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专题4 解三角形
【题型01 三角形面积公式】
【题型02 正弦定理】
【题型03 余弦定理】
2. 正弦定理
（1）基本公式：
（其中为外接圆的半径）
（2）变形
3. 三角形的面积公式
【题型01 三角形面积公式】
【典例1】已知中，，且的面积为，则（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【分析】根据三角形的面积公式即可求解.
【详解】因为中，，且的面积为
.
所以，所以或.
故选：B.
【典例2】 在中，，且的面积为，则（ ）
A． B．3 C．2 D．
【答案】A
【分析】利用三角形的面积公式求解.
【详解】因为，
所以，解得，
即，
故选：A.

【典例3】在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件直接利用三角形的面积公式求解即可
【详解】在中，，，则
，
故选：D
【题型02 正弦定理】
【典例1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则b=（ ）
A． B． C．3 D．或3
【答案】D
【分析】根据可得，再利用余弦定理求解即可
【详解】由题，因为，故为锐角，故，又由余弦定理可得，故，化简得，故或3故选：D
【典例2】在中，，则等于（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】B
【分析】根据正弦定理可求出结果.
【详解】由正弦定理得.
故选：B.
【题型03 余弦定理】
【典例1】在中，角的对边分别是，已知，，，则（ ）
A．7 B．19 C． D．
【答案】D
【分析】利用余弦定理求得正确答案.
【详解】由余弦定理得，
所以．
所以．
故选：D
【典例2】在中，， ，，则（ ）
A． B．5 C．10 D．
【答案】B
【分析】运用余弦定理解三角形即可.
【详解】由余弦定理得，
即，解得（负值已舍去）.
故选：B.
练 习
一、单选题
1．在中，下列式子与的值相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理即可得解.
【详解】在中，由正弦定理知，
所以，故C正确，其余选项不一定成立.
故选：C.
2．设的内角的对边分别为，若则的值可以为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】由正弦定理求出，结合求出答案.
【详解】由正弦定理得，即，
故，
因为，所以，故.
故选：A
3．如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东的方向，灯塔B在观察站C的南偏东的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦定理即可求解.
【详解】由题意可知,
由余弦定理可得，
故选：D
4．在中，角所对的边长分别为.若，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】直接利用正弦定理即可得解.
【详解】因为，则，所以，
由正弦定理得，
所以，
所以或.
故选：D.
5．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理计算即可.
【详解】由正弦定理知：得.
故选：B
6．在中，已知，则角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理的推论即可求解.
【详解】由及余弦定理的推论，得，
因为，
所以.
故选：B.
7．在中，角的对边分别为，若，则b＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理计算即可.
【详解】因为，由正弦定理得，．
故选：D．
8．在中，边长，，，则边长（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理解三角形.
【详解】在中，边长，，，
由正弦定理得，
所以.
故选：C
9．的内角的对边分别为，已知，则（ ）
A．6 B． C．8 D．
【答案】A
【分析】由同角的平方关系和正弦定理求解.
【详解】由得.
由正弦定理得.
故选：A
10．在中，角的对边分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理求得正确答案.
【详解】由正弦定理得，
.
故选：D
11．在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，，求的值（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】由余弦定理变形得到，代入求解即可.
【详解】，
即，解得，负值舍去.
故选：A
12．在中，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．10cm
【答案】B
【分析】由已知利用三角形的内角和定理可求B的值，进而根据正弦定理即可求解AC的值.
【详解】因为，，，
所以，
所以由正弦定理，可得.
故选：B.
13．在中，角所对的边分别为，若，则角（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据余弦定理求得正确答案.
【详解】依题意，，即，
所以，所以为锐角，所以.
故选：B
14．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据二倍角公式求出，再结合余弦定理求即可.
【详解】由题意得，，
由余弦定理得，，
所以.
故选：D
15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦定理结合三角形边角性质求解即可.
【详解】在中，因为，所以，故，又，故．
故选：B
16．在中， ，则（ ）
A．9 B． C． D．3
【答案】D
【分析】根据余弦定理即可求得答案.
【详解】由题意知中，，
故
，
故，
故选：D
17．在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．21
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角函数的同角公式，求出，再根据三角形面积公式，即可求解．
【详解】，，，
则，
，
，
的面积为．
故选：．
18．在中，已知，则角A等于（ ）
A．150° B．120° C．60° D．30°
【答案】C
【分析】根据题意结合余弦定理运算求解.
【详解】因为，整理得，
由余弦定理可得，
且，所以.
故选：C.
19．在中，若，，，则的面积为（ ）．
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】根据面积公式即可求解.
【详解】∵，∴，
∴面积．
故选：B
20．在中，若，则等于（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】根据已知条件利用余弦定理直接求解即可
【详解】在中，若，由余弦定理得
，得，
故选：A
21．的三内角，，所对边分别为，，，若，则角的大小（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用余弦定理计算可得.
【详解】依题意由余弦定理，
又，所以.
故选：A
22．设中角，，所对的边分别为，，；若，，；则为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能
【答案】A
【分析】根据余弦定理即可求解.
【详解】由余弦定理可得,故为锐角，
由于，因此均为锐角，故为锐角三角形，
故选：A
二、填空题
1．中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，，，则的面积为 .
【答案】/
【分析】先由余弦定理求出，再用求出面积即可.
【详解】由余弦定理可得
，
解得，或（舍）
所以面积，
故答案为：
2．在中，，则 .
【答案】
【分析】利用余弦定理求解即可.
【详解】.
故答案为：
3．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则角A的大小为 ．
【答案】/
【分析】余弦定理结合已知条件直接求解即可．
【详解】解：因为，
所以，
因此，
又因为，所以.
故答案为:
4．在中，，且最大边长为14，则该三角形的面积为 ．
【答案】
【分析】利用余弦定理求出，进而求得，再用面积公式求解即可.
【详解】因为，且最大边长为14，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以，
故答案为: .
5．已知三角形三边长为3，4，，则这个三角形中最大的内角为 ．
【答案】/
【分析】由大边对大角，所对角为最大角，结合余弦定理求解即可.
【详解】因为大边对大角，设最大内角为，
则，所以，
故答案为：
6．已知三角形三边长度为、、则三角形中最大的角的角度为 度．
【答案】/
【分析】利用余弦定理结合三角形内角的取值范围可求得结果.
【详解】设该三角形的最大内角为，则，
因为，因此，.
故答案为：.
三、解答题
1．在中，内角所对的边分别为，，，已知已知.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的值；
(3)若，判断的形状．
【答案】(1)；
(2)；
(3)正三角形．
【分析】（1）利用余弦定理求出的大小作答.
（2）代入给定等式计算作答.
（3）根据已知条件可得，再结合（1）确定三角形的形状作答.
【详解】（1）在中，由及余弦定理得，而，
所以.
（2）由，及，得，
所以.
（3）由及，得，则，由（1）知，
所以为正三角形.
2．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，．
(1)求的面积；
(2)求边长及的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用平方关系和面积公式求解即可.
（2）利用余弦定理和正弦定理求解即可.
【详解】（1）由，且，
则，
所以．
（2）由，
则，
又，则．
3．在中，，，.
(1)求的面积；
(2)求c及的值.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用平方关系求得，应用三角形面积公式求的面积；
（2）余弦公式求c，再应用正弦定理求.
【详解】（1）由且，则，
所以.
（2）由，则，
而，则.
4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，
(1)若，求b；
(2)若，求b．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）依据余弦定理结合条件即得；
（2）依据正弦定理结合条件即得.
【详解】（1）由余弦定理，得，
解得（负值舍去），
故.
（2）由正弦定理，得，
∵，
∴或，
当时，，∴；
当时，，∴．
综上，或．
5．的内角的对边分别为，若，求：
(1)的值；
(2)和的面积．
【答案】(1)
(2)，三角形面积为
【分析】（1）应用余弦定理列方程求值即可；
（2）由同角三角函数平方关系求，应用正弦定理求，三角形面积公式求的面积.
【详解】（1）由余弦定理得：，解得．
（2）由，则，
由正弦定理得，又，则，
．
6．已知在中，，，，求、的值.
【答案】，或，.
【分析】根据三角形的余弦定理和面积公式求解.
【详解】在中，由余弦定理与面积公式得，
，化为，，
解得，或，.
1专题4 解三角形
【题型01 三角形面积公式】
【题型02 正弦定理】
【题型03 余弦定理】
2. 正弦定理
（1）基本公式：
（其中为外接圆的半径）
（2）变形
3. 三角形的面积公式
【题型01 三角形面积公式】
【典例1】已知中，，且的面积为，则（ ）
A． B．或 C． D．或
【典例2】 在中，，且的面积为，则（ ）
A． B．3 C．2 D．

【典例3】在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【题型02 正弦定理】
【典例1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则b=（ ）
A． B． C．3 D．或3
【典例2】在中，，则等于（ ）
A． B． C． D．不确定
【题型03 余弦定理】
【典例1】在中，角的对边分别是，已知，，，则（ ）
A．7 B．19 C． D．
【典例2】在中，， ，，则（ ）
A． B．5 C．10 D．
练 习
一、单选题
1．在中，下列式子与的值相等的是（ ）
A． B． C． D．
2．设的内角的对边分别为，若则的值可以为（ ）
A． B． C． D．或
3．如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东的方向，灯塔B在观察站C的南偏东的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，角所对的边长分别为.若，则（ ）
A． B． C．或 D．或
5．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，已知，则角为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，角的对边分别为，若，则b＝（　　）
A． B． C． D．
8．在中，边长，，，则边长（ ）
A． B． C． D．
9．的内角的对边分别为，已知，则（ ）
A．6 B． C．8 D．
10．在中，角的对边分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
11．在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，，求的值（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．在中，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．10cm
13．在中，角所对的边分别为，若，则角（ ）
A． B． C． D．
14．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ）
A． B． C． D．
16．在中， ，则（ ）
A．9 B． C． D．3
17．在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．21
18．在中，已知，则角A等于（ ）
A．150° B．120° C．60° D．30°
19．在中，若，，，则的面积为（ ）．
A． B． C． D．3
20．在中，若，则等于（ ）
A． B． C．3 D．
21．的三内角，，所对边分别为，，，若，则角的大小（ ）．
A． B． C． D．
22．设中角，，所对的边分别为，，；若，，；则为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能
二、填空题
1．中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，，，则的面积为 .
2．在中，，则 .
3．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则角A的大小为 ．
4．在中，，且最大边长为14，则该三角形的面积为 ．
5．已知三角形三边长为3，4，，则这个三角形中最大的内角为 ．
6．已知三角形三边长度为、、则三角形中最大的角的角度为 度．
三、解答题
1．在中，内角所对的边分别为，，，已知已知.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的值；
(3)若，判断的形状．
2．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，．
(1)求的面积；
(2)求边长及的值．
3．在中，，，.
(1)求的面积；
(2)求c及的值.
4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，
(1)若，求b；
(2)若，求b．
5．的内角的对边分别为，若，求：
(1)的值；
(2)和的面积．
6．已知在中，，，，求、的值.
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