°．
【点评】本题考查了角的计算、角平分线定义，加减本题的关键是掌握角平分线定义．
【例3-2】如图，平面内点O为直线AB上一点，一直角三角板COD（∠COD＝90°）的
直角顶点与O重合，OM平分∠BOD，设∠AOC＝α．（本题中所有角均小于等于180°）．
（1）如图，请直接写出∠AOM＝　135°+　（用含α的式子表示）；
（2）若图中α＝50°，三角板COD从图中的位置出发，绕O点以每秒5°的速度顺时针旋转，同时ON从OA出发，以每秒2°的速度逆时针旋转．设运动时间为t秒（0＜t＜30）．
①当t为何值时，∠AOM+∠CON＝270°？
②是否存在一负数k，使得∠AOM+k∠CON取值与t无关．若存在，求此时k的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用平角的定义和角平分线的定义解答即可；
（2）①依题意列出关于t的方程，解方程即可得出结论；
②利用①中的方法用t表示，求得∠AOM+k∠CON的值，整理后令t的系数为0即可求得结论．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝α，∠COD＝90°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠COD＝90°﹣α．
∵OM平分∠BOD，
∴∠BOM＝∠BOD＝45°﹣α．
∴∠AOM＝180°﹣∠BOM＝135°+．
故答案为：135°+；
（2）①根据题意需要分以下三种情况：
Ⅰ、当OD在直线AB上方时，如题图，此时0＜t＜8：
由题意得：t秒后，∠AOC＝50°+5°t，
∴∠BOD＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°﹣5°t＝40°﹣5°t．
∵OM平分∠BOD，
∴∠BOM＝∠BOD＝20°﹣2.5°t．
∴∠AOM＝180°﹣∠BOM＝160°+2.5°t．
t秒后，∠CON＝∠AOC+∠AON＝50°+7°t，
∵∠AOM+∠CON＝270°，
∴160+2.5t+50+7t＝270，
解得：t＝，
Ⅱ、当射线OD在直线AB下方，且OC，ON共线前，如图，此时8＜t＜，
由题意得：t秒后，∠AOC＝50°+5t°，
∴∠BOD＝5°t﹣40°．
∵OM平分∠BOD，
∴∠BOM＝∠BOD＝2.5°t﹣20°．
∴∠AOM＝180°﹣∠BOM＝200°﹣2.5°t．
t秒后，∠CON＝∠AOC+∠AON＝50°+7°t，
∵∠AOM+∠CON＝270°，
∴200﹣2.5t+50+7t＝270，
解得：t＝＜8，舍去；
Ⅲ、当OC，ON共线后，如图，此时＜t＜30，
由Ⅱ可知，∠AOM＝180°﹣∠BOM＝200°﹣2.5°t．
t秒后，∠CON＝360°﹣（50°+5°t）﹣2°t＝310°﹣7°t，
∵∠AOM+∠CON＝270°，
∴200﹣2.5t+310﹣7t＝270，
解得：t＝＜，舍去；
故t的值为或；
②根据题意需要分以下三种情况：
Ⅰ、当OD在直线AB上方时，如题图，此时0＜t＜8：
由上可知，∠AOM＝160°+2.5°t，∠CON＝50°+7°t，
∴∠AOM+k∠CON＝160°+2.5°t+50°k+7°kt＝（7k+2.5）°t+160°+50°k，
∵∠AOM+k∠CON取值与t无关，
∴7k+2.5＝0，
解得：k＝﹣；
Ⅱ、当射线OD在直线AB下方，且OC，ON共线前，如图，此时8＜t＜，
由上可知，∠AOM＝200°﹣2.5°t，∠CON＝50°+7°t，
∴∠AOM+k∠CON＝200°﹣2.5°t+50°k+7°kt＝（7k﹣2.5）°t+200°+50°k，
∴7k﹣2.5＝0，
解得：k＝，不合题意，舍去；
Ⅲ、当OC，ON共线后，如图，此时＜t＜30，
由上可知，∠AOM＝200°﹣2.5°t，∠CON＝310°﹣7°t，
∴∠AOM+k∠CON＝200°﹣2.5°t+310°k﹣7°kt＝（﹣7k﹣2.5）°t+200°+310°k，
∴﹣7k﹣2.5＝0，
解得：k＝﹣，
综上可知，存在，此时k＝﹣．
【点评】本题考查了角的计算，利用角的和或差得出等量关系，再利用等量代换最后得出结论，解决本题的关键是分情况画图讨论．
针对练习3
1．如图，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起．
（1）∠ACE 　 　∠BCD（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）当∠DCE＝15°时，求∠ACB的度数；
（3）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
（4）将三角板ACD绕点C逆时针旋转一周，请直接写出此时∠ACE为多少度时，∠ECD与∠ACB的大小是二倍关系．
【分析】（1）由∠ACD＝∠ACE+∠DCE＝90°，∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°，可得∠ACE＝∠BCD；
（2）∠DCE＝15°，∠ACE+∠DCE＝90°，可得∠ACE的值，进而可求出∠ACB的度数；
（3）∠ACB+∠DCE＝180°；由∠ACE+∠DCE＝90°，∠BCD+∠DCE＝90°，∠ACB＝∠ACE+∠DCE+∠BCD，可证∠ACB+∠DCE＝180°；
（4）分类讨论，当2∠ECD＝∠ACB时，由∠ACB+∠DCE＝180°，可得∠ECD＝60°，进而可得∠ACE＝∠ACD﹣∠ECD＝90°﹣60°＝30°；当2∠ECD＝∠ACB时，∠ACD+∠ECD+∠BCE+∠ACB＝360°，可求得∠ACE＝∠ACD+∠ECD＝90°+60°＝150°．
【解答】解：（1）∵∠ACD＝∠ACE+∠DCE＝90°，∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
故答案为：“＝”；
（2）∵∠DCE＝15°，∠ACE+∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝75°，
∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝75°+90°＝165°；
（3）∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：
∵∠ACE+∠DCE＝90°，∠BCD+∠DCE＝90°，
∴（∠ACE+∠DCE+∠BCD）+∠DCE＝180°，
∵∠ACB＝∠ACE+∠DCE+∠BCD，
∴∠ACB+∠DCE＝180°；
（4）①当2∠ECD＝∠ACB时，
∵∠ACB+∠DCE＝180°，2∠ECD＝∠ACB，
∴∠ECD＝60°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠ECD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ACE为30°，∠ECD与∠ACB的大小是二倍关系；
②当∠ECD＝2∠ACB时，
∠ACD+∠ECD+∠BCE+∠ACB＝360°，
∵∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴∠ECD+∠ACB＝180°，
∵∠ECD＝2∠ACB，
∴∠ECD＝60°，∠ACB＝120°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠ECD＝90°+60°＝150°，
∴∠ACE为150°，∠ECD与∠ACB的大小是二倍关系；
综上所述，当∠ACE为30°或150°时，∠ECD与∠ACB的大小是二倍关系．
【点评】本题考查了角的计算，熟练掌握角平分线的定义以及角的相关计算是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
2．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起．
（1）若∠DCE＝35°，则∠ACB的度数为 　 　；
（2）若∠ACB＝144°42′，则∠DCE的度数为 　 　；
（3）猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）利用∠ACD减去∠DCE求出∠ACE，然后再利用∠ACE加上∠ECB即可解答；
（2）利用∠ACB减去∠ACD求出∠DCB，然后再利用∠ECB减去∠DCB即可解答；
（3）根据已知可得∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD＝180°，结合图形可知∠ACE+∠ECD+∠DCB＝∠ACB，然后进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵∠ACD＝90°，∠DCE＝35°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝90°﹣35°＝55°，
∵∠ECB＝90°，
∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝145°，
故答案为：145；
（2）∵∠ACD＝90°，∠ACB＝144°42′，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝144°42′﹣90°＝54°42′，
∵∠ECB＝90°，
∴∠DCE＝∠ECB﹣∠DCB＝90°﹣54°42′＝35°18′，
故答案为：35°18′；
（3）∠ACB与∠DCE互补，
理由是：∵∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，
∴∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD＝180°，
∵∠ACE+∠ECD+∠DCB＝∠ACB，
∴∠ACB+∠DCE＝180°，
即∠ACB与∠DCE互补．
【点评】本题考查了角的大小比较，角的计算，度分秒的换算，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
3．将一副三角板按图1摆放在直线MN上，AF平分∠BAD，AG平分∠BAE．
（1）∠BAD＝　 　；∠FAG＝　 　；
（2）如图2，若将三角板ABC绕A点以5°/秒的速度顺时针旋转t秒（t＜21），求∠FAG的度数；
（3）如图3，三角板ABC绕A点以m°/秒的速度顺时针旋转，同时，三角板ADE绕A点以n°/秒的速度逆时针旋转，当AD与AB边首次重合时两三角板都停止运动，若运行t秒时，有∠MAD＝∠CAE成立，试求此时m与n的关系．
【分析】（1）如图1．根据平角的定义可得∠BAD＝180°﹣∠BAC﹣∠DAE＝105°；根据角平分线定义可得∠BAF＝∠BAD＝52.5°，∠BAG＝∠BAE＝67.5°，代入∠FAG＝∠BAG﹣∠BAF，计算即可求解；
（2）如图2，根据平角的定义可得∠BAD＝180°﹣∠BAC﹣∠DAE﹣∠CAM＝105°﹣5t；∠BAE＝180°﹣∠BAC﹣∠CAM＝135°﹣5t；根据角平分线定义可得∠BAF＝∠BAD＝（105°﹣5t），∠BAG＝∠BAE＝（135°﹣5t），代入∠FAG＝∠BAG﹣∠BAF，计算即可求解；
（3）如图3．根据平角的定义可得∠MAD＝180﹣∠DAE﹣∠EAN＝150°﹣nt，∠CAE＝180°﹣∠MAC﹣∠EAN＝180°﹣mt﹣nt．根据∠MAD＝∠CAE列出方程150°﹣nt＝（180°﹣mt﹣nt），解方程即可得出m与n的关系．
【解答】解：（1）如图1．
∠BAD＝180°﹣∠BAC﹣∠DAE＝180°﹣45°﹣30°＝105°；
∵AF平分∠BAD，AG平分∠BAE，
∴∠BAF＝∠BAD＝52.5°，∠BAG＝∠BAE＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠FAG＝∠BAG﹣∠BAF＝67.5°﹣52.5°＝15°．
故答案为105°；15°；
（2）如图2，
由题意可知：
∠BAD＝180°﹣∠BAC﹣∠DAE﹣∠CAM＝180°﹣45°﹣30°﹣5t＝105°﹣5t；
∠BAE＝180°﹣∠BAC﹣∠CAM＝180°﹣45°﹣5t＝135°﹣5t；
∵AF平分∠BAD，AG平分∠BAE，
∴∠BAF＝∠BAD＝（105°﹣5t），
∠BAG＝∠BAE＝（135°﹣5t），
∴∠FAG＝∠BAG﹣∠BAF＝（135°﹣5t）﹣（105°﹣5t）＝15°；
（3）如图3．
∠MAD＝180﹣∠DAE﹣∠EAN＝180°﹣30°﹣nt＝150°﹣nt，
∠CAE＝180°﹣∠MAC﹣∠EAN＝180°﹣mt﹣nt．
当∠MAD＝∠CAE时，有150°﹣nt＝（180°﹣mt﹣nt），
解得n＝5m．
即当n＝5m时，有∠MAD＝∠CAE成立．
【点评】本题考查了角平分线定义，平角的定义以及角的计算，利用数形结合得出等式是解题关键，注意理清角之间的关系．
4．将一副三角板中的含有60°角的三角板的顶点和另一块的45°角的顶点重合于一点O，绕着点O旋转60°的三角板，拼成如图的情况（OB在∠COD内部），请回答问题：
（1）如图1放置，将含有60°角的一边与45°角的一边重合，求出此时∠AOD的度数．
（2）绕着点O，转动三角板AOB，恰好使OB平分∠COD，此时∠AOD的度数应该是多少？
（3）是否存在这种情况，∠AOC的度数恰好等于∠BOD度数的3倍．如果存在，请求出∠AOD的度数，如果不存在请说明理由．
【分析】（1）表示出∠AOD，即可求解；
（2）由OB平分∠COD，表示出∠AOD，即可求解；
（3）令∠BOC＝x°，表示出∠AOC，∠BOD，求出x，即可．
【解答】解：（1）∠AOD＝∠AOB+∠COD＝60°+45°＝105°，
（2）∵OB平分∠COD，
∴∠BOD＝∠COD＝22.5°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝60+22.5°＝82.5°；
（3）存在这种情况，∠AOC的度数恰好等于∠BOD度数的3倍．
令∠BOC＝x°，
∴∠AOC＝60°﹣x°，∠BOD＝45°﹣x°，
∵∠AOC＝3∠BOD，
∴60﹣x＝3（45﹣x），
∴x＝37.5，
∴∠BOD＝45°﹣37.5°＝7.5°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝60°+7.5°＝67.5°．
【点评】本题考查角平分线定义，角的和差，关键是准确表示出有关的角．
类型四、钟表的表针旋转。
时钟的时针每分钟转0.5度。钟表上有12个数字，时针转1圈为360度，每两个相邻数字之间的角度是：360÷12=30度。1小时等于60分钟，则时针每走过1分钟对应的角度应为：30÷60=0.5度。
时钟的分针每分钟转6度。
【例4-1】某电视台录制的“奔跑吧兄弟第四季”将在周五21：10播出，此时时钟上的分针与时针所成的角是多少度？在如图中大致标出此时的角（用短箭头、长箭头分别表示时针和分针），并用至少两种方式写出这个角？（可在表盘上标注相应的字母或数字）
【分析】直接利用时针每分钟走0.5°，分钟每分钟走6°，进而求出答案．
【解答】解：如图所示：∵时针每分钟走0.5°，
分钟每分钟走6°，
21点时分针与时针的夹角为90°，
∴10×6°＝60°，10×0.5°＝5°，
21点10分时夹角为：90°+60°﹣5°＝145°．
可以表示为∠1，∠AOB等．
【点评】此题主要考查了钟面角以及角的表示方法，正确得出时针与分钟转动速度是解题关键．
【例4-2】观察常用时钟，回答下列问题：
（1）早晨7时整，时针和分针构成多少度的角？
（2）时针多长时间转一圈？它转动的速度是每小时多少度？
（3）从7：00到7：40，分针转动了多少度？
【分析】（1）因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，找出7时时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可；
（2）由时钟可知时针12个小时转一圈，圆周角是360°即一圈是360°，所以速度为360÷12＝30；
（3）若时针由7：00到7：40，共经过40分钟，时针一小时即60分钟转30°，一分钟转动0.5°，分针一小时转360°，一分钟转6°，据此作答．
【解答】解：（1）7时，时针和分针中间相差5个大格．
∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴7时，分针与时针的夹角是5×30°＝150°，
答：早晨7时整，时针和分针构成150度的角；
（2）由时钟可知时针12个小时转一圈，
360°÷12＝30°，
答：时针12个小时转一圈，它转动的速度是每小时30度；
（3）分针转过的角度：（360°÷60）×40＝240°，
答：分针转动了240度．
【点评】本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
针对练习4
1．钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，在钟面上，点O为钟面的圆心，图中的圆我们称之为钟面圆．为便于研究，我们规定：钟面圆的半径OA表示时针，半径OB表示分针，它们所成的钟面角为∠AOB；本题中所提到的角都不小于0°，且不大于180°；本题中所指的时刻都介于0点整到12点整之间．
（1）时针每分钟转动的角度为 　 　°，分针每分钟转动的角度为 　 °；
（2）8点整，钟面角∠AOB＝　 °，钟面角与此相等的整点还有：　 　点；
（3）如图，设半径OC指向12点方向，在图中画出6点15分时半径OA、OB的大概位置，并求出此时∠AOB的度数．
【分析】（1）根据时针旋转一周12小时，可得时针旋转的速度，根据分针旋转一周60分钟，可得分针旋转的速度；
（2）根据时针与分针相距的份数乘每份的度数，可得答案；
（3）根据时针旋转的角度减去分针旋转的角度，可得答案．
【解答】解：（1）时针每分钟转动的角度为0.5°，分针每分钟转动的角度为6°；
故答案为：0.5，6；
（2）0.5×60×4＝120°，4点时0.5×60×4＝120°，
故答案为：120，4；
（3）如图，
∠AOB＝6×30+15×0.5﹣15×6＝97.5°．
【点评】本题考查了钟面角，利用时针时针旋转的角度减去分针旋转的角度是解题关键．
2．知识的迁移与应用
问题一：甲、乙两车分别从相距180km的 A、B两地出发，甲车速度为36km/h，乙车速度为24km/h，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），　5或25　后两车相距120km？
问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，OA表示时针，OB表示分针（O为两针的旋转中心）．下午3点时，OA与OB成直角．
（1）3：40时，时针与分针所成的角度　 　；
（2）分针每分钟转过的角度为　 　，时针每分钟转过的角度为　 　；
（3）在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分针成60°角？
【分析】问题一：分两种情况解答：①乙车在前甲车在后，②甲车在前乙车在后；列出方程求解即可；
问题二：（1）根据钟面的特点，平均分成12份，可得每份30°，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
（2）钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，分针每分钟转过的角是分，即×30°＝6°；时钟的时针每小时转过的角是一份，即30°，可得时针每分钟转过的角度为0.5°；
（3）分①当分针在时针上方时②当分针在时针下方时两种情况列出方程解答即可．
【解答】解：问题一：设xh后两车相距120km，
若相遇前，则36x﹣24x＝180﹣120，
解得x＝5，
若相遇后，则36x﹣24x＝180+120，
解得x＝25．
故两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），5或25后两车相距120km；
（1）30°×（5﹣）＝130°．
故3：40时，时针与分针所成的角度130°；
（2）分针每分钟转过的角度为6°，时针每分钟转过的角度为0.5°；
（3）设在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过x分钟，时针与分针成60° 角．
①当分针在时针上方时，
由题意得：（3+）×30﹣6x＝60，
解得：x＝；
②当分针在时针下方时，
由题意得：6x﹣（3+）×30＝60
解得：x＝．
答：在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过或分钟，时针与分针成60° 角．
故答案为：5或25；130°；6°；0.5°．
【点评】问题一：考查了一元一次方程的应用，主要利用了相遇问题等量关系，追及问题等量关系，熟练掌握行程问题的等量关系是解题的关键，难点在于分情况讨论．
问题二：考查了钟面角，时针与分针相距的份数乘以每份的度数．
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