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专题04 指数、对数函数
1. 指数与指数运算
1．根式
(1)根式的概念
根式的概念 符号表示 备注
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N*
当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根
(2)两个重要公式
①＝
②()n＝a(注意a必须使有意义)．
2．分数指数幂
(1)正数的正分数指数幂是＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．
(2)正数的负分数指数幂是a -＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．
(3)0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义．
3．实数指数幂的运算性质
(1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈R)；
(2)(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈R)；
(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)．
4. 幂函数
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
图象
定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇 函数 偶 函数 奇 函数 非奇非偶 函数 奇 函数
单调性 在R上单 调递增 在(－∞，0) 上单调递减， 在(0，＋∞) 上单调递增 在R上 单调递增 在[0，＋∞) 上单调递增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上单调递减
5.指数函数图象与性质
指数函数的概念、图象和性质
定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数
底数 a>1 0图象
性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞)
函数图象过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有00时，恒有01
函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数
6. 常用对数和自然对数
以10为底的对数叫作常用对数,并把记作lg_N.以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数,并且把记为ln_N.
7.对数的性质：
①loga1＝0；
②logaa＝1(其中a>0且a≠1)．
8.对数恒等式：
alogaN＝N．(其中a>0且a≠1，N>0)
9.对数的换底公式：
logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)．
10.对数的运算法则：
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．
11.对数函数的图象和性质
图象 a＞1 0＜a＜1
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：(－∞，＋∞)
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0
在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数
1.指数幂的运算
2.对数的运算
3.解指对数方程
4.比较幂式大小
5.解简单的不等式．
7. 求复合函数的单调区间
1. 转化思想
2.函数与方程思想
3. 数形结合思想
考点一 指数幂的运算
例1．计算： ．
【答案】
【分析】利用分数指数幂和对数的运算直接求解即可.
【详解】原式．
故答案为：9
例2． .
【答案】/
【分析】由指数幂的运算化简求值.
【详解】.
故答案为：
【变式探究】1.
【答案】
【分析】根据分数指数幂的运算法则计算出答案.
【详解】
.
故答案为：
2. .
【答案】/
【分析】根据指数幂以及根式的运算即可求解.
【详解】原式为
.
故答案为：
考点二 对数的运算
例3．计算： ．
【答案】
【分析】根据指对数直接计算即可.
【详解】原式.
故答案为：1.
例4．化简： .
【答案】4
【分析】利用对数运算及换底公式计算即得.
【详解】.
故答案为：4
【变式探究】1. ．
【答案】10
【分析】由对数的运算性质求解即可.
【详解】．
故答案为：10．
2. 计算 .
【答案】
【分析】利用分数指数幂和对数运算法则计算即可.
【详解】
.
故答案为：
考点三 与指对函数有关的定义域
例5．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】由解析式可得，求解即可.
【详解】由题意可得,故，即.
故函数的定义域为.
故答案为:.
例6．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】利用对数、分式、根式的性质列不等式，求的范围，即得定义域.
【详解】由函数解析式，知：，解得且.
故答案为：.
【变式探究】函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据对数函数中真数大于0与零次幂中底数不等于0列式求解即可.
【详解】由题意知，且，
故函数的定义域为.
故选：B.
考点三 比较幂式大小
例7．已知则之间的大小关系为 ．
【答案】
【分析】根据指数函数的性质判断之间的大小关系.
【详解】由，则.
故答案为：
例8．设，，，则，，从小到大排序是 ．（用“”连接）
【答案】
【分析】根据指数函数的单调性和指数幂的运算性质依次判断a、b、c的取值范围即可求解.
【详解】由题意知，
，即，
，即，
，即，
所以.
故答案为：.
【变式探究】已知，，，则a，b，c三个数的大小关系是 .
【答案】/
【分析】利用指数函数的单调性，根据，同底，可比较，的大小，利用指数函数的运算性质，将，的指数部分化为一致，结合幂函数的单调性，可比较，的大小．
【详解】解：，故函数为减函数
故
，故函数为减函数
又，
故答案为：
考点四 解指对数方程
例9．解指数方程： .
【答案】或
【分析】直接对方程两边取以3为底的对数，讨论和，解出方程即可.
【详解】由得，即，当即时，显然成立；
当时，，解得；故方程的解为：或.
故答案为：或.
例10．解对数方程
【详解】原式可化为：，
再化为，
即，
也即，整理得：，
解方程，得，，
经检验：是原方程增根，所以原方程的根是；
【变式探究】1. 指数方程的解是 .
【答案】
【分析】由方程看成关于的二次方程，解得（舍或，从而得到方程的解．
【详解】：，
（舍或，解得．
故答案为：．
2. 若对数方程的两根为，则 .
【答案】/
【分析】利用因式分解法，结合对数的运算性质进行求解即可.
【详解】，或，
由，由，
所以，
故答案为：
考点五 解简单的不等式
例11．不等式的解集是 .
【答案】
【分析】结合指数函数的单调性、一元二次不等式的解法求得不等式的解集.
【详解】，即，
由于在R上单调递减，所以，即
解得，所以不等式的解集为.
故答案为：.
例12．不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据对数函数的性质，求对数不等式解集即可.
【详解】由在定义域上为单调增函数且，知：
，解得.
故答案为：.
【变式探究】1. 不等式的解集为 .
【答案】
【分析】利用指数函数的单调性解原不等式，即可得解.
【详解】因为函数为上的增函数，由可得，
故原不等式的解集为.
故答案为：.
2. 使成立的实数x的集合是 .
【答案】
【分析】根据对数函数的单调性结合条件即得.
【详解】由，可得,
所以，即，
所以
故答案为：
考点六 求复合函数的单调区间
例13．函数的增区间为 .
【答案】
【分析】利用复合函数的单调区间的求解方法，即“同增异减”，进行求解
【详解】设，则，
因为在区间上为减函数，区间上为增函数，为减函数，
所以的增区间为.
故答案为：
例14．的单调增区间是 .
【答案】
【分析】根据对数型复合函数的单调性求解方法求解.
【详解】要使函数有意义，
则，解得或，
因为二次函数在单调递减，单调递增，
所以的单调增区间是.
故答案为：.
【变式探究】1. 函数的单调递减区间为 .
【答案】(－∞，1]
【分析】根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间就是函数的单调递减区间.
【详解】因为函数的单调递增区间为(－∞，1]，且，
所以函数的单调递减区间为(－∞，1].
故答案为：(－∞，1].
2. 函数的递减区间为 .
【答案】
【分析】由复合函数的单调性只需求出的单调递增区间，且要满足，从而求出答案.
【详解】因为在上单调递减，
由复合函数的单调性可知，的递减区间为的单调递增区间，
且要满足，解得或，
其中在上单调递增，
故的递减区间为.
故答案为：
1. （2022年）函数 .
解析：
2. （2022年）方程的解为 .
解析：
经检验，是原方程的根.
3. （2022年）函数的定义域为 .
解析：要使得 有意义，则，故函数的定义域为
4. （2022年），则a,b,c由小到大的顺序为 .
解析：
5. （2022年） .
解析：
6. （2021年）函数的定义域为 .
解析：，定义域为
7. （2021年） .
解析：
8. （2021年）已知方程，则x= .
解析：
9. （2021年），则a,b,c由大到小的顺序为 .
解析：
10. （2021年）不等式的解集为 .
解析：{1}
故不等式的解集为{1}.
11.（2020年）计算：= .
【答案】2
【解析】原式=1+++1=2.
12.(2020年河北对口)若,则a,b,c按由小到大顺序排列为 .
【答案】b【解析】，而在定义域内是增函数，所以b13.（2020年）不等式的解集为 ．（用区间表示）
【答案】
【解析】,而，所以答案为.
14. （2019年）若a2A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】a215. （2019年）已知 ，a，b，c 按由小到大的顺序排列 ．
【答案】c【解析】,所以c16. （2019年）函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】,故答案为.
17. （2019年）计算：= 。
【答案】0
【解析】
18.（2018年）计算： = 。
【答案】
【解析】
19. （2018年）函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】，故答案为.
20. (2018年河北对口) 不等式的解集为
【答案】
【解析】,所以答案为.
21. （2017年）计算： .
【答案】
【解析】
22.(2017年河北对口) 若，则的最小值为 .
【答案】-2
【解析】
所以的最小值为-2.
23.(2017年河北对口) 设函数，若，则 .
【答案】
【解析】
24.（2017年）已知函数的定义域是 .
【答案】
【解析】,故答案为.
25. （2016年）函数的定义域是 ．
【答案】
【解析】,故答案为.专题04 指数、对数函数
1. 指数与指数运算
1．根式
(1)根式的概念
根式的概念 符号表示 备注
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N*
当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根
(2)两个重要公式
①＝
②()n＝a(注意a必须使有意义)．
2．分数指数幂
(1)正数的正分数指数幂是＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．
(2)正数的负分数指数幂是a -＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．
(3)0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义．
3．实数指数幂的运算性质
(1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈R)；
(2)(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈R)；
(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)．
4. 幂函数
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
图象
定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇 函数 偶 函数 奇 函数 非奇非偶 函数 奇 函数
单调性 在R上单 调递增 在(－∞，0) 上单调递减， 在(0，＋∞) 上单调递增 在R上 单调递增 在[0，＋∞) 上单调递增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上单调递减
5.指数函数图象与性质
指数函数的概念、图象和性质
定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数
底数 a>1 0图象
性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞)
函数图象过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有00时，恒有01
函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数
6. 常用对数和自然对数
以10为底的对数叫作常用对数,并把记作lg_N.以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数,并且把记为ln_N.
7.对数的性质：
①loga1＝0；
②logaa＝1(其中a>0且a≠1)．
8.对数恒等式：
alogaN＝N．(其中a>0且a≠1，N>0)
9.对数的换底公式：
logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)．
10.对数的运算法则：
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．
11.对数函数的图象和性质
图象 a＞1 0＜a＜1
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：(－∞，＋∞)
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0
在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数
1.指数幂的运算
2.对数的运算
3.解指对数方程
4.比较幂式大小
5.解简单的不等式．
7. 求复合函数的单调区间
1. 转化思想
2.函数与方程思想
3. 数形结合思想
考点一 指数幂的运算
例1．计算： ．
例2． .
【变式探究】1.
.
考点二 对数的运算
例3．计算： ．
例4．化简： .
【变式探究】1. ．
2. 计算 .
考点三 与指对函数有关的定义域
例5．函数的定义域为 .
例6．函数的定义域为 ．
【变式探究】函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
考点三 比较幂式大小
例7．已知则之间的大小关系为 ．
例8．设，，，则，，从小到大排序是 ．（用“”连接）
【变式探究】已知，，，则a，b，c三个数的大小关系是 .
考点四 解指对数方程
例9．解指数方程： .
例10．解对数方程
【变式探究】1. 指数方程的解是 .
2. 若对数方程的两根为，则 .
考点五 解简单的不等式
例11．不等式的解集是 .
例12．不等式的解集为 ．
【变式探究】1. 不等式的解集为 .
2. 使成立的实数x的集合是 .
考点六 求复合函数的单调区间
例13．函数的增区间为 .
例14．的单调增区间是 .
【变式探究】1. 函数的单调递减区间为 .
2. 函数的递减区间为 .
1. （2022年）函数 .
2. （2022年）方程的解为 .
3. （2022年）函数的定义域为 .
4. （2022年），则a,b,c由小到大的顺序为 .
5. （2022年） .
6. （2021年）函数的定义域为 .
7. （2021年） .
8. （2021年）已知方程，则x= .
9. （2021年），则a,b,c由大到小的顺序为 .
10. （2021年）不等式的解集为 .
11.（2020年）计算：= .
12.(2020年河北对口)若,则a,b,c按由小到大顺序排列为 .
13.（2020年）不等式的解集为 ．（用区间表示）
14.（2019年）已知 ，a，b，c 按由小到大的顺序排列 ．
15. （2019年）函数的定义域为 ．
17. （2019年）计算：= 。
18.（2018年）计算： = 。
19.（2018年）函数的定义域为 ．
20. (2018年河北对口) 不等式的解集为
21.（2017年）计算： .
22.(2017年河北对口) 若，则的最小值为 .
23.(2017年河北对口) 设函数，若，则 .
24.（2017年）已知函数的定义域是 .
.25. （2016年）函数的定义域是 ．

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