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压轴题05 解析几何压轴题
题型/考向一：直线与圆、直线与圆锥曲线
题型/考向二：圆锥曲线的性质综合
题型/考向三：圆锥曲线的综合应用
直线与圆、直线与圆锥曲线
热点一 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.
判断方法：
(1)点线距离法(几何法).
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程组
消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离 Δ<0，直线与圆相切 Δ＝0，直线与圆相交 Δ>0.
2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.
热点二 中点弦问题
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB的斜率为k.
(1)若椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，则k＝－·；
(2)若双曲线E的方程为－＝1(a>0，b>0)，则k＝·；
(3)若抛物线E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝.
热点三 弦长问题
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
则|AB|＝＝|x1－x2|＝
或|AB|＝|y1－y2|＝.
热点四 圆锥曲线的切线问题
1.直线与圆锥曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数不为零)的判别式为零.
2.椭圆＋＝1(a>b>0)在(x0，y0)处的切线方程为＋＝1；双曲线－＝1(a>0，b>0)在(x0，y0)处的切线方程为－＝1；抛物线y2＝2px(p＞0)在(x0，y0)处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).
热点五 直线与圆锥曲线位置关系的应用
直线与圆锥曲线位置关系的判定方法
(1)联立直线的方程与圆锥曲线的方程.
(2)消元得到关于x或y的一元二次方程.
(3)利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系.
圆锥曲线的性质综合
热点一 圆锥曲线的定义与标准方程
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|).
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|).
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.
2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.
热点二 椭圆、双曲线的几何性质
1.求离心率通常有两种方法
(1)椭圆的离心率e＝＝(01).
(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.
2.与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0).
热点三 抛物线的几何性质
抛物线的焦点弦的几个常见结论：
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是弦AB的倾斜角，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝.
(3)＋＝.
(4)以线段AB为直径的圆与准线x＝－相切.
圆锥曲线的综合应用
求解范围、最值问题的常见方法
(1)利用判别式来构造不等关系.
(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系.
(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式.
(4)利用基本不等式.
一 直线与圆、直线与圆锥曲线
一、单选题
1．过圆上的动点作圆的两条切线，则连接两切点线段的长为（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．过抛物线C：的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若，则抛物线C的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
3．若直线与曲线恰有两个公共点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知抛物线的焦点为，直线与该抛物线交于A，B两点，则（ ）
A．4 B． C．8 D．
5．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F且斜率为的直线与C交于A，B两点，D为AB的中点，且于点M，AB的垂直平分线交x轴于点N，四边形DMFN的面积为，则（ ）
A． B．4 C． D．
6．已知圆，直线经过点与圆C相交于A，B两点，且满足关系（O为坐标原点）的点M也在圆C上，则直线的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
7．已知椭圆的上顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于M，N两点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，若四边形为矩形，则C的离心率为（ ）
A． B．3 C． D．
二、多选题
9．在平面直角坐标系xOy中，已知圆，过原点O的直线l与圆C交于A，B两点，则（ ）
A．当圆C与y轴相切，且直线l的斜率为1时，
B．当时，存在l，使得
C．若存在l，使得的面积为4，则r的最小值为
D．若存在两条不同l，使得，则r的取值范围为
10．已知，曲线，曲线，直线，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，曲线离心率为
B．当时，曲线离心率为
C．直线l与曲线有且只有一个公共点
D．存在正数m，n，使得曲线截直线l的弦长为
11．已知抛物线，过焦点的直线与交于两点，与关于原点对称，直线和直线的倾斜角分别是，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知双曲线的左 右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．若是双曲线上的动点，则满足的点共有两个
C．
D．内切圆的半径为
二 圆锥曲线的性质综合
一、单选题
1．设，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线右支于A，B两点，若，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，，P为C上一点，的中点为Q，为等边三角形，则双曲线C的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
3．若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A．6 B．或 C． D．或
4．已知双曲线的实轴为4，抛物线的准线过双曲线的左顶点，抛物线与双曲线的一个交点为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是双纽线上一点，有如下说法：
①双纽线关于原点中心对称；
②；
③双纽线上满足的点有两个；
④的最大值为.
其中所有正确的说法为（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
6．如图所示，，是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足，与双曲线的左支的交点A平分线段，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆和双曲线的焦点相同，记左、右焦点分别为，，椭圆和双曲线的离心率分别为，，设点为与在第一象限内的公共点，且满足，若，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．古希腊数学家阿波罗尼奧斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆的左、右焦点分别为，，若从椭圆右焦点发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后，满足，且，则该椭圆的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知曲线：，则（ ）
A．当时，是双曲线，其渐近线方程为
B．当时，是椭圆，其离心率为
C．当时，是圆，其圆心为，半径为
D．当，时，是两条直线
10．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图可以近似看成双纽线，在平面直角坐标系中，把到定点和距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是双纽线C上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的面积为
B．
C．双纽线C关于原点O对称
D．双纽线上C满足的点P有三个
11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆内部，点N在椭圆上，椭圆C的离心率为e，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率e的取值范围为
B．存在点N，使得
C．当时，的最大值为
D．的最小值为1
12．已知P，Q是双曲线上关于原点对称的两点，过点P作轴于点M，MQ交双曲线于点N，设直线PQ的斜率为k，则下列说法正确的是（ ）
A．k的取值范围是且 B．直线MN的斜率为
C．直线PN的斜率为 D．直线PN与直线QN的斜率之和的最小值为
三 圆锥曲线的综合应用
1．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程．
2．已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F(1，0)，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x＝－2相交于M，N两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求证：△ABO与△MNO的面积之比为定值．
3．已知双曲线的离心率为2，右焦点到其中一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过右焦点作直线交双曲线于两点，过点作直线的垂线，垂足为，求证直线过定点.
4．如图，平面直角坐标系中，直线与轴的正半轴及轴的负半轴分别相交于两点，与椭圆相交于两点（其中在第一象限），且与关于轴对称，延长交 圆于点.
(1)设直线的斜率分别为，证明：为定值；
(2)求直线的斜率的最小值.
5．已知双曲线：（，）的右焦点为，一条渐近线的倾斜角为60°，且上的点到的距离的最小值为1．
(1)求的方程；
(2)设点，，动直线：与的右支相交于不同两点，，且，过点作，为垂足，证明：动点在定圆上，并求该圆的方程．
1压轴题05 解析几何压轴题答案
题型/考向一：直线与圆、直线与圆锥曲线
题型/考向二：圆锥曲线的性质综合
题型/考向三：圆锥曲线的综合应用
直线与圆、直线与圆锥曲线
热点一 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.
判断方法：
(1)点线距离法(几何法).
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程组
消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离 Δ<0，直线与圆相切 Δ＝0，直线与圆相交 Δ>0.
2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.
热点二 中点弦问题
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB的斜率为k.
(1)若椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，则k＝－·；
(2)若双曲线E的方程为－＝1(a>0，b>0)，则k＝·；
(3)若抛物线E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝.
热点三 弦长问题
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
则|AB|＝＝|x1－x2|＝
或|AB|＝|y1－y2|＝.
热点四 圆锥曲线的切线问题
1.直线与圆锥曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数不为零)的判别式为零.
2.椭圆＋＝1(a>b>0)在(x0，y0)处的切线方程为＋＝1；双曲线－＝1(a>0，b>0)在(x0，y0)处的切线方程为－＝1；抛物线y2＝2px(p＞0)在(x0，y0)处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).
热点五 直线与圆锥曲线位置关系的应用
直线与圆锥曲线位置关系的判定方法
(1)联立直线的方程与圆锥曲线的方程.
(2)消元得到关于x或y的一元二次方程.
(3)利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系.
圆锥曲线的性质综合
热点一 圆锥曲线的定义与标准方程
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|).
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|).
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.
2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.
热点二 椭圆、双曲线的几何性质
1.求离心率通常有两种方法
(1)椭圆的离心率e＝＝(01).
(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.
2.与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0).
热点三 抛物线的几何性质
抛物线的焦点弦的几个常见结论：
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是弦AB的倾斜角，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝.
(3)＋＝.
(4)以线段AB为直径的圆与准线x＝－相切.
圆锥曲线的综合应用
求解范围、最值问题的常见方法
(1)利用判别式来构造不等关系.
(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系.
(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式.
(4)利用基本不等式.
一 直线与圆、直线与圆锥曲线
一、单选题
1．过圆上的动点作圆的两条切线，则连接两切点线段的长为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【详解】令点P是圆上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，如图，
则，而，于是，又，
因此为正三角形，，
所以连接两切点线段的长为.
故选：D
2．过抛物线C：的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若，则抛物线C的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】C：的焦点，因为，且直线AB经过焦点F，故代入得：，化简得：，
设直线的倾斜角为，则过点作轴于 轴与准线交于，所以 ，同理可得则抛物线的焦半径公式得：，故，解得，
故抛物线的标准方程是，
故选：A.
3．若直线与曲线恰有两个公共点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】可化为且，
即曲线是以为圆心，1为半径的圆的下半圆，
作出曲线，如图，
作直线，而直线与直线平行，
当直线过时，，
当直线与半圆相切时，由得舍去），
由图象可知的取值范围是．
故选：B．
4．已知抛物线的焦点为，直线与该抛物线交于A，B两点，则（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】D
【详解】因为抛物线的焦点为，则，所以抛物线方程为，
设，不妨令，
则可得，即，
所以.
故选:D
5．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F且斜率为的直线与C交于A，B两点，D为AB的中点，且于点M，AB的垂直平分线交x轴于点N，四边形DMFN的面积为，则（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【详解】由题意知，直线AB的方程为．
设，由，得，
所以，所以，
由，得．
如图所示，作轴于点E，则．
因为，
故，，
又，故，
又，得四边形DMFN为平行四边形．
所以其面积为，解得．
故选：A
6．已知圆，直线经过点与圆C相交于A，B两点，且满足关系（O为坐标原点）的点M也在圆C上，则直线的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】设直线的方程为，联立
整理得，设，．
由韦达定理得，，则，
由，点M在圆C上，可知，
所以，所以，
所以，即，
所以，解得．
故选：D.
7．已知椭圆的上顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于M，N两点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设，的中点为，
因为都在椭圆上，
所以，作差可得，
即，所以，
即，因为，所以，
又因为为△BMN的重心，所以，
所以，则，
所以，整理得，即，
所以，则，
所以离心率.
故选: A.
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，若四边形为矩形，则C的离心率为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【详解】显然直线与交于原点O，
由双曲线对称性知，若四边形是矩形，则，
设点，而
由得，解得，
则，
则，化简得，即，，
解得，
则.
故选：C.
二、多选题
9．在平面直角坐标系xOy中，已知圆，过原点O的直线l与圆C交于A，B两点，则（ ）
A．当圆C与y轴相切，且直线l的斜率为1时，
B．当时，存在l，使得
C．若存在l，使得的面积为4，则r的最小值为
D．若存在两条不同l，使得，则r的取值范围为
【答案】BC
【详解】直线l的斜率为1且过原点，所以直线，当圆C与y轴相切时，，C到l的距离，
所以，即A错误；
当时， ,所以O在圆C内，若，
则C到l的距离，所以存在l符合题意，即B正确；
设的面积为S，，则，即，
所以，当且仅当时取等，即C正确；
因为存在两条不同l，使得，则最大弦长，即，
若O在圆外或圆上，即时，显然存在两条，
若O在圆内，即时，最短弦长为，所以，即D错误．
故选：BC
10．已知，曲线，曲线，直线，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，曲线离心率为
B．当时，曲线离心率为
C．直线l与曲线有且只有一个公共点
D．存在正数m，n，使得曲线截直线l的弦长为
【答案】ACD
【详解】当时，曲线是焦点在y轴上的椭圆，
，
离心率，故A正确．
当时，曲线是焦点在x轴上的双曲线，
，
离心率，故B错误，
又，直线：过点，斜率，
双曲线的渐近线方程为，
直线l过的一个顶点且与的渐近线平行，
所以直线l与曲线有且只有一个公共点，故C正确．
曲线：与x轴的交点是，
与y轴的交点是．
所以直线l与曲线相交，弦长为，当时，，曲线截直线l的弦长为，
故D正确，
故选：ACD．
11．已知抛物线，过焦点的直线与交于两点，与关于原点对称，直线和直线的倾斜角分别是，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】作轴于，作轴于，则
由，则，
抛物线的焦点，因为，所以，即，
所以直线的斜率存在设为，可得直线的方程为，
与抛物线方程联立，整理得，所以，
则，
对于A：，所以，故A错误；
对于B：因为，所以，
所以直线与的倾斜角互补，即，故B正确；
对于C：因为，所以，即，因为，所以，故错误；
对于D：因为，所以，，所以，所以，即，故D正确，
故选：BD.
12．已知双曲线的左 右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．若是双曲线上的动点，则满足的点共有两个
C．
D．内切圆的半径为
【答案】ACD
【详解】双曲线中，实半轴长，虚半轴长，半焦距，焦点，
对于A，双曲线的渐近线方程为，A正确；
对于B，设点，则，，解得或，
当时，，当时，有两个值，即符合条件的点P有3个，B错误；
对于C，由双曲线定义知，而，且，
则，即有，
因此，C正确；
对于D，由双曲线定义知，因为，所以内切圆的半径：
，D正确.
故选：ACD
二 圆锥曲线的性质综合
一、单选题
1．设，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线右支于A，B两点，若，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【详解】设，，则，解得，，
，，
又因为，
所以有，
解得，则该双曲线的离心率为．
故选：A
2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，，P为C上一点，的中点为Q，为等边三角形，则双曲线C的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设双曲线C的半焦距为．由题可知，即．
因为的中点为Q，为等边三角形，
所以，所以，，
故，所以，，
所以，所以，所以，．
所以双曲线C的方程为．
故选：A
3．若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A．6 B．或 C． D．或
【答案】D
【详解】当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为；
当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为．
故选：D．
4．已知双曲线的实轴为4，抛物线的准线过双曲线的左顶点，抛物线与双曲线的一个交点为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意得，，故双曲线左顶点坐标为，
抛物线的准线为，故，解得，
点为抛物线与双曲线的一个交点，故，，
即，解得，解得，
故双曲线的渐近线方程为.
故选：A
5．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是双纽线上一点，有如下说法：
①双纽线关于原点中心对称；
②；
③双纽线上满足的点有两个；
④的最大值为.
其中所有正确的说法为（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【详解】对于①，因为定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，所以，
用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线关于原点中心对称，所以①正确；
对于②，根据三角形的等面积法可知，
即，所以，所以②正确；
对于③，若双纽线上的点满足，则点在轴上，即，
所以，得，所以这样的点只有一个，所以③错误；
对于④，因为，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以的最大值为，所以④正确，
故选：D
6．如图所示，，是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足，与双曲线的左支的交点A平分线段，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，由双曲线的定义得，，，
由得，
解得，所以，，
在中，由勾股定理得 ，
整理得 ，即双曲线的离心率 ，
故选：C．
7．已知椭圆和双曲线的焦点相同，记左、右焦点分别为，，椭圆和双曲线的离心率分别为，，设点为与在第一象限内的公共点，且满足，若，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，半焦距为，双曲线的实半轴长、虚半轴长分别为，半焦距为，
则有，
又因为点为与在第一象限内的公共点，且满足，
所以且，
由椭圆的定义可得，
所以，
由双曲线的定义可得，
所以，
所以
所以，
又因为，
解得(舍)或，
故选：A.
8．古希腊数学家阿波罗尼奧斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆的左、右焦点分别为，，若从椭圆右焦点发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后，满足，且，则该椭圆的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，可作图如下：
则，，即，
可设，，，
由，则，即，
，在中，，
则.
故选：D.
二、多选题
9．已知曲线：，则（ ）
A．当时，是双曲线，其渐近线方程为
B．当时，是椭圆，其离心率为
C．当时，是圆，其圆心为，半径为
D．当，时，是两条直线
【答案】AC
【详解】对于选项A，或，
当时，原方程可化为，所以是焦点在轴上的双曲线，
其渐近线方程为，
当时，原方程可化为，所以是焦点在轴上的双曲线，
其渐近线方程为，故A正确；
对于选项B，当时，，原方程可化为，
所以是焦点在轴上的椭圆，所以，
所以，故B错误；
对于选项C，当时，原方程可化为，所以是圆，
其圆心为，半径为，故C正确；
对于选项D，若，时，原方程可化为，
当时，，此时是两条直线，
当时，上面方程无解，此时不表示任何图形，故D错误．
故选：AC．
10．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图可以近似看成双纽线，在平面直角坐标系中，把到定点和距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是双纽线C上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的面积为
B．
C．双纽线C关于原点O对称
D．双纽线上C满足的点P有三个
【答案】BC
【详解】因为定义在平面直角坐标系中，把到定点，，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，则，即，
对于A, 根据三角形的面积为，故A错误，
对于B,由等面积法可知，
即，所以，故B正确，
对于C，用替换方程中的得，即，故原方程不变，所以双纽线关于原点中心对称，所以C正确；
对于D，若，则点，在的中垂线即轴上．
故此时，代入，可得，即仅有一个，故D错误；
故选：BC
11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆内部，点N在椭圆上，椭圆C的离心率为e，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率e的取值范围为
B．存在点N，使得
C．当时，的最大值为
D．的最小值为1
【答案】AC
【详解】A：由已知可得，，所以，即，
则，故，正确；
B：由知，共线，故必为椭圆的右顶点，
而，即，则，
所以，不合A分析结果，错误；
C：由已知且，所以，.
又，则.
根据椭圆的定义可得，
所以，
如上图示，当且仅当三点共线时取得等号，正确；
D：因为.
所以，
当且仅当，即时等号成立.
所以，的最小值为，错误.
故选：AC
12．已知P，Q是双曲线上关于原点对称的两点，过点P作轴于点M，MQ交双曲线于点N，设直线PQ的斜率为k，则下列说法正确的是（ ）
A．k的取值范围是且 B．直线MN的斜率为
C．直线PN的斜率为 D．直线PN与直线QN的斜率之和的最小值为
【答案】ABC
【详解】设点，，，直线与双曲线两支各有一个交点，
则斜率k在两条渐近线斜率之间，即且，选项A正确；
∵，，选项B正确；
设，则，
，
因为，在椭圆上，
所以，两式相减，则，
所以，
又，∴，选项C正确；
，当且仅当，即时取等，即，
但，所以等号无法取得，选项D错误．
故选：ABC.
三 圆锥曲线的综合应用
1．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程．
【详解】（1）由椭圆的长轴长是短轴长的倍，可得．
所以．
又，所以，解得．
所以．
所以椭圆的标准方程为．
（2）设，，
由，得．
则，．
因为线段中点的横坐标为，
所以．
解得，即，经检验符合题意．
所以直线l的方程为．
2．已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F(1，0)，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x＝－2相交于M，N两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求证：△ABO与△MNO的面积之比为定值．
【详解】（1）由焦点坐标可知，＝1，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.
（2）证明：当直线垂直于x轴时，△ABO与△MNO相似，
所以＝()2＝.
当直线与x轴不垂直时，设直线AB方程为y＝k(x－1)，设M(－2，yM)，N(－2，yN)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2－(4＋2k2)x＋k2＝0，所以x1x2＝1，
所以＝＝＝·＝，综上，＝.
3．已知双曲线的离心率为2，右焦点到其中一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过右焦点作直线交双曲线于两点，过点作直线的垂线，垂足为，求证直线过定点.
【详解】（1）由题意，设右焦点的坐标为，
双曲线的渐近线方程为：，
右焦点到其中一条渐近线的距离为，可得，
又因为，解得，
故双曲线的标准方程为.
（2）当直线的斜率不为0时，设，则
联立方程组，得
整理得：.
，且
，,
，令得，
，
直线过定点.
当直线的斜率为0时，此时直线:，此时均在轴上，故直线过定点.
综上：直线过定点.
4．如图，平面直角坐标系中，直线与轴的正半轴及轴的负半轴分别相交于两点，与椭圆相交于两点（其中在第一象限），且与关于轴对称，延长交 圆于点.
(1)设直线的斜率分别为，证明：为定值；
(2)求直线的斜率的最小值.
【详解】（1）设，
由可得.
直线的斜率，
直线的斜率，
此时，所以为定值.
（2）设，直线的方程为，直线的方程为
，
联立整理得.
由，可得，
所以.
同理.
所以，
，
所以.
因为，
所以，等号当且仅当时取得，
所以直线的斜率的最小值为.
5．已知双曲线：（，）的右焦点为，一条渐近线的倾斜角为60°，且上的点到的距离的最小值为1．
(1)求的方程；
(2)设点，，动直线：与的右支相交于不同两点，，且，过点作，为垂足，证明：动点在定圆上，并求该圆的方程．
【详解】（1）设,
则由已知得,
解得,
所以的方程.
（2）由(1)得,,
设，则
于是,
同理,
由，得
即
即,
整理得，
因为，所以,
所以的方程可化为
因此过定点 .
又因为垂足为,所以动点 在以为直径的圆上，
该圆的方程为.
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