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11.2.1三角形的内角
一、预习新知
（一）三角形的内角和定理
我们在小学就知道三角形内角和等于1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？
1. 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角，从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？
把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出∠BCD的度数，可得到
∠A+∠B+∠ACB=1800
你能想到证明三角形内角和等于1800的方法吗？
已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=1800。
3.三角形的内角和定理： .
(1)一个三角形最多有_______个直角，最多有________个钝角.
(2)在△ABC中，若∠A+∠B=2∠C，则∠C=________.
例1.在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
练习1.如图1，在△ABC中，点D是边AB上一点，点E是边AC上一点，且DE∥BC，∠B＝40°，∠AED＝60°，则∠A的度数是 .
图1 图2
练习2.如图2，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是 .
例2.如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？
（二）直角三角形的性质与判定
1.直角三角形的定义：有一个角是 的三角形叫做直角三角形。直角三角形用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成“Rt△ABC”
2.在直角三角形ABC中，∠C＝90°，由三角形内角和定理，得：∠A+∠B＋∠C＝ ，所以，∠A+∠B＝
也就是说，
3.思考：我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余，反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请你说说理由.
归纳：有两个角 的三角形是 。
4.在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，试判断△ABC的形状，并说明理由.
二、巩固应用
1.三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法确定
2.满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( )
A.∠B+∠A=∠C B.∠A：∠B：∠C=2：3：5
C.∠A=2∠B=3∠C D.一个外角等于和它相邻的一个内角
3.已知△ABC的两个内角∠A＝30°，∠B＝70°，则△ABC是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
4.如图，三角形被遮住的两个角不可能是( )
A.一个锐角，一个钝角 B.两个锐角
C.一个锐角，一个直角 D.两个钝角
5.已知一个三角形三个内角度数的比是l：5：6，则其最大内角的度数为( )
A.60° B.75° C.90° D.120°
6.如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝70°，AD是△ABC一条角平分线，则∠CAD度数为( )
A.40° B.45° C.50° D.55°
7.一个缺角的三角形ABC残片如图所示，量得∠A=60°，∠B=75°，则这个三角形残缺前的∠C的度数为（　　）
A.75° B.60° C.45° D.40°
8.如图，图中直角三角形共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9.锐角三角形中，最大角α的取值范围是( )
A.00＜α＜90 B.600＜α＜90 C.600＜α＜1800 D.60 ≤α＜90
10.如图，将△ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO＋∠CFO＝98°，则∠C的度数为（ ）
A.40° B.41° C.42° D.43°
11.在△ABC中，已知∠B＝55°，∠C＝80°，则∠A＝　 　.
12.直角三角形中两个锐角的差为20 ，则两个锐角的度数分别为 .
13.在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝2∠C，则∠B＝　 .
14.如图，已知EF∥GH，A，D为GH上的两点，M，B为EF上的两点，延长AM于点C，AB平分∠DAC，直线DB平分∠FBC，若∠ACB=100°，则∠DBA的度数为 ．
15.如图，直线m∥n，以直线m上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线m，n于点B、C，连接AC、BC，若∠1=30°，则∠2=　 　．
16.如图所示，D是△ABC的边BC上的一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，则∠DAC= ．

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