资源简介

压轴题04 解三角形压轴题答案
题型/考向一：正弦定理、余弦定理的综合
题型/考向二：解三角形实际问题
题型/考向三：解三角形的综合应用
一、正弦定理、余弦定理
1.正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径).
2.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.
正弦定理、余弦定理的综合应用
1.利用正、余弦定理解决实际问题的一般流程：
2.涉及正、余弦定理与三角形面积的综合问题
求三角形面积时常用S＝absin C形式的面积公式.
一 正弦定理、余弦定理的综合
一、单选题
1．是单位圆的内接三角形，角，，的对边分别为，，，且，则等于（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【详解】在中，由已知及余弦定理得，即，
由正弦定理边化角得：，
而，即，则，即有，又的外接圆半径，
所以.
故选：C
2．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】B
【详解】因为，
则根据正弦定理和余弦定理有
.
故选：B.
3．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若外接圆的面积为，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由已知及正弦定理得，所以，
所以，又，所以．
由的外接圆面积为，得外接圆的半径为1．
由正弦定理得，所以，所以，
解得，所以的面积，当且仅当时等号成立．
故选：B．
4．在锐角△ABC中，，，则BC的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由正弦定理得，
所以
因为锐角△ABC中，，所以，所以，
所以，所以，
即．
故选:B.
5．中是外接圆圆心，是的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】过点 作，垂足分别为，
如图，因 是外接圆圆心，则分别为的中点，
在 中，，
则 ，
即 ，
同理
则
由正弦定理得：，
当且仅当 时取“=”，
所以的最大值为.
故选：A.
6．在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且△ABC的面积为，则△ABC周长的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】B
【详解】由题设及三角形内角和性质：，
根据正弦定理及诱导公式得，
，，，即，
，则，则，解得,则，
所以，则，
又仅当时等号成立，
根据余弦定理得，即，
设的周长为，则，
设，则，
根据复合函数单调性：增函数加增函数为增函数得：在上为单调增函数，
故，故，当且仅当时取等.
故选：B
7．若的内角A，B，C满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，,
，
由正弦和余弦定理可得，，
化简得，，
，
当且仅当时等号成立，
的最小值为，
故选：C
8．锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，得，由余弦定理得，
∴，即，
由正弦定理得，
∵，
∴，
即.
∵，∴，∴，
又为锐角三角形，∴，
∴，解得，
又，，，∴，
∴.
故选：B.
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】A
【详解】由余弦定理以及可得：，
又在三角形中有，即，
所以
故.
故选：A．
二、填空题
10．在如图所示的平面四边形中，，则的值为___________.
11．在锐角中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且，则的取值范围是______．
【答案】
【详解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得
，
因为，所以，
可得，
因为，所以，
所以，，
由，可得，
所以，，
由正弦定理得
.
故答案为：.
12．在如图所示的平面四边形中，，，记，的面积分别为，则的最大值为__________．
【答案】
【详解】在中，由余弦定理得：；
在中，由余弦定理得：；
，整理可得：；
，，
，
则当时，.
故答案为：.
13．如图，在中，，，点D与点B分别在直线的两侧，且，则的最大值是__________．
【详解】在中，设，则，由及正弦定理，得，即，解得，因为，所以，则.
在中，设，则由余弦定理可得，
即，由正弦定理可得，所以.
在中，由余弦定理可得，
即
，
当时，得长度取得最大值，最大值为，
故答案为：.
14．如图所示，在中，已知，，，，，分别在边，，上，且为等边三角形．则的面积的最小值是______．
【答案】##
【详解】不妨设的边长为，，
在中，，
因为，
所以在中，可得，
根据正弦定理可得，所以，
所以，其中，
易知，则
当时，取得最小值，
面积的最小值为，
故答案为：．
15．在等边三角形中，，点在内部，且满足，则的最大值为_______
【答案】
【详解】设，,则，在中，..
由正弦定理可得，
则.
.
当时，，取最大值2.
故答案为：2.
二 解三角形实际问题
一、单选题
1．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为37，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（ ）
A．64 B．74 C．52 D．91
【答案】B
【详解】因为中，⊥，m，，
所以m，
因为中，⊥，，
所以，
由题意得：，
故，
在中，由正弦定理得：，
即，
故m，
故m
故选：B
2．冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊笔画都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了，测得，，，，若点恰好在边上，请帮忙计算的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，在中，由余弦定理可得，
，
因为，所以，
在中，由正弦定理，
即，解得.
故选：A.
3．下图是梁思成研究广济寺三大士殿的手稿，它是该建筑中垂直于房梁的截面，其中是房梁与该截面的交点，，分别是两房檐与该截面的交点，该建筑关于房梁所在铅垂面（垂直于水平面的面）对称，测得柱子与之间的距离是（为测量单位），柱子与之间的距离是．如果把，视作线段，记，，是的四等分点，，，是的四等分点，若，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意，如图所示：其中点与点重合，
因为该建筑关于房梁所在铅垂面（垂直于水平面的面）对称，
，，是的四等分点，，，是的四等分点
所以，，，
所以为直角三角形，四边形为矩形，
所以且，
又，所以，
在中，由余弦定理得：
，
所以，
所以.
故选：A.
4．中国最早的天文观测仪器叫“圭表” ，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了汉代，使用圭表有了规范，规定“表”为八尺长（1尺=10寸）．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”．记“表”的顶部为A，太阳光线通过顶部A投影到“圭”上的点为B．同一日内，甲地日影长是乙地日影长的，记甲地中直线AB与地面所成的角为，且则甲、乙两地之间的距离约为（ ）
A．8千里 B．10千里 C．12千里 D．14千里
【答案】C
【详解】依题意，甲地中线段AB的长为寸，则甲地的日影长为寸，
于是乙地的日影长为寸，甲、乙两地的日影长相差12寸，
所以甲、乙两地之间的距离是12千里.
故选：C
5．矗立在上饶市市民公园的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达天下”的美好寓意，也象征着上饶四省通衢，连南接北，通江达海，包容八方．某中学研究性学习小组为测量其高度，在和它底部位于同一水平高度的共线三点，，处测得铜雕顶端处仰角分别为，，，且，则四门通天的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设的投影为，且，在中，，
所以，
在中，，所以，
在中，，所以，
在和中分别用余弦定理得，
解得或（舍去），即四门通天的高度为.
故选：B
6．东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股 定理的证明， 后人称其为 “赵爽弦图”. 如图 1 ， 它由四个全等的直角三 角形与一个小正方形拼成的一个大正方形. 我们通过类比得到图 2， 它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形 拼成的一 个大等边三角形， 若， 则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【详解】因为，，
所以，
而 ，
在 中， 设，则，
由正弦定理得 ， 解得，
由余弦定理 ，
所以.
故选：C.
7．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC 100 m，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cos10° ≈ 0.985）
A．49.25 m B．50.76 m
C．56.74 m D．58.60 m
【答案】B
【详解】如图，
设球的半径为
，
，
，
故选：B
8．意大利数学家斐波那契于1202年写成《计算之书》，其中第12章提出兔子问题，衍生出数列：1，1，2，3，5，8，13，….记该数列为，则，，.如图，由三个图（1）中底角为60°等腰梯形可组成一个轮廓为正三角形（图（2））的图形，根据改图所揭示的几何性质，计算（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【详解】从图（2）可得到正三角形的面积等于三个等腰梯形的面积加上小正三角形的面积，
所以，
整理可得，
由此可推断出也可构成以下正三角形，
所以，
整理可得，
所以
故选：B
二、填空题
9．兰州黄河楼，位于黄河兰州段大拐弯处，是一座讲述黄河故事的人文地标，是传承和记录兰州文化的精神产物，展现了甘肃浓厚的历史文化底蕴及黄河文化的独特魅力．某同学为了估算该楼的高度，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距90米的C、D两观测点，且C、D与黄河楼底部B在同一水平面上，在C、D两观测点处测得黄河楼顶部A的仰角分别为，并测得，则黄河楼的估计高度为_____________米．
【答案】90
【详解】在中，，所以，
在，，所以，即，
在中，，，
由余弦定理，，
即，解得或（舍去），
即黄河楼的估计高度为米.
故答案为：
10．如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高________.
【答案】
【详解】在中，，，所以．
在中，，，从而，
由正弦定理得，，因此．
在中，，，得．
故答案为：．
三 解三角形的综合应用
一、多选题
1．在中，内角所对的边分别为，下列命题中，正确的是（ ）
A．在中，若，则
B．在中，若，，则
C．在中，若，则
D．在中，
【答案】ABD
【详解】在中，由及正弦定理得：，因此，A正确；
在中，由及正弦定理得：，B正确；
在中，，则，因为，
则有或，即有或，当时，，
当时，a与b不一定相等，C错误；
令为外接圆半径，则，于是，D正确.
故选：ABD
2．已知中，角所对的边分别为，则下列条件中能判断为钝角三角形的有（ ）
A． B．
C． D．的三条高分别为
【答案】BCD
应用两角和差正切公式及正切值正负判断C,根据面积公式结合余弦定理可以判断D.
【详解】对于A，由正弦定理得，,又，
化简得0，所以为直角三角形，故A错误；
对于B，将平方化简得，故为钝角，为钝角三角形，故B正确；
对于C,因为,，
则角中必有一个角为钝角，为钝角三角形，故C正确；
对于D，假设边上的高分别为，则，
设，则，所以由余弦定理得，
所以为钝角，为钝角三角形，故D正确．
故选：BCD．
3．已知对任意角均有公式．设的内角A，B，C满足，面积S满足，记a，b，c分别为角A，B，C所对的边，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】根据题意，由可得：
即，
故，故，
故选项A正确．
又由三角形的面积公式，可得，
因此，故选项B错误．
而，有，从而，故选项C正确．
根据三角形三边长的关系，有，故选项D正确．
故选：ACD.
4．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则该三角形周长的最大值为6
C．若的面积为2，a，b，c边上的高分别为，且，则的最大值为
D．设，且，则的最小值为
【答案】BCD
【详解】A选项，，由正弦定理可得：，
而，
故，
因为且位于分母位置，故，
所以，
又，
所以，故A错误；
B选项，由A选项知：，由余弦定理得：
，
所以，，当且仅当时等号成立，
此时，所以周长的最大值为6，故B正确；
C选项，结合三角形面积公式得，，，
则，
又因为，所以，
结合余弦定理得，当且仅当时等号成立，
所以，所以，
所以的最大值为，故C正确；
对于D选项，因为，即，
，
两边平方并化简得，
即，，，
所以，
当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确．
故选：BCD．
5．某社区规划在小区内修建一个如图所示的四边形休闲区.已知米，米，且修建该休闲区的费用是200元/平方米，则下列结论正确的是（ ）
A．若四边形的四个顶点共圆，则米
B．若四边形的四个顶点共圆，则修建该休闲区的总费用为4万元
C．若时，则该社区修建该休闲区的修建费用为6万元
D．若要修建完成该休闲区，则该社区需要准备的修建费用最多为万元
【答案】ACD
【详解】对于A，因为四边形的四个顶点共圆，所以，设，则，由余弦定理可得，
，因为，，
所以，，
所以，所以（米），A正确；
对于B，因为，，所以，又，所以，所以的面积为，的面积为，所以四边形的总面积为，所以修建该休闲区的总费用为（万元），B错误；
对于C，设，，由余弦定理可得，，
所以，，所以
，
的面积为，的面积为，所以四边形的总面积为，设，则，
所以，又，所以，又，所以，
所以四边形的总面积为，所以修建该休闲区的总费用为6（万元），C正确；
对于D，设，，由余弦定理可得，，
所以，，所以
，
的面积为，的面积为，所以四边形的总面积为，设，则，
所以，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，所以的最大值为，故的最大值为，所以该社区需要准备的修建费用最多为万元，D正确.
故选：ACD.
二、解答题
6．已知的内角所对的边分别为.
(1)求；
(2)为内一点，的延长线交于点，___________，求的面积.
请在下列两个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，并解决问题.
①的三个顶点都在以为圆心的圆上，且；
②的三条边都与以为圆心的圆相切，且.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.
【详解】（1）在中，因为，所以，
由正弦定理，得，
因为，所以，
化简，得，因为，所以.
（2）选条件①：
设的外接圆半径为，
则在中，由正弦定理得，即，
由题意知：，
由余弦定理知：，
所以.
在中，由正弦定理知：，
所以，
从而，所以为等边三角形，
的面积.
选条件②：
由条件知：，
由，得，
因为，所以，即，
由（1）可得，即，
所以，即，
又因为，所以，
所以的面积.
7．在中，角、、的对边分别为、、，且．
(1)求角的大小；
(2)若，的面积，求的周长．
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
因为，所以，即，
因为，所以.
（2），所以，
由余弦定理得，
所以的周长为．
8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.
【详解】（1）∵，
∴，
∴由余弦定理得：，即：，
由正弦定理得：，
∴，
整理得：，即：，
又∵，
∴，即：.
（2）∵，
∴，
又∵，，，
∴由正弦定理得：
，
又∵，
∴，
令，则，，
∵对称轴为，
∴在上单调递增，
当时，；当时，，
∴，即：的范围为.
9．已知的内角的对边分别为，，，，且．
(1)求的大小；
(2)若的平分线交于点，且，求的取值范围．
【详解】（1）∵，由正弦定理可得，
则，
可得，
整理得，
注意到，且，则，且，
可得或，
解得或（舍去），
故.
（2）若的平分线交于点，则，
∵，则，
即，整理得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的取值范围为.
10．在中，内角的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，是边上的一点，且，求线段的最大值.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
又，所以，
所以，即，，
又，
所以，所以，所以；
（2）在中，由正弦定理得，
所以.
因为，所以，
在中，由余弦定理得
，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即线段的最大值为.
1压轴题04 解三角形压轴题
题型/考向一：正弦定理、余弦定理的综合
题型/考向二：解三角形实际问题
题型/考向三：解三角形的综合应用
一、正弦定理、余弦定理
1.正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径).
2.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.
正弦定理、余弦定理的综合应用
1.利用正、余弦定理解决实际问题的一般流程：
2.涉及正、余弦定理与三角形面积的综合问题
求三角形面积时常用S＝absin C形式的面积公式.
一 正弦定理、余弦定理的综合
一、单选题
1．是单位圆的内接三角形，角，，的对边分别为，，，且，则等于（ ）
A．2 B． C． D．1
2．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
3．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若外接圆的面积为，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．在锐角△ABC中，，，则BC的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．中是外接圆圆心，是的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且△ABC的面积为，则△ABC周长的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．
7．若的内角A，B，C满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
二、填空题
10．在如图所示的平面四边形中，，则的值为___________.
11．在锐角中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且，则的取值范围是______．
12．在如图所示的平面四边形中，，，记，的面积分别为，则的最大值为__________．
13．如图，在中，，，点D与点B分别在直线的两侧，且，则的最大值是__________．
14．如图所示，在中，已知，，，，，分别在边，，上，且为等边三角形．则的面积的最小值是______．
15．在等边三角形中，，点在内部，且满足，则的最大值为_______
二 解三角形实际问题
一、单选题
1．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为37，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（ ）
A．64 B．74 C．52 D．91
2．冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊笔画都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了，测得，，，，若点恰好在边上，请帮忙计算的值（ ）
A． B． C． D．
3．下图是梁思成研究广济寺三大士殿的手稿，它是该建筑中垂直于房梁的截面，其中是房梁与该截面的交点，，分别是两房檐与该截面的交点，该建筑关于房梁所在铅垂面（垂直于水平面的面）对称，测得柱子与之间的距离是（为测量单位），柱子与之间的距离是．如果把，视作线段，记，，是的四等分点，，，是的四等分点，若，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
4．中国最早的天文观测仪器叫“圭表” ，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了汉代，使用圭表有了规范，规定“表”为八尺长（1尺=10寸）．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”．记“表”的顶部为A，太阳光线通过顶部A投影到“圭”上的点为B．同一日内，甲地日影长是乙地日影长的，记甲地中直线AB与地面所成的角为，且则甲、乙两地之间的距离约为（ ）
A．8千里 B．10千里 C．12千里 D．14千里
5．矗立在上饶市市民公园的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达天下”的美好寓意，也象征着上饶四省通衢，连南接北，通江达海，包容八方．某中学研究性学习小组为测量其高度，在和它底部位于同一水平高度的共线三点，，处测得铜雕顶端处仰角分别为，，，且，则四门通天的高度为（ ）
A． B． C． D．
6．东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股 定理的证明， 后人称其为 “赵爽弦图”. 如图 1 ， 它由四个全等的直角三 角形与一个小正方形拼成的一个大正方形. 我们通过类比得到图 2， 它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形 拼成的一 个大等边三角形， 若， 则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC 100 m，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cos10° ≈ 0.985）
A．49.25 m B．50.76 m
C．56.74 m D．58.60 m
8．意大利数学家斐波那契于1202年写成《计算之书》，其中第12章提出兔子问题，衍生出数列：1，1，2，3，5，8，13，….记该数列为，则，，.如图，由三个图（1）中底角为60°等腰梯形可组成一个轮廓为正三角形（图（2））的图形，根据改图所揭示的几何性质，计算（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
二、填空题
9．兰州黄河楼，位于黄河兰州段大拐弯处，是一座讲述黄河故事的人文地标，是传承和记录兰州文化的精神产物，展现了甘肃浓厚的历史文化底蕴及黄河文化的独特魅力．某同学为了估算该楼的高度，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距90米的C、D两观测点，且C、D与黄河楼底部B在同一水平面上，在C、D两观测点处测得黄河楼顶部A的仰角分别为，并测得，则黄河楼的估计高度为_____________米．
10．如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高________.
三 解三角形的综合应用
一、多选题
1．在中，内角所对的边分别为，下列命题中，正确的是（ ）
A．在中，若，则
B．在中，若，，则
C．在中，若，则
D．在中，
2．已知中，角所对的边分别为，则下列条件中能判断为钝角三角形的有（ ）
A． B．
C． D．的三条高分别为
3．已知对任意角均有公式．设的内角A，B，C满足，面积S满足，记a，b，c分别为角A，B，C所对的边，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则该三角形周长的最大值为6
C．若的面积为2，a，b，c边上的高分别为，且，则的最大值为
D．设，且，则的最小值为
5．某社区规划在小区内修建一个如图所示的四边形休闲区.已知米，米，且修建该休闲区的费用是200元/平方米，则下列结论正确的是（ ）
A．若四边形的四个顶点共圆，则米
B．若四边形的四个顶点共圆，则修建该休闲区的总费用为4万元
C．若时，则该社区修建该休闲区的修建费用为6万元
D．若要修建完成该休闲区，则该社区需要准备的修建费用最多为万元
二、解答题
6．已知的内角所对的边分别为.
(1)求；
(2)为内一点，的延长线交于点，___________，求的面积.
请在下列两个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，并解决问题.
①的三个顶点都在以为圆心的圆上，且；
②的三条边都与以为圆心的圆相切，且.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.
7．在中，角、、的对边分别为、、，且．
(1)求角的大小；
(2)若，的面积，求的周长．
8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.
9．已知的内角的对边分别为，，，，且．
(1)求的大小；
(2)若的平分线交于点，且，求的取值范围．
10．在中，内角的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，是边上的一点，且，求线段的最大值.
1

展开更多......

收起↑