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八年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题二十五 分式巧求值方法归纳
类型一、利用分式的基本性质求值
分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：
其中A,B,C为整式，且B、C≠0。
【例1-1】若，求的值＝　 　．
【例1-2】．已知x2﹣4xy+4y2＝0，那么分式的值等于多少？
【例1-3】．已知，求分式的值．　　
针对练习1
1．已知+＝3，求的值．
2．阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．
解：设，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），
∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k 0＝0，∴x+y+z＝0．
依照上述方法解答下列问题：
已知：，其中x+y+z≠0，求的值．
3．已知：，求代数式的值．
4．已知：＝2，求的值．
5．已知a+＝5，求的值．
6．阅读材料题：
已知：＝＝，求分式的值．
解：设＝＝＝k，则a＝3k，b＝4k，c＝5k，所以＝＝＝．
参照上述材料解题：
（1）已知＝＝，求分式的值．
（2）已知＝＝，其中x+y+z≠0，求的值．
类型二、分式化简求值
按分式的运算顺序(先乘方再乘除，最后加减，有括号先算括号内)先化简，再代入求值。
代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
【例2-1】先化简，再求值：，其中a＝5．
【例2-2】先化简，再从﹣2，2，4，0中选择一个合适的数代入求值．
【例2-3】先化简，再求值：，然后从0，1，2，3中选择一个合适的m的值，代入求值．
针对练习2
1．先化简，再求值：，其中a＝﹣1．
2．先化简分式，再代入求值：，其中a是﹣1＜a≤2的整数．
3．先化简：，再从﹣1，0，1，2中取一个合适的数作为a的值代入求值．
．
类型三、整体代入求值
所给的值不是具体的字母的值，而是一个代数式的值，按分式的运算顺序先化简，求值时把给出的式子整体代入。
【例3-1】先化简，再求值：，a满足a2+a﹣3＝0．
【例3-2】先化简再求值：，其中x2+3x﹣5＝0．
【例3-3】先化简，再求值：，其中x满足x2+3x﹣4＝0．
针对练习3
1．已知（a+b）2＝4，（a﹣b）2＝8，则的值等于 （　　）
A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12
2．如果a+2b＝2，那么代数式的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
3．已知a2﹣a﹣3＝0，求代数式的值．
4．先化简，再求值：（x﹣）÷，其中x满足x2+x﹣5＝0．
5．先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣2＝0．
类型四、倒数法求值
所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
【例4-1】在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式x2+的值．
解：∵，∴＝4即＝4
∴x+＝4∴x2+﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则x＝，y＝，z＝，∴
根据材料回答问题：
（1）已知，求x+的值．
（2）已知（abc≠0），求的值．
（3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝5，求xyz的值．
【例4-2】例：已知，求代数式的值．
解：∵，
∴，即，
∴，
∴．
根据材料回答问题：
（1）若，求的值；
（2）在（1）条件下求的值；
（3）已知，求的值．
【例4-3】用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回字”正方形．
（1）用两种不同的方法由代数式来表示图中阴影部分的面积，并用等号连接；
（2）若a＞b，利用（1）中的等式计算a+b＝1，ab＝，求（a﹣b）2的值；
（3）若x2﹣3x+1＝0，利用（1）中的等式，求x﹣的值．
针对练习4
1 .已知：，求，的值．
2．阅读理解：已知：x2﹣3x+1＝0，求的值．
解：因为x2﹣3x+1＝0，所以：x2+1＝3x．
又因为x≠0，所以．
所以，即，所以．
请运用以上解题方法，解答下列问题：
已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
3 ..在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算求值的目的．
例：已知，求代数式x2的值．
解：∵，∴5即5，∴x5．
（1）请继续完成上面问题的求值过程；
（2）请仿照上述方法解决问题：已知4，求的值．
4 .阅读下列解题过程：
已知，求的值．
解：由，知x≠0，所以，即．
∴
∴的值为7的倒数，即．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
（3）已知，，，求的值．
类型五、消元求值
消元求值作为解决代数式求值时一种常用方法，在实际解题过程中应用非常广泛，常见的消元方法有：代入消元法，加减消元法、比值消元法，倒数消元法．
【例5-1】阅读下列材料：
消元求值作为解决代数式求值时一种常用方法，在实际解题过程中应用非常广泛，常见的消元方法有：代入消元法，加减消元法、比值消元法等方法，下面介绍一种倒数消元法．
（1）已知，，则＝　﹣1　；
（2）已知，，求证：；
（3）已知（其中a、b、c互不相等），求t的值．
【例5-2】阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
例如：已知xy＝1，求的值．
解：原式＝＝1．
问题解决：（1）已知xy＝1．
①代数式的值为 　1　；
②求证：；
（2）若x满足（2023﹣x）2+（2022﹣x）2＝4047，求（2023﹣x）（2022﹣x）的值．
针对练习5
1.已知，，，求的值．
2 .定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：，，则和都是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是：　①③　（填序号）；①；②；③．
（2）判断分式是否为和谐分式，并说明你的理由．
（3）当整数x取 　﹣3　时，的值为整数．
八年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题二十五 分式巧求值方法归纳（解析版）
类型一、利用分式的基本性质求值
分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：
其中A,B,C为整式，且B、C≠0。
【例1-1】若，求的值＝　 　．
【分析】将通分变形，转化为x﹣y＝﹣3xy，再把它整体代入原式约分求值．
【解答】解：∵，∴x﹣y＝﹣3xy，再把它整体代入原式：＝＝3．
故答案为3．
【点评】正确对已知的式子进行变形，用已知的式子把未知的式子表示出来，是代数式求值的一种基本思路．
【例1-2】．已知x2﹣4xy+4y2＝0，那么分式的值等于多少？
【分析】根据已知条件x2﹣4xy+4y2＝0，求出x与y的关系，再代入所求的分式中进行解答．
【解答】解：∵x2﹣4xy+4y2＝0，
∴（x﹣2y）2＝0，
∴x＝2y，
∴＝＝．
故分式的值等于．
【点评】根据已知条件x2﹣4xy+4y2＝0，求出x与y的关系是解答本题的关键．
【例1-3】．已知，求分式的值．　　
【分析】先将整理变形，转化为，再将分式化简，求出分式的值．
【解答】解：由整理变形，转化为，分式＝．
故答案为．
【点评】解决本题的关键是将式子整理变形，对分式进行化简．
针对练习1
1．已知+＝3，求的值．
【分析】由+＝3，得y+x＝3xy，代入所求的式子化简即可．
【解答】解：∵+＝3，
∴y+x＝3xy，
∴＝＝＝．
【点评】运用整体代入法是解答本题的关键．
2．阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．
解：设，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），
∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k 0＝0，∴x+y+z＝0．
依照上述方法解答下列问题：
已知：，其中x+y+z≠0，求的值．
【分析】根据提示，先设比值为k，再利用等式列出三元一次方程组，即可求出k的值是2，然后把x+y＝2z代入所求代数式．
【解答】解：设＝＝＝k，
则：，
（1）+（2）+（3）得：2x+2y+2z＝k（x+y+z），
∵x+y+z≠0，
∴k＝2，
∴原式＝＝＝．
【点评】本题主要考查分式的基本性质，重点是设“k”法．
3．已知：，求代数式的值．
【分析】设t＝，则x、y、z可以用同一个字母来表示，然后将其代入代数式，然后将代数式化简即可．
【解答】解：设t＝，则
x＝2t ①
y＝3t ②
z＝4t ③
将①②③代入代数式，得
＝＝，
所以，代数式的值是．
【点评】本题体现了转化思想，将未知数x、y、z转化为含有相同字母的量，然后代入所求代数式，只要将代数式化简即可．
4．已知：＝2，求的值．
【分析】根据已知条件求出（a﹣b）与ab的关系，再代入所求的分式进行求值．
【解答】解：∵＝2，
∴b﹣a＝2ab，故a﹣b＝﹣2ab，
∴＝＝＝＝5．
【点评】根据已知条件求出（a﹣b）与ab的关系，再进行整体代入是解答本题的关键．
5．已知a+＝5，求的值．
【分析】把已知条件两边同时乘方，再根据完全平方公式展开，求出a2+的值，然后根据分式的基本性质，分子分母都除以a2，整体代入进行计算即可求解．
【解答】解：∵a+＝5，
∴（a+）2＝25，
即a2+2+＝25，
∴a2+＝23，
＝a2+1+＝23+1＝24．
故答案为：24．
【点评】本题考查了分式的基本性质以及完全平方公式，整体思想的利用是解题的关键．
6．阅读材料题：
已知：＝＝，求分式的值．
解：设＝＝＝k，则a＝3k，b＝4k，c＝5k，所以＝＝＝．
参照上述材料解题：
（1）已知＝＝，求分式的值．
（2）已知＝＝，其中x+y+z≠0，求的值．
【分析】（1）按照例子解题即可；
（2）设＝＝＝k，y+y，x+y＝kz，三式相加得：2（x+y+z）＝k（x+y+z），求得k＝2，代入计算即可．
【解答】解：（1）设＝＝＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝6k，
∴＝＝＝；
（2）设＝＝＝k，
∴y+y，x+y＝kz，
三式相加得：2（x+y+z）＝k（x+y+z），
∵x+y+z≠0，
∴k＝2，
∴＝＝．
【点评】本题考查了分式的基本性质，设k法是分式运算中较为重要的方法，需要熟练掌握．
类型二、分式化简求值
按分式的运算顺序(先乘方再乘除，最后加减，有括号先算括号内)先化简，再代入求值。
代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
【例2-1】先化简，再求值：，其中a＝5．
【分析】先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面同分计算，再根据分式混合运算的运算法则和运算顺序进行化简，最后将a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝，
当a＝5时，原式＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则是解题的关键．
【例2-2】先化简，再从﹣2，2，4，0中选择一个合适的数代入求值．
【分析】根据分式混合运算法则先化简，再将使原式有意义的数代入计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当a＝4时，原式＝．
【点评】本题主要考查分式的运算及化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则计算是解决本题的关键．
【例2-3】先化简，再求值：，然后从0，1，2，3中选择一个合适的m的值，代入求值．
【分析】先计算乘除，最后计算加减，取有意义的m的值代入求解．
【解答】解：原式＝×﹣
＝m﹣
＝
＝2m，
当m＝2时，原式＝4．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是正确分式的混合运算法则．
针对练习2
1．先化简，再求值：，其中a＝﹣1．
【分析】先计算括号内的同分母的减法，再将分子因式分解，约分即可化简，最后代入a的值，计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝，
∵a＝﹣1，
∴原式＝1﹣1＝0．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的基本性质与通分、约分及分式的混合运算顺序是解题的关键．
2．先化简分式，再代入求值：，其中a是﹣1＜a≤2的整数．
【分析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后根据a是﹣1＜a≤2的整数，从中选取一个使得原分式有意义的整数，代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
＝
＝（﹣）
＝
＝，
∵﹣1＜a≤2，且a为整数，
∴a可为0，1，2，
又∵a＝0或±2时，原分式无意义，
∴a只能取1．
当a＝1时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练运用分式的运算法则进行化简是解题的关键，注意取值时要使分式有意义．
3．先化简：，再从﹣1，0，1，2中取一个合适的数作为a的值代入求值．
【分析】先将原分式化简，再根据分式有意义的条件选择合适的数代入，即可求解．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
根据分式有意义的条件可知：a≠0，a﹣1≠0，a+1≠0，
则有a≠0，a≠1，a≠﹣1，
在﹣1，0，1，2中，a只能取2，
当a≠2时，有：原式＝，
即化简结果为：，值为：﹣1．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
类型三、整体代入求值
所给的值不是具体的字母的值，而是一个代数式的值，按分式的运算顺序先化简，求值时把给出的式子整体代入。
【例3-1】先化简，再求值：，a满足a2+a﹣3＝0．
【分析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，整体代入计算得到答案．
【解答】解：原式＝（+）
＝ （a+2）
＝a2+a+2，
∵a2+a﹣3＝0，
∴a2+a＝3，
∴原式＝3+2＝5．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
【例3-2】先化简再求值：，其中x2+3x﹣5＝0．
【分析】先计算括号，再计算除法，最后代入计算．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝×
＝，
∵x2+3x﹣5＝0，
∴x2+3x＝5，
当x2+3x＝5时，原式＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．
【例3-3】先化简，再求值：，其中x满足x2+3x﹣4＝0．
【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式＝x+1，接着利用因式分解法解一元二次方程，然后根据分式有意义的条件确定x＝4，最后把x＝4代入计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝x+1，
解方程x2+3x﹣4＝0得x1＝﹣4，x2＝1
∵x﹣1≠0且x+1≠0，
∴x＝﹣4，
当x＝﹣4时，原式＝﹣4+1＝﹣3．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．也考查了因式分解法解一元二次方程
针对练习3
1．已知（a+b）2＝4，（a﹣b）2＝8，则的值等于 （　　）
A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12
【分析】根据完全平方公式展开得出a2+2ab+b2＝4，a2﹣2ab+b2＝8，求出a2+b2＝6，ab＝﹣1，再通分，最后代入求出答案即可．
【解答】解：∵（a+b）2＝4，（a﹣b）2＝8，
∴a2+2ab+b2＝4①，a2﹣2ab+b2＝8②，
①+②得：2a2+2b2＝12，
a2+b2＝6，
①﹣②得：4ab＝﹣4，
ab＝﹣1，
∴＝＝＝﹣6．
故选：B．
【点评】本题考查了完全平方公式和分式的化简求值，能求出a2+b2＝6和ab＝﹣1是解此题的关键．
2．如果a+2b＝2，那么代数式的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
【分析】先计算同分母分式的减法，再将分子、分母因式分解，最后约分，继而将a+2b＝2代入计算可得．
【解答】解：
＝
＝
＝，
∵a+2b＝2，
∴原式＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的加减法，掌握分式的加减法则是解题关键．
3．已知a2﹣a﹣3＝0，求代数式的值．
【分析】根据分式运算的法则，将分式进行化简，然后根据化简后的结果将a2﹣a﹣3＝0进行化简，代入求值即可．
【解答】解：
＝
＝
＝，
∵a2﹣a﹣3＝0，
∴a2＝a+3，
∴原式＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是熟练掌握分式的化简的步骤方法，将代数式化简到最简分式是解决本题的重点．
4．先化简，再求值：（x﹣）÷，其中x满足x2+x﹣5＝0．
【分析】先通分括号内的式子，然后计算括号外的除法，再根据x2+x﹣5＝0，可以得到x2+x＝5，然后整体代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（x﹣）÷
＝
＝
＝
＝x（x+1）
＝x2+x，
∵x2+x﹣5＝0，
∴x2+x＝5，
∴原式＝5．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5．先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣2＝0．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x2＝2x+2代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：
＝
＝
＝，
∵x2﹣2x﹣2＝0，
∴x2＝2x+2，
∴当x2＝2x+2时，原式＝＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
类型四、倒数法求值
所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
【例4-1】在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式x2+的值．
解：∵，∴＝4即＝4
∴x+＝4∴x2+﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则x＝，y＝，z＝，∴
根据材料回答问题：
（1）已知，求x+的值．
（2）已知（abc≠0），求的值．
（3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝5，求xyz的值．
【分析】（1）根据题意，可知，然后变形整理，即可得到所求式子的值；
（2）根据材料2中的例子，可以求得所求式子的值；
（3）根据材料中的例子，将题目中的式子整理，化简，即可得到所求式子的值．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴；
（2）设，则a＝5k，b＝4k，c＝3k，
∴；
（3）设，
∴①，
②，
③，
①+②+③，得
，
④，
④﹣①，得：，
④﹣②，得：，
④﹣③，得：，
∴，，，
∵
∴，
∴，
解得，k＝4，
∴，，，
∴．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
【例4-2】例：已知，求代数式的值．
解：∵，
∴，即，
∴，
∴．
根据材料回答问题：
（1）若，求的值；
（2）在（1）条件下求的值；
（3）已知，求的值．
【分析】（1）根据材料中的解法，直接取倒数求解即可得到答案；
（2）根据材料中的解法，直接求解即可得到答案；
（3）根据材料中的解法，直接求解即可得到答案．
【解答】解：（1）∵，
∴，即，
∴；
（2）由（1）知，
∴＝＝＝＝；
（3）∵，
∴，即，
∴，
∴＝＝＝62﹣2＝34．
【点评】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式变形求值，读懂题意，准确变形求值是解决问题的关键．
【例4-3】用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回字”正方形．
（1）用两种不同的方法由代数式来表示图中阴影部分的面积，并用等号连接；
（2）若a＞b，利用（1）中的等式计算a+b＝1，ab＝，求（a﹣b）2的值；
（3）若x2﹣3x+1＝0，利用（1）中的等式，求x﹣的值．
【分析】（1）根据阴影部分面积＝4个长方形面积之和，阴影部分面积＝大正方形面积﹣小正方形面积，列出代数式即可解答；
（2）把a+b＝1，ab＝代入4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2中，即可求解；
（3）根据x2﹣3x+1＝0可得，在根据（1）的结论变形，最后代入即可求解．
【解答】解：（1）阴影部分的面积为：
；
（2）∵a+b＝1，ab＝，
由（1）知，4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，
∴，
解得：；
（3）∵要使x﹣有意义，
∴必须x≠0，
∵x2﹣3x+1＝0，
∴，
即，
根据（1）结论可得，
，
∴，
解得：，
∴的值为．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及完全平方公式的几何背景，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
针对练习4
1 .已知：，求，的值．
【分析】先根据完全平方公式进行变形得出a2+＝（a+）2﹣2，（a﹣）2＝（a+）2﹣4，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵，
∴
＝（a+）2﹣2a
＝（1+）2﹣2
＝1+10+2﹣2
＝9+2；
＝（a+）2﹣4a
＝（1+）2﹣4
＝1+10+2﹣4
＝7+2．
【点评】本题考查了分式的化简求值和完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键．
2．阅读理解：已知：x2﹣3x+1＝0，求的值．
解：因为x2﹣3x+1＝0，所以：x2+1＝3x．
又因为x≠0，所以．
所以，即，所以．
请运用以上解题方法，解答下列问题：
已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据已知等式得到，根据完全平方公式计算，得到答案；
（2）根据完全平方公式、平方根的概念计算即可．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∵m≠0，
∴，
∴，即，
∴；
（2）∵，
，
＝11，
∴＝±
【点评】本题考查的是分式的化简求值、完全平方公式，正确利用完全平方公式进行变形是解题的关键．
3 ..在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算求值的目的．
例：已知，求代数式x2的值．
解：∵，∴5即5，∴x5．
（1）请继续完成上面问题的求值过程；
（2）请仿照上述方法解决问题：已知4，求的值．
【分析】（1）把x5两边平方，利用完全平方公式化简，计算即可求出所求；
（2）已知等式左右两边求倒数，变形后求出x的值，两边平方利用完全平方公式化简，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）把x5两边平方得：
（x）2＝25，即x22＝25，
则x223；
（2）∵4，
∴，即x﹣1，
整理得：x，
两边平方得：（x）2，
整理得：x22，x2，
则原式．
【点评】此题考查了约分，以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4 .阅读下列解题过程：
已知，求的值．
解：由，知x≠0，所以，即．
∴
∴的值为7的倒数，即．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
（3）已知，，，求的值．
【分析】
（1）把已知等式变形求出x的值，再把所求的式子变形后进行计算即可；
（2）把已知等式变形求出x的值，再把所求的式子变形后进行计算即可；
（3）把已知三个等式变形后相加可以求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可．
【详解】解：（1）由，知x≠0，
所以，
即，
∴x2
＝（x）2﹣2
＝22﹣2
＝2，
∴的值为2的倒数，即；
（2）由，知x≠0，
所以：7，
∴x﹣17，
即，
∴x2﹣1
＝（x）2﹣3
＝82﹣3
＝61，
∴的值为61的倒数，即；
（3）由，知x≠0，y≠0，
∴，
∴①，
由，知y≠0，z≠0，
∴，
∴②，
由，知z≠0，x≠0，
∴，
∴③，
①+②+③得：
2（），
∴1，
∴1，
∴的值为1的倒数，即1．
类型五、消元求值
消元求值作为解决代数式求值时一种常用方法，在实际解题过程中应用非常广泛，常见的消元方法有：代入消元法，加减消元法、比值消元法，倒数消元法．
【例5-1】阅读下列材料：
消元求值作为解决代数式求值时一种常用方法，在实际解题过程中应用非常广泛，常见的消元方法有：代入消元法，加减消元法、比值消元法等方法，下面介绍一种倒数消元法．
（1）已知，，则＝　﹣1　；
（2）已知，，求证：；
（3）已知（其中a、b、c互不相等），求t的值．
【分析】（1）依据题意，根据已知条件分别求出b和，然后再相乘得1，然后再变形可以得解；
（2）依据题意，类似（1）求出再与x相乘可得y，z的式子，再变形可以得解；
（3）依据题意，通过消元法建立关于t的方程t2﹣2＝0，进而可以得解．
【解答】解：（1）由题意，＝﹣1﹣a，b＝﹣1﹣，
∴b ＝（﹣1﹣a）（﹣1﹣）＝1+a++＝1．
∴a＝﹣．
∴c＝﹣．
∴c+＝+＝＝﹣1．
故答案为：﹣1．
（2）由题意，∵y＝3﹣，
∴＝3﹣y．
∴＝．
∴x ＝（3﹣） ＝1．
∴3﹣＝．
∴1﹣＝．
∴＝1﹣．
∴z＝3﹣．
（3）由a+＝t得：ab+2＝bt①，
由b+＝t得：b＝t﹣②，
把②代入①得：ab+2＝t（t﹣）＝t2﹣，
∴abc+2c＝ct2﹣2t．
∴abc+2t＝c（t2﹣2）．
同理得：abc+2t＝a（t2﹣2），
abc+2t＝b（t2﹣2），
∴a（t2﹣2）＝b（t2﹣2）＝c（t2﹣2）．
∵a、b、c互不相等，
∴t2﹣2＝0，
∴t＝±．
【点评】本题是阅读材料问题，也是分式的化简问题，考查了分式的基本性质，有难度．
【例5-2】阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
例如：已知xy＝1，求的值．
解：原式＝＝1．
问题解决：（1）已知xy＝1．
①代数式的值为 　1　；
②求证：；
（2）若x满足（2023﹣x）2+（2022﹣x）2＝4047，求（2023﹣x）（2022﹣x）的值．
【分析】（1）①由题意可得xy＝1，代入所求式中可求值；
②由题意可得xy＝1，则x2021y2021＝1，代入第1个加数中可求值；
（2）把2021﹣x看作a，把2020﹣x看作b，根据完全平方公式可得答案．
【解答】（1）①解：∵xy＝1，
∴+＝＝+＝1，
故答案为：1；
②证明：∵xy＝1，
∴x2023y2023＝1，
∴
＝
＝
＝1；
（2）∵[（2023﹣x）﹣（2022﹣x）]2
＝（2023﹣x）2﹣2（2023﹣x）（2022﹣x）+（2022﹣x）2，
∵（2023﹣x）2+（2022﹣x）2＝4047，
∴4047﹣2（2023﹣x）（2022﹣x）＝1，
∴（2023﹣x）（2022﹣x）＝2023．
【点评】本题考查了分式的加法和完全平方公式，（1）中将所求式子中的1换成xy是本题的关键．
针对练习5
1.已知，，，求的值．
【分析】根据求出+＝1①，根据求出+＝②，根据求出+＝，再求出答案即可．
【解答】解：∵，
∴x+y＝xy，
除以xy得：
+＝1①，
∵，
∴2y+2z＝yz，
除以yz得：
+＝1，
∴+＝②，
∵，
∴3z+3x＝xz，
∴+＝1，
∴+＝，
∴①+②+③得：
2（）＝1++＝，
∴++＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
2 .定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：，，则和都是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是：　①③　（填序号）；①；②；③．
（2）判断分式是否为和谐分式，并说明你的理由．
（3）当整数x取 　﹣3　时，的值为整数．
【分析】（1）根据给出的“和谐分式”的定义，逐个判断得结论；
（2）可仿照定义后的例子，把分式变形为“和谐分式”；
（3）先化简分式，再把分式化为“和谐分式”的形式，根据值为整数，确定x的值．
【解答】解：（1）
＝+＝1+，是“和谐分式”；
不能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，所以这个分式不是“和谐分式”；
＝+
＝y+，是“和谐分式”；
故答案为：①③；
（2）是和谐分式，
理由：＝＝x﹣1+，
∴是和谐分式；
（3）﹣÷
＝﹣×
＝﹣
＝
＝+
＝2+，
当x＝﹣3，﹣2，0，1时，2+的值为整数．
由于x＝﹣1，0，1，﹣2时，原分式没有意义，
所以当x＝﹣3时，分式的值为整数，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了分式的化简、分式有意义的条件及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“和谐分式”的定义．注意（二）（3）x的取值范围．
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