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第一章 预备知识 检测试题
一、单选题
1．已知，，，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．已知集合，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则如下Venn图中的阴影部分所表示的集合为（ ）
A．{0，1} B．{－1，0，1}
C．{－1，2} D．{－1，0，1，2}
4．已知，为正实数，向量，，若，则的最小值为
A． B．
C． D．
5．正数满足，则的最大值为（ ）
A．8 B．3 C． D．4
6．若，则有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2
7．已知、，若，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．或
8．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若a，b为非零实数，则以下不等式中恒成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
10．若，则有（ ）
A． B．
C． D．函数的最大值为－2
11．下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．已知，给出下列四个不等式，其中一定成立的不等式为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．若，则实数a的值是 ．
14．设集合，若是的真子集，则的取值范围为 .（结果用区间表示）
15．已知，则是的 条件（请用“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”回答）
16．已知关于的不等式的解集是，则 .
四、解答题
17．利用基本不等式求下列式子的最值：
(1)若，求的最小值，并求此时x的值；
(2)已知x，y＞0，且x+4y=1，求xy的最大值；
(3)若，求的最大值．
18．解下列不等式：
(1)；
(2).
19．定义:记为这个实数中的最小值，记为这个实数中的最大值，例如:.
（1）求证:；
（2）已知，求的最小值；
（3）若，求的最小值.
20．已知函数，不等式的解集为.
（1）求实数，的值；
（2）若，，，求证：.
21．为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm），设.
(1)当时，求海报纸（矩形）的周长；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
22．某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本100万元，另生产万件时，还需要投入流动成本万元，在年产量不足万件时，（万元），在年产量大于或等于19万件时，（万元），每万件产品售价为25（万元），通过市场分析，该厂家生产的医用防护用品当年能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
(2)年产量为多少万件时，该生产厂家在这一商品的生产中获得利润最大？最大利润是多少？
参考答案：
1．B
【解析】利用特殊值或者不等式的性质即可依次判断.
【详解】解：对A，满足，但若，则，故A错误；
对B，，
，故B正确；
对C，，
，故C错误；
对D，，
，故D错误.
故选：B.
2．B
【分析】解方程可求得集合，由元素和集合关系可确定结果.
【详解】由得：或，，则，，.
故选：B.
3．C
【分析】由Venn图得出阴影部分表示{x|x∈M∪N且x M∩N}，从而可得结论．
【详解】由题图可知，阴影部分为{x|x∈M∪N且x M∩N}．由已知易得M∪N＝{－1，0，1，2}，M∩N＝{0，1}，所以{x|x∈M∪N且x M∩N}＝{－1，2}．
故选：C．
【点睛】本题考查Venn图表示集合的运算，属于基础题．
4．C
【分析】先由向量共线的坐标运算求出的关系，再结合均值不等式求最值即可.
【详解】解：由，得，即，
则=，
当且仅当，即时，取等号，
故的最小值为．
故选C．
【点睛】本题考查了向量共线的坐标运算及均值不等式,属基础题.
5．D
【分析】将平方，再结合基本不等式的求解即可.
【详解】解：因为
当，即时，等号成立，
又因为，
所以，时，等号成立.
故选：D.
6．D
【分析】构造基本不等式即可得结果.
【详解】∵，∴，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，即有最小值2.
故选：D.
【点睛】本题主要考查通过构造基本不等式求最值，属于基础题.
7．C
【分析】根据集合相等则元素相同，再结合互异性，计算即可得解.
【详解】由 且，则，
∴，于是，解得或,
根据集合中元素的互异性可知应舍去，
因此，,
故．
故选：C.
8．C
【解析】根据补集的定义，直接计算结果.
【详解】集合，，
根据集合的补集，可知.
故选：C
9．AB
【分析】利用求差法证明选项AB正确；举反例否定选项CD.
【详解】选项A：由，可得.判断正确；
选项B：由，可得.判断正确；
选项C：当时，，由，可得.判断错误；
选项D：当时，.判断错误.
故选：AB
10．BCD
【分析】根据实数的非负性，绝对值，偶次方都是非负数，得出，解方程组得a、b、c的值，对选项A、B、C逐一判断，利用二次函数求最值判D选项.
【详解】由，可得，
解得，
所以，故A错；
由，而，当，时，，
所以，故B对；
，故C对；
，当时，函数的最大值为－2，
故D对；
故选：BCD
11．AD
【解析】根据不等式的性质，可判断A、B；利用特殊值法，可判断C；利用作差法可判断D.
【详解】对A，因为，，所以，故A正确；
对B，当时，不等式不成立，故B错误；
对C，当，时，不等式不成立，故C错误；
对D，因为，所以，所以，故D正确.
故选：AD
12．ABC
【解析】由,利用不等式性质和函数单调性对选项验证得解，也可利用特值法进行排除得解.
【详解】由可得，A成立；
由可得，而函数在上是增函数，∴，即，B成立；
∵，由在的单调性可知，C成立；
若，，则，，，D不成立.
故选:ABC.
【点睛】本题考查利用函数单调性及不等式性质比较不等式大小，属于基础题.
13．0或4
【分析】依题意可得或，求出的值，再检验即可.
【详解】因为，
所以或，
解得或或，
当时，符合题意，
当时，符合题意，
当时，不满足集合元素的互异性，故舍去；
所以或.
故答案为：或
14．
【分析】先化简集合,再由题得，解不等式组得解.
【详解】因为，
因为是的真子集，所以
解得.
故答案为
【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，考查根据集合的关系求参数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
15．既不充分又不必要条件
【分析】根据两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】当时,满足但不成立.
当时,满足但不成立.
故p是q的既不充分又不必要条件.
故答案为：既不充分又不必要条件.
16．
【分析】根据一元二次不等式的解集可确定方程的两根和，利用韦达定理构造方程可求得结果.
【详解】由不等式的解集可知：和是方程的两根且，
，解得：（舍）或.
故答案为：.
【点睛】本题考查根据一元二次不等式的解集求解参数值的问题，关键是明确一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系.
17．(1)4，；
(2)
(3)．
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】（1），当且仅当时取等，
故最小值为4，此时；
（2），当且仅当时取等，
故最大值为.
（3），当且仅当时取等，
故所求最大值为.
18．(1)；
(2).
【分析】（1）由一元二次不等式解法求解集；
（2）应用分式不等式解法求解集.
【详解】（1）由，解得，故不等式的解集为.
（2）由，得，即，解得，故解集为.
19．（1）见解析（2）1（3）2
【分析】（1）作差比较的大小，再根据定义得结果；
（2）根据定义化简为一个分段函数，再分别求各段最小值，即得的最小值；
（3）先根据基本不等式得
【详解】（1）
因此；
（2）
当时，
当时，
所以，的最小值为1；
（3）（当且仅当时取等号）
因此当，即时（当且仅当时取等号）
当或，即或时，不妨设
综上，的最小值为2.
【点睛】本题考查函数定义、函数最值以及利用基本不等式求最值，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.
20．（1），.（2）见解析
【解析】（1）分三种情况讨论即可
（2）将，的值代入，然后利用均值定理即可.
【详解】解：（1）不等式可化为.
即有或或.
解得，或或.
所以不等式的解集为，故，.
（2）由（1）知，，即，
由，得，，
当且仅当，即，时等号成立.故，即.
【点睛】考查绝对值不等式的解法以及用均值定理证明不等式，中档题.
21．(1)900cm
(2)选择长、宽分别为350cm，140cm的海报纸，可使用纸量最少
【分析】（1）根据宣传栏的面积以及可计算出直角三角形的高，再根据留空宽度即可求得矩形的周长；
（2）根据阴影部分面积为定值，表示出矩形面积的表达式利用基本不等式即可求得面积的最小值，验证等号成立的条件即可得出对应的长和宽.
【详解】（1）设阴影部分直角三角形的高为cm，
所以阴影部分的面积，所以，
又，故，
由图可知cm，cm.
海报纸的周长为cm.
故海报纸的周长为900 cm.
（2）由（1）知，，，
，
当且仅当，即cm，cm时等号成立，
此时，cm，cm.
故选择矩形的长、宽分别为350 cm，140 cm的海报纸，可使用纸量最少.
22．(1)
(2)20万件，180万元
【分析】（1）根据利润公式，分和两种情况求解；
（2）根据二次函数的性质和基本不等式可求.
【详解】（1）因为每件商品售价为25元，则万件商品销售收入为万元，
当时，，
当时，，
所以；
（2）当时，，
所以当时，取得最大值为116万元；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，取得最大值为180万元，
综上，年产量为20万件时，该生产厂家在这一商品的生产中获得最大利润是180万元.

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