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七年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题二十 第4章几何图形初步期末素质测评
时间120分钟 满分120分
学校 __ ___ 班级_____ 姓名 _________ 考号________
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，OC是∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC平分∠AOB的是（　　）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＝∠AOB
C．∠AOB＝2∠BOC D．∠AOC+∠COB＝∠AOB
2．下列各图经过折叠不能围成一个正方体的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如果点B在线段AC上，那么下列表达式中：①AB＝AC，②AB＝BC，③AC＝2AB，④AB+BC＝AC，能表示B是线段AC的中点的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列立体图形中是圆柱的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图是一个正方体的表面展开图，如果相对面上所标的两个数互为相反数，那么x+y+z的值是（　　）
A．1 B．4 C．7 D．9
6．如图所示，直线MN表示一条铁路，铁路两旁各有一点A和B，表示两个工厂．要在铁路上建一货站P，使它到两厂距离之和最短，这个货站P应建在AB与MN的交点处，这种做法用几何知识解释应是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．射线只有一个端点
C．两直线相交只有一个交点
D．两点确定一条直线
7．如图，O是直线AB上一点，过O作任意射线OM，OC平分∠AOM，OD平分∠BOM，则∠COD的度数是（　　）
A．80° B．90° C．100° D．不能确定
8．如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若∠BOA＝90°，则OB的方位角是（　　）
A．北偏西30° B．北偏西60° C．北偏东30° D．北偏东60°
9．在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛，像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了（　　）
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．两点确定一条直线
10．如图，小明从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西40°方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时一致，则小明应该（　　）
A．左转80° B．右转80° C．左转100° D．右转100°
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．一副三角板按如图所示方式重叠，若图中∠DCE＝35°25′，则∠ACB＝　 　．
12．已知，B是线段AD上一点，C是线段AD的中点，若AD＝10，BC＝3，则AB＝ ．．
13．如图，已知∠AOC：∠BOC＝1：5．OD是∠AOB的角平分线，且∠COD＝36°，则∠AOC的度数为 　 　．
14．小刚每晚19：00都要看央视的“新闻联播”节目，这时钟面上时针与分针夹角的度数为　 　度．
15．某复兴号列车在哈尔滨和北京之间运行，途中要停靠于3个站点，如果任意两站之间的票价都不同，那么有 　 　种不同的票价，应发行 　 　种不同的车票．
三．解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）如图，线段AB的长为20，点C在线段AB上，且，点D在线段AB上，且，点M是DB的中点，求线段MB的长．
17．（8分）如图，延长线段AB到C，使BC＝3AB，点D是线段BC的中点，如果CD＝3cm，那么线段AC的长度是多少？
18．（8分）如图，射线OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线，且∠AOB＝90°．
（1）求∠MON的度数；
（2）当OC在∠AOB内转动时，∠MON的度数是否会发生变化？简单说明理由．
19．（8分）已知点D为线段AB的中点，点C在线段AB上．
（1）如图1，若AC＝8cm，BC＝6cm，求线段CD的长；
（2）如图2，若BC＝2CD，点E为BD中点，AE＝18cm，求线段AC的长．
20．（9分）直角三角板ABC的直角顶点C在直线DE上，CF平分∠BCD．
（1）在图1中，若∠BCE＝40°，∠ACF＝　 　；
（2）在图1中，若∠BCE＝α，∠ACF＝　 　（用含α的式子表示）；
（3）将图1中的三角板ABC绕顶点C旋转至图2的位置，若∠BCE＝150°，试求∠ACF与∠ACE的度数．
21．（10分）根据题意，补全解题过程：
如图，已知射线OB，OM，ON在∠AOD内部，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．若∠AOD＝156°，∠DON＝48°，求∠AOM的度数．
解：∵ON平分∠BOD，
∴　 　＝2∠DON．
∵∠DON＝48°，
∴∠BOD＝　 　．
∵∠AOB＝　 　﹣∠BOD，∠AOD＝156°，
∴∠AOB＝　 　．
∵OM平分∠AOB，
∴∠AOM＝ 　 　＝　 　．
22．（12分）如图，∠AOB＝90°，∠COD＝90°，∠AOC＝30°，射线OP在∠BOC内，∠BOP＝n∠COP．
（1）当n＝1时，请用量角器在图1中画出射线OP，求∠DOP的度数；
（2）当n＝2时，OQ平分∠DOP，直接写出∠BOQ的度数．
23．（12分）已知射线OC在∠AOB的内部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线．
（1）一个角的平分线 　 　这个角的奇妙线；（填“是”或“不是”）
（2）如图，∠MPN＝60°．
①若射线PQ是∠MPN的奇妙线，则∠QPN的度数为 　 　度；
②射线PF从PN位置开始，以每秒旋转3°45'的速度绕点P按逆时针方向旋转，当
∠FPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．当t为何值时，射线PM是∠FPN的奇妙线？
七年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题二十 第4章几何图形初步期末素质测评
时间120分钟 满分120分
学校 __ ___ 班级_____ 姓名 _________ 考号________
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，OC是∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC平分∠AOB的是（　　）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＝∠AOB
C．∠AOB＝2∠BOC D．∠AOC+∠COB＝∠AOB
【分析】根据角平分线的定义可直接判定求解．
【解答】解：A、∵∠AOC＝∠BOC，
∴OC平分∠AOB．
所以A选项正确，不符合题意；
B、∵∠AOC＝∠AOB，
∴OC平分∠AOB．
所以B选项正确，不符合题意．
C、∵∠AOB＝2∠BOC，
∴OC平分∠AOB．
所以C选项正确，不符合题意；
D、∵∠AOC+∠COB＝∠AOB，
∴OC不一定平分∠AOB．
所以D选项错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的定义，解决本题的关键是掌握角平分线的定义．
2．下列各图经过折叠不能围成一个正方体的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．只要有“田”“凹”“一线超过四个正方形”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．
【解答】解：A、是正方体的展开图，不符合题意；
B、是正方体的展开图，不符合题意；
C、是正方体的展开图，不符合题意；
D、不是正方体的展开图，缺少一个底面，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了正方体的展开图，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．
3．如果点B在线段AC上，那么下列表达式中：①AB＝AC，②AB＝BC，③AC＝2AB，④AB+BC＝AC，能表示B是线段AC的中点的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】比较线段的长短．版权所有
【分析】根据题意，画出图形，观察图形，一一分析选项，排除错误答案．
【解答】
解：如图，若B是线段AC的中点，
则AB＝AC，AB＝BC，AC＝2AB，
而AB+BC＝AC，B可是线段AC上的任意一点，
∴表示B是线段AC的中点的有①②③3个．
故选：C．
【点评】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性，同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点
4．下列立体图形中是圆柱的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用圆柱的特征判定即可．
【解答】解：由圆柱的特征判定D为圆柱．
故选：D．
【点评】本题主要考查了认识立体图形，解题的关键是熟记圆柱的特征．
5．如图是一个正方体的表面展开图，如果相对面上所标的两个数互为相反数，那么x+y+z的值是（　　）
A．1 B．4 C．7 D．9
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“x”相对的数字是“﹣8”，故x＝8；
“y”相对的数字是“﹣2”，故y＝2；
“z”相对的数字是“3”，故z＝﹣3．
∴x+y+z＝8+2﹣3＝7．
故选：C．
【点评】本题考查正方体的表面展开图，掌握正方体的表面展开图的特征是正确判断的前提．
6．如图所示，直线MN表示一条铁路，铁路两旁各有一点A和B，表示两个工厂．要在铁路上建一货站P，使它到两厂距离之和最短，这个货站P应建在AB与MN的交点处，这种做法用几何知识解释应是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．射线只有一个端点
C．两直线相交只有一个交点
D．两点确定一条直线
【分析】根据两点之间线段最短即可求出答案．
【解答】解：要在铁路上建一货站P，使它到两厂距离之和最短，这个货站P应建在AB与MN的交点处，
这种做法用几何知识解释应是：两点之间，线段最短．
故选：A．
【点评】本题考查了线段的性质，解题的关键是正确理解两点之间线段最短．
7．如图，O是直线AB上一点，过O作任意射线OM，OC平分∠AOM，OD平分∠BOM，则∠COD的度数是（　　）
A．80° B．90° C．100° D．不能确定
【分析】由角平分线的定义得∠MOC＝∠AOM，∠MOD＝∠BOM，再利用和角关系即可求得结果．
【解答】解：∵OC平分∠AOM，OD平分∠BOM，
∴∠MOC＝∠AOM，∠MOD＝∠BOM，
∴∠COD＝∠MOC+∠MOD＝∠AOM+∠BOM＝（∠AOM+∠BOM）＝×180°＝90°．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的定义，角的和差关系等知识，关键是结合图形灵活运用角的和差关系达到求角的目的．
8．如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若∠BOA＝90°，则OB的方位角是（　　）
A．北偏西30° B．北偏西60° C．北偏东30° D．北偏东60°
【分析】根据方向角的意义求出∠NOB即可．
【解答】解：由方向角的意义可知，∠AON＝30°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠NOB＝∠AOB﹣∠AON
＝90°﹣30°
＝60°，
∴OB的方向角为北偏西60°，
故选：B．
【点评】本题考查方向角，理解方向角的意义以及角的和差关系是正确解答的前提．
9．在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛，像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了（　　）
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．两点确定一条直线
【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体，即可解答．
【解答】解：在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了：点动成线．
故选：A．
【点评】本题考查了点、线、面、体的关系，掌握点动成线，线动成面，面动成体是解题的关键．
10．如图，小明从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西40°方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时一致，则小明应该（　　）
A．左转80° B．右转80° C．左转100° D．右转100°
【分析】根据平行线的性质求出∠ABC，根据平行线的性质求出∠FCB，求出∠ECF即可．
【解答】解：
如图CF∥AB，AD∥CN∥BM，
∵∠DAB＝60°，∠MBC＝40°，
∴∠ABE＝180°﹣∠DAB﹣∠MBC＝80°，
∴∠FCB＝∠ABE＝80°（两直线平行，内错角相等），
∴∠ECF＝180°﹣∠FCB＝100°，
即此时需把方向调整到与出发时一致，则小明应该右转100°，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质和方向角，能根据平行线的性质求出∠ABC和∠FCB的度数是解此题的关键．
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．一副三角板按如图所示方式重叠，若图中∠DCE＝35°25′，则∠ACB＝　 　．
【分析】因为∠ACB＝∠ACD+∠DCB，∠ACD＝90°，而∠DCB和∠DCE互余，利用互余的关系求得∠DCB解决问题．
【解答】解：∵∠DCB和∠DCE互余，
∴∠DCB＝90°﹣35°25′＝54°35′，
∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB
＝90°+54°35′
＝144°35′．
故答案为：144°35′．
【点评】此题考查角的和与差，注意利用三角板中的直角和两角互余的关系计算得出答案．
12．已知，B是线段AD上一点，C是线段AD的中点，若AD＝10，BC＝3，则AB＝　2或8　．
【考点】比较线段的长短．版权所有
【分析】根据题意，正确画出图形，显然此题有两种情况：
当点B在中点C的左侧时，AB＝AC﹣BC；
当点B在中点C的右侧时，AB＝AC+BC．
【解答】
解：如图，∵C是线段AD的中点，
∴AC＝CD＝AD＝5，
∴当点B在中点C的左侧时，AB＝AC﹣BC＝2．
当点B在中点C的右侧时，AB＝AC+BC＝8．
∴AB＝2或8．
【点评】注意此类题要分情况画图，然后根据中点的概念以及图形进行相关计算．
13．如图，已知∠AOC：∠BOC＝1：5．OD是∠AOB的角平分线，且∠COD＝36°，则∠AOC的度数为 　．
【分析】设∠AOC＝x°，∠BOC＝5x°，求出∠AOD＝∠AOB＝3x°，根据∠COD＝36°得出方程3x﹣x＝36，求出即可．
【解答】解：∵∠AOC：∠BOC＝1：5，
∴设∠AOC＝x°，∠BOC＝5x°，
∵OD是∠AOB的平分线，
∴∠AOD＝∠AOB＝3x°，
∵∠COD＝36°，
∴3x﹣x＝36，
∴x＝18，
∴∠AOC＝x°＝18°．
故答案为：18°．
【点评】本题考查了角平分线和角的有关计算的应用，掌握题干角的数量关系并用方程表示出来是关键．
14．小刚每晚19：00都要看央视的“新闻联播”节目，这时钟面上时针与分针夹角的度数为　 　度．
【分析】画出草图，利用钟表表盘的特征解答．
【解答】解：19：00，时针和分针中间相差5个大格．
∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴19：00分针与时针的夹角是5×30°＝150°．
【点评】用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°．
15．某复兴号列车在哈尔滨和北京之间运行，途中要停靠于3个站点，如果任意两站之间的票价都不同，那么有 　10　种不同的票价，应发行 　20　种不同的车票．
【分析】作出线段图，然后找出图中的线段的条数即可．
【解答】解：如图，途中有3个站点，
共有线段：AC、AD、AE、AB，
CD、CE、CB，
DE、DB，
EB共10条线段，
所以共有10种不同的票价；
因为往返的车票不同，
所以应发行20种不同的车票．
故答案为：10，20．
【点评】本题考查了直线、射线、线段，在线段、射线的计数时，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复．
三．解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）如图，线段AB的长为20，点C在线段AB上，且，点D在线段AB上，且，点M是DB的中点，求线段MB的长．
【分析】根据线段长的数量关系，依次求出BC，AC，AD，BD的线段长度，然后根据M是DB中点，求出MB的长度即可．
【解答】解：∵AB＝20，
∴BC＝20×＝8，
∴AC＝AB﹣BC＝12，
∴AD＝12×＝3，
∴BD＝AB﹣AD＝17，
∵点M是DB的中点，
∴MB＝BD＝8.5．
【点评】本题主要考查了线段长度的计算，题目较为简单．
17．（8分）如图，延长线段AB到C，使BC＝3AB，点D是线段BC的中点，如果CD＝3cm，那么线段AC的长度是多少？
【分析】已知CD的长度，CD是线段BC的一半，则BC长度可求出，根据3AB＝BC，即可求出AB的长度，进而可求出AC的长度．
【解答】解：∵点D是线段BC的中点，
∴BD＝CD＝3cm，
∴BC＝2CD＝2×3＝6cm，
又∵BC＝3AB，即6＝3AB，
∴AB＝2cm，
AC＝AB+BC
＝2+6
＝8（cm）．
【点评】本题考查的是两点间的距离，掌握中点的定义是关键．
18．（8分）如图，射线OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线，且∠AOB＝90°．
（1）求∠MON的度数；
（2）当OC在∠AOB内转动时，∠MON的度数是否会发生变化？简单说明理由．
【分析】（1）由OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线，利用角平分线的定义及等量代换即可得出所求角的度数；
（2）当OC在∠AOB内转动时，∠MON的度数不会发生变化，根据（1）的过程即可得到结果．
【解答】解：（1）∵OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线，
∴，，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC
＝
＝
＝45°；
（2）当OC在∠AOB内转动时，∠MON的度数不会发生变化，
由（1）可得，
所以只要∠AOB的大小不变，无论OC在∠AOB内怎样转动，∠MON的度数不会发生变化．
【点评】此题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解决本题的关键．
19．（8分）已知点D为线段AB的中点，点C在线段AB上．
（1）如图1，若AC＝8cm，BC＝6cm，求线段CD的长；
（2）如图2，若BC＝2CD，点E为BD中点，AE＝18cm，求线段AC的长．
【分析】（1）根据线段中点的定义以及线段的和差关系进行计算即可；
（2）根据线段中点的定义可得AD＝BD＝AB，BE＝DE﹣BD，进而得到AE＝AB，求出AB，再根据线段的和差关系以及倍分关系进行计算即可．
【解答】解：（1）∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD＝AB
＝（AC+BC）
＝7，
∴CD＝BD﹣BC
＝7﹣6
＝1；
（2）∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD＝AB，
∵点E为BD中点，
∴BE＝DE﹣BD，
∴AE＝AB，
∵AE＝18，
∴AB＝24，
∴BD＝AD＝12，
又∵BC＝2CD，
∴CD＝BD＝4，
∴AC＝AD+DC
＝12+4
＝16．
【点评】本题考查两点间的距离，理解线段中点的定义以及线段的和差、倍分关系是正确解答的前提．
20．（9分）直角三角板ABC的直角顶点C在直线DE上，CF平分∠BCD．
（1）在图1中，若∠BCE＝40°，∠ACF＝　20°　；
（2）在图1中，若∠BCE＝α，∠ACF＝　α　（用含α的式子表示）；
（3）将图1中的三角板ABC绕顶点C旋转至图2的位置，若∠BCE＝150°，试求∠ACF与∠ACE的度数．
【分析】（1）、（2）结合平角的定义和角平分线的定义解答；
（3）根据角平分线的定义、平角的定义以及角的和差关系解答即可．
【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠BCE＝40°，
∴∠ACD＝180°﹣90°﹣40°＝50°，∠BCD＝180°﹣40°＝140°，
又CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠BCF＝∠BCD＝70°，
∴∠ACF＝∠DCF﹣∠ACD＝70°﹣50°＝20°；
故答案为：20°；
（2）如图1，∵∠ACB＝90°，∠BCE＝α°，
∴∠ACD＝180°﹣90°﹣α°＝90°﹣α，∠BCD＝180°﹣α，
又CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠BCF＝∠BCD＝90°﹣α，
∴∠ACF＝90°﹣α﹣90°+α＝α；
故答案为：α；
（3）如图2，∵∠BCE＝150°，
∴∠BCD＝30°，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF＝＝15°，
∴∠ACF＝90°﹣∠BCF＝75°，
∠ACD＝90°﹣∠BCD＝60°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACD＝120°．
【点评】考查了角的计算和角平分线的定义，主要考查学生的计算能力，求解过程类似．
21．（10分）根据题意，补全解题过程：
如图，已知射线OB，OM，ON在∠AOD内部，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．若∠AOD＝156°，∠DON＝48°，求∠AOM的度数．
解：∵ON平分∠BOD，
∴　 　＝2∠DON．
∵∠DON＝48°，
∴∠BOD＝　 °　．
∵∠AOB＝　 　﹣∠BOD，∠AOD＝156°，
∴∠AOB＝　 　．
∵OM平分∠AOB，
∴∠AOM＝ 　 　＝　 °　．
【分析】利用角平分线的定义可得∠BOD＝2∠DON＝96°，从而利用角的和差关系可得∠AOB＝60°，然后再利用角平分线的定义进行计算即可解答．
【解答】解：∵ON平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠DON，
∵∠DON＝48°，
∴∠BOD＝96°，
∵∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD，∠AOD＝156°，
∴∠AOB＝60°，
∵OM平分∠AOB，
∴∠AOM＝∠AOB＝30°，
故答案为：∠BOD，96°，∠AOD，60°，∠AOB，30°．
【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
22．如图，∠AOB＝90°，∠COD＝90°，∠AOC＝30°，射线OP在∠BOC内，∠BOP＝n∠COP．
（1）当n＝1时，请用量角器在图1中画出射线OP，求∠DOP的度数；
（2）当n＝2时，OQ平分∠DOP，直接写出∠BOQ的度数．
【分析】（1）根据角的和差可得∠BOC＝60°，再次利用角的和差∠BOD＝30°，又由于n＝1，可知OP为∠BOC的角平分线，再次利用角的和差可以求出∠DOP的度数．
（2）由（1）可知∠BOC＝60°，∠BOD＝30°，又知道n＝2，可以得出∠BOP与∠POC的度数，利用OQ为角平分线可得出∠DOQ的度数，再利用角的和差求得∠BOQ的度数．
【解答】解：（1）如图1，
∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝60°（角的和差），
∵∠COD＝90°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝30°（角的和差），
∵n＝1，
（角平分线的性质定理），
∴∠DOP＝∠DOB+∠BOP＝60°（角的和差）．
（2）如图2，
由（1）可知∠BOC＝60°，∠BOD＝30°
∵n＝2，
∴∠BOP＝2∠COP，
∴∠BOC＝∠BOP+∠COP＝2∠COP+∠COP＝60°，
∴∠COP＝20°，∠BOP＝40°，
∴∠DOP＝∠BOD+∠BOP＝30°+40°＝70°，
∵OQ平分∠DOP，
∴∠DOQ＝∠DOP＝，
∴∠BOQ＝∠DOQ﹣∠BOD＝35°﹣30°＝5°．
【点评】本题主要考查角的和差、角平分线的性质来解决问题．
23．已知射线OC在∠AOB的内部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线．
（1）一个角的平分线 　 　这个角的奇妙线；（填“是”或“不是”）
（2）如图，∠MPN＝60°．
①若射线PQ是∠MPN的奇妙线，则∠QPN的度数为 　 　度；
②射线PF从PN位置开始，以每秒旋转3°45'的速度绕点P按逆时针方向旋转，当
∠FPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．当t为何值时，射线PM是∠FPN的奇妙线？
【分析】（1）根据奇妙线定义即可求解；
（2）①分3种情况，根据奇妙线定义得到方程求解即可；
②分3种情况，根据奇妙线定义得到方程求解即可．
【解答】解：（1）一个角的平分线是这个角的“奇妙线”；
故答案为：是．
（2）①若∠MPN＝60°，且射线PQ是∠MPN的“奇妙线”，则由“奇妙线”的定义可知有三种情况符合题意：
当∠NPQ＝2∠MPQ时，∠QPN＝40°，
当∠MPQ＝2∠NPQ时，∠QPN＝20°，
当∠NPM＝2∠MPQ时，∠QPN＝30°，
故答案为：20或30或40；
②依题意有，3°45′＝3.75°，
当3.75t＝60+×60时，
解得t＝24；
当3.75t＝2×60时，
解得t＝32；
当3.75t＝60+2×60时，
解得t＝48．
故当t为24或32或48时，射线PM是∠FPN的“奇妙线”；
【点评】本题考查了旋转的性质，奇妙线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“奇妙线”的定义是解题的关键．
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