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七年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题十九 余角和补角题型串讲
一、知识点大串讲
（一）余角和补角
1.余角和补角概念
两个角的和等于90°，这两个角互为余角。
两个角的和等于180°，这两个角互为补角。
2.余角和补角性质
同角（或等角）的余角相等， 同角（或等角）的补角相等
余角和补角的题型大串讲
类型一、求一个角的余角
【例1-1】如图，OC是∠AOB的平分线，且∠AOD＝90°．
（1）图中∠COD的余角是　 　；
（2）如果∠COD＝24°45′，求∠BOD的度数．
【例1-2】．已知：如图，∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOD＝25°．求∠AOC的度数．
针对练习1
1．已知∠α＝37°45′，则∠α的余角等于 　 　．
2．若∠A的余角为22°37'，则∠A的大小为 　 　．
．
类型二、求一个角的补角
【例2-1】如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．
（Ⅰ）求∠DOE的大小；
（Ⅱ）图中与∠COE互补的角是 　 　；与∠AOE互补的角是 　 　；
（Ⅲ）图中与∠BOE互余的角是 　 ．
【例2-2】．在桌上放置一副三角板（忽略厚度），有两个角的顶点重合于一点O，∠AOB＝∠D＝90°，∠COD＝60°．
（1）如图1，当OB与OC重合时，写出图中互补的角（写出三对即可）．
（2）绕着点O转动三角板COD（两个三角板有重叠），∠AOD+∠BOC的大小是否发生变化？若不发生变化，求出它的值；若发生变化，说明理由．
（3）在（2）的条件下，当∠AOC＝3∠BOD时，求∠BOD的度数．
针对练习2
1．已知一个角的补角是它的5倍，求这个角的余角．
2．一个角的补角比这个角的余角3倍还多10°，求这个角的度数．
3．如图，已知∠AOB的补角等于它的余角的10倍．
（1）求∠AOB的度数；
（2）若OD平分∠BOC，∠AOC＝3∠BOD，求∠AOD的度数．
类型三、与余角、补角有关的计算
【例3-1】如图，∠AOB＝∠COD＝90°，
（1）指出图中以点O为顶点的角中，互为补角的角并说明理由．
（2）若∠COB＝∠AOD，求∠AOD的度数．
【例3-2】如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠BOD＝70°，OF⊥AB．
（1）写出图中任意一对互余的角和一对互补的角：互余的角是　 　；互补的角是　 ；
（2）求∠EOF的度数．
针对练习3
1．如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE，OF⊥CD，垂足为O．
（1）写出图中所有与∠AOD互补的角；
（2）若∠AOE＝120°，求∠BOD的度数．
2．一个角的余角比它的补角的还少20°，求这个角．
3．以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝70°，将一个直角三角板DOE的直角（∠DOE＝90°）顶点放在点O处．
（1）将直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，如图1所示，则∠COE的度数为 　，其补角的度数为 　 　；
（2）将直角三角板DOE绕点O转动到如图2所示的位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数；
（3）如图3，将直角三角板DOE绕点O转动，OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE之间的数量关系，并说明理由；
（4）将直角三角板DOE绕点O转动，OD始终在∠BOC的外部，且∠BOD＝80°，请直接写出∠COE的度数．
类型四、余角、补角的性质的应用
【例4-1】如图1，已知∠AOC＝140°，∠BOC的余角比它的补角的少10°．
（1）求∠BOC的度数；
（2）如图1，当射线OP从OB处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，保持射线OP始终在∠BOA的内部，当∠POC＝10°时，求旋转时间．
（3）如图2，若射线OD为∠AOC的平分线，当射线OP从OB处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转，同时射线OT从射线OD处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当这两条射线重合于射线OE处（OE在∠DOC的内部）时，，求x的值．（注：本题中所涉及的角都是小于180°的角）
【例4-2】如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为反余角，其中一个角叫做另一个角的反余角．例如：∠1＝120°，∠2＝30°．∠1﹣∠2＝90°，则∠1和∠2互为反余角，其中∠1是∠2的反余角，∠2也是∠1的反余角．
（1）如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝90°＝∠DOE，∠AOE的反余角是　 　，则∠BOE的反余角是　 　．
（2）若一个角的反余角是它的补角的，求这个角的度数．
针对练习4
1．如图，点O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC
（1）写出图中∠AOD和∠AOC的补角；
（2）试说明∠COD和∠COE具有怎样的数量关系，写出证明过程．
2．①如图1，点A、C、B在同一直线上，CD平分∠ACB，∠ECF＝90°．回答下列问题：
（1）写出图中所有的直角　 　
（2）写出图中与∠ACE相等的　 　
（3）写图中∠DCE所有的余角　 　
（4）写图中∠ACE所有的余角　 　
（5）写图中∠FCD的补角　 　
（6）写图中∠DCE的补角　 　
②如图2，已知点A、O、B在一条直线上，∠COD＝90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数．
3．如图，已知∠AOB、∠COD都为平角，∠AOE、∠BOE、∠COF、∠DOF都等于90°．
（1）写出∠AOF的所有余角；
（2）写出∠BOD的所有补角；
（3）如果∠AOD＝4∠EOF，求∠EOF的度数．
4．如图，将一副三角尺的直角顶点重合在一起．
（1）若∠DOB与∠DOA的比是2：11，求∠BOC的度数．
（2）若叠合所成的∠BOC＝n°（0＜n＜90），则∠AOD的补角的度数与∠BOC的度数之比是多少？
5．如图1，OB、OC是∠AOD内部两条射线．
（1）若∠AOD和∠BOC互为补角，且∠AOD＝2∠BOC，求∠AOD及∠BOC的度数；
（2）如图2，若∠AOD＝2∠BOC，在∠AOD的外部分别作∠COD、∠AOB的余角∠DOM及∠AON，请写出∠DOM、∠AON、∠BOC之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，已知∠AOD＝120°，射线OE平分∠AOD，若将OB绕O点从OA出发以每秒6°逆时针旋转，OC绕O点从OD出发以每秒5°顺时针旋转，OB、OC同时运动；当OC运动一周回到OD时，OB、OC同时停止运动．若运动t（t＞0）秒后，OE恰好是∠BOC的四等分线，则此时t的值为 　或或　（直接写出答案）．
6．如图1，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC＝∠AOB，OD平分∠AOC．
（1）分别求∠AOB的补角和∠AOC的度数；
（2）现有射线OE，使得∠BOE＝30°．
①小明在图2中补全了射线OE，根据小明所补的图，求∠DOE的度数；
②小静说：“我觉得小明所想的情况并不完整，∠DOE还有其他的结果．”请你判断小静说的是否正确？若正确，请求出∠DOE的其他结果；若不正确，请说明理由．
类型五、余角、补角实际应用
【例5-1】如图，已知，则射线的方位角是 ．
【例5-2】如图，已知∠AOB=30°，∠AOE=130°，OB平分∠AOC， OD平分∠AOE．
（1）求∠COD的度数；
（2）若以O为观测中心，OA为正东方向，则射线OD的方位角是 ；
（3）若∠AOC、射线OE分别以每秒5°、每秒3°的速度同时绕点O逆时针方向旋转，其他条件不变，当OA回到原处时，全部停止运动，则经过多长时间，∠BOE=28°？
针对练习5
1．如图，是北偏东30°方向的一条射线，若，则的方位角是（ ）

A．北 B．北偏西60° C．北偏东30° D．北偏东60°
2．如图，是点O北偏东方向的一条射线，若射线与射线垂直，则的方位角是（ ）

A．西偏北 B．北偏西 C．西北方向 D．东偏北
3．如图，是北偏东方向的一条射线，若，则的方位角是（　　）
A．西北方向 B．北偏西 C．北偏西 D．西偏北
七年级数学上期末培优专题复习
专题十九 余角和补角题型归纳（解析版）
一、余角和补角
1.余角和补角概念
两个角的和等于90°，这两个角互为余角。
两个角的和等于180°，这两个角互为补角。
2.余角和补角性质
同角（或等角）的余角相等， 同角（或等角）的补角相等
余角和补角的题型归纳
类型一、求一个角的余角
【例1-1】如图，OC是∠AOB的平分线，且∠AOD＝90°．
（1）图中∠COD的余角是　 　；
（2）如果∠COD＝24°45′，求∠BOD的度数．
【分析】（1）由于∠AOD＝90°，则∠AOC+∠COD＝90°；因此∠AOC是∠COD的余角，而OC平分∠AOB，即∠BOC＝∠AOC，因此∠BOC也是∠COD的余角．
（2）由于∠COD和∠AOC互余，可求出∠AOC的度数，进而可求出∠AOB的度数，然后根据∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD，可求出∠BOD的度数．
【解答】解：（1）∠AOC，∠BOC；（答对1个给1分）（2分）
（2）∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝90°﹣24°45′＝65°15′（3分）
∵OC是∠AOB的平分线，所以∠AOB＝2∠AOC＝130°30′（4分）
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝130°30′﹣90°＝40°30′．（5分）
【点评】此题综合考查角平分线，余角和补角．要注意图中角与角之间的关系．
【例1-2】．已知：如图，∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOD＝25°．求∠AOC的度数．
【分析】根据∠AOB＝90°，∠BOD＝25°可求得∠AOD＝65°，进而可得∠AOC的度数；
【解答】解：∵∠BOD＝25°，∠AOB＝90°，
∴∠AOD＝65°，
∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝65°+90°＝155°．
【点评】此题主要考查了余角，以及角的计算，掌握余角的定义是关键．
针对练习1
1．已知∠α＝37°45′，则∠α的余角等于 　 　．
【分析】根据∠α的余角＝90°﹣∠α求出答案即可．
【解答】解：∵∠α＝37°45′，
∴∠α的余角是90°﹣∠α＝90°﹣37°45′＝52°15′，
故答案为：52°15′．
【点评】本题考查了补角与余角，能熟记∠α的余角＝90°﹣∠α是解此题的关键．
2．若∠A的余角为22°37'，则∠A的大小为 　 　．
【分析】根据互余的两角之和为90°即可求解．
【解答】解：∵∠A的余角为22°37'，
∴∠A＝90°﹣22°37'＝67°23'．
故答案为：67°23'．
【点评】本题主要考查余角，度分秒的换算，解答的关键是明确互余的两角之和为90°．
类型二、求一个角的补角
【例2-1】如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．
（Ⅰ）求∠DOE的大小；
（Ⅱ）图中与∠COE互补的角是 　 　；与∠AOE互补的角是 　 　；
（Ⅲ）图中与∠BOE互余的角是 　 ．
【分析】（Ⅰ）根据角平分线的定义及平角的定义求出∠DOE的大小；
（Ⅱ）根据∠BOE+∠AOE＝180°，∠COE＝∠BOE，通过等量代换得出∠COE互补的角；
根据角平分线的定义及平角的定义，通过等量代换得出∠AOE互补的角；
（Ⅲ）根据∠DOC+∠COE＝90°，∠COE＝∠BOE，通过等量代换得出∠BOE互余的角．
【解答】解：（Ⅰ）∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠DOC＝∠AOC，∠COE＝∠COB，
∵∠AOC+∠COB＝180°，
∴∠DOC+∠COE＝90°，
即∠DOE＝90°；
（Ⅱ）∵∠BOE+∠AOE＝180°，∠COE＝∠BOE，
∴与∠COE互补的角是∠AOE，
∵∠AOE+∠BOE＝180°，
∴与∠AOE互补的角是∠BOE或∠COE；
故答案为：∠AOE；∠BOE或∠COE；
（Ⅲ）∵∠DOC+∠COE＝90°，∠COE＝∠BOE，
∴∠BOE+∠COD＝90°，
∵∠COD＝∠DOA，
∴∠BOE+∠AOD＝90°，
∴与∠BOE互余的角是∠COD或∠DOA；
故答案为：∠COD或∠DOA．
【点评】本题考查余角和补角、角平分线的定义，掌握角平分线的定义的应用，余角（补角）与这两个角的位置没有关系，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系是解题的关键．
【例2-2】．在桌上放置一副三角板（忽略厚度），有两个角的顶点重合于一点O，∠AOB＝∠D＝90°，∠COD＝60°．
（1）如图1，当OB与OC重合时，写出图中互补的角（写出三对即可）．
（2）绕着点O转动三角板COD（两个三角板有重叠），∠AOD+∠BOC的大小是否发生变化？若不发生变化，求出它的值；若发生变化，说明理由．
（3）在（2）的条件下，当∠AOC＝3∠BOD时，求∠BOD的度数．
【分析】（1）观察图形可得答案；
（2）由∠AOD＝∠AOC+∠COD，可得∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝90°+60°＝150°；
（3）设∠BOD＝α，可得∠BOC＝60°﹣α＝90°﹣3α或∠BOC＝60°+α＝90°﹣3α，即可解得答案．
【解答】解：（1）由图可知，互补的角有：∠AOB和∠CDO，∠AOD和∠C，∠ABC和∠A；
（2）∠AOD+∠BOC的大小不发生变化，理由如下：
∵∠AOD＝∠AOC+∠COD，
∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠COD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝90°+60°＝150°，
∴∠AOD+∠BOC的大小不发生变化，它的值是150°；
（3）设∠BOD＝α，则∠AOC＝3α，
∴∠BOC＝60°﹣α＝90°﹣3α或∠BOC＝60°+α＝90°﹣3α，
解得α＝15°或α＝7.5°，
∴∠BOD＝15°或∠BOD＝7.5°．
【点评】本题考查余角与补角，解题的关键是掌握角的和差运算．
针对练习2
1．已知一个角的补角是它的5倍，求这个角的余角．
【分析】设这个角为x，则余角为（90°﹣x），补角为（180°﹣x），再由这个角的补角是它的5倍，可得出方程，解出即可．
【解答】解：设这个角为x，则余角为（90°﹣x），补角为（180°﹣x），
由题意得：180°﹣x＝5x，
解得：x＝30，
∴这个角的余角为60°．
【点评】本题考查了余角和补角的知识，注意掌握互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°．
2．一个角的补角比这个角的余角3倍还多10°，求这个角的度数．
【分析】设这个角为x，根据余角和补角的概念列出方程，解方程即可．
【解答】解：设这个角为x，
由题意得，180°﹣x＝3（90°﹣x）+10°，
解得x＝50°．
答：这个角的度数为50°．
【点评】本题考查了余角和补角的概念，掌握若两个角的和为90°，则这两个角互余，两个角的和等于180°，则这两个角互补是关键．
3．如图，已知∠AOB的补角等于它的余角的10倍．
（1）求∠AOB的度数；
（2）若OD平分∠BOC，∠AOC＝3∠BOD，求∠AOD的度数．
【分析】（1）利用设元法列方程求解即可．
（2）设∠BOD＝y，利用题目条件列出关于y的方程求解即可．
【解答】解：（1）设∠AOB＝x，
由题意得：180°﹣x＝10（90°﹣x），
解得x＝80°．
所以∠AOB的度数为80°．
（2）设∠BOD＝y，则∠AOC＝3y，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠BOD＝2y，
由题意得：3y+2y+80°＝360°，
解得y＝56°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝80°+56°＝136°．
【点评】本题考查角度的计算、补角和余角的概念，熟练掌握设元法求角的方法是解题关键．
类型三、与余角、补角有关的计算
【例3-1】如图，∠AOB＝∠COD＝90°，
（1）指出图中以点O为顶点的角中，互为补角的角并说明理由．
（2）若∠COB＝∠AOD，求∠AOD的度数．
【分析】（1）通过计算，寻找和为180°的两个角；
（2）由于∠AOD与∠COB互补，把∠COB＝∠AOD代入求出∠AOD．
【解答】解：（1）互为补角的角有：∠AOD与∠COB，∠AOB与∠COD
理由：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB+∠COD＝180°；
∴∠AOC＝∠BOD，
∵∠AOB+∠COD＝180°，
∠COD＝∠COB+∠BOD
∴∠AOB+∠BOD+∠COB＝180°，
即∠AOD+∠COB＝180°．
（2）∵∠COB＝∠AOD，
又∵∠AOD+∠COB＝180°，
∴∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝126°．
∠AOD的度数为126°．
【点评】本题考查了互补、角的和差的计算等知识．利用互补关系及角间关系，通过方程的思想是解决本题的关键．
【例3-2】如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠BOD＝70°，OF⊥AB．
（1）写出图中任意一对互余的角和一对互补的角：互余的角是　 　；互补的角是　 ；
（2）求∠EOF的度数．
【分析】（1）由垂线的定义得出互余的角，由平角的定义得出互补的角；
（2）由对顶角相等和角平分线的定义得出∠AOE的度数，再由互余关系，即可得出∠EOF的度数．
【解答】解：（1）∵OF⊥AB，
∴∠AOE+∠EOF＝90°，
即∠AOE和∠EOF互余；
∵直线AB与直线CD相交于点O，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC和∠BOC互补；
故答案为：∠AOE和∠EOF；∠AOC和∠BOC；
（2）∵∠AOC＝∠BOD＝70°，OE平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠AOC＝35°，
∴∠EOF＝90°﹣∠AOE＝90°﹣35°＝55°．
【点评】本题考查了余角和补角、角平分线的定义、对顶角相等的性质，比较简单，属于基础题目．
针对练习3
1．如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE，OF⊥CD，垂足为O．
（1）写出图中所有与∠AOD互补的角；
（2）若∠AOE＝120°，求∠BOD的度数．
【分析】（1）根据邻补角的定义确定出∠AOC和∠BOD，再根据角平分线的定义可得∠AOF＝∠EOF，根据垂直的定义可得∠COF＝∠DOF＝90°，然后根据等角的余角相等求出∠DOE＝∠AOC，从而最后得解；
（2）根据角平分线的定义求出∠AOF，再根据余角的定义求出∠AOC，然后根据对顶角相等解答．
【解答】解：（1）∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠AOC和∠BOD与∠AOD互补，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝∠DOF＝90°，
∴∠DOE＝∠AOC，
∴∠DOE也是∠AOD的补角，
∴与∠AOD互补的角有∠AOC，∠BOD，∠DOE；
（2）∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠AOE＝60°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOC＝∠COF﹣∠AOF＝90°﹣60°＝30°，
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠BOD＝∠AOC＝30°．
【点评】本题考查了余角和补角，对顶角相等的性质，角平分线的定义，难点在于（1）根据等角的余角相等确定出与∠AOD互补的第三个角．
2．一个角的余角比它的补角的还少20°，求这个角．
【分析】首先根据余角与补角的定义，设这个角为x，则它的余角为（90°﹣x），补角为（180°﹣x），再根据题中给出的等量关系列方程即可求解．
【解答】解：设这个角为x，则它的余角为（90°﹣x），补角为（180°﹣x），
根据题意，可得90°﹣x＝（180°﹣x）﹣20°，
解得x＝75°．
故答案为75°．
【点评】此题综合考查余角与补角，属于基础题中较难的题，解答此类题一般先用未知数表示所求角的度数，再根据一个角的余角和补角列出代数式和方程求解．
3．以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝70°，将一个直角三角板DOE的直角（∠DOE＝90°）顶点放在点O处．
（1）将直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，如图1所示，则∠COE的度数为 　，其补角的度数为 　 　；
（2）将直角三角板DOE绕点O转动到如图2所示的位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数；
（3）如图3，将直角三角板DOE绕点O转动，OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE之间的数量关系，并说明理由；
（4）将直角三角板DOE绕点O转动，OD始终在∠BOC的外部，且∠BOD＝80°，请直接写出∠COE的度数．
【分析】（1）根据图形得出∠COE＝∠DOE﹣∠BOC，代入求出∠COE的度数，再利用补角的定义可求解；
（2）根据角平分线定义求出∠BOE＝140°，代入∠BOD＝∠BOC﹣∠DOE，再利用∠COD＝∠BOC﹣∠BOD即可求解；
（3）根据图形得出∠BOD+∠COD＝∠BOC＝70°，∠COE+∠COD＝∠DOE＝90°，相减即可求出答案；
（4）将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD在∠BOC的外部，在备用图中画出三角板DOE的四个位置，即可求出∠COE的度数．
【解答】解：（1）若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，
则∠COE＝∠DOE﹣∠BOC＝90°﹣70°＝20°．
∴其补角为180°﹣20°＝160°，
故答案为：20；160°；
（2）∵OC平分∠BOE，∠BOC＝70°，
∴∠EOB＝2∠BOC＝140°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠BOD＝∠BOE﹣∠DOE＝50°，
∵∠BOC＝70°，
∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝20°；
（3）∠COE﹣∠BOD＝20°，
理由是：∵∠BOD+∠COD＝∠BOC＝70°，∠COE+∠COD＝∠DOE＝90°，
∴（∠COE+∠COD）﹣（∠BOD+∠COD）
＝∠COE+∠COD﹣∠BOD﹣∠COD
＝∠COE﹣∠BOD
＝90°﹣70°
＝20°，
即∠COE﹣∠BOD＝20°；
（4）如图，
∵∠BOC＝70°，∠BOD＝80°，
∴∠COD＝80°﹣70°＝10°，
∴∠COE＝∠COD+∠DOE＝90°+10°＝100°；
如图，
∵∠BOD＝80°，∠BOC＝70°，
∴∠COD＝∠BOD+∠BOC＝80°+70°＝150°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝150°﹣90°＝60°，
综上，∠COE的度数为100°或60°．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、余角和补角、旋转作图，解决本题的关键是准确画出旋转后的三角板的位置．
类型四、余角、补角的性质的应用
【例4-1】如图1，已知∠AOC＝140°，∠BOC的余角比它的补角的少10°．
（1）求∠BOC的度数；
（2）如图1，当射线OP从OB处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，保持射线OP始终在∠BOA的内部，当∠POC＝10°时，求旋转时间．
（3）如图2，若射线OD为∠AOC的平分线，当射线OP从OB处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转，同时射线OT从射线OD处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当这两条射线重合于射线OE处（OE在∠DOC的内部）时，，求x的值．（注：本题中所涉及的角都是小于180°的角）
【分析】（1）根据“∠BOC的余角比它的补角的少10°”建立方程，求解即可．
（2）根据射线OP的运动可知，需要分两种情况，和OC相遇前，和OC相遇后，分别列出方程求解即可．
（3）当两射线重合时，可分别求出∠DOE，∠BOC，∠COE，根据给出的等式建立方程，求解即可．
【解答】解：（1）根据题意可知，90°﹣∠BOC＝（180°﹣∠BOC）﹣10°，
解得∠BOC＝20°；
（2）设旋转时间为t秒，
根据射线的运动可知，∠BOP＝4°t，
当OP到达OC前，∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝20°﹣4°t，
∴20°﹣4°t＝10°，解得t＝2.5；
当OP到达OC后，∠POC＝∠BOP﹣BOC＝4°t﹣20°，
∴4°t﹣20°＝10°，解得t＝7.5；
∴当∠POC＝10°时，旋转时间为2.5秒或7.5秒．
（3）∵∠AOC＝140°，OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD＝70°，
∴∠BOD＝∠COD+∠BOC＝90°，
设相遇时，旋转的时间为t秒，
根据射线的运动可知，∠BOP＝∠BOE＝4°t，∠TOD＝∠DOE＝x°t，
∴∠COE＝∠BOE﹣∠BOC＝4°t﹣20°，
∠DOE+∠BOC＝x°t+20°，
∠BOD＝4°t+x°t＝90°，
∴4°t﹣20°+x°t+20°＝90°，
∵，
∴（x°t+20°）：（4°t﹣20°）＝7：2，即[90°﹣（4°t﹣20°）]：（4°t﹣20°）＝7：2，
解得4°t﹣20°＝20°，即t＝10，
∴4°×10+10 x°＝90°，解得x＝5．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，角度的和差计算等知识，（3）中关键是找到等量关系：∠DOE+∠BOC+∠COE＝90°．
8．如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为反余角，其中一个角叫做另一个角的反余角．例如：∠1＝120°，∠2＝30°．∠1﹣∠2＝90°，则∠1和∠2互为反余角，其中∠1是∠2的反余角，∠2也是∠1的反余角．
（1）如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝90°＝∠DOE，∠AOE的反余角是　 　，则∠BOE的反余角是　 　．
（2）若一个角的反余角是它的补角的，求这个角的度数．
【分析】（1）由∠AOD﹣∠AOE＝90°，得出∠AOE的反余角是∠AOD；由∠BOE﹣∠EOC＝90°，再证出∠BOD＝∠EOC，得出∠BOE的反余角为∠EOC和∠DOB；
（2）设这个角为x°，分情况讨论，根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵∠AOD﹣∠AOE＝90°，
∴∠AOE的反余角是∠AOD；
∵∠BOE﹣∠EOC＝90°，OC⊥AB，OE⊥CD，
∴∠BOC＝∠DOE＝90°，
∴∠BOD＝∠EOC，
∴∠BOE﹣∠BOD＝90°，
∴∠BOE的反余角为∠EOC和∠DOB；
故答案为：∠AOD；∠EOC和∠DOB；
（2）设这个角为x°，
若这个角是锐角，则它的反余角为（90+x）°，
由题意，得90+x＝（180﹣x），
解得x＝18，
若这个角是钝角，则它的反余角为（x﹣90）°，
由题意，得x﹣90＝（180﹣x），
解得x＝126，
综上所述，这个角为18°或 126°．
【点评】本题考查了余角、补角以及反余角的知识；仔细观察图形理解两个角的反余角关系、互补关系是解题的关键．
针对练习4
1．如图，点O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC
（1）写出图中∠AOD和∠AOC的补角；
（2）试说明∠COD和∠COE具有怎样的数量关系，写出证明过程．
【分析】（1）根据补角的定义，和是180度的两个角互补，一个角是另一个角的补角；
（2）根据角平分线的定义得到∠DOE＝∠AOB＝90°，据此即可判断．
【解答】解：（1）∠AOD的补角是：∠BOD；
∠AOC的补角是∠BOC；
（2）∠COD+∠COE＝90°．
理由是：如图，∵OD是∠AOC的角平分线，OE是∠BOC的角平分线，
∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOC，
∴∠COD+∠COE＝（∠AOC+∠BOC）＝×180°＝90°．
【点评】本题考查了角平分线的定义．根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．
2．①如图1，点A、C、B在同一直线上，CD平分∠ACB，∠ECF＝90°．回答下列问题：
（1）写出图中所有的直角　 　
（2）写出图中与∠ACE相等的　 　
（3）写图中∠DCE所有的余角　 　
（4）写图中∠ACE所有的余角　 　
（5）写图中∠FCD的补角　 　
（6）写图中∠DCE的补角　 　
②如图2，已知点A、O、B在一条直线上，∠COD＝90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数．
【分析】①由直角的定义、角平分线的定义、余角和补角的定义可得结果；
②由∠COD＝90°，易得∠AOC+∠BOD＝90°，利用角平分线的性质可得∠COE+∠DOF＝45°，可得∠EOF的度数．
【解答】解：①∵CD平分∠ACB，∠ECF＝90°，
∴∠ACD＝∠BCD＝90°，
∴∠ACE＝∠FCD，∠BCF＝∠ECD，
（1）图中所有的直角有：∠ACD，∠BCD，∠ECF；
（2）与∠ACE相等的角有∠DCF；
（3）∠DCE所有的余角有∠ACE，∠DCF；
（4）∠ACE所有的余角有∠DCE，∠BCF；
（5）∠FCD的补角∠BCE；
（6）∠DCE的补角∠ACF．
故答案为：∠ACD，∠BCD，∠ECF；∠DCF；∠ACE，∠DCF；∠DCE，∠BCF；∠BCE；∠ACF．；
（2）∵∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠COE+∠DOF＝（∠AOC+∠BOD）＝＝45°，
∴∠EOF＝∠COE+∠DOF+∠COD＝135°．
【点评】本题主要考查了直角的定义、角平分线的定义、余角和补角的定义等，根据图形和定义解答是关键．
3．如图，已知∠AOB、∠COD都为平角，∠AOE、∠BOE、∠COF、∠DOF都等于90°．
（1）写出∠AOF的所有余角；
（2）写出∠BOD的所有补角；
（3）如果∠AOD＝4∠EOF，求∠EOF的度数．
【分析】（1）余角即与另一个角的和为90°的角；
（2）补角即与另一个角的和为180°的角；
（3）利用平角为180°求解．
【解答】解：（1）∠AOF的所有余角有∠EOF、∠BOD、∠AOC；
（2）∠BOD的所有补角∠AOD、∠BOC；
（3）∵∠AOC＝∠EOF，∠AOC+∠AOD＝180°，∠AOD＝4∠EOF，
∴5∠AOC＝180°，
∴∠EOF＝∠AOC＝36°．
故∠EOF的度数是36°．
【点评】本题考查了余角和补角的定义以及性质、平角的定义，若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．等角的补角相等．等角的余角相等．
4．如图，将一副三角尺的直角顶点重合在一起．
（1）若∠DOB与∠DOA的比是2：11，求∠BOC的度数．
（2）若叠合所成的∠BOC＝n°（0＜n＜90），则∠AOD的补角的度数与∠BOC的度数之比是多少？
【分析】根据条件可知∠AOB＝∠COD＝90°，并且∠AOD＝∠AOB+∠COD﹣∠BOC＝180°﹣∠BOC，根据这个关系就可以求解．
【解答】解：（1）设∠DOB＝2x°，则∠DOA＝11x°，
∵∠AOB＝∠COD
∴∠AOC＝∠DOB＝2x°，∠BOC＝7x°．
又∵∠AOD＝∠AOB+∠COD﹣∠BOC＝180°﹣∠BOC
则得方程：11x＝180﹣7x
解得：x＝10
∴∠BOC＝70°．
（2）∵∠AOD＝∠AOB+∠COD﹣∠BOC＝180°﹣∠BOC
∴∠AOD与∠BOC互补，
则∠AOD的补角等于∠BOC．
故∠AOD的补角的度数与∠BOC的度数之比是1：1．
【点评】正确认识∠AOD＝∠AOB+∠COD﹣∠BOC＝180°﹣∠BOC这一个关系是解题的关键，这是一个常用的关系，需熟记．
5．如图1，OB、OC是∠AOD内部两条射线．
（1）若∠AOD和∠BOC互为补角，且∠AOD＝2∠BOC，求∠AOD及∠BOC的度数；
（2）如图2，若∠AOD＝2∠BOC，在∠AOD的外部分别作∠COD、∠AOB的余角∠DOM及∠AON，请写出∠DOM、∠AON、∠BOC之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，已知∠AOD＝120°，射线OE平分∠AOD，若将OB绕O点从OA出发以每秒6°逆时针旋转，OC绕O点从OD出发以每秒5°顺时针旋转，OB、OC同时运动；当OC运动一周回到OD时，OB、OC同时停止运动．若运动t（t＞0）秒后，OE恰好是∠BOC的四等分线，则此时t的值为 　或或　（直接写出答案）．
【分析】（1）由∠AOD和∠BOC互为补角，∠AOD＝2∠BOC，可得3∠BOC＝180°，进而求解．
（2）设∠BOC＝α，则∠AOD＝2α，由余角的定义可知，∠DOM+∠COD+∠AON+∠AOB＝180°，所以∠AOB+∠COD＝∠AOD﹣∠BOC＝2α﹣α＝α，∠DOM+∠AON＝180°﹣α，则∠DOM+∠AON+∠BOC＝180°﹣α+α＝180°．
（3）根据射线的运动，需要分三种情况讨论：①OB到达OE前，②当射线OC到达射线OE后，③当射线OB旋转一周后，建立等式，求解即可．
【解答】解：（1）∵∠AOD和∠BOC互为补角，
∴∠AOD+∠BOC＝180°，
∵∠AOD＝2∠BOC，
∴3∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝60°，∠AOD＝120°．
（2）∠DOM+∠AON+∠BOC＝180°，
设∠BOC＝α，则∠AOD＝2α，
∵∠DOM和∠AON分别是∠COD和∠AOB的余角，
∴∠DOM+∠COD+∠AON+∠AOB＝180°，
∴∠AOB+∠COD＝∠AOD﹣∠BOC＝2α﹣α＝α，
∠DOM+∠AON＝180°﹣α，
∴∠DOM+∠AON+∠BOC＝180°﹣α+α＝180°．
（3）①OB到达OE前，如图3①，
由点的运动可知，∠AOB＝6°t，∠DOC＝5°t，
∴∠BOC＝120°﹣6°t﹣5°t＝120°﹣11°t，∠BOE＝60°﹣6°t，∠COE＝60°﹣5°t，
由题意可知，120°﹣11°t＝4（60°﹣6°t），解得t＝，
②当射线OC到达射线OE后，如图3②，
此时，∠COE＝5°t﹣60°，∠BOE＝6°t﹣60°，
则∠BOC＝∠COE+∠BOE＝11°t﹣120°，
根据题意可知，4（5°t﹣60°）＝11°t﹣120°，解得t＝；
③当射线OB旋转一周后，如图3③，
此时，∠COE＝360°﹣5°t+60°＝420°﹣5°t，∠BOE＝60°﹣（6°t﹣360°）＝420°﹣6°t，
∴∠BOC＝∠COE+∠BOE＝840°﹣11t，
根据题意得，4（420°﹣6°t）＝840°﹣11t，解得t＝．
故答案为：或或．
【点评】本题主要考查角度的和差计算，余角和补角的定义以及一元一次方程的应用等内容．（3）关键是根据射线的运动进行正确的讨论，根据数量关系得出等式．
6．如图1，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC＝∠AOB，OD平分∠AOC．
（1）分别求∠AOB的补角和∠AOC的度数；
（2）现有射线OE，使得∠BOE＝30°．
①小明在图2中补全了射线OE，根据小明所补的图，求∠DOE的度数；
②小静说：“我觉得小明所想的情况并不完整，∠DOE还有其他的结果．”请你判断小静说的是否正确？若正确，请求出∠DOE的其他结果；若不正确，请说明理由．
【分析】（1）先根据补角的定义求出∠AOB的补角，再根据给出∠AOC和∠AOB的关系求出∠AOC的度数；
（2）①根据角平分线的性质求出∠AOD的度数，再根据角度的和差计算求出∠DOE的度数；
②当射线OE在射线OB的上方时，画出图形，根据角平分线的性质及角度的和差计算求出∠DOE的度数．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝120°，
∴∠AOB的补角为：180°﹣120°＝60°，
∠AOC＝∠AOB＝×120°＝80°；
（2）①∵OD平分∠AOC，∠AOC＝80°，
∴∠AOD＝×80°＝40°．
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝80°，
∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝110°；
②小静的说法正确，∠DOE＝50°；理由如下：
当射线OE在射线OB的上方时，如图所示，
∵OD平分∠AOC，∠AOC＝80°，
∴∠AOD＝×80°＝40°．
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝80°，
∴∠DOE＝∠BOD﹣∠BOE＝50°．
【点评】本题主要考查角度的计算，涉及角平分线的性质，角度的和差计算，分类讨论思想等知识，关键是根据题意判断出射线OE的位置不确定，需要进行分类讨论．
类型五、余角、补角实际应用
【例5-1】如图，已知，则射线的方位角是 ．
【答案】北偏东
【分析】本题考查方位角．根据方位角的定义：从正北开始，顺时针到目标所在线的夹角，进行判断即可．
【详解】解：由题意，得：射线的方位角的度数为，
∴射线的方位角是：北偏东；
故答案为：北偏东．
【例5-2】如图，已知∠AOB=30°，∠AOE=130°，OB平分∠AOC， OD平分∠AOE．
（1）求∠COD的度数；
（2）若以O为观测中心，OA为正东方向，则射线OD的方位角是 ；
（3）若∠AOC、射线OE分别以每秒5°、每秒3°的速度同时绕点O逆时针方向旋转，其他条件不变，当OA回到原处时，全部停止运动，则经过多长时间，∠BOE=28°？
【答案】（1）∠COD= 5°；（2）北偏东25°；（3）经过36秒或者64秒
【分析】（1）由角平分线的定义求出∠AOD、∠AOC的度数，然后根据角的和差计算即可；
（2）作OF⊥OA，求出∠FOD的度数，然后根据方向角的表示方法，可得答案；
（3）设经过x秒，∠BOE=28°，分两种情况列出方程并解答即可．
【详解】（1）因为OB平分∠AOC， OD平分∠AOE，
所以∠AOC=2∠AOB=60°， ∠AOD=∠AOE=65°，
所以∠COD=∠AOD-∠AOC=65°-60°= 5° ；
（2）如图，作OF⊥OA，
∵∠AOD=65°，
∴∠FOD=90°-65°=25°，
∴射线OD的方位角是北偏东25°；
（3）因为∠AOB=30°，∠AOE=130°，
所以∠EOB=∠AOE-∠AOB=100°
设经过x秒∠BOE=28°，则3x+100-5x=28，
解得x=36 ；
或 5x-（3x+100）=28，
解得x=64．
答：经过36秒或者64秒∠BOE=28°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，方向角，一元一次方程的应用，角的和差，以及分类讨论的数学思想．掌握角平分线的定义是解（1）的关键，掌握方向角的定义是解（2）的关键，分类讨论是解（3）的关键．
针对练习5
1．如图，是北偏东30°方向的一条射线，若，则的方位角是（ ）

A．北 B．北偏西60° C．北偏东30° D．北偏东60°
【答案】B
【分析】根据方向角的定义可得：，然后利用角的和差关系可求出，从而根据方向角的定义，即可解答．
【详解】解：如图：

由题意得：，
，
，
的方位角是北偏西，
故选：B．
【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
2．如图，是点O北偏东方向的一条射线，若射线与射线垂直，则的方位角是（ ）

A．西偏北 B．北偏西 C．西北方向 D．东偏北
【答案】B
【分析】根据方位角的定义和垂直的意义得出，继而求出，再根据方位角的定义作答即可．
【详解】如图，

∵是点O北偏东方向的一条射线，射线与射线垂直，
∴，
∴，
∴的方位角是北偏西，
故选：B．
【点睛】本题考查了方位角的定义，准确求出角度是解题的关键．
3．如图，是北偏东方向的一条射线，若，则的方位角是（　　）
A．西北方向 B．北偏西 C．北偏西 D．西偏北
【答案】C
【分析】根据已知计算即可．
【详解】解：如图：
由题意得：，
∵，
∴，
∴的方位角是北偏西，
故选：C．
【点睛】本题考查了方位角，直角的意义，熟练掌握方位角的意义是解题的关键
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