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专题5 三角函数的应用
【题型01 在面积问题上的应用】
【题型02 交流电的电压问题】
【题型03 测量与计算问题】
2. 正弦定理
（1）基本公式：
（其中为外接圆的半径）
（2）变形
3. 三角形的面积公式
4. 实际测量中的有关名称、术语
名称 定义 图示
仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角
俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角
方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于）
方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角
【题型01 在面积问题上的应用】
【典例1】某居民小区拟将一块三角形空地改造成绿地.经测量，这块三角形空地的两边长分别为32m和68m，它们的夹角是.已知改造费用为50元/m2，那么，这块三角形空地的改造费用为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】C
【分析】求出三角形空地的面积，即可求出这块三角形空地的改造费用.
【详解】由题意，三角形空地的面积为，
改造费用为50元，
这块三角形空地的改造费用为：元.
故选：C.
【点睛】本题主要考查的是正弦定理中的面积公式的应用，熟记公式是解决本题的关键，是基础题.
【题型02 交流电的电压问题】
【典例1】在日常生活中，我们的家庭用电是交流电，若电流电的电压U（单位：V）与时间t（单位：s）之间的函数关系可用U=220来表示，求：
（1）开始时的电压；
（2）电压值重复出现一次的时间间隔；
（3）电压的最大值和第一次达到最大值的时刻。
【详解】（1）取t=0，得开始时的电压U=220 sin=110 (V),即该交流电开始时的电压为110 V
（2）由于电压值重复出现一次的时间间隔即为函数的一个周期，故电压值重复出现一次的时间间隔为
T= =0.02（s）即电压值经0.02s重复出现；
（3）当=1时，得电压的最大值U =220 V,此时=2k+
当k=0时，t= （s）,因此，电压第一次达到最大值的时刻为 s.
【题型03 测量与计算问题】
【典例1】如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东的方向，灯塔B在观察站C的南偏东的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦定理即可求解.
【详解】由题意可知,
由余弦定理可得，
故选：D
【典例2】如图，在高速公路建设中，要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的两点到点的距离分别为，且，则隧道长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由余弦定理得出隧道长度.
【详解】由余弦定理可得：
．
故选：C
练 习
一、单选题
1．在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是，且到A的距离为2，C点的俯角为，且到A的距离为3，则B、C间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用余弦定理求得正确答案.
【详解】依题意可知，
由余弦定理得，
所以.
故选：D

2．泰姬陵于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史.如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物，高约为，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得A处、泰姬陵顶端处的仰角分别是和，在A处测得泰姬陵顶端处的仰角为，则估算泰姬陵的高度为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出辅助线，得到各角度及，在中利用正弦定理得到，进而得到.
【详解】由题设且，
过点作平行于，则，，

故，
所以，，
在中，由勾股定理可得，
在中，由正弦定理得，，即，
所以，故.
故选：A
3．某人在山外一点测得山顶的仰角为42°，沿水平面退后30米，又测得山顶的仰角为39°，则山高为（ ）(sin42°≈0.6691，sin39°≈0.6293，sin3°≈0.0523)
A．180米 B．214米 C．242米 D．266米
【答案】C
【分析】利用正弦定理求得，进而求得，也即是求得山高.
【详解】依题意，如图所示，，则，
在三角形中，，
由正弦定理得，所以.
在中，米.
故选：C

4．如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西方向上，灯塔B在观察站南偏东方向上，则灯塔A在灯塔B的（ ）
A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．南偏东方向上 D．南偏西方向上
【答案】D
【分析】根据题意求出各角的度数，确定，故灯塔A在灯塔B的南偏西方向上.
【详解】由条件及题图可知，为等腰三角形，
所以，又，
所以，所以，
因此灯塔A在灯塔B的南偏西方向上．
故选：D．
5．两座灯塔和与海岸观察站的距离相等，灯塔在观察站北偏东，灯塔在观察站南偏东，则灯塔在灯塔的（ ）
A．北偏东 B．北偏西
C．南偏东 D．南偏西
【答案】B
【分析】作出灯塔，的相对位置图，分别求出，，的值即可求解.
【详解】灯塔，的相对位置如图所示，
由已知得，，则，
即北偏西．
故选：B.
6．在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的（ ）
A．北偏西34°27′ B．北偏东55°33′
C．北偏西55°32′ D．南偏西55°33′
【答案】A
【分析】根据方向角的概念判断即可.
【详解】根据方向角的概念可知A正确．
故选：A.
7．如图，一轮船从A点沿北偏东的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东的方向行驶10海里至海岛，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛，则此船沿__________方向行驶__________海里至海岛C（ ）
A．北偏东； B．北偏东；
C．北偏东； D．北偏东；
【答案】C
【分析】先求出各角的角度，再使用余弦定理求解长度.
【详解】由题意得：，，故，所以从A到C的航向为北偏东，由余弦定理得：，故.
故选：C
8．某学生在“捡起树叶树枝，净化校园环境”的志愿活动中拾到了三支小树枝（视为三条线段），想要用它们作为三角形的三条高线制作一个三角形．经测量，其长度分别为，则（ ）
A．能作出二个锐角三角形 B．能作出一个直角三角形
C．能作出一个钝角三角形 D．不能作出这样的三角形
【答案】C
【分析】根据高可得三边之比，再根据余弦定理可得正确的选项
【详解】因为三条高线的长度为，故三边之比为，
设最大边所对的角为，则，
而为三角形内角，故为钝角，故三角形为钝角三角形，
故选：C.
二、填空题
1．如图，小刚同学从楼顶A处看楼下公园的湖边D处的俯角为，看另一边B处的俯角为，楼高为米，则楼下公园的湖宽= m．（结果精确到1米，参考数据:，，，）
【答案】
【分析】根据锐角三角函数即可求解.
【详解】由题意，得，．
在中，米，∴，∴（米），
在中，则米，
∴（米）．
所以湖宽约为米．
故答案为：42
2．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要45秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米如图所示，旗杆底部与第一排在同一个水平面上，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为 米/秒．

【答案】/
【分析】根据题意求得角，利用正弦定理求得边长，再根据直角三角形边角关系求出旗杆的高度即可求解.
【详解】依题意知，，
所以,
由正弦定理知,
所以，
所以在中，，
因为国歌奏唱需要45s，所以升旗手升旗的速度应为.
故答案为: .
3．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ．

【答案】
【分析】根据已知，利用正弦定理以及直角三角形的性质计算求解.
【详解】
如图，在中，，，所以，
又，由正弦定理有：，即，
解得，
又是直角三角形，且，所以，
所以此山的高度m.
故答案为：.
三、解答题
1．A，B两地之间隔着一个水塘（如图），现选择另一点C，测得，，，求A，B两地之间的距离（精确到1m，）．

【答案】168m
【分析】利用余弦定理求两地间距离即可.
【详解】由余弦定理，得
，
所以，即A，B两地之间的距离约为168m．
2．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个侧点C与D．现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，求塔高．

【答案】
【分析】利用正弦定理以及解直角三角形来求得.
【详解】在△BCD中，，，，
由正弦定理，，
，
在中，.
3．信阳南湾湖以源远流长的历史遗产，浓郁丰厚的民俗风情而著称；以幽、朴、秀、奇的独特风格，山、水、林、岛的完美和谐而闻名，是融自然景观、人文景观、森林生态环境、森林保健功能于一体，是河南省著名的省级风景区.如图，为迎接第九届开渔节，某渔船在湖面上A处捕鱼时，天气预报几小时后会有恶劣天气，该渔船的东偏北方向上有一个小岛C可躲避恶劣天气，在小岛C的正北方向有一航标灯D距离小岛25海里，渔船向小岛行驶50海里后到达B处，测得，海里.
(1)求A处距离航标灯D的距离AD；
(2)求的值；
(3)为保护南湾湖水源自然环境，请写出两条建议（言之有物即可）.
【答案】(1)（海里）
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）在△中利用余弦定理即可求解；
（2）在△中利用余弦定理即可求解；
（3）结合保护自然环境提出建议即可.
【详解】（1）∵，，，
∴在△中由余弦定理得，
∴（海里）.
（2）∵，由正弦定理得，
∴.
（3）不要向南湾湖里投扔垃圾；建立各种保护机制；防止水污染物直接排入水体；限制保护区内从事餐饮、住宿等经营活动；禁止垂钓、游泳等娱乐活动.
1专题5 三角函数的应用
【题型01 在面积问题上的应用】
【题型02 交流电的电压问题】
【题型03 测量与计算问题】
2. 正弦定理
（1）基本公式：
（其中为外接圆的半径）
（2）变形
3. 三角形的面积公式
4. 实际测量中的有关名称、术语
名称 定义 图示
仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角
俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角
方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于）
方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角
【题型01 在面积问题上的应用】
【典例1】某居民小区拟将一块三角形空地改造成绿地.经测量，这块三角形空地的两边长分别为32m和68m，它们的夹角是.已知改造费用为50元/m2，那么，这块三角形空地的改造费用为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【题型02 交流电的电压问题】
【典例1】在日常生活中，我们的家庭用电是交流电，若电流电的电压U（单位：V）与时间t（单位：s）之间的函数关系可用U=220来表示，求：
（1）开始时的电压；
（2）电压值重复出现一次的时间间隔；
（3）电压的最大值和第一次达到最大值的时刻。
【题型03 测量与计算问题】
【典例1】如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东的方向，灯塔B在观察站C的南偏东的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】如图，在高速公路建设中，要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的两点到点的距离分别为，且，则隧道长度为（ ）
A． B． C． D．
练 习
一、单选题
1．在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是，且到A的距离为2，C点的俯角为，且到A的距离为3，则B、C间的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．泰姬陵于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史.如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物，高约为，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得A处、泰姬陵顶端处的仰角分别是和，在A处测得泰姬陵顶端处的仰角为，则估算泰姬陵的高度为（ ）

A． B． C． D．
3．某人在山外一点测得山顶的仰角为42°，沿水平面退后30米，又测得山顶的仰角为39°，则山高为（ ）(sin42°≈0.6691，sin39°≈0.6293，sin3°≈0.0523)
A．180米 B．214米 C．242米 D．266米
4．如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西方向上，灯塔B在观察站南偏东方向上，则灯塔A在灯塔B的（ ）
A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．南偏东方向上 D．南偏西方向上
5．两座灯塔和与海岸观察站的距离相等，灯塔在观察站北偏东，灯塔在观察站南偏东，则灯塔在灯塔的（ ）
A．北偏东 B．北偏西
C．南偏东 D．南偏西
6．在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的（ ）
A．北偏西34°27′ B．北偏东55°33′
C．北偏西55°32′ D．南偏西55°33′
7．如图，一轮船从A点沿北偏东的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东的方向行驶10海里至海岛，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛，则此船沿__________方向行驶__________海里至海岛C（ ）
A．北偏东； B．北偏东；
C．北偏东； D．北偏东；
8．某学生在“捡起树叶树枝，净化校园环境”的志愿活动中拾到了三支小树枝（视为三条线段），想要用它们作为三角形的三条高线制作一个三角形．经测量，其长度分别为，则（ ）
A．能作出二个锐角三角形 B．能作出一个直角三角形
C．能作出一个钝角三角形 D．不能作出这样的三角形
二、填空题
1．如图，小刚同学从楼顶A处看楼下公园的湖边D处的俯角为，看另一边B处的俯角为，楼高为米，则楼下公园的湖宽= m．（结果精确到1米，参考数据:，，，）
2．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要45秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米如图所示，旗杆底部与第一排在同一个水平面上，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为 米/秒．

3．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ．

三、解答题
1．A，B两地之间隔着一个水塘（如图），现选择另一点C，测得，，，求A，B两地之间的距离（精确到1m，）．

2．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个侧点C与D．现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，求塔高．

3．信阳南湾湖以源远流长的历史遗产，浓郁丰厚的民俗风情而著称；以幽、朴、秀、奇的独特风格，山、水、林、岛的完美和谐而闻名，是融自然景观、人文景观、森林生态环境、森林保健功能于一体，是河南省著名的省级风景区.如图，为迎接第九届开渔节，某渔船在湖面上A处捕鱼时，天气预报几小时后会有恶劣天气，该渔船的东偏北方向上有一个小岛C可躲避恶劣天气，在小岛C的正北方向有一航标灯D距离小岛25海里，渔船向小岛行驶50海里后到达B处，测得，海里.
(1)求A处距离航标灯D的距离AD；
(2)求的值；
(3)为保护南湾湖水源自然环境，请写出两条建议（言之有物即可）.
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