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2023-2024学年贵州省黔东南州镇远县文德民族中学高二（上）期末数学模拟试卷
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1．（5分）观察数列1，，（　　），，，（　　）， 的特点，则括号中应填入的适当的数为（　　）
A． B．
C． D．
2．（5分）命题“若x＜0，则2x＜sinx”的否命题为（　　）
A．若x＜0，则2x≥sinx B．若x≥0，则2x≥sinx
C．若2x＜sinx，则x＜0 D．若2x≥sinx，则x≥0
3．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，BF2的延长线交C于Q，|BQ|＝|F1Q|，则C的离心率e＝（　　）
A． B． C． D．
4．（5分）某流程如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（　　）
A．f（x）＝x4 B．
C．f（x）＝log2x D．f（x）＝x5
5．（5分）已知α，β为锐角，sinα，sin（α﹣β），则（　　）
A．sin2α B．sinβ
C．tan（α+β） D．tanβ
6．（5分）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是（　　）
A．36π B．30π C．24π D．15π
7．（5分）已知命题p： x∈R，ax2+x+a＝0．若p为假命题，则实数a的取值范围是（　　）
A．{a|} B．{a|}
C．{a|a或a} D．{a|a或a}
8．（5分）函数y＝ln||（a为常数）的奇偶性为（　　）
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．都不是
9．（5分）设曲线y＝x3﹣6kx在x＝k处切线的斜率为f（k），则（　　）
A．
B．
C．
D．
10．（5分）椭圆1的焦点坐标是（　　）
A．（±5，0） B．（0，±5） C．（0，±9） D．（±9，0）
11．（5分）如果抛物线y2＝4x的焦点为F．点M为该抛物线上的动点，又点A（﹣1，0）．那么的最大值是（　　）
A． B． C． D．1
12．（5分）已知函数f（x）与g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）﹣g（x）＝ex，则f（1）＝（　　）
A．e B． C． D．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）设f（x）＝cos2x的导函数为f'（x），若h（x）＝f（x）+f'（x）关于（a，0）对称，则tan2a＝　 　．
14．（5分）已知过原点O的直线l与双曲线C：交于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足，|OA|＝b，则C的离心率为 　 　．
15．（5分）已知命题p：（x﹣m）2＜9，命题q：log4（x+3）＜1，若p是q的必要不充分条件．则实数m的取值范围是 　 　．
16．（5分）直线l：y＝x﹣1过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，且与C交于A，B两点，则　 　．
三．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2（a2﹣a1）＝b1．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn，求数列{cn+2n﹣1}的前n项和Tn．
18．（12分）（1）定理证明：请用向量方法证明余弦定理（只需证明其中的一个式子即可）；
（2）定理应用：如图，在平面四边形ABCD中，sinA，C＝2A，BC＝2CD＝4，∠ABD＝45°，求AD的长．
19．（12分）某校高二年级800名学生参加了地理学科考试，现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组[40，50）；第二组[50，60）；……；第六组[90，100]，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．
（1）求每个学生的成绩被抽中的概率；
（2）估计这次考试地理成绩的平均分和中位数；
（3）估计这次地理考试全年级80分以上的人数．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若E为BC的中点，∠ABC＝60°，求证：平面PAD⊥平面PAE．
21．（12分）已知椭圆经过点，其右顶点为A（2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为．证明直线PQ经过定点，并求△APQ面积的最大值．
22．（12分）求下列函数在给定区间的最值：
（1）f（x）＝x2+（1﹣x）2，x∈[0，2]；
（2）f（x）＝x3﹣9x2﹣48x+52，x∈[﹣2，2]．
2023-2024学年贵州省黔东南州镇远县文德民族中学高二（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．【解答】解：因为、、、，
所以该数列的第n（n∈N*）项为，
因此，第一个括号内填入的数为，
第二个括号内填入的数为．
故选：C．
2．【解答】解：命题“若x＜0，则2x＜sinx”的否命题为若x≥0，则2x≥sinx，
故选：B．
3．【解答】解：由椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，
可得：B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），如图示：
|BF1|＝|BF2|＝a，|OF1|＝|OF2|＝c，
设|QF2|＝m，则|F1Q|＝|BQ|＝a+m，
由椭圆的定义可得：|F1Q|+|F2Q|＝2a，即a+m+m＝2a，解得：，
所以在△BQF1中，，所以，
在△BF1F2中，|BF1|＝|BF2|＝a，|F1F2|＝2c，
所以，
所以，即，所以，所以舍去）．
故选：D．
4．【解答】解：∵A：f（x）＝x4、C：f（x）＝x2，不是增函数，故不满足条件
又∵B：的定义域不是R，故不满足条件
而C：f（x）＝log2x定义域不是R，故不满足条件，
而D：f（x）＝x5定义域是R，是增函数，故满足条件，
故选：D．
5．【解答】解：α，β为锐角，sinα，cosα，
所以sin2α，所以A正确；
sin（α﹣β），sinβ＝sin（α﹣（α﹣β））＝sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β），所以B不正确；
因为sinβ，所以选项D与选项C都不正确；
故选：A．
6．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个圆锥，
底面半径r＝4，母线长l＝5，
故圆锥的表面积S＝πr（r+l）＝36π，
故选：A．
7．【解答】解：根据题意，若命题p： x∈R，ax2+x+a＝0为真，则方程ax2+x+a＝0有解，
当a＝0时，方程为x＝0，有解；
当a≠0时，有1﹣4a2≥0，解可得a且a≠0，
综合可得：当a时，方程ax2+x+a＝0有解，命题p为真，
若p为假命题，必有a或a，即实数a的取值范围是{a|a或a}，
故选：C．
8．【解答】解：根据题意，设f（x）＝ln||，其定义域为{x|x≠±a}，
f（﹣x）＝ln||＝ln||＝﹣f（x），
函数f（x）为奇函数，
故选：A．
9．【解答】解：由y＝x3﹣6kx，得y′＝3x2﹣6k，则f（k）＝3k2﹣6k，
其对称轴方程为k＝1．
∵∈（1，2），，3＝log28＜log29＜log216＝4，
∴．
故选：B．
10．【解答】解：椭圆1，可得a，b＝5，
则c9，
所以椭圆的焦点坐标（0，±9）．
故选：C．
11．【解答】解：由抛物线的方程可得，焦点F（1，0），准线方程为：x＝﹣1，A（﹣1，0）点在准线上，
作MN⊥准线交于N，由抛物线的性质可得MF|＝|MN|，所以，
在三角形AMN中，cos∠MAF，所以的最大值时，∠FAM最小，
当A，M，F上的共线时，角最小，所以这时的最大值为1，
故选：D．
12．【解答】解：根据题意，f（x）﹣g（x）＝ex，则f（1）﹣f（1）＝e，f（﹣1）﹣g（﹣1）＝e﹣1，
又由函数f（x）与g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，则f（﹣1）﹣g（﹣1）＝﹣f（1）﹣g（1），
变形可得：f（1）+g（1），
则有，解可得f（1），
故选：B．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．【解答】解：f'（x）＝﹣2sin2x，所以，
其中，，tanφ＝2，
因为函数h（x）关于（a，0）对称，
所以，2a，k∈Z，
所以．
故答案为：．
14．【解答】解：设|BF|＝m，则|AF||BF|m，
取双曲线的右焦点F'，连接AF'，BF'，
可得四边形AF'BF为平行四边形，
可得|AF'|＝|BF|＝m，设A在第一象限，可得m﹣m＝2a，即m＝3a，|AF|＝5a，
由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，
可得（2b）2+（2c）2＝2（25a2+9a2），
化为c2＝9a2，则e3．
故答案为：3．
15．【解答】解：因为命题p：（x﹣m）2＜9，所以m﹣3＜x＜m+3，
因为命题q：log4（x+3）＜1＝log44，所以0＜x+3＜4，即﹣3＜x＜1，
因为p是q的必要不充分条件，所以（﹣3，1） （m﹣3，m+3），
即，解得﹣2≤m≤0，
所以实数m的取值范围是[﹣2，0]．
故答案为：[﹣2，0]．
16．【解答】解：直线y＝x﹣1过点（1，0），所以F（1，0），
所以，
所以抛物线方程为y2＝4x，
不妨设，
所以，，
所以．
故答案为：1．
三．解答题（共6小题，满分70分）
17．【解答】解：（1）当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，
当n＝1时，a1＝S1＝1，满足上式，则an＝2n﹣1；
因为a1＝b1＝1，b2（a2﹣a1）＝b1，则b2，
因为{bn}为等比数列，所以，
所以bn＝（）n﹣1；
（2）cn（2n﹣1） 2n﹣1，
由cn+2n﹣1＝（2n﹣1） 2n﹣1+2n﹣1＝n 2n，
所以Tn＝1 2+2 22+3 23+…+n 2n，①
2Tn＝1 22+2 23+3 24+…+n 2n+1，②
①﹣②可得﹣Tn＝2+22+23+…+2n﹣n 2n+1n 2n+1，
所以Tn＝2+（n﹣1） 2n+1．
18．【解答】解：（1）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，
求证：c2＝a2+b2﹣2abcosC．
证明：如图，
由三角形法则有，
所以2＝（）22﹣2 2，
c2＝a2+b2﹣2abcosC，
（2）因为，
所以cosC＝cos2A＝1﹣2sin2A，
因为BC＝4，CD＝2，
由余弦定理得BD2＝BC2+CD2﹣2BC CD cosC，
所以，
由正弦定理，
得．
19．【解答】解：（1）40÷800＝0.05，每个学生的成绩被抽中的概率为0.05；
（2）解：（1）∵各组的频率之和为1，
∴成绩在区间[80，90）内的频率为：
1﹣（0.005×2+0.015+0.020+0.045）×10＝0.1，
∴平均分为：
0.05×45+0.15×55+0.45×65+0.20×75+0.10×85+0.05×95＝68，
由0.05+0.15+（x﹣60）×0.045＝0.5，x＝66.7，
中位数为66.7；
（3）这次地理考试全年级80分以上的人数为800×10（0.01+0.005）＝120人．
20．【解答】证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，BD 平面ABCD，
∴BD⊥AC，BD⊥PA，
∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．
（2）∵底面ABCD为菱形，E为BC的中点，∠ABC＝60°，
∴BC∥AD，AE⊥BC，∴AE⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，
∴PA⊥AE，
∵PA∩AD＝A，∴AE⊥平面PAD，
∵AE 平面PAE，∴平面PAD⊥平面PAE．
21．【解答】解：（1）依题可得，
，解得 所以椭圆C的方程为；
（2）易知直线AP与AQ的斜率同号，所以直线PQ不垂直于x轴，
故可设PQ：y＝kx+m，k≠0，P（x1，y1），Q（x2，y2），
由可得，（1+4k2）x2+8mkx+4m2﹣4＝0，
所以，，
而，即，
化简可得，20（kx1+m）（kx2+m）＝（x1﹣2）（x2﹣2）①，
因为（1+4k2）x2+8mkx+4m2﹣4＝（1+4k2）（x﹣x1）（x﹣x2），
令x＝2可得，②，
令可得，
③，
把②③代①得，16k2+16mk+4m2＝20m2﹣80k2，
化简得6k2+mk﹣m2＝0，
所以m＝﹣2k或m＝3k，所以直线PQ：y＝k（x﹣2或y＝k（x+3），
因为直线PQ不经过点A，所以直线PQ经过定点（﹣3，0），
设定点B（﹣3，0），
所以
，
因为1﹣5k2＞0，所以，
设，
所以，
当且仅当即时取等号，即△APQ面积的最大值为．
22．【解答】解：（1）f（x）＝x2+（1﹣x）2＝2x2﹣2x+1，x∈[0，2]，
f′（x）＝4x﹣2，由f′（x）＝0，得，
当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
又，
所以，当x＝2时，函数取得最大值5；当时，函数取得最小值．
（2）f（x）＝x3﹣9x2﹣48x+52，x∈[﹣2，2]，
f′（x）＝3x2﹣18x﹣48＝3（x+2）（x﹣8），
当﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
又f（﹣2）＝104，f（2）＝﹣72，
所以，当x＝﹣2时，函数取得最大值104；当x＝2时，函数取得最小值﹣72．
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