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压轴题04 立体几何压轴题
题型/考向一：点、线、面间的位置关系和空间几何体的体积、表面积
题型/考向二：外接球、内切球等相关问题
题型/考向三：平行关系、垂直关系、二面角等相关问题
空间几何体的体积、表面积
热点一 空间几何体的侧面积、表面积
柱体、锥体、台体和球的表面积公式：
(1)若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l).
(2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝πrl，S表＝πr(r＋l).
(3)若圆台的上、下底面半径分别为r′，r，则S侧＝π(r＋r′)l，S表＝π(r2＋r′2＋r′l＋rl).
(4)若球的半径为R，则它的表面积S＝4πR2.
热点二 空间几何体的体积
柱体、锥体、台体和球的体积公式：
(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；
(2)V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)；
(3)V台体＝(S上＋S下＋)h(S上、S下分别为上、下底面面积，h为高)；
(4)V球＝πR3.
外接球、内切球问题
类型一 外接球问题
考向1 墙角模型
墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长.长方体同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球半径为R.
则(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝.常见的有以下三种类型：
考向2 对棱相等模型
对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长，如图所示，(2R)2＝a2＋b2＋c2(长方体的长、宽高分别为a，b，c)，即R2＝(x2＋y2＋z2)，如图.
考向3 汉堡模型
汉堡模型是直三棱柱、圆柱的外接球模型，模型如下，
由对称性可知，球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2的连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，所以R2＝r2＋.
考向4 垂面模型
垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球；如图所示，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径CO1＝r，OO1＝，则R＝.
类型二 内切球问题
内切球问题的解法(以三棱锥为例)
第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体的体积；
第二步：设内切球的半径为r，建立等式VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋
VO－PBC VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋SPBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)r；
第三步：解出r＝.
类型三 球的截面问题
解决球的截面问题抓住以下几个方面：
(1)球心到截面圆的距离；(2)截面圆的半径；(3)直角三角形(球心到截面圆的距离、截面圆的半径、球的半径构成的直角三角形).
平行关系和垂直关系的证明、二面角等
热点一 空间线、面位置关系的判定
判断空间线、面位置关系的常用方法
(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题.
(2)利用直线的方向向量、平面的法向量判断.
(3)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断.
热点二 几何法证明平行、垂直
1.直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理：a α，b α，a∥b a∥α.
(2)线面平行的性质定理：a∥α，a β，α∩β＝b a∥b.
(3)面面平行的判定定理：a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β.
(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b.
2.直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理：m α，n α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α.
(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α a∥b.
(3)面面垂直的判定定理：a β，a⊥α α⊥β.
(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β.
热点三 空间向量法证明平行、垂直
1.用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合) v1∥v2.
(2)设直线l的方向向量为v，在平面α内的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l α 存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.
(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l α v⊥u.
(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β u1∥u2.
2.用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2 v1⊥v2 v1·v2＝0.
(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α v∥u.
(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β u1⊥u2 u1·u2＝0.
四、空间角、距离问题
热点一 异面直线所成的角
求异面直线所成角的方法
方法一：综合法.步骤为：①利用定义构造角，可固定一条直线，平移另一条直线，或将两条直线同时平移到某个特殊的位置；②证明找到(或作出)的角即为所求角；③通过解三角形来求角.
方法二：空间向量法.步骤为：①求出直线a，b的方向向量，分别记为m，n；②计算cos〈m，n〉＝；③利用cos θ＝|cos〈m，n〉|，以及θ∈，求出角θ.
热点二 直线与平面所成的角
求直线与平面所成角的方法
方法一：几何法.步骤为：①找出直线l在平面α上的射影；②证明所找的角就是所求的角；③把这个角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.
方法二：空间向量法.步骤为：①求出平面α的法向量n与直线AB的方向向量；②计算cos〈，n〉＝；③利用sin θ＝|cos〈，n〉|，以及θ∈，求出角θ.
热点三 平面与平面的夹角
求平面与平面的夹角方法
方法一：几何法.步骤为：①找出二面角的平面角(以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角)；②证明所找的角就是要求的角；③把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.求二面角的平面角的口诀：点在棱上，边在面内，垂直于棱，大小确定.
方法二：空间向量法.步骤为：①求两个平面α，β的法向量m，n；②计算cos〈m，n〉＝；③设两个平面的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈m，n〉|.
热点四 距离问题
1.空间中点、线、面距离的相互转化关系
2.空间距离的求解方法有：(1)作垂线段；(2)等体积法；(3)等价转化；(4)空间向量法.
一 点、线、面间的位置关系和空间几何体的体积、表面积
一、单选题
1．在正方体中，直线、分别在平面和内，且，则下列命题中正确的是（ ）
A．若垂直于，则垂直于 B．若垂直于，则不垂直于
C．若不垂直于，则垂直于 D．若不垂直于，则不垂直于
2．在中国古代数学经典著作九章算术中，称图中的多面体为“刍甍”书中描述了刍甍的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即，其中是刍甍的高，即点到平面的距离若底面是边长为的正方形，，且，和是等腰三角形，，则该刍甍的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知一个三棱锥型玩具容器的外包装纸（包装纸厚度忽略不计，外包装纸面积恰为该容器的表面积）展开后是如图所示的边长为10的正方形（其中点为中点，点为中点），则该玩具的体积为（ ）
A． B． C．125 D．
4．攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖.通常有圆形攒尖 三角攒尖 四角攒尖 八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑 园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6，腰长为5的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（ ）
A． B． C． D．
5．已知为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．在直三棱柱中，为等腰直角三角形，若三棱柱的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）
A．12π B．24π C．48π D．96π
7．已知三棱锥中，底面ABC是边长为的正三角形，点P在底面上的射影为底面的中心，且三棱锥外接球的表面积为，球心在三棱锥内，则二面角的平面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知直线a，b，c两两异面，且，，下列说法正确的是（ ）
A．存在平面α，β，使，，且，
B．存在平面α，β，使，，且，
C．存在平面γ，使，，且
D．存在唯一的平面γ，使，且a，b与γ所成角相等
10．已知正方体的外接球表面积为，分别在线段，，上，且四点共面，则（ ）．
A．
B．若四边形为菱形，则其面积的最大值为
C．四边形在平面与平面内的正投影面积之和的最大值为6
D．四边形在平面与平面内的正投影面积之积的最大值为4
三、解答题
11．如图，四棱锥的底面为菱形，，，，平面，点在棱上．
(1)证明：；
(2)若三棱锥的体积为，求点到平面的距离．
12．如图，在三棱锥中，平面平面，为的中点.
(1)证明：；
(2)已知是边长为1的等边三角形，已知点在棱的中点，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
二 外接球、内切球等相关问题
一、单选题
1．已知是边长为3的等边三角形，其顶点都在球O的球面上，若球O的体积为，则球心O到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
2．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，侧棱两两垂直，若此三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
3．一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在一个球面上，且这个球的半径为5，则这个圆锥的体积的最大值时，圆锥的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
4．已知圆锥的侧面积为，母线与底面所成角的余弦值为，则该圆锥的内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，若该几何体存在外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上）．已知，则该组合体的体积等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知矩形ABCD的顶点都在球心为O的球面上，，，且四棱锥的体积为，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．6
8．已知三棱锥的四个顶点均在球的球面上，，，，为球的球面上一动点，则点到平面的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．在三棱锥中，PA⊥平面ABC，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的体积为______．
10．如图，在直三棱柱中，．设D为的中点，三棱锥的体积为，平面平面，则三棱柱外接球的表面积为______．
11．如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则直三棱柱的体积为___________.
12．如图所示的由4个直角三角形组成的各边长均相等的六边形是某棱锥的侧面展开图，若该六边形的面积为，则该棱锥的内切球半径为___．
三 平面关系、垂直关系、二面角等相关问题
1．已知多面体中，四边形是边长为4的正方形，四边形是直角梯形，，，．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
2．如图，在四棱锥中，为等边三角形，为的中点，，平面平面．
(1)证明：平面平面；
(2)若，，，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．
3．如图所示，在三棱锥中，满足，点M在CD上，且，为边长为6的等边三角形，E为BD的中点，F为AE的三等分点，且.
(1)求证：面ABC；
(2)若二面角的平面角的大小为，求直线EM与面ABD所成角的正弦值.
4．已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由．
5．如图，为圆O的直径，点在圆O上，，矩形所在平面和圆O所在的平面互相垂直，已知．
(1)求证：平面平面；
(2)当的长为何值时，二面角的大小为？
6．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱AC上的动点（不与A、C重合），平面与棱交于点.
(1)求证；
(2)若平面平面，，判断是否存在点D使得平面与平面所成的锐二面角为，并说明理由.
1压轴题04 立体几何压轴题答案
题型/考向一：点、线、面间的位置关系和空间几何体的体积、表面积
题型/考向二：外接球、内切球等相关问题
题型/考向三：平行关系、垂直关系、二面角等相关问题
空间几何体的体积、表面积
热点一 空间几何体的侧面积、表面积
柱体、锥体、台体和球的表面积公式：
(1)若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l).
(2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝πrl，S表＝πr(r＋l).
(3)若圆台的上、下底面半径分别为r′，r，则S侧＝π(r＋r′)l，S表＝π(r2＋r′2＋r′l＋rl).
(4)若球的半径为R，则它的表面积S＝4πR2.
热点二 空间几何体的体积
柱体、锥体、台体和球的体积公式：
(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；
(2)V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)；
(3)V台体＝(S上＋S下＋)h(S上、S下分别为上、下底面面积，h为高)；
(4)V球＝πR3.
外接球、内切球问题
类型一 外接球问题
考向1 墙角模型
墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长.长方体同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球半径为R.
则(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝.常见的有以下三种类型：
考向2 对棱相等模型
对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长，如图所示，(2R)2＝a2＋b2＋c2(长方体的长、宽高分别为a，b，c)，即R2＝(x2＋y2＋z2)，如图.
考向3 汉堡模型
汉堡模型是直三棱柱、圆柱的外接球模型，模型如下，
由对称性可知，球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2的连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，所以R2＝r2＋.
考向4 垂面模型
垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球；如图所示，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径CO1＝r，OO1＝，则R＝.
类型二 内切球问题
内切球问题的解法(以三棱锥为例)
第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体的体积；
第二步：设内切球的半径为r，建立等式VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋
VO－PBC VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋SPBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)r；
第三步：解出r＝.
类型三 球的截面问题
解决球的截面问题抓住以下几个方面：
(1)球心到截面圆的距离；(2)截面圆的半径；(3)直角三角形(球心到截面圆的距离、截面圆的半径、球的半径构成的直角三角形).
平行关系和垂直关系的证明、二面角等
热点一 空间线、面位置关系的判定
判断空间线、面位置关系的常用方法
(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题.
(2)利用直线的方向向量、平面的法向量判断.
(3)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断.
热点二 几何法证明平行、垂直
1.直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理：a α，b α，a∥b a∥α.
(2)线面平行的性质定理：a∥α，a β，α∩β＝b a∥b.
(3)面面平行的判定定理：a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β.
(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b.
2.直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理：m α，n α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α.
(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α a∥b.
(3)面面垂直的判定定理：a β，a⊥α α⊥β.
(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β.
热点三 空间向量法证明平行、垂直
1.用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合) v1∥v2.
(2)设直线l的方向向量为v，在平面α内的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l α 存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.
(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l α v⊥u.
(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β u1∥u2.
2.用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2 v1⊥v2 v1·v2＝0.
(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α v∥u.
(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β u1⊥u2 u1·u2＝0.
四、空间角、距离问题
热点一 异面直线所成的角
求异面直线所成角的方法
方法一：综合法.步骤为：①利用定义构造角，可固定一条直线，平移另一条直线，或将两条直线同时平移到某个特殊的位置；②证明找到(或作出)的角即为所求角；③通过解三角形来求角.
方法二：空间向量法.步骤为：①求出直线a，b的方向向量，分别记为m，n；②计算cos〈m，n〉＝；③利用cos θ＝|cos〈m，n〉|，以及θ∈，求出角θ.
热点二 直线与平面所成的角
求直线与平面所成角的方法
方法一：几何法.步骤为：①找出直线l在平面α上的射影；②证明所找的角就是所求的角；③把这个角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.
方法二：空间向量法.步骤为：①求出平面α的法向量n与直线AB的方向向量；②计算cos〈，n〉＝；③利用sin θ＝|cos〈，n〉|，以及θ∈，求出角θ.
热点三 平面与平面的夹角
求平面与平面的夹角方法
方法一：几何法.步骤为：①找出二面角的平面角(以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角)；②证明所找的角就是要求的角；③把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.求二面角的平面角的口诀：点在棱上，边在面内，垂直于棱，大小确定.
方法二：空间向量法.步骤为：①求两个平面α，β的法向量m，n；②计算cos〈m，n〉＝；③设两个平面的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈m，n〉|.
热点四 距离问题
1.空间中点、线、面距离的相互转化关系
2.空间距离的求解方法有：(1)作垂线段；(2)等体积法；(3)等价转化；(4)空间向量法.
一、单选题
1．在正方体中，直线、分别在平面和内，且，则下列命题中正确的是（ ）
A．若垂直于，则垂直于 B．若垂直于，则不垂直于
C．若不垂直于，则垂直于 D．若不垂直于，则不垂直于
【答案】C
【详解】AB选项，若垂直于，由面面，面面，可得垂直于面，
即面内的所有直线均与垂直，而可能垂直于，也可能不垂直于，故A错误，B错误；
CD选项，若不垂直于，则为面内的两条相交直线，由题可知，，则垂直面，又面，所以垂直于，故C正确，D错误.
故选：C
2．在中国古代数学经典著作九章算术中，称图中的多面体为“刍甍”书中描述了刍甍的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即，其中是刍甍的高，即点到平面的距离若底面是边长为的正方形，，且，和是等腰三角形，，则该刍甍的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图所示，
设点在底面的射影为，分别为的中点，
连接，
则即为刍甍的高，
由，平面，平面，
所以平面，
又平面，且平面平面，
所以，
在“刍甍”中，和是等腰三角形，
所以一定在上，
由题意底面是边长为的正方形，，
可知，
在是等腰直角三角形，且，
所以，
所以，
所以.
故选：B.
3．已知一个三棱锥型玩具容器的外包装纸（包装纸厚度忽略不计，外包装纸面积恰为该容器的表面积）展开后是如图所示的边长为10的正方形（其中点为中点，点为中点），则该玩具的体积为（ ）
A． B． C．125 D．
【答案】B
【详解】该玩具为三棱锥，即三棱锥，则底面，且，面积为，所以.
故选：B.
4．攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖.通常有圆形攒尖 三角攒尖 四角攒尖 八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑 园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6，腰长为5的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图所示为该圆锥轴截面，
由题知该圆锥的底面半径为3m，高为，所以该屋顶的体积约为.
故选:D.
5．已知为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【详解】对于A，若，则或，故A错误；
对于B，若，则或，
若，因为，则，
若，如图所示，则在平面一定存在一条直线，
因为，所以，
又，所以，
综上若，则，故B正确；
对于C，若，则直线相交或平行或异面，故C错误；
对于D，若，则直线相交或平行或异面，故D错误.
故选：B.
6．在直三棱柱中，为等腰直角三角形，若三棱柱的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）
A．12π B．24π C．48π D．96π
【答案】C
【详解】设为等腰直角三角形的直角边为，三棱柱的高为，
则，所以，则，
外接圆的半径为，
所以棱柱外接球的半径为，
令，则，则，
在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
则该三棱柱外接球表面积最小值为.
故选：C.
7．已知三棱锥中，底面ABC是边长为的正三角形，点P在底面上的射影为底面的中心，且三棱锥外接球的表面积为，球心在三棱锥内，则二面角的平面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设正的中心为，有，而平面，则，
延长交于点D，则点为的中点，有，，
即为二面角的平面角，
由，得，显然三棱锥为正三棱锥，其外接球的球心M在线段上，
由三棱锥的外接球的表面积为，则该球半径，由，解得，
，，所以，
所以二面角的平面角的余弦值为.
故选：B
8．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在三棱锥中，如图，，则，同理，
而平面，因此平面，
在等腰中，，则，，
令的外接圆圆心为，则平面，，
有，取中点D，连接OD，则有，又平面，即，
从而，四边形为平行四边形，，又，
因此球O的半径，
所以球的表面积.
故选：A
二、多选题
9．已知直线a，b，c两两异面，且，，下列说法正确的是（ ）
A．存在平面α，β，使，，且，
B．存在平面α，β，使，，且，
C．存在平面γ，使，，且
D．存在唯一的平面γ，使，且a，b与γ所成角相等
【答案】ABC
【详解】对于A,平移直线到与直线相交，设平移后的直线为，因为，所以，
设直线确定的平面为α，则，，直线和相交，所以，
同理可得：，故A对；
对于B,平移直线到与直线相交，设平移后的直线为，设直线确定的平面为α，
因为//，且，所以，同理可得：，故B对；
对于C,同时平移直线和直线，令平移后的直线相交，设平移后的直线为，因为，，所以，，设直线确定的平面为γ，则，，且，故C对；
对于D，由对称性可知，存在两个平面γ，使，且a，b与γ所成角相等，故D错误；
故选：ABC.
10．已知正方体的外接球表面积为，分别在线段，，上，且四点共面，则（ ）．
A．
B．若四边形为菱形，则其面积的最大值为
C．四边形在平面与平面内的正投影面积之和的最大值为6
D．四边形在平面与平面内的正投影面积之积的最大值为4
【答案】ABD
【详解】作出图形如图所示．
设正方体的棱长为a，则外接球直径即为正方体体对角线长，
依题意，，解得．
因为平面平面，
且平面平面，平面平面，
故，同理可得，，
故四边形为平行四边形，则，故A正确；
若四边形为菱形，则，即,
则，则，
由于菱形面积等于其两对角线乘积的一半，
故要使得该菱形的面积最大，只需最大即可，
而AN的最大值为，此时点N与点重合，
故菱形的面积的最大值为，战B正确；
设，，由题意知，则，
记四边形在平面与平面内的正投影面积分别为，，
则M在平面上的投影落在上，设为G，N在平面上的投影落在上，设为H，
则四边形为四边形在平面上的投影，
由于,则≌,故，
又，故四边形为平行四边形，
则，同理求得，故，，
（当时取“＝”），故C错误，D正确，
故选：ABD
三、解答题
11．如图，四棱锥的底面为菱形，，，，平面，点在棱上．
(1)证明：；
(2)若三棱锥的体积为，求点到平面的距离．
【详解】（1）证明：如图，连接，
因为四边形为菱形，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为，所以平面，
又因为平面，所以．
（2）解：设点到平面的距离为，
则三棱锥的体积
，解得．
因为平面，，所以，即是棱的中点.
设，如图，连接，则平面，所以，
过点作的垂线，垂足为，由（1）知，平面，所以，
又，所以平面，即线段的长度就是点到平面的距离．
因为，，所以．
又因为
，
因为，所以．
所以，即点到平面的距离为．
12．如图，在三棱锥中，平面平面，为的中点.
(1)证明：；
(2)已知是边长为1的等边三角形，已知点在棱的中点，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
【详解】（1）证明：，为的中点，，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，．
（2）取的中点，
因为为等边三角形，所以，
过作，与交于，则，
由（1）可知平面，
因为平面，所以，
所以两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设，因为平面，所以是平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，因为.
所以，令，则，
因为二面角的大小为，所以，解得，
所以.
二 外接球、内切球等相关问题
一、单选题
1．已知是边长为3的等边三角形，其顶点都在球O的球面上，若球O的体积为，则球心O到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【详解】解：如图所示：
因为是边长为3的等边三角形，且的中心为，
所以，
又因为球O的体积为，
所以，
解得，即，
所以，
即球心O到平面ABC的距离为1，
故选：C
2．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，侧棱两两垂直，若此三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由题知三棱锥的外接球即为侧棱为邻边的正方体的外接球，
因为三棱锥的底面是边长为1的正三角形，
所以，
以为邻边的正方体的体对角线长为，
所以，其外接球的直径，表面积为.
故选：D
3．一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在一个球面上，且这个球的半径为5，则这个圆锥的体积的最大值时，圆锥的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，设圆锥的底面半径为r，球半径，球心为O．
过圆锥的顶点P作底面的垂线，垂足为．则球心O必定在上，连接OB，则．
所以圆锥的高或者．要求体积的最大值，所以取．
则，．
令，．则，（），
，
，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，圆锥体积最大．
此时，．
故选：C.
4．已知圆锥的侧面积为，母线与底面所成角的余弦值为，则该圆锥的内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设圆锥的母线长为l，高为h，底面半径为r，内切球的半径为R，由题知，∴，∴，∴，∴，∴.在圆锥的轴截面中，易知，即，∴，∴该圆锥的内切球的体积为.
故选：C.
5．如图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，若该几何体存在外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上）．已知，则该组合体的体积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设该组合体外接球的球心为，半径为，易知球心在中点，则.
则圆柱的底面半径为，
则该组合体的体积等于.
故选：A
6．已知矩形ABCD的顶点都在球心为O的球面上，，，且四棱锥的体积为，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题可知矩形所在截面圆的半径即为的对角线长度的一半，
，，
，
由矩形的面积，
则到平面的距离为满足：，
解得，
故球的半径，
故球的表面积为：，
故选：A．
7．水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．6
【答案】C
【详解】要使半球形容器内壁的半径的最小，只需保证小球与球各面（含球面部分）都相切，
此时，如上图示，为半球的球心，为其中一个小球球心，则是棱长为2的正方体的体对角线，且该小球与半球球面上的切点与共线，
所以半球形容器内壁的半径的最小值为小球半径与长度之和，即,
故选：C
8．已知三棱锥的四个顶点均在球的球面上，，，，为球的球面上一动点，则点到平面的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】，，，
可将三棱锥补成如图所示的长方体，
，，，
，球的半径；
在中，，则．
设的外接圆半径为，则，解得：，
则球心到平面的距离，
点到平面的最大距离为．
故选：B．
二、填空题
9．在三棱锥中，PA⊥平面ABC，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的体积为______．
【答案】
【详解】由题可知三棱锥的体积为：
，当且仅当时等号成立，
此时，，将三棱锥补成长方体，
则三棱锥外接球的直径为，则，
因此，三棱锥外接球的体积为.
故答案为：.
10．如图，在直三棱柱中，．设D为的中点，三棱锥的体积为，平面平面，则三棱柱外接球的表面积为______．
【答案】
【详解】取的中点E，连接AE，如图．
因为，所以．
又面面，面面，且面，
所以面，面，所以．
在直三棱柱中，面ABC，面ABC，所以．
又AE，面，且AE，相交，所以面，面，
所以．
设，则，解得，
所以．
所以三棱柱外接球的表面积．
故答案为：
11．如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则直三棱柱的体积为___________.
【答案】
【详解】如图所示，由题意知，球心在底面的中心O上，故为截面圆的直径，
则，
取的中点，连接
易知：底面中∥，，
则面，即为直角三角形，由勾股定理可得：，故
所以
故答案为：
12．如图所示的由4个直角三角形组成的各边长均相等的六边形是某棱锥的侧面展开图，若该六边形的面积为，则该棱锥的内切球半径为___．
【答案】
【详解】设六边形边长为a，将图形还原得四棱锥，如下图，
由题意，侧面展开图的面积，解得．
由，，面，则面，
所以为的高，
设内切球的球心为O，半径为r，则，
即，解得．
故答案为：
三 平面关系、垂直关系、二面角等相关问题
1．已知多面体中，四边形是边长为4的正方形，四边形是直角梯形，，，．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【详解】（1）因为四边形是边长为4的正方形，
所以⊥，⊥，
因为四边形是直角梯形，，
所以⊥，⊥，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
由勾股定理得，，
因为，所以，由勾股定理逆定理得⊥，
因为⊥，，平面，
所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
因为，平面，
所以⊥平面，
因为平面，
所以平面平面；
（2）由（1）知，两两垂直，故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，
设平面的法向量为，则，
解得，令，则，故，
设直线与平面所成角的大小为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
2．如图，在四棱锥中，为等边三角形，为的中点，，平面平面．
(1)证明：平面平面；
(2)若，，，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．
【详解】（1）
取中点为，连接，因为为等边三角形，所以，
且平面平面，平面平面，面，所以平面，
又平面，所以，
又因为，，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为为中点，所以，且，平面，所以平面，
且平面，所以平面平面.
（2）
由（1）可知，且，，所以平面，
且平面，所以，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设，则可得，
即，，
设平面的法向量为，
则，则可得，取，则，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
所以，
解得，或，即或
当时，则，
所以.
当时，，
所以.
3．如图所示，在三棱锥中，满足，点M在CD上，且，为边长为6的等边三角形，E为BD的中点，F为AE的三等分点，且.
(1)求证：面ABC；
(2)若二面角的平面角的大小为，求直线EM与面ABD所成角的正弦值.
【详解】（1）在BE上取一点N，使得，连接FN，NM，
∵，∴，，，
∵，∴，
则，又面ABC，面ABC，
∴面ABC，
∵，∴.
∵面ABC，面ABC，∴面ABC，
∵，面FNM，
∴面面ABC，又面FNM，
∴面ABC；
（2）∵，，
所以二面角的平面角为.
又∵，面AEC，
∴面AEC，∵面ABD，
∴面面AEC，
∵面面，在面AEC内过点C作于H，则面ABD，
则.
∵，
∴，即C到面ABD的距离为，
∵，∴M到面ABD的距离为.
计算EM：，
在中，，，
∴.
∴EM与面ABD所成角的正弦值为.
4．已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由．
【详解】（1）证明：法一：分别取、的中点、，连接、、，
由题意可知点、分别为线段、的中点．所以，，
因为，所以，所以点、、、四点共面，
因为、分别为、的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又因为，平面，平面，所以平面，
又因为，、平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面；
法二：因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直，
以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
所以，易知平面的一个法向量，
所以，所以，
又因为平面，所以平面．
（2）解：设平面的法向量，，，
则，取，可得，
所以平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角余弦值为；
（3）解：假设存在点，使得，其中，
则，
由（2）得平面的一个法向量为，
由题意可得，
整理可得．即，
因为，解得或，所以，或．
5．如图，为圆O的直径，点在圆O上，，矩形所在平面和圆O所在的平面互相垂直，已知．
(1)求证：平面平面；
(2)当的长为何值时，二面角的大小为？
【详解】（1）证明：∵平面平面，，平面平面，
∴平面．
∵平面，∴，
又为圆O的直径，∴，
而，平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
（2）设中点为G，以O为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
∴，，
设平面的法向量为，则，
即，令，可得
取平面的一个法向量为，
，即，解得，
则当的长为时，二面角的大小为．
6．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱AC上的动点（不与A、C重合），平面与棱交于点.
(1)求证；
(2)若平面平面，，判断是否存在点D使得平面与平面所成的锐二面角为，并说明理由.
【详解】（1），且平面，平面，
∴平面，又∵平面，且平面平面，∴；
（2）连接，取AC中点O，连接，，在菱形中，，
∴是等边三角形，
又∵O为AC中点，∴，
∵平面平面，
平面平面，平面，且，
∴平面，平面，∴，
又∵，∴，
以点为原点，，，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
假设存在点D，满足题意，设，
，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，所以，令，则，，
故，
设平面的法向量为
，，
，，令，则，，故，
，解，
所以点D在点C的位置时，平面与平面所成锐角为，
由于D不与A、C重合，故AC上不存满足题意的点.
1压轴题04 立体几何压轴题
题型/考向一：点、线、面间的位置关系和空间几何体的体积、表面积
题型/考向二：外接球、内切球等相关问题
题型/考向三：平面关系、垂直关系、体积、表面积等综合问题
空间几何体的体积、表面积
热点一 空间几何体的侧面积、表面积
柱体、锥体、台体和球的表面积公式：
(1)若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l).
(2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝πrl，S表＝πr(r＋l).
(3)若圆台的上、下底面半径分别为r′，r，则S侧＝π(r＋r′)l，S表＝π(r2＋r′2＋r′l＋rl).
(4)若球的半径为R，则它的表面积S＝4πR2.
热点二 空间几何体的体积
柱体、锥体、台体和球的体积公式：
(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；
(2)V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)；
(3)V台体＝(S上＋S下＋)h(S上、S下分别为上、下底面面积，h为高)；
(4)V球＝πR3.
外接球、内切球问题
类型一 外接球问题
考向1 墙角模型
墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长.长方体同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球半径为R.
则(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝.常见的有以下三种类型：
考向2 对棱相等模型
对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长，如图所示，(2R)2＝a2＋b2＋c2(长方体的长、宽高分别为a，b，c)，即R2＝(x2＋y2＋z2)，如图.
考向3 汉堡模型
汉堡模型是直三棱柱、圆柱的外接球模型，模型如下，
由对称性可知，球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2的连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，所以R2＝r2＋.
考向4 垂面模型
垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球；如图所示，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径CO1＝r，OO1＝，则R＝.
类型二 内切球问题
内切球问题的解法(以三棱锥为例)
第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体的体积；
第二步：设内切球的半径为r，建立等式VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋
VO－PBC VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋SPBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)r；
第三步：解出r＝.
类型三 球的截面问题
解决球的截面问题抓住以下几个方面：
(1)球心到截面圆的距离；(2)截面圆的半径；(3)直角三角形(球心到截面圆的距离、截面圆的半径、球的半径构成的直角三角形).
平行关系和垂直关系的证明、二面角等
热点一 空间线、面位置关系的判定
判断空间线、面位置关系的常用方法
(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题.
(2)利用直线的方向向量、平面的法向量判断.
(3)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断.
热点二 几何法证明平行、垂直
1.直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理：a α，b α，a∥b a∥α.
(2)线面平行的性质定理：a∥α，a β，α∩β＝b a∥b.
(3)面面平行的判定定理：a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β.
(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b.
2.直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理：m α，n α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α.
(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α a∥b.
(3)面面垂直的判定定理：a β，a⊥α α⊥β.
(4)面
一 点、线、面间的位置关系和空间几何体的体积、表面积
一、单选题
1．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
2．将半径为6的半圆卷成一个无底圆锥（钢接处不重合），则该无底圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．在正方体中，直线、分别在平面和，且，则下列命题中正确的是（ ）
A．若垂直于，则垂直于 B．若垂直于，则不垂直于
C．若不垂直于，则垂直于 D．若不垂直于，则不垂直于
4．如图是一款多功能粉碎机的实物图，它的进物仓可看作正四棱台，已知该四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为，则该款粉碎机进物仓的容积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知在春分或秋分时节，太阳直射赤道附近.若赤道附近某地在此季节的日出时间为早上6点，日落时间为晚上18点，该地有一个底面半径为的圆锥形的建筑物，且该建筑物在一天中恰好有四个小时在地面上没有影子，则该建筑物的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为（ ）
A． B． C． D．
7．在三棱锥中，，平面经过的中点，并且与垂直，则截此三棱锥所得的截面面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆台的母线长为4，上底面圆和下底面圆半径的比为1：3，其侧面展开图所在扇形的圆心角为，则圆台的高为（ ）
A． B． C．4 D．
二、多选题
9．已知平面α，β，直线l，m，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，则“”是“”的充分不必要条件
D．若，，则“”是“”的必要不充分条件
10．下列说法正确的是（ ）
A．若直线a不平行于平面，，则内不存在与a平行的直线
B．若一个平面内两条不平行的直线都平行于另一个平面，则
C．设l，m，n为直线，m，n在平面内，则“”是“且”的充要条件
D．若平面平面，平面平面，则平面与平面所成的二面角和平面与平面所成的二面角相等或互补
三、解答题
11．已知直棱柱的底面ABCD为菱形，且，，点为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
12．如图，在三棱柱中，为边长为的正三角形，为的中点，，且，平面平面.
(1)证明：；
(2)求三棱锥的体积.
二 外接球、内切球等相关问题
一、单选题
1．已知是边长为3的等边三角形，其顶点都在球O的球面上，若球O的体积为，则球心O到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
2．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，侧棱两两垂直，若此三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
3．一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在一个球面上，且这个球的半径为5，则这个圆锥的体积的最大值时，圆锥的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
4．已知圆锥的侧面积为，母线与底面所成角的余弦值为，则该圆锥的内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，若该几何体存在外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上）．已知，则该组合体的体积等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知矩形ABCD的顶点都在球心为O的球面上，，，且四棱锥的体积为，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．6
8．已知三棱锥的四个顶点均在球的球面上，，，，为球的球面上一动点，则点到平面的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．在三棱锥中，PA⊥平面ABC，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的体积为______．
10．如图，在直三棱柱中，．设D为的中点，三棱锥的体积为，平面平面，则三棱柱外接球的表面积为______．
11．如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则直三棱柱的体积为___________.
12．如图所示的由4个直角三角形组成的各边长均相等的六边形是某棱锥的侧面展开图，若该六边形的面积为，则该棱锥的内切球半径为___．
三 平面关系、垂直关系、体积、表面积等综合问题
1．已知直棱柱的底面ABCD为菱形，且，，点为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
2．如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面是棱长为2的菱形，平面 平面，是的中点，.
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
3．如图，在三棱柱中，为边长为的正三角形，为的中点，，且，平面平面.
(1)证明：；
(2)求三棱锥的体积.
4．如图1，在直角梯形中，，，，E为的中点，将沿折起，使折起后的平面与平面垂直，如图2.在图2所示的几何体中：
(1)求证：平面；
(2)点F在棱上，且满足，求几何体的体积.
5．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为菱形，，，，，，点F在平面ABCD内的射影恰为BC的中点G．
(1)求证：平面平面BED；
(2)求该几何体的体积．
1压轴题04 立体几何压轴题答案
题型/考向一：点、线、面间的位置关系和空间几何体的体积、表面积
题型/考向二：外接球、内切球等相关问题
题型/考向三：平面关系、垂直关系、体积、表面积等综合问题
空间几何体的体积、表面积
热点一 空间几何体的侧面积、表面积
柱体、锥体、台体和球的表面积公式：
(1)若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l).
(2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝πrl，S表＝πr(r＋l).
(3)若圆台的上、下底面半径分别为r′，r，则S侧＝π(r＋r′)l，S表＝π(r2＋r′2＋r′l＋rl).
(4)若球的半径为R，则它的表面积S＝4πR2.
热点二 空间几何体的体积
柱体、锥体、台体和球的体积公式：
(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；
(2)V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)；
(3)V台体＝(S上＋S下＋)h(S上、S下分别为上、下底面面积，h为高)；
(4)V球＝πR3.
外接球、内切球问题
类型一 外接球问题
考向1 墙角模型
墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长.长方体同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球半径为R.
则(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝.常见的有以下三种类型：
考向2 对棱相等模型
对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长，如图所示，(2R)2＝a2＋b2＋c2(长方体的长、宽高分别为a，b，c)，即R2＝(x2＋y2＋z2)，如图.
考向3 汉堡模型
汉堡模型是直三棱柱、圆柱的外接球模型，模型如下，
由对称性可知，球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2的连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，所以R2＝r2＋.
考向4 垂面模型
垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球；如图所示，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径CO1＝r，OO1＝，则R＝.
类型二 内切球问题
内切球问题的解法(以三棱锥为例)
第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体的体积；
第二步：设内切球的半径为r，建立等式VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋
VO－PBC VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋SPBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)r；
第三步：解出r＝.
类型三 球的截面问题
解决球的截面问题抓住以下几个方面：
(1)球心到截面圆的距离；(2)截面圆的半径；(3)直角三角形(球心到截面圆的距离、截面圆的半径、球的半径构成的直角三角形).
平行关系和垂直关系的证明、二面角等
热点一 空间线、面位置关系的判定
判断空间线、面位置关系的常用方法
(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题.
(2)利用直线的方向向量、平面的法向量判断.
(3)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断.
热点二 几何法证明平行、垂直
1.直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理：a α，b α，a∥b a∥α.
(2)线面平行的性质定理：a∥α，a β，α∩β＝b a∥b.
(3)面面平行的判定定理：a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β.
(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b.
2.直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理：m α，n α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α.
(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α a∥b.
(3)面面垂直的判定定理：a β，a⊥α α⊥β.
(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β.
一 点、线、面间的位置关系和空间几何体的体积、表面积
一、单选题
1．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【详解】对选项A，若，，则与的位置关系是平行，相交和异面，故A错误.
对选项B，若，，则与的位置关系是平行和相交，故B错误.
对选项C，若，，则根据线面垂直的性质得与的位置关系是平行，故C正确.
对选项D，若，，则与的位置关系是平行和相交，故D错误.
故选：C
2．将半径为6的半圆卷成一个无底圆锥（钢接处不重合），则该无底圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意知，所卷成的无底圆锥母线长为6，
设该无底圆锥的底面半径为，高为，则，所以，
所以，所以.
故选：C.
3．在正方体中，直线、分别在平面和，且，则下列命题中正确的是（ ）
A．若垂直于，则垂直于 B．若垂直于，则不垂直于
C．若不垂直于，则垂直于 D．若不垂直于，则不垂直于
【答案】C
【详解】如图所示：
A选项，若垂直于，则面内的所有直线均与垂直，无法证明的关系，故A选项错误，B选项与A同理；
C选项，若不垂直于，因为，所以当时，，又因为，所以垂直于；D选项与C同理.
故选：C
4．如图是一款多功能粉碎机的实物图，它的进物仓可看作正四棱台，已知该四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为，则该款粉碎机进物仓的容积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
画出满足题意的正四棱台，如图所示，则．过点D作于点E，则，所以该正四棱台的体积为．
故选：C
5．已知在春分或秋分时节，太阳直射赤道附近.若赤道附近某地在此季节的日出时间为早上6点，日落时间为晚上18点，该地有一个底面半径为的圆锥形的建筑物，且该建筑物在一天中恰好有四个小时在地面上没有影子，则该建筑物的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知，一天有12个小时的日照时间，因为，所以圆锥轴截面的顶角，
即轴截面为等边三角形，因为圆锥的底面半径为，所以圆锥的高，
所以圆锥的体积为，即该建筑物的体积为.
故选：B
6．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设底面棱长为，正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，则侧面为等边三角
形，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为.
故选：D
7．在三棱锥中，，平面经过的中点，并且与垂直，则截此三棱锥所得的截面面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】取靠近的四等分点，的中点，连接，，．
由，可知，
同理可知，又，面，所以平面，
所以平面即为平面，
又因为，所以，
所以截此三棱锥所得的截面面积为，
当时，取得最大值，为，
故选：D．
8．已知圆台的母线长为4，上底面圆和下底面圆半径的比为1：3，其侧面展开图所在扇形的圆心角为，则圆台的高为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【详解】如图，将圆台还原为圆锥，
上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，底面圆周长为，
因为圆台的母线长为4，根据上下底面圆的半径为为1：3，所以上圆锥的母线长为2，
则圆台所在圆锥的母线长为6，
因为圆台展开图所在扇形的圆心角为，所以，得，
如图，圆台的高
故选：B
二、多选题
9．已知平面α，β，直线l，m，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，则“”是“”的充分不必要条件
D．若，，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】ACD
【详解】由面面垂直的性质定理可知A正确,
对于B,若，，则,或者异面，故B错误,
对于C,若,则,故充分性成立,但是，，不能得到，故C正确，
对于D,若，，,不能得到,因为有可能异面，但是，，，则，故D正确，
故选：ACD
10．下列说法正确的是（ ）
A．若直线a不平行于平面，，则内不存在与a平行的直线
B．若一个平面内两条不平行的直线都平行于另一个平面，则
C．设l，m，n为直线，m，n在平面内，则“”是“且”的充要条件
D．若平面平面，平面平面，则平面与平面所成的二面角和平面与平面所成的二面角相等或互补
【答案】AB
【详解】选项A，若存在直线，则由直线和平面平行的判定定理知直线与平面平行，与条件相矛盾，故选项A正确；
选项B，由面面平行的判定定理可知选项B正确；
选项C，当直线不相交时，由线面垂直的判定定理知：且时，得不到，故选项C错误；
选项D，当，时，可满足题设条件，此时平面与平面所成的二面角为,平面与平面所成的二面角为，故选项D错误.
故选：AB
三、解答题
11．已知直棱柱的底面ABCD为菱形，且，，点为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【详解】（1）连接AC交BD于点，连接，
在直四棱柱中，，
所以四边形为平行四边形，即，，
又因为底面ABCD为菱形，所以点为AC的中点，
点为的中点，即点为的中点，所以，，
即四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，，所以平面；
（2）在直棱柱中平面，平面，
所以，
又因为上底面为菱形，所以，
因为平面，
所以平面，
因为在中，，
且点为BD的中点，所以，即，
所以．
12．如图，在三棱柱中，为边长为的正三角形，为的中点，，且，平面平面.
(1)证明：；
(2)求三棱锥的体积.
【详解】（1）为中点，，，又，，
，，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，.
（2）由三棱柱结构特征可知：平面平面，
点到平面的距离即为点到平面的距离，
又，
.
二 外接球、内切球等相关问题
一、单选题
1．已知是边长为3的等边三角形，其顶点都在球O的球面上，若球O的体积为，则球心O到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【详解】解：如图所示：
因为是边长为3的等边三角形，且的中心为，
所以，
又因为球O的体积为，
所以，
解得，即，
所以，
即球心O到平面ABC的距离为1，
故选：C
2．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，侧棱两两垂直，若此三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由题知三棱锥的外接球即为侧棱为邻边的正方体的外接球，
因为三棱锥的底面是边长为1的正三角形，
所以，
以为邻边的正方体的体对角线长为，
所以，其外接球的直径，表面积为.
故选：D
3．一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在一个球面上，且这个球的半径为5，则这个圆锥的体积的最大值时，圆锥的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，设圆锥的底面半径为r，球半径，球心为O．
过圆锥的顶点P作底面的垂线，垂足为．则球心O必定在上，连接OB，则．
所以圆锥的高或者．要求体积的最大值，所以取．
则，．
令，．则，（），
，
，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，圆锥体积最大．
此时，．
故选：C.
4．已知圆锥的侧面积为，母线与底面所成角的余弦值为，则该圆锥的内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设圆锥的母线长为l，高为h，底面半径为r，内切球的半径为R，由题知，∴，∴，∴，∴，∴.在圆锥的轴截面中，易知，即，∴，∴该圆锥的内切球的体积为.
故选：C.
5．如图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，若该几何体存在外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上）．已知，则该组合体的体积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设该组合体外接球的球心为，半径为，易知球心在中点，则.
则圆柱的底面半径为，
则该组合体的体积等于.
故选：A
6．已知矩形ABCD的顶点都在球心为O的球面上，，，且四棱锥的体积为，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题可知矩形所在截面圆的半径即为的对角线长度的一半，
，，
，
由矩形的面积，
则到平面的距离为满足：，
解得，
故球的半径，
故球的表面积为：，
故选：A．
7．水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．6
【答案】C
【详解】要使半球形容器内壁的半径的最小，只需保证小球与球各面（含球面部分）都相切，
此时，如上图示，为半球的球心，为其中一个小球球心，则是棱长为2的正方体的体对角线，且该小球与半球球面上的切点与共线，
所以半球形容器内壁的半径的最小值为小球半径与长度之和，即,
故选：C
8．已知三棱锥的四个顶点均在球的球面上，，，，为球的球面上一动点，则点到平面的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】，，，
可将三棱锥补成如图所示的长方体，
，，，
，球的半径；
在中，，则．
设的外接圆半径为，则，解得：，
则球心到平面的距离，
点到平面的最大距离为．
故选：B．
二、填空题
9．在三棱锥中，PA⊥平面ABC，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的体积为______．
【答案】
【详解】由题可知三棱锥的体积为：
，当且仅当时等号成立，
此时，，将三棱锥补成长方体，
则三棱锥外接球的直径为，则，
因此，三棱锥外接球的体积为.
故答案为：.
10．如图，在直三棱柱中，．设D为的中点，三棱锥的体积为，平面平面，则三棱柱外接球的表面积为______．
【答案】
【详解】取的中点E，连接AE，如图．
因为，所以．
又面面，面面，且面，
所以面，面，所以．
在直三棱柱中，面ABC，面ABC，所以．
又AE，面，且AE，相交，所以面，面，
所以．
设，则，解得，
所以．
所以三棱柱外接球的表面积．
故答案为：
11．如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则直三棱柱的体积为___________.
【答案】
【详解】如图所示，由题意知，球心在底面的中心O上，故为截面圆的直径，
则，
取的中点，连接
易知：底面中∥，，
则面，即为直角三角形，由勾股定理可得：，故
所以
故答案为：
12．如图所示的由4个直角三角形组成的各边长均相等的六边形是某棱锥的侧面展开图，若该六边形的面积为，则该棱锥的内切球半径为___．
【答案】
【详解】设六边形边长为a，将图形还原得四棱锥，如下图，
由题意，侧面展开图的面积，解得．
由，，面，则面，
所以为的高，
设内切球的球心为O，半径为r，则，
即，解得．
故答案为：
三 平面关系、垂直关系、体积、表面积等综合问题
1．已知直棱柱的底面ABCD为菱形，且，，点为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【详解】（1）连接AC交BD于点，连接，
在直四棱柱中，，
所以四边形为平行四边形，即，，
又因为底面ABCD为菱形，所以点为AC的中点，
点为的中点，即点为的中点，所以，，
即四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，，所以平面；
（2）在直棱柱中平面，平面，
所以，
又因为上底面为菱形，所以，
因为平面，
所以平面，
因为在中，，
且点为BD的中点，所以，即，
所以．
2．如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面是棱长为2的菱形，平面 平面，是的中点，.
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
【详解】（1）
证明：连结，
∵底面是菱形，，∴为等边三角形，
又是的中点，∴，
∵平面 平面，平面 平面，平面，
∴平面.
（2）设点到平面的距离为，易知，
在中，，，∴，
由，得，解得,
点到平面的距离为.
3．如图，在三棱柱中，为边长为的正三角形，为的中点，，且，平面平面.
(1)证明：；
(2)求三棱锥的体积.
【详解】（1）为中点，，，又，，
，，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，.
（2）由三棱柱结构特征可知：平面平面，
点到平面的距离即为点到平面的距离，
又，
.
4．如图1，在直角梯形中，，，，E为的中点，将沿折起，使折起后的平面与平面垂直，如图2.在图2所示的几何体中：
(1)求证：平面；
(2)点F在棱上，且满足，求几何体的体积.
【详解】（1）证明：∵，，，
∴在中，.
∴.
∴.
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面.
（2）∵，
又∵E为的中点，∴为的中位线. ∴F为的中点，
由（Ⅰ）知，，
，
∴.
5．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为菱形，，，，，，点F在平面ABCD内的射影恰为BC的中点G．
(1)求证：平面平面BED；
(2)求该几何体的体积．
【详解】（1）如图，设AC与BD交于点O，连接OG，OE．
因为O，G分别为BD，BC的中点，所以，．
因为，，所以四边形EFGO为平行四边形，所以.
又FG⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD．
因为平面ABCD，所以OE⊥AC，
又四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．
因为平面BED，平面BED，，所以AC⊥平面BED.
又平面ACE，故平面ACE⊥平面BED；
（2）因为FG⊥平面ABCD，所以，，
所以，所以．
由（1）可知，由题可知，所以，
所以四边形CDEF为等腰梯形．
过G点向CD作垂线，垂足为H，连接FH．
因为，，平面FGH，平面FGH，，
所以平面FGH.又平面CDEF，故平面平面FGH．
过G作GQ垂直于FH，垂足为Q，则平面CDEF．
由题可知，，
因为，所以．
因为G为BC的中点，所以B点到平面CDEF的距离为．
又，
故．
又，
故该几何体的体积为．
1

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