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八年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题二十三 分式考点知识大串讲
知识点大串讲
一、分式的定义
一般地，如果A和B为两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B就叫做分式，A为分子，B为分母。
1.分式有意义，要求分母不为0，隐含分母要有字母；
2.分式无意义，分母为0；
3.分式值为0，分子为0 ，且分母不为0；
4.分式值为负或小于0，分子分母异号；
5.分式值为正或大于0，分子分母同号；
6.分式值为1，分子分母值相等；
7.分式值为-1，分子分母值互为相反数；
注意：分母中一定要含有字母的式子才叫分式；也就是分式的分母要满足两个条件的，a>不为0，b>必须含有字母，分式与整式的和，也是分式。
二、分式的基本性质
分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：
其中A,B,C为整式，且B、C≠0。
1.分式的符号，分式的分子分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；
2.分式的约分，就是把一个分式的分子和分母的公因式约去，约至它们再也没有公因式时就是最简分式了。
点拨：分子分母均为单项式时可以直接约分，即约去它们系数的最大公约数，然后约去分子分母的相同因式的最低次幂；分子分母为多项式时，要先将它们进行因式分解，再约分。
3.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母的分式，就叫分式的通分；最主要的步骤就是最简公分母的确定。
三、分式的运算
1.分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
2.分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
3.分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。
4.分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。
5.混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。
6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数)
（1）同底数的幂的乘法：；
（2）幂的乘方：;
（3）积的乘方：；
（4）同底数的幂的除法：( a≠0)；
（5）商的乘方：(b≠0)
7.科学记数法：把一个数表示成的形式（其中，n是整数）的记数方法叫做科学记数法。
用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是。
用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)。
四、分式方程的概念
1 .分母中含有未知数的方程叫分式方程.
（1）分式方程的重要特征：
①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
2.分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根。
3.解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
（4）增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
4.列分式方程解应用题的基本步骤： 　　
(1)审——仔细审题，找出等量关系； 　　
(2)设——合理设未知数； 　　
(3)列——根据等量关系列出方程； 　　
(4)解——解出方程； 　　
(5)验——检验增根； 　　
(6)答——答题．
应用题的几种类型：
行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题。
工程问题 基本公式：工作量=工时×工效。
高频考点练练练
【考点1】分式的意义
【例1-1】7．当a取何值时，分式的值为零．
【例1-2】．当x取什么值时，分式的值为零？
【例1-3】当x＝2时分式没有意义，求a的值．
【例1-4】下列式子中哪些是整式？哪些是分式？
，，x2y，﹣，，﹣，，4a，，，．
针对练习1
1．下列各式，a2﹣b2，，，，，中，分式有（　　）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．对于分式，下列说法不正确的是（　　）
A．x＝0时，分式值为0
B．x＝3时，分式无意义
C．x＜0时，分式值为负数
D．x＞3时，分式的值为正数
3．若分式的值大于零，则x的取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x＜0 C．x＜1 D．x＞0
4．若分式不论x取何实数总有意义，则m的取值范围为 　 　．
5．要使分式的值为1，则x应满足的条件是 　 　．
6．关于x的不等式组恰有两个整数解，且的值为正整数，则整数m的值为 　 　．
【考点2】分式的基本性质
【例2-1】已知y＝3xy+x，求代数式的值．
【例2-2】约分：．
【例2-3】通分：
（1），；
（2），．
【例2-4】将下列分式化为最简分式．
（1）；
（2）．
针对练习2
1．下列各式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（　　）
A．不变 B．扩大到原来的9倍
C．缩小到原来的 D．扩大到原来的3倍
3．下列从左到右的变形中，一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
5．（1）通分：；
（2）通分：，．
【考点3】分式的乘除
【例3-1】计算： ．
【例3-2】（1）
（2）．
针对练习3
1．如表为张小亮的答卷，他的得分应是（　　）
姓名张小亮得分？判断题（每小题20分，共100分）（1）当x≠0时，分式有意义．（√）（2）当x＝﹣1时，分式的值为0．（√）（3）．（×）（4）．（√）（5）．（√）
A．40分 B．60分 C．80分 D．100分
2．如图，小琪的作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为．
（1）求被墨水污染的部分；
（2）该题化简的结果能等于吗？为什么？
【考点4】分式的加减
【例4-1】计算++．
【例4-2】下面是小明化简分式﹣的过程，请认真阅读并完成相应任务：
解：原式＝…第一步＝…第二步＝…第三步＝…第四步＝…第五步
【任务一】填空：
①以上化简步骤中，第一步变形使用的方法是 　 　；
②第 　 　步是进行分式的通分，通分的依据是 　 　；
③第 　 　步开始出现错误．
【任务二】请直接写出正确的化简结果：　 　．
【例4-3】已知，求A、B的值．小明同学解法如下：
解：左边分母分解因式，得：，
去分母，得：3x﹣4＝A（x﹣2）+B（x﹣1），即：3x﹣4＝（A+B）x﹣（2A+B），
∴可得．
请结合小明的思路解答下列各题：
（1）已知等式成立，求A、B的值；
（2）计算：[++]（x+7），并求x取何整数时，这个式子的值为正整数．
针对练习4
1．设，，则m，n的关系是（　　）
A．m＝n B．m＞n C．m＜n D．m+n＝0
2．如果a﹣b＝3，那么代数式的值为（　　）
A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6
3．若，则M，N的值分别为（　　）
A．M＝2，N＝3 B．M＝，N＝ C．M＝3，N＝2 D．M＝，N＝
4．小刚在化简时，整式M看不清楚了，通过查看答案，发现得到的化简结果是，则整式M是（　　）
A． B．a+b C．a﹣b D．
5．设，求的值．
【考点5】分式的混合运算
【例5-1】先化简：，再从﹣1，0，1，2中取一个合适的数作为a的值代入求值．
【例5-2】先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣2＝0．
【例5-3】先化简，再对a取一个适当的数，代入求值．﹣÷．
针对练习5
1．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
2．若代数式（A﹣） 的化简结果为3a﹣6，则整式A为（　　）
A．﹣a+1 B．a﹣1 C．﹣a﹣1 D．a+1
3．阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞（如图所示），■表示破损的部分．则破损部分的式子可能是（　　）
A． B．
C． D．
4．小敏在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式*为（　　）
A． B． C． D．
5．如果a+2b＝2，那么代数式的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
6．先化简，然后从﹣3＜x＜3中选择一个合适的整数作为x的值代入求值．
【考点6】负整数指数幂
【例6-1】计算：．
【例6-2】已知ax＝3的值．求的值．
【例6-3】计算：（1）（3×10﹣3）×（5×10﹣4）；（2）（6×10﹣3）2÷（6×10﹣1）2．
针对练习6
1．若a＝0.42，b＝﹣4﹣2，，，则（　　）
A．b＜a＜c＜d B．b＜a＜d＜c C．c＜d＜a＜b D．c＜a＜d＜b
2．计算：﹣（2022﹣π）0＝　 　．
3．随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.0000008（毫米2），这个数用科学记数法表示为 　 　．
4．计算：（x﹣1+y﹣1）÷（x﹣2﹣y﹣2）
【考点7】分式方程
【例7-1】解方程：．
【例7-2】若数a使关于x的分式方程＝3的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为y≤1，则符合条件的所有整数a的和．
【例7-3】a为何值时，关于x的方程+＝无解？
【例7-4】已知关于x的方程有增根，求m的值．
针对练习7
1．分式方程的解为（　　）
A．x＝0 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．无解
2．若分式方程无解，则k的值为（　　）
A．±1 B．2 C．1或2 D．﹣1或2
3．对于代数式m，n，定义运算“※”：，例如：，若，则2A+B＝　 　．
4．当m＝　 　时，解分式方程会出现增根．
5．解分式方程：．
【考点8】分式方程的应用
【例8-1】某中学为创建“绿色学校”，响应“节能减排”号召，决定购进甲、乙两种型号的节能灯，已知甲型号节能灯的单价比乙型号节能灯的单价贵5元，用1080元购买甲型号节能灯恰好与用900元购买乙型号节能灯的盏数相同．
（1）甲、乙两种型号的节能灯的单价各是多少元？
（2）李老师购买这两种节能灯共60盏，且投入的经费不超过1700元，那么最多可购买多少盏甲型号节能灯？
（3）根据“节能减排”要求，为了更省电，学校对原灯泡进行了更换，发现李老师买的节能灯不够，又派出刘老师去购买，且两种型号的节能灯都要买，她一共花了300元，你知道她甲、乙两种型号的节能灯各购买多少盏吗？
【例8-2】2020年11月20日，娄底市荣获“第六届全国文明城市”称号．为巩固“国家文明城市”创建成果，共享文明健康美好生活，我市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍．若甲、乙两工程队合作只需要10天完成．求甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？
【例8-3】某学校八年级举行数学解题大赛，为表彰获胜的选手，学校准备在商店购买A，B两种文具作为奖品．已知A文具的单价比B文具的单价少8元，且用320元购买A文具的数量与用480元购买B文具的数量相同．
（1）求A，B两种文具的单价；
（2）若学校需要购买A，B两种文具共60件，且购买这两种文具的总费用不超过1200元，则学校至少购买A种文具多少件？
针对练习8
1．一项工程需在规定日期完成，如果甲队独做，就要超规定日期1天，如果乙队单独做，要超过规定日期4天，现在由甲、乙两队共做3天，剩下工程由乙队单独做，刚好在规定日期完成，则规定日期为（　　）
A．6天 B．8天 C．10天 D．7.5天
2．“我市为处理污水，需要铺设一条长为4000米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务．”根据题意可得方程，则方程中x表示（　　）
A．实际每天铺设管道的长度
B．实际施工的天数
C．原计划每天铺设管道的长度
D．原计划施工的天数
3．甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知甲、乙两人每天共加工35个玩具，求甲、乙两人每天各加工多少个玩具．
（1）设甲每天加工x个玩具，用含x的代数式表示：乙每天加工 　 　个玩具，甲加工90个玩具所用的时间为 　 　，乙加工120个玩具所用的时间为 　 　；
（2）根据（1）中数据，列方程解答问题．
4．某地区要修一条长为6公里的乡村旅游公路，准备承包给甲、乙两个工程队来合作完成，已知甲队每天完成的工作量是乙队的2倍，两队各完成400米时，甲比乙少用了5天．
（1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少米？
（2）若甲队每天的工程费用为1.5万元，乙队每天的工程费用为0.9万元，要使完成全部工程的总费用不超过120万元，则最多安排乙队修路多少天？
5 .某超市中秋节前购进了甲、乙两种畅销口味的月饼礼盒．已知购进甲种月饼礼盒的金额是12000元，购进乙种月饼礼盒的金额是8000元，购进甲种月饼礼盒的数量比乙种月饼礼盒的数量少50盒，甲种月饼礼盒的单价是乙种月饼礼盒单价的2倍．
（1）求甲、乙两种月饼礼盒的单价分别是多少元；
（2）为满足消费者需求，超市准备再次购进甲、乙两种月饼礼盒共200盒，若总金额不超过11500元，问最多购进多少盒甲种月饼礼盒？
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专题二十三 分式考点知识大串讲（解析版）
知识点串讲
一、分式的定义
一般地，如果A和B为两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B就叫做分式，A为分子，B为分母。
1.分式有意义，要求分母不为0，隐含分母要有字母；
2.分式无意义，分母为0；
3.分式值为0，分子为0 ，且分母不为0；
4.分式值为负或小于0，分子分母异号；
5.分式值为正或大于0，分子分母同号；
6.分式值为1，分子分母值相等；
7.分式值为-1，分子分母值互为相反数；
注意：分母中一定要含有字母的式子才叫分式；也就是分式的分母要满足两个条件的，a>不为0，b>必须含有字母，分式与整式的和，也是分式。
二、分式的基本性质
分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：
其中A,B,C为整式，且B、C≠0。
1.分式的符号，分式的分子分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；
2.分式的约分，就是把一个分式的分子和分母的公因式约去，约至它们再也没有公因式时就是最简分式了。
点拨：分子分母均为单项式时可以直接约分，即约去它们系数的最大公约数，然后约去分子分母的相同因式的最低次幂；分子分母为多项式时，要先将它们进行因式分解，再约分。
3.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母的分式，就叫分式的通分；最主要的步骤就是最简公分母的确定。
三、分式的运算
1.分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
2.分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
3.分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。
4.分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。
5.混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。
6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数)
（1）同底数的幂的乘法：；
（2）幂的乘方：;
（3）积的乘方：；
（4）同底数的幂的除法：( a≠0)；
（5）商的乘方：(b≠0)
7.科学记数法：把一个数表示成的形式（其中，n是整数）的记数方法叫做科学记数法。
用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是。
用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)。
四、分式方程的概念
1 .分母中含有未知数的方程叫分式方程.
（1）分式方程的重要特征：
①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
2.分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根。
3.解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
（4）增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
4.列分式方程解应用题的基本步骤： 　　
(1)审——仔细审题，找出等量关系； 　　
(2)设——合理设未知数； 　　
(3)列——根据等量关系列出方程； 　　
(4)解——解出方程； 　　
(5)验——检验增根； 　　
(6)答——答题．
应用题的几种类型：
行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题。
工程问题 基本公式：工作量=工时×工效。
高频考点练练练
【考点1】分式的意义
【例1-1】7．当a取何值时，分式的值为零．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：由分式的值为零，得
3﹣|a|＝0，且6+2a≠0．
解得a＝3，
当a＝3时，分式的值为零．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
【例1-2】．当x取什么值时，分式的值为零？
【分析】根据分子为零，分母不为零，则分式的值为零，即可求解．
【解答】解：由题意得：x2﹣1＝0，且x﹣1≠0，
∴x＝﹣1，
即当x＝﹣1时，分式的值为零．
【点评】本题考查了分式值为零的条件，特别注意当分子为零时，还要考虑分母不为零．
【例1-3】当x＝2时分式没有意义，求a的值．
【分析】根据分式无意义的条件可得3x﹣a＝0，再把x＝2代入即可算出a的值．
【解答】解：由题意得：3x﹣a＝0，
再把x＝2代入可得6﹣a＝0，
解得a＝6．
【点评】此题主要考查了分式无意义的条件，分式无意义的条件是分母等于零．
【例1-4】下列式子中哪些是整式？哪些是分式？
，，x2y，﹣，，﹣，，4a，，，．
【分析】的分母3π是常数，说明是整式．的分母是字母x，说明是分式．
【解答】解：∵的分母3π是常数，说明是整式．
整式有：，x2y，﹣，，4a；
分式有：，，﹣，，，．
【点评】本题侧重考查分式的定义、整式的定义，掌握分式的定义、整式的定义是解题的关键．
针对练习1
1．下列各式，a2﹣b2，，，，，中，分式有（　　）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】形如（A、B均为整式，且B中含有字母）的式子叫分式，根据定义解答．
【解答】解：分式有：，，，共3个．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．
2．对于分式，下列说法不正确的是（　　）
A．x＝0时，分式值为0
B．x＝3时，分式无意义
C．x＜0时，分式值为负数
D．x＞3时，分式的值为正数
【分析】分别根据x的值和范围判断即可．
【解答】解：当x＝0时，＝﹣1，故A符合题意；
当x＝3时，x﹣3＝0，
所以当x＝3时，分式无意义，故B不符合题意；
当x＜0时，x﹣3＜0，
所以分式的值为负数，故C选项不符合题意；
当x＞3时，x﹣3＞0，
所以分式的值为正数，故D不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的值，分式的值为零，分式有意义的条件，分式的符号的判断，熟练掌握这些知识是解题的关键．
3．若分式的值大于零，则x的取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x＜0 C．x＜1 D．x＞0
【分析】根据题意可得x﹣1＞0，即可求解．
【解答】解：∵分式的值大于零，
∴x﹣1＞0，
解得：x＞1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了分式的值，根据题意得到x﹣1＞0是解题的关键．
4．若分式不论x取何实数总有意义，则m的取值范围为 　m＞4　．
【分析】若分式不论x取何实数总有意义，则其分母x2+4x+m会写成（a+b）2+k（k＞0）的形式，利用k＞0，求字母的范围．
【解答】解：方法一、∵当Δ＝b2﹣4ac＜0时，x2+4x+m＝0无解，
即42﹣4m＜0，解得m＞4，
∴当m＞4时，不论x取何实数，分式总有意义．
方法二、∵x2+4x+m＝x2+4x+4﹣4+m＝（x+2）2﹣4+m，
∴当﹣4+m＞0时，分式不论x取何实数总有意义，
∴m＞4，
故答案为m＞4．
【点评】此题主要考查了分式的意义，要求掌握．意义：对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义．当分母是个二项式时，分式有意义的条件是分母能整理成（a+b）2+k（k＞0）的形式，即一个完全平方式与一个正数的和的形式．只要这样不论未知数取何值，式子（a+b）2+k（k＞0）恒大于零，分式总有意义．
5．要使分式的值为1，则x应满足的条件是 　x＝﹣1　．
【分析】根据题意要使分式值为1，即分母为2，进行计算即可得出答案．
【解答】解：要使分式的值为1，
即1﹣x＝2，
解得：x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1．
【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的值的求法是解决本题的关键．
6．关于x的不等式组恰有两个整数解，且的值为正整数，则整数m的值为 　5　．
【分析】解不等式组求得解集，从而确定m的值，代入分式验证即可．
【解答】解：不等式组的解集为：≤x≤3，
∵关于x的不等式组恰有两个整数解，
∴1＜≤2．
∴3＜m≤6，
∴整数m的值为4，5，6，
∵当m＝5时，的值为正整数，
∴整数m的值为5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了分式的值，一元一次不等式组的整数解，准确求得不等式组的解集是解题的关键．
【考点2】分式的基本性质
【例2-1】已知y＝3xy+x，求代数式的值．
【分析】根据已知条件y＝3xy+x，求出x﹣y与xy的关系，再将所求分式的分子、分母整理成x﹣y与xy和的形式，进行整体代入求解．
【解答】解：因为y＝3xy+x，所以x﹣y＝﹣3xy，当x﹣y＝﹣3xy时，．
【点评】运用整体代入法时解答本题的关键．本题首先根据已知条件得到x﹣y＝﹣3xy，再把要求的代数式化简成含有x﹣y的式子，然后整体代入，使代数式中只含有xy，约分后得解．
【例2-2】约分：．
【分析】分子、分母因式分解后约分即可．
【解答】解：＝＝．
【点评】本题考查约分，解题的关键是先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
【例2-3】通分：
（1），；
（2），．
【分析】找出各项的最简公分母，通分即可．
【解答】解：（1）＝，＝；
（2）＝，＝．
【点评】此题考查了通分，找出各项的最简公分母是解本题的关键．
【例2-4】将下列分式化为最简分式．
（1）；
（2）．
【分析】（1）式子中分子、分母都含有因式5y，约分即可得到结果；
（2）将的分子分母约去公因式（x﹣y），即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝
＝．
【点评】本题考查最简分式，解题的关键是掌握最简分式的定义，属于中考常考题型
针对练习2
1．下列各式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据分式的基本性质分别判断即可．
【解答】解：A．＝＝，故该项符合题意；
B．不一定等于，故该项不符合题意；
C．当a≠0时，＝，故该项不符合题意；
D.＝﹣，故该项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
2．如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（　　）
A．不变 B．扩大到原来的9倍
C．缩小到原来的 D．扩大到原来的3倍
【分析】依题意分式中每个未知量都扩大3倍后，再进行化简即可求解．
【解答】解：把x和y都扩大3倍后，原式＝＝，
约分后缩小到原来的，
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质，利用分式的基本性质是解题的关键．
3．下列从左到右的变形中，一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据分式的基本性质逐个判断即可．
【解答】解：A．，故本选项不符合题意；
B．，故本选项符合题意；
C．，故本选项不符合题意；
D．，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键．
4．化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
【分析】将分母因式分解，再约分即可求解．
【解答】解：
＝
＝
＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式的约分，先将分母进行因式分解是解答本题的关键．注意不要遗漏式子的符号．
5．（1）通分：；
（2）通分：，．
【分析】找出最简公分母，根据分式的通分法则计算即可．
【解答】解：（1）＝，＝；
（2）＝，＝．
【点评】本题考查的是分式的通分、约分，掌握分式的基本性质是解题的关键．
【考点3】分式的乘除
【例3-1】计算： ．
【分析】先将分式的分子与分母进行因式分解
【解答】解：原式＝
＝
＝
【点评】本题考查分式的乘除法，涉及因式分解法，题目较为综合．
【例3-2】（1）
（2）．
【分析】（1）把分式的分子和分母分解因式，同时把除法变成乘法，再进行约分即可；
（2）把分式的分子和分母分解因式，同时把除法变成乘法，再进行约分即可．
【解答】解：（1）原式＝××
＝﹣；
（2）原式＝××
＝﹣．
【点评】本题考查了分式的约分、分式的乘除法、分解因式的运用，能熟练地分解因式和约分是解此题的关键．
针对练习3
1．如表为张小亮的答卷，他的得分应是（　　）
姓名张小亮得分？判断题（每小题20分，共100分）（1）当x≠0时，分式有意义．（√）（2）当x＝﹣1时，分式的值为0．（√）（3）．（×）（4）．（√）（5）．（√）
A．40分 B．60分 C．80分 D．100分
【分析】先判断出张小亮答对了几道题，再求出他的得分即可．
【解答】解：（1）当x≠0时，分式有意义．正确；
（2）当x＝﹣1时，分式的值为0．正确；
（3），错误；
（4）当n＝0时，，错误；
（5），正确；
∴张小亮答对了4道题，
∴他的得分应是：20×4＝80（分）．
故选：C．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，分式的值为零，分式的性质以及分式的运算，掌握相关知识点是解题的关键．
2．如图，小琪的作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为．
（1）求被墨水污染的部分；
（2）该题化简的结果能等于吗？为什么？
【分析】（1）根据分式的乘除混合运算的法则计算即可；
（2）根据分式有意义的条件即可得到结论．
【解答】解：（1）设被墨水污染的部分是A，
由题意得：÷＝，
＝，
＝1，
解得：A＝x﹣4；
故被墨水污染的部分为x﹣4；
（2）解：不能，理由如下：
若＝，
则x＝4，
由分式，÷＝ ，
当x＝4时，原分式无意义，
所以不能．
【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
【考点4】分式的加减
【例4-1】计算++．
【分析】先对分母因式分解，通过十字相乘法和提取公因式即可将原式变形为，通过拆项可将原式变为﹣+﹣+﹣，化简，再根据异分母分式减法法则进行计算，即可求解．
【解答】解：++
＝
＝
＝﹣+﹣+﹣
＝
＝
【点评】本题考查分式的加减，正确进行变形是本题解题关键．
【例4-2】下面是小明化简分式﹣的过程，请认真阅读并完成相应任务：
解：原式＝…第一步＝…第二步＝…第三步＝…第四步＝…第五步
【任务一】填空：
①以上化简步骤中，第一步变形使用的方法是 　因式分解　；
②第 　三　步是进行分式的通分，通分的依据是 　分式的基本性质　；
③第 　四　步开始出现错误．
【任务二】请直接写出正确的化简结果：　﹣　．
【分析】利用分式的加减混合运算的法则解答即可．
【解答】
【任务一】填空：
①以上化简步骤中，第一步变形使用的方法是因式分解；
②第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；
③第四步开始出现错误．
故答案为：①因式分解；②三；分式的基本性质；③四；
【任务二】：原式＝
＝
＝
＝
＝
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了分式的加减混合运算，分式的通分和约分，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
8．已知，求A、B的值．小明同学解法如下：
解：左边分母分解因式，得：，
去分母，得：3x﹣4＝A（x﹣2）+B（x﹣1），即：3x﹣4＝（A+B）x﹣（2A+B），
∴可得．
请结合小明的思路解答下列各题：
（1）已知等式成立，求A、B的值；
（2）计算：[++]（x+7），并求x取何整数时，这个式子的值为正整数．
【分析】（1）依据题意，将等式右边进行通分，然后左右两边同分母，进而通过分子进行比较可以得解；
（2）依据题意，将中括号内式子分别通过拆项进行变形，再通分，最后适当变形后即可判断．
【解答】解：（1）由题意，等式右边＝
＝．
又等式左边＝，
∴．
∴②﹣①得，A＝3．
把A＝3代入①得，B＝﹣1．
综上，A＝3，B＝﹣1．
（2）由题意，原式＝[（﹣）+（﹣）+（﹣）]（x+7）
＝（﹣+﹣+﹣）（x+7）
＝（﹣）（x+7）
＝ （x+7）
＝．
∴要使上述式子值为整数，（x+1）是3的因数．
∴x+1＝±1或±3．
∴满足题意整数x的值为﹣4，﹣2，0，2．
【点评】本题主要考查了分式的加减法，解题时需要熟练掌握并理解．
针对练习4
1．设，，则m，n的关系是（　　）
A．m＝n B．m＞n C．m＜n D．m+n＝0
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：m＝＝﹣＝；
n＝＝﹣＝，
则可以看出m＝﹣n，
即m+n＝0．
故选：D．
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
2．如果a﹣b＝3，那么代数式的值为（　　）
A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6
【分析】将分式运算后代入数值计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝2（b﹣a），
∵a﹣b＝3，
∴b﹣a＝﹣3，
故原式＝2×（﹣3）＝﹣6，
故选：A．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
3．若，则M，N的值分别为（　　）
A．M＝2，N＝3 B．M＝，N＝ C．M＝3，N＝2 D．M＝，N＝
【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的减法计算，根据分母相同，分式值相同，得到分子相同，利用多项式相等的条件求出M与N的值即可．
【解答】解：∵﹣＝＝，且﹣＝，
∴＝，即（3M﹣2N）x+（2M+N）＝5x+8，
∴3M﹣2N＝5，2M+N＝8，
解得：M＝3，N＝2．
故选：C．
【点评】此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找出各分母的最简公分母．
4．小刚在化简时，整式M看不清楚了，通过查看答案，发现得到的化简结果是，则整式M是（　　）
A． B．a+b C．a﹣b D．
【分析】由题意列出算式，利用分式的加减法法则解答即可得出结论．
【解答】解：∵化简时，整式M看不清楚了，通过查看答案，发现得到的化简结果是，
∴＝
＝
＝
＝，
∴M＝a+b．
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式的加减法，利用已知条件列出算式是解题的关键．
5．设，求的值．
【分析】根据题意，将式子进行通分，化成同分母分数相加，化简之后将代入式子，即可求解．
【解答】解：根据题意，
原式＝
＝
＝
＝
＝，
当时，
原式＝
＝．
【点评】本题考查了分式的加减法及分式的化简求值，将原式化简成是解题的关键．
【考点5】分式的混合运算
【例5-1】先化简：，再从﹣1，0，1，2中取一个合适的数作为a的值代入求值．
【分析】先将原分式化简，再根据分式有意义的条件选择合适的数代入，即可求解．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
根据分式有意义的条件可知：a≠0，a﹣1≠0，a+1≠0，
则有a≠0，a≠1，a≠﹣1，
在﹣1，0，1，2中，a只能取2，
当a≠2时，有：原式＝，
即化简结果为：，值为：﹣1．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
8．先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣2＝0．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x2＝2x+2代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：
＝
＝
＝，
∵x2﹣2x﹣2＝0，
∴x2＝2x+2，
∴当x2＝2x+2时，原式＝＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
9．先化简，再对a取一个适当的数，代入求值．﹣÷．
【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣ ＝﹣＝，
当a＝1时，原式＝﹣．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
针对练习5
1．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先算括号里面的，再算除法即可．
【解答】解：
＝（﹣）
＝﹣
＝，
故选：B．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．若代数式（A﹣） 的化简结果为3a﹣6，则整式A为（　　）
A．﹣a+1 B．a﹣1 C．﹣a﹣1 D．a+1
【分析】列出A的式子，化简即可．
【解答】解：由题意A＝（3a﹣6）÷+
＝3（a﹣2）×+
＝+
＝
＝a+1．
故选：D．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是理解题意，正确列出式子计算．
3．阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞（如图所示），■表示破损的部分．则破损部分的式子可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意残损部分的式子为 +，再计算即可．
【解答】解：残损部分的式子为 +
＝﹣
＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
4．小敏在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式*为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先列出算式，再计算即可．
【解答】解：根据题意，被污染的代数式*为：
（﹣1）÷
＝ （1﹣a）
＝ [﹣（a﹣1）]
＝，
故选：C．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是读懂题意列出算式，掌握分式基本性质把分式通分和约分．
5．如果a+2b＝2，那么代数式的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
【分析】先计算同分母分式的减法，再将分子、分母因式分解，最后约分，继而将a+2b＝2代入计算可得．
【解答】解：
＝
＝
＝，
∵a+2b＝2，
∴原式＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的加减法，掌握分式的加减法则是解题关键．
6．先化简，然后从﹣3＜x＜3中选择一个合适的整数作为x的值代入求值．
【分析】根据分式的运算进行化简，再根据分母不为零代入一个数求解．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
∵﹣3＜x＜3，且x为整数，
∴x＝﹣2，﹣1，0，1，2，
∵x+1≠0，x+2≠0，x﹣2≠0，
∴x≠﹣1，±2，
当x＝0时，原式＝．
【点评】此题主要考查分式的混合运算以及化简求值，解题的关键是熟知分式运算法则．
【考点6】负整数指数幂
【例6-1】计算：．
【分析】直接根据有关幂的运算法则进行计算，从而得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣1+（﹣8）+32
＝﹣8+9
＝1．
【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，同底数幂的除法等，熟记“一个非零数的零次幂等于1，一个非零数的负整数指数幂等于它正整数指数幂的倒数”是解题的关键．
【例6-2】已知ax＝3的值．求的值．
【分析】根据负整数的意义先化简分式，然后代入法求值．
【解答】解：＝＝
方法二：原式＝＝ax+a﹣x＝3+＝．
【点评】本题主要考查负整数指数幂的运算．掌握．计算负整数幂时，一定要根据负整数幂的意义计算．
【例6-3】计算：（1）（3×10﹣3）×（5×10﹣4）；（2）（6×10﹣3）2÷（6×10﹣1）2．
【分析】用科学记数法表示的式子的运算，可利用乘法交换律和结合律，把a×10﹣n中的a与n分别相乘．
【解答】解：（1）原式＝（3×5）×（10﹣3×10﹣4）
＝1.5×10﹣6；
（2）原式＝（62÷62）×（10﹣6÷10﹣2）
＝1×10﹣4．
故答案为1.5×10﹣6、1×10﹣4．
【点评】此题是用科学记数法表示的式子的运算，灵活地运用了乘法交换律和结合律
针对练习6
1．若a＝0.42，b＝﹣4﹣2，，，则（　　）
A．b＜a＜c＜d B．b＜a＜d＜c C．c＜d＜a＜b D．c＜a＜d＜b
【分析】分别进行化简，然后再进行比较，即可得到答案．
【解答】解：∵a＝0.42＝0.16，，，，
∴b＜a＜d＜c，故B正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，乘方的运算，以及有理数的比较大小，解题的关键是熟练掌握运算法则正确的进行化简．
2．计算：﹣（2022﹣π）0＝　 　．
【分析】根据负整数指数幂的性质和有理数减法的法则以及零指数幂的性质计算即可．
【解答】解：﹣（2022﹣π）0
＝2﹣1
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了负整数指数幂，有理数减法，零指数幂，熟练掌握负整数指数幂，有理数减法，零指数幂是解题的关键．
3．随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.0000008（毫米2），这个数用科学记数法表示为 　 　．
【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数．即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．本题0.000 000 73＜1时，n为负数．
【解答】解：0.0000008＝8×10﹣7．
故答案为：8×10﹣7．
【点评】本题考查了用科学记数法表示一个较小的数，为a×10n的形式，注：n为负整数．
4．计算：（x﹣1+y﹣1）÷（x﹣2﹣y﹣2）
【分析】首先应用平方差公式，可得（x﹣2﹣y﹣2）＝（x﹣1+y﹣1）（x﹣1﹣y﹣1），据此推得（x﹣1+y﹣1）÷（x﹣2﹣y﹣2）＝；然后根据负整数指数幂的运算方法，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（x﹣1+y﹣1）÷（x﹣2﹣y﹣2）
＝（x﹣1+y﹣1）÷[（x﹣1+y﹣1）（x﹣1﹣y﹣1）]
＝
＝
＝
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a﹣p＝（a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
【考点7】分式方程
【例7-1】解方程：．
【分析】按步骤解分式方程并检验即可．
【解答】解：1﹣x2+1＝﹣x（1+x），
1﹣x2+1＝﹣x﹣x2，
x＝﹣2．
检验：当x＝﹣2时，1﹣x2≠0，x﹣1≠0，
∴x＝﹣2是原方程的解．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键．
【例7-2】若数a使关于x的分式方程＝3的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为y≤1，则符合条件的所有整数a的和．
【分析】先解分式方程，根据方程的解的情况得到a≤5且a≠3，再解一元一次不等式组，求出a的取值范围，由此得到所有整数解及解的和．
【解答】解：，
，
x+2﹣a＝3（x﹣1），
解得且x≠1，
∵解为非负数，
∴且，
解得a≤5且a≠3．
，
解不等式①得，y≤1，
解不等式②得，y≤a，
因为关于y的不等式组的解集为y≤1，
所以a≥1，
所以1≤a≤5且a≠3，
因为a为整数，
所以a为1、2、4、5，
所以符合条件的所有整数的和为1+2+4+5＝12．
【点评】此题考查已知分式方程的解的情况求参数，解一元一次不等式组，正确掌握分式方程的解法及一元一次不等式组的解法是解题的关键．
【例7-3】a为何值时，关于x的方程+＝无解？
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出a的值即可．
【解答】解：由原方程得：2（x+2）+ax＝3（x﹣2），
整理得：（a﹣1）x＝﹣10，
（i）当a﹣1＝0，即a＝1时，原方程无解；
（ii）当a﹣1≠0，原方程有增根x＝±2，
当x＝2时，2（a﹣1）＝﹣10，即a＝﹣4；
当x＝﹣2时，﹣2（a﹣1）＝﹣10，即a＝6，
即当a＝1，﹣4或6时原方程无解．
【点评】此题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程无解的条件是解本题的关键．
【例7-4】已知关于x的方程有增根，求m的值．
【分析】先化为整式方程，将x＝3代入，即可求解．
【解答】解：去分母，整理得（m+3）x＝4m+8，
解得：，
∵关于x的方程有增根，
∴x＝3，
∴，
解得m＝1．
【点评】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是掌握分式方程的解法．
针对练习7
1．分式方程的解为（　　）
A．x＝0 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．无解
【分析】去分母，去括号，移项，化系数为1，检验可得结论．
【解答】解：去分母，得4（x+2）﹣16＝6（x﹣2），
4x+8﹣16＝6x﹣12，
4x﹣6x＝﹣12+16﹣8
﹣2x＝﹣4
∴x＝2，
经检验，x＝2是增根，
∴原分式方程无解．
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的求解，要始终注意分母不为0这个条件．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
2．若分式方程无解，则k的值为（　　）
A．±1 B．2 C．1或2 D．﹣1或2
【分析】先去分母，方程两边同时乘x﹣2，解方程把x的值用k表示出来，然后根据各个选项中的k值，进行判断方程有解无解，从而得到正确的答案．
【解答】解：，
去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx＝﹣1，
2x﹣4+1﹣kx＝﹣1，
2x﹣kx＝2，
（2﹣k）x＝2，
∵分式方程无解，
∴x﹣2＝0，x＝2，
2﹣k＝0，k＝2，
当k＝1时，原方程为：，
2（x﹣2）+1﹣x＝﹣1，
2x﹣4+1﹣x+1＝0，
x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣2＝0，
∴k＝1时，原方程无解；
综上可知：分式方程无解时，k的值为1或2，
故选：C．
【点评】本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握分式方程有解和无解的判断方法．
3．对于代数式m，n，定义运算“※”：，例如：，若，则2A+B＝　1　．
【分析】由（x﹣1）※、可得答案．
【解答】解：（x﹣1）※，
，
由题意，得：，
解得：，
∴2A+B＝2×（﹣1）+3＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的加减混合运算顺序和运算法则．
4．当m＝　6　时，解分式方程会出现增根．
【分析】分式方程的增根使分式中分母为0，所以分式方程会出现增根只能是，增根不符合原分式方程，但是适合分式方程去分母后的整式方程，于是将代入该分式方程去分母后的整式方程中即可求出m的值．
【解答】解：分式方程会出现增根，
则2x﹣1＝0即，
，
去分母得，2x﹣1+m＝6，
将代入得m＝6，
即当m＝6时，原分式方程会出现增根．
故答案为：6．
【点评】本题考查了分式方程增根的概念，增根是使最简公分母等于0，不适合原分式方程，但是适合去分母后的整式方程．
5．解分式方程：．
【分析】按照去分母，再移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，再检验即可得到答案．
【解答】解：
方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2）去分母得：x﹣2+4x＝x+2，
移项得：x+4x﹣x＝2+2，
合并同类项得：4x＝4，
系数化为1得：x＝1，
检验，当x＝1时，（x+2）（x﹣2）≠0，
∴x＝1是原方程的解，
∴原方程的解为x＝1．
【点评】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤．
【考点8】分式方程的应用
【例8-1】某中学为创建“绿色学校”，响应“节能减排”号召，决定购进甲、乙两种型号的节能灯，已知甲型号节能灯的单价比乙型号节能灯的单价贵5元，用1080元购买甲型号节能灯恰好与用900元购买乙型号节能灯的盏数相同．
（1）甲、乙两种型号的节能灯的单价各是多少元？
（2）李老师购买这两种节能灯共60盏，且投入的经费不超过1700元，那么最多可购买多少盏甲型号节能灯？
（3）根据“节能减排”要求，为了更省电，学校对原灯泡进行了更换，发现李老师买的节能灯不够，又派出刘老师去购买，且两种型号的节能灯都要买，她一共花了300元，你知道她甲、乙两种型号的节能灯各购买多少盏吗？
【分析】（1）设甲种的节能灯的单价为x元，则乙种节能灯的单价为（x﹣5）元，由题意：用1080元购买甲型号节能灯恰好与用900元购买乙型号节能灯的盏数相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）购买m盏甲型号节能灯，由题意：李老师购买这两种节能灯共60盏，且投入的经费不超过1700元，列出一元一次不等式，解不等式即可；
（3）设甲种型号的节能灯购买a盏，乙种型号的节能灯购买b盏，由题意：又派出刘老师去购买，且两种型号的节能灯都要买，她一共花了300元，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
【解答】解：（1）设甲种的节能灯的单价为x元，则乙种节能灯的单价为（x﹣5）元，
依题意得：＝，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，
则x﹣5＝25，
答：甲种的节能灯的单价为30元，乙种节能灯的单价为25元；
（2）购买m盏甲型号节能灯，
由题意得：30m+25（60﹣m）≤1700，
解得：m≤40，
答：最多可购买40盏甲型号节能灯；
（3）设甲种型号的节能灯购买a盏，乙种型号的节能灯购买b盏，
由题意得：30a+25b＝300，
整理得：a＝10﹣b，
∵a、b均为正整数，
∴，
答：甲种型号的节能灯购买5盏，乙种型号的节能灯购买6盏．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
【例8-2】2020年11月20日，娄底市荣获“第六届全国文明城市”称号．为巩固“国家文明城市”创建成果，共享文明健康美好生活，我市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍．若甲、乙两工程队合作只需要10天完成．求甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？
【分析】此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间．设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需2x天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要10天”，列出方程解决问题．
【解答】解：根据题意得：，
方程两边同乘以2x，得2x＝30，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解．
∴当x＝15时，2x＝30，
答：单独完成此项工程甲需要15天，乙需要30天．
【点评】本题考查了工程问题，分析题意，找到合适的等量关系是解决本题的关键．
【例8-3】某学校八年级举行数学解题大赛，为表彰获胜的选手，学校准备在商店购买A，B两种文具作为奖品．已知A文具的单价比B文具的单价少8元，且用320元购买A文具的数量与用480元购买B文具的数量相同．
（1）求A，B两种文具的单价；
（2）若学校需要购买A，B两种文具共60件，且购买这两种文具的总费用不超过1200元，则学校至少购买A种文具多少件？
【分析】（1）设A种文具的单价为x元，则B种文具的单价为（x+8）元，根据“用320元购买A文具的数量与用480元购买B文具的数量相同”找到等量关系并列分式方程，求解即可；
（2）设学校购买A种文具y件，则购买B种文具（60﹣y）件，根据“购买这两种文具的总费用不超过1200元”找到不等关系并列一元一次不等式，求解即可．
【解答】解：（1）设A种文具的单价为x元，则B种文具的单价为（x+8）元，
由题意列方程，得＝．
解方程，得x＝16．
经检验，x＝16是分式方程的解且符合题意．
所以x+8＝24．
答：A种文具的单价为16元，则B种文具的单价为24元；
（2）设学校购买A种文具y件，则购买B种文具（60﹣y）件，
根据题意，得16y+24（60﹣y）≤1200．
解得y≥30．
答：学校至少购买A种文具30件．
【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，理解题意并根据数量关系列分式方程或不等式是解题的关键．
针对练习8
1．一项工程需在规定日期完成，如果甲队独做，就要超规定日期1天，如果乙队单独做，要超过规定日期4天，现在由甲、乙两队共做3天，剩下工程由乙队单独做，刚好在规定日期完成，则规定日期为（　　）
A．6天 B．8天 C．10天 D．7.5天
【分析】首先设工作总量为1，未知的规定日期为x．则甲单独做需x+1天，乙队需x+4天．由工作总量＝工作时间×工作效率这个公式列方程易求解．
【解答】解：设工作总量为1，规定日期为x天，则若单独做，甲队需x+1天，乙队需x+4天，根据题意列方程得
3（+）+＝1，
解方程可得x＝8，
经检验x＝8是分式方程的解，
故选：B．
【点评】本题涉及分式方程的应用，难度中等．考生需熟记工作总量＝工作时间×工作效率这个公式．
2．“我市为处理污水，需要铺设一条长为4000米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务．”根据题意可得方程，则方程中x表示（　　）
A．实际每天铺设管道的长度
B．实际施工的天数
C．原计划每天铺设管道的长度
D．原计划施工的天数
【分析】根据方程中的实际意义求解即可．
【解答】解：由方程可得，
方程中x表示实际每天铺设管道的长度．
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的实际应用题，能正确分析题目中的等量关系是解题的关键．
3．甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知甲、乙两人每天共加工35个玩具，求甲、乙两人每天各加工多少个玩具．
（1）设甲每天加工x个玩具，用含x的代数式表示：乙每天加工 　（35﹣x）　个玩具，甲加工90个玩具所用的时间为 　天　，乙加工120个玩具所用的时间为 　天　；
（2）根据（1）中数据，列方程解答问题．
【分析】（1）设甲每天加工x个玩具，则乙每天加工（35﹣x）个玩具，再由时间（天）＝，列式即可；
（2）根据甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设甲每天加工x个玩具，则乙每天加工（35﹣x）个玩具，
甲加工90个玩具所用的时间为：天，
乙加工120个玩具所用的时间为：天，
故答案为：（35﹣x），天，天；
（2）由题意得：＝，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，
∴35﹣x＝35﹣15＝20（个），
答：甲每天加工15个玩具，乙每天加工20个玩具．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
4．某地区要修一条长为6公里的乡村旅游公路，准备承包给甲、乙两个工程队来合作完成，已知甲队每天完成的工作量是乙队的2倍，两队各完成400米时，甲比乙少用了5天．
（1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少米？
（2）若甲队每天的工程费用为1.5万元，乙队每天的工程费用为0.9万元，要使完成全部工程的总费用不超过120万元，则最多安排乙队修路多少天？
【分析】（1）设乙队每天筑路x米，则甲每天筑路2x米．由题意列出分式方程，解方程即可；
（2）设乙筑路t天，则甲筑路天数为天，由题意列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设乙队每天筑路x米，则甲每天筑路2x米．
依题意，得：，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原分式方程的解，
则2x＝80
答：甲每天筑路80米，乙每天筑路40米；
（2）设乙筑路t天，则甲筑路天数为天，
依题意：0.9t+1.5（75﹣0.5t）≤120，解得：t≤50，
答：最多安排乙队修路50天．
【点评】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的数量关系列出方程或不等式是解决问题的关键．
5 .某超市中秋节前购进了甲、乙两种畅销口味的月饼礼盒．已知购进甲种月饼礼盒的金额是12000元，购进乙种月饼礼盒的金额是8000元，购进甲种月饼礼盒的数量比乙种月饼礼盒的数量少50盒，甲种月饼礼盒的单价是乙种月饼礼盒单价的2倍．
（1）求甲、乙两种月饼礼盒的单价分别是多少元；
（2）为满足消费者需求，超市准备再次购进甲、乙两种月饼礼盒共200盒，若总金额不超过11500元，问最多购进多少盒甲种月饼礼盒？
【分析】（1）设乙种月饼礼盒的单价是x元，则甲种月饼礼盒的单价是2x元，利用数量＝总价÷单价，结合购进甲种月饼礼盒的数量比乙种月饼礼盒的数量少50盒，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙种月饼礼盒的单价，再将其代入2x中，即可求出甲种月饼礼盒的单价；
（2）设购进m盒甲种月饼礼盒，则购进（200﹣m）盒乙种月饼礼盒，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过11500元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙种月饼礼盒的单价是x元，则甲种月饼礼盒的单价是2x元，
根据题意得：﹣＝50，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×40＝80（元）．
答：甲种月饼礼盒的单价是80元，乙种月饼礼盒的单价是40元；
（2）设购进m盒甲种月饼礼盒，则购进（200﹣m）盒乙种月饼礼盒，
根据题意得：80m+40（200﹣m）≤11500，
解得：m≤87.5，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为87．
答：最多购进87盒甲种月饼礼盒．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
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