资源简介

1.简谐运动
新课程标准 核心素养目标
1.通过实验，认识简谐运动的特征 2．能用图像描述简谐运动 物理观念 初步形成简谐运动的概念
科学思维 通过对弹簧振子的分析，理解简谐运动这一理想化模型
科学探究 通过对弹簧振子的x t图像的绘制，理解简谐运动的特点
科学态度 与责任 养成观察、分析、猜想、验证的良好习惯
必备知识·自主学习——突出基础性　素养夯基
一、弹簧振子
1.机械振动：物体或物体的一部分在一个位置附近的________运动称为机械振动，简称________．
2．振动特点：振动是一种________运动，具有________和________．
3．弹簧振子模型：如图所示，如果________及球与杆之间的摩擦可以________，且弹簧的质量与小球的质量相比也可以________，则该装置为弹簧振子，有时也简称为________。
4．平衡位置：振子原来________时的位置。
5．振子的位移：振子相对________的位移。
二、弹簧振子的位移—时间图像
1．建立坐标系：以小球的________为坐标原点，沿振动方向建立坐标轴．规定小球在平衡位置右边时，位移为正，在平衡位置左边时，位移为________．这样小球的位置坐标反映了小球相对于平衡位置的________，小球的位置—时间图像就是小球的______—时间图像．
2．图像绘制：用频闪照相的方法来显示振子在不同时刻的________．两个坐标轴分别代表时间t和振子位移x，绘制出的图像就是振子在平衡位置附近往返运动时的位移—时间图像，即x t图像．
三、简谐运动
如果物体的位移与时间的关系遵从________的规律，即它的振动图像(x t图像)是一条________，这样的振动是一种简谐运动．简谐运动是最基本的振动．
【思考辨析】　判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)弹簧振子是一种理想化的模型．(　　)
(2)弹簧振子的平衡位置都在原长处．(　　)
(3)平衡位置即速度为零时的位置．(　　)
(4)振子的位移－5 cm小于1 cm.(　　)
(5)简谐运动的轨迹是一条正弦(或余弦)曲线．(　　)
(6)简谐运动是一种匀变速直线运动．(　　)
情境思考：
图中小球和弹簧组成的系统在什么情况下可看成弹簧振子？在可看成弹簧振子的情况下，小球的运动有什么特征？
A：左最大位移
O：平衡位置
B：右最大位移
提示：一要弹簧的质量和小球相比可忽略，二要忽略小球与杆之间的摩擦阻力及空气阻力．小球在平衡位置两侧做等幅振动，其运动关于平衡位置对称．
关键能力·合作探究——突出综合性　素养形成
探究点一　弹簧振子和简谐运动的特点
探究总结
1.实际物体看作弹簧振子的四个条件
(1)弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子(小球)；
(2)构成弹簧振子的小球体积足够小，可以认为小球是一个质点；
(3)忽略弹簧以及小球与水平杆之间的摩擦力；
(4)小球从平衡位置被拉开的位移在弹性限度内．
2．简谐运动的对称性
如图所示，物体在A点和B点之间运动，O点为平衡位置，C和D两点关于O点对称，则：
(1)时间的对称
①振动质点来回通过相同的两点间所用的时间相等，如tDB＝tBD.
②质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段所用的时间相等，图中tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO.
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反．
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．
(3)位移和加速度的对称
①物体经过同一点(如C点)时，位移相同．
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移大小相等，方向相反．
典例示范
例1 关于简谐运动，下列说法正确的是(　　)
A．简谐运动一定是水平方向的运动
B．所有的振动都可以看作简谐运动
C．物体做简谐运动时一定可以得到正弦曲线形的轨迹线
D．只要振动图像是正弦曲线，物体一定做简谐运动
课堂笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2 (多选)弹簧上端固定在O点，下端连接一小球，组成一个振动系统，如图所示，用手向下拉小球，拉一小段距离后释放，小球便上下振动起来，关于小球的平衡位置，下列说法正确的是(　　)
A．在小球运动的最低点
B．在弹簧处于原长时的位置
C．在小球速度最大时的位置
D．在小球原来静止时的位置
课堂笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
针对训练1　(多选)弹簧振子做简谐运动的过程中，有两点A、A′关于平衡位置对称，则振子(　　)
A．在两点处的位移相同
B．在两点处的速度可能相同
C．在两点处的速率一定相同
D．在两点处的动能一定相同
针对训练2　[2022·陕西咸阳高二上质检](多选)如图所示的弹簧振子，O点为它的平衡位置，关于振子的运动，下列说法正确的是(　　)
A．振子从A点运动到C点时位移大小为OC，方向向右
B．振子从C点运动到A点时位移大小为CA，方向向右
C．振子从A点运动到C点的过程中，速度在增大，加速度在减小
D．振子从A点运动到O点的过程中，速度先增大后减小，加速度先减小后增大
探究点二　简谐运动的图像
探究总结
1.图像形状：正(余)弦曲线
2．图像应用
(1)任意时刻质点位移的大小和方向．如图甲所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2.
(2)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图乙中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a点此刻向上振动．图乙中b点，下一时刻离平衡位置更近，故b此刻向上振动．
(3)某段时间内位移、速度、加速度的变化情况判断：先判断质点在这段时间内的振动方向，从而确定各物理量的变化．如图甲所示，质点在t1时刻到t0时刻这段时间内，离平衡位置的位移变小，故质点正向平衡位置运动，速度增大，位移和加速度都变小；t2时刻，质点从负位移处远离平衡位置运动，则速度为负值且减小，位移、加速度增大．
典例示范
例3 [2022·浙江金华十校联考]如图甲所示，一水平弹簧振子在A、B两点之间做简谐运动，O点为平衡位置，取水平向右为正方向，其振动图像如图乙所示．由振动图像可知(　　)
A．t1时刻振子位于O点
B．t3时刻振子的速度为零
C．t2时刻振子的运动方向与t4时刻振子的运动方向相反
D．从t1时刻到t3时刻，振子运动的加速度逐渐减小
课堂笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
利用弹簧振子位移—时间图像的解题思路
(1)把x t图像与质点的实际振动过程联系起来，并画出振子振动模型．
(2)图像上的一个点表示振动中的一个状态(位置、振动方向等)，其加速度方向总是指向平衡位置．
(3)质点的位移相同时，加速度一定相同，但速度不一定相同．
(4)判断振动方向的关键是看下一时刻的位移是增大还是减小，增大时远离平衡位置，减小时向平衡位置振动．
针对训练3　(多选)如图所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法正确的是(　　)
A．由P→Q位移在增大
B．由P→Q速度在增大
C．由M→N位移先减小后增大
D．由M→N速度一直减小
针对训练4　(多选)如图所示为获取弹簧振子的位移—时间图像的一种方法，小球的运动轨迹是往复运动的一段线段，而简谐运动的图像是正弦(或余弦)曲线．下列说法正确的是(　　)
A．如果纸带不动，作出的振动图像仍然是正弦(或余弦)曲线
B．如果纸带不动，作出的振动图像是一段线段
C．图示时刻，振子正经过平衡位置向右运动
D．若纸带运动的速度不恒定，则纸带上描出的仍然是简谐运动的图像
学科素养提升 生活、生产中的振动问题
1．用手拨动的弹簧片，上下跳动的皮球，小鸟飞离后颤动的树枝．
(1)以上物体的运动有什么共同点？
(2)以上物体的运动是简谐运动吗？
2．在心电图仪、地震仪等仪器工作过程中，要进行振动记录．如图甲所示是一个常用的记录方法，在弹簧振子的小球上安装一支记录用笔P，在下面放一条白纸带．当小球振动时，匀速拉动纸带(纸带速度与振子振动方向垂直)，笔就在纸带上画出一条曲线，如图乙所示．
(1)记录用笔P做什么运动？
(2)若匀速拉动纸带的速度为1 m/s，作出P的振动图像．
课堂检测·素养提升——突出创新性　素养达标
1.关于简谐运动，下列说法中正确的是(　　)
A．弹簧振子的运动是简谐运动
B．简谐运动就是指弹簧振子的运动
C．简谐运动是匀变速运动
D．简谐运动是机械运动中最简单、最基本的一种
2．如图所示的弹簧振子，O点为它的平衡位置，当振子m离开O点，再从A点运动到C点时，振子离开平衡位置的位移是(　　)
A．大小为OC，方向向左 B．大小为OC，方向向右
C．大小为AC，方向向左 D．大小为AC，方向向右
3．(多选)如图是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图像，下列有关该图像的说法正确的是(　　)
A．该图像的坐标原点是建立在弹簧振子小球的平衡位置
B．从图像可以看出小球在振动过程中是沿t轴方向移动的
C．为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直x轴方向匀速运动
D．图像中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化快慢不同
4．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在M、N两点之间做简谐运动．振子的位移x随时间t的变化图像如图乙所示．下列判断正确的是(　　)
A．0.4 s时振子的加速度为零
B．0.8 s时振子的速度最大
C．0.4 s和1.2 s时振子的加速度相同
D．0.8 s和1.6 s时振子的速度相同
5．如图所示是某质点做简谐运动的振动图像，根据图像中的信息，回答下列问题：
(1)质点在第2 s末的位移是多少？
(2)质点振动过程中的最大位移是多少？
(3)在前4 s内，质点经过的路程是多少？
1．简谐运动
必备知识·自主学习
一、
1．往复　振动
2．往复　周期性　往复性
3．空气阻力　忽略　忽略　振子
4．静止
5．平衡位置
二、
1．平衡位置　负　位移　位移
2．位置
三、
正弦函数　正弦曲线
思考辨析
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×
关键能力·合作探究
探究点一
【例1】　【解析】　A错：物体的简谐运动并不一定只在水平方向发生，各个方向都有可能发生．B错：简谐运动是最简单的振动．C错：物体做简谐运动的轨迹线并不是正弦曲线．D对：物体振动的图像是正弦曲线，一定是做简谐运动．
【答案】　D
【例2】　【解析】　平衡位置是振动系统不振动时，小球(振子)处于平衡状态时所处的位置，可知此时小球所受的重力大小与弹簧的弹力大小相等，即mg＝kx，也即小球原来静止的位置，故选项D正确，A、B错误；当小球处于平衡位置时，其加速度为零，速度最大，选项C正确．
【答案】　CD
针对训练1　解析：根据简谐运动的特点可知，关于平衡位置的对称点，振子的位移大小相等，但方向相反，选项A错误；振子的速度大小相等，方向可以相同，也可以相反，故选项B、C正确；由于速度大小相等，动能自然相同，选项D正确．
答案：BCD
针对训练2　解析：振子从A点运动到C点时的位移是以O点为起点，C点为终点，故位移大小为OC，方向向右，A正确；振子从C点运动到A点时位移是以O点为起点，A点为终点，故位移大小为OA，方向向右，B错误；振子的合外力为弹簧的弹力，振子从A点运动到C点的过程和从A点运动到O点的过程中，弹力都在减小，故加速度都在减小，速度方向与加速度方向相同，故速度在增大，C正确，D错误．
答案：AC
探究点二
【例3】　【解析】　A错：由图乙知在t1时刻振子位于正向位移最大处，即B点．B错：t3时刻振子位于平衡位置，所以此时速度最大．C错：由题意可知，t2时刻振子处于从B向O的运动过程中，t4时刻振子处于从O向A的运动过程中，所以两时刻运动方向相同．D对：从t1时刻到t3时刻，振子从最大位移B处向平衡位置O处运动，所以加速度越来越小，速度越来越大．
【答案】　D
针对训练3　解析：A对，B错：由P→Q，物体远离平衡位置运动，位移在增大而速度在减小；C对，D错：由M→N，物体先向平衡位置运动，经平衡位置后又远离平衡位置，因而位移先减小后增大，速度先增大后减小．
答案：AC
针对训练4　解析：当纸带不动时，描出的是振子在平衡位置两侧往复运动的轨迹，是一段线段，A错误，B正确；由振动图像可以看出，图示时刻振子正由平衡位置向右运动，C正确；只有当纸带匀速运动时，振动图像才是正弦(或余弦)函数曲线，而简谐运动的图像一定是正弦(或余弦)函数曲线，D错误．
答案：BC
学科素养提升
1．解析：(1)以上物体的运动都具有往复性，都是机械振动．
(2)用手拨动的弹簧片和颤动的树枝在忽略空气阻力的情况下可看成简谐运动，上下跳动的皮球即使在忽略空气阻力的情况下也不能看成简谐运动．
答案：见解析
2．解析：
(1)在忽略空气阻力和摩擦阻力的情况下可认为P的运动为简谐运动．
(2)由图乙可知，P运动的最大位移为2 cm，且其运动具有周期性，周期为T＝＝0.2 s，可作出P的振动图像如图：
答案：见解析
课堂检测·素养提升
1．解析：A对，B错：弹簧振子的运动是简谐运动，但简谐运动并不都是弹簧振子的运动．C、D错：简谐运动是机械振动(非机械运动)中最简单、最基本的一种，其振动的加速度时刻变化．
答案：A
2．解析：振子离开平衡位置，以O点为起点，C点为终点，位移大小为OC，方向向右．
答案：B
3．解析：A对，B错：由图看出，弹簧振子在x轴方向做简谐运动，小球并不是沿t轴方向运动，由对称性可知，该图像的坐标原点是建立在弹簧振子小球的平衡位置．C对：类似于沙摆实验，为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直x轴方向匀速运动．D对：图像中小球的疏密反映了小球在x方向运动的快慢，越密速度越小，位置变化越慢．
答案：ACD
4．解析：A错：0.4 s时振子处于振幅最大处，加速度最大．B对：0.8 s时振子处于平衡位置，速度最大，加速度为零．C错：0.4 s和1.2 s时加速度大小相同，方向不同．D错：0.8 s和1.6 s时速度大小相同，方向相反．
答案：B
5．解析：(1)由x t图像可以读出第2 s末质点的位移为0.
(2)质点的最大位移在前4 s内发生在1 s末和3 s末，位移大小为10 cm.
(3)前4 s内，质点先向正方向运动了10 cm到最大位移后又运动了10 cm返回平衡位置，又在负方向上运动了10 cm到负方向的最大位移后，又运动了10 cm返回平衡位置，故总路程为40 cm.
答案：(1)0　(2)10 cm　(3)40 cm2.简谐运动的描述
新课程标准 核心素养目标
1.知道振幅、周期、频率和相位的概念，理解周期和频率的关系 2．能用公式描述简谐运动 物理观念 初步形成全振动的概念，知道振幅、周期、频率概念及其相互关系，知道全振动和圆频率的含义
科学思维 了解相位、初相位和相位差的概念、相互关系及相位的物理意义
科学态度 与责任 通过有关简谐运动描述量的学习，培养学生的物理素养和科学精神
必备知识·自主学习——突出基础性　素养夯基
一、振幅
振动物体离开________的最大距离，叫作振动的振幅．振幅是表示振动________的物理量，常用字母A表示．
二、周期和频率
1．全振动
如图所示，如果从振动物体向右通过O的时刻开始计时，它将运动到M，然后向左________O，又继续________运动到达M′，之后又向右回到O.这样一个________的振动过程称为一次全振动．
2．周期
(1)定义：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫作振动的周期．用T表示周期．
(2)单位：在国际单位制中，周期的单位是____________，符号____________．
提升：全振动的五个特征
①振动特征：一个完整的振动过程．
②物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同．
③时间特征：历时一个周期．
④路程特征：振幅的4倍．
⑤相位特征：增加2π.　
3.频率：
(1)定义：周期的倒数叫作振动的频率，数值等于单位时间内完成全振动的次数．用f表示频率．
(2)单位：在国际单位制中，频率的单位是________，简称________，符号是________．1 Hz＝1 s－1.
(3)周期和频率的关系：f＝________．
(4)物理意义：周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快．
三、相位
1．相位
物理学中把(ωt＋φ)叫作相位．φ是t＝0时的相位，称作初相位，或初相．
2．相位差
实际上，经常用到的是两个具有________的简谐运动的相位差．如果两个简谐运动的频率相同，其初相分别是φ1和φ2，当φ1＞φ2时，它们的相位差是Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝________
3．简谐运动的表达式
(1)表达式：x＝________．
(2)A表示简谐运动的________．
(3)ω是一个与周期成反比、与频率成正比的量，叫作简谐运动的“圆频率”．它也表示简谐运动的快慢．ω＝＝2πf.
【思考辨析】　判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)振幅就是指振子的最大位移．(　　)
(2)振动物体的周期越大，表示振动越快．(　　)
(3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程．(　　)
(4)简谐运动表达式x＝A sin (ωt＋φ)中，ω表示振动的快慢，ω越大，振动的周期越小．(　　)
(5)一个物体运动时其相位变化2π，就意味着完成一次全振动．(　　)
关键能力·合作探究——突出综合性　素养形成
探究点一　描述简谐运动的物理量及其关系
导学探究
如图所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，若OA＝OB＝10 cm，则该振子做简谐运动的振幅是多少？最大位移是多少？二者相同吗？
探究总结
简谐运动中振幅和几个物理量的关系
(1)振幅和振动系统的能量：对一个确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定．振幅越大，振动系统的能量越大．
(2)振幅、位移和路程的关系
振幅 位移 路程
定义 振动物体离开平衡位置的最大距离 从平衡位置指向振子所在位置的有向线段 运动轨迹的长度
矢、标性 标量 矢量 标量
变化 在稳定的振动系统中不发生变化 大小和方向随时间做周期性变化 随时间增加
联系 ①振幅等于最大位移的大小； ②振子在一个周期内的位移等于零，在一个周期内的路程等于4倍振幅，在半个周期内的路程等于2倍振幅
提醒：对振幅的理解
①在一个稳定的振动系统中，振幅是不变的，它与振动系统的周期(频率)或质点的位移无关．
②振幅是标量，它没有负值，也无方向，它等于振子最大位移的大小，却不是最大位移．
典例示范
例1 弹簧振子以O点为平衡位置在b、c两点之间做简谐运动．b、c相距20 cm.某时刻振子处于O点正向右运动．经过0.5 s，振子首次到达b点．求：(取向右为正方向)
(1)振动的频率f和振幅A.
(2)振子在5.5 s内通过的路程及位移．
(3)如果弹簧的k＝100 N/m，小球质量为0.5 kg，则5.5 s末小球的加速度大小和方向是多少？
教你解决问题
(1)“b、c相距20 cm”2个振幅为20 cm，故A＝10 cm.
(2)“经过0.5 s，振子首次到达b点”0.5 s为个周期，故T＝2 s.
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针对训练1　如图所示是某质点做简谐运动的振动图像，则下列说法正确的是(　　)
A．振动周期为4 s，振幅为5 m
B．前2 s内质点的路程为0
C．t＝1 s时，质点位移最大，速度为零
D．t＝2 s时，质点的运动方向沿x轴正方向
针对训练2　如图所示，一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过M、N两点，历时1 s，质点通过N点后经过1 s第2次通过N点，在这2 s内质点通过的总路程为12 cm.则质点的振动周期和振幅分别为(　　)
A．3 s，6 cm B．4 s，9 cm
C．4 s，6 cm D．2 s，8 cm
探究点二　简谐运动的对称性和周期性
探究总结
1.对称性
(1)瞬时量的对称性：各物理量关于平衡位置对称．以水平弹簧振子为例，振子通过关于平衡位置对称的两点，位移、速度、加速度大小相等，动能、势能、机械能相等．
(2)过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如tBC＝tCB；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，如tBC＝tB′C′，如图所示．
2．周期性
(1)若t2－t1＝nT，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同．
(2)若t2－t1＝nT＋T，则t1、t2两时刻，描述运动的物理量(x，F，a，v)均大小相等，方向相反．
(3)若t2－t1＝nT＋T或t2－t1＝nT＋T，则当t1时刻物体到达最大位移处时，t2时刻物体到达平衡位置；当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻物体到达最大位移处；若t1时刻物体在其他位置，t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定．
典例示范
例2 [2022·广东实验中学高二期中](多选)一水平弹簧振子做简谐运动，周期为T，则(　　)
A．振子的位移为x和－x的两个时刻，振子的速度一定大小相等、方向相反
B．振子的速度为v和－v的两个时刻，振子的位移一定大小相等、方向可能相同
C．若Δt＝T，则在t时刻和t＋Δt时刻振子振动的速度一定相等
D．若Δt＝，则在t时刻和t＋Δt时刻弹簧的长度一定相等
课堂笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
针对训练3　如图所示，水平方向的弹簧振子振动过程中，振子先后经过a、b两点时的速度相同，且从a到b历时0.2 s，从b再回到a的最短时间为0.4 s，aO＝bO，c、d为振子最大位移处，则该振子的振动频率为(　　)
A．1 Hz B．1.25 Hz
C．2 Hz D．2.5 Hz
探究点三　简谐运动的表达式及应用
探究总结
用简谐运动表达式解答振动问题的方法
(1)明确表达式中各物理量的意义，可直接读出振幅、圆频率、初相．
(2)ω＝＝2πf是解题时常涉及的表达式．
(3)解题时画出其振动图像，会使解答更简捷明了．
典例示范
例3 (多选)某质点做简谐运动，其位移与时间的关系式为x＝3sin (t＋) cm，则(　　)
A．质点的振幅为3 m
B．质点振动的周期为3 s
C．质点振动的周期为 s
D．t＝0.75 s时刻，质点回到平衡位置
例4 弹簧振子做简谐运动，振子运动范围为0.8 cm，周期为0.5 s，计时开始时具有正向最大加速度，则它的振动方程是(　　)
A．x＝8×10－3 sin (4πt＋) m
B．x＝4×10－3sin (4πt－) m
C．x＝8×10－3sin (2πt＋) m
D．x＝4×10－3sin (2πt－) m
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　涉及简谐运动表达式问题的求解技巧
首先应确定振幅A、周期T、频率f的数值，其中T＝，f＝，然后把确定的物理量与所要解决的问题对应起来．
针对训练4　一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，圆频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是8 cm.
(1)试写出用正弦函数表示的振动方程．
(2)求10 s内物体通过的路程．
课堂检测·素养提升——突出创新性　素养达标
1．弹簧振子在BC间做简谐运动，O为平衡位置，BC间距离为10 cm，由B→C运动的最短时间为1 s，则(　　)
A．从B开始经过0.25 s，振子通过的路程是2.5 cm
B．经过两次全振动，振子通过的路程为80 cm
C．该振子任意1 s内通过的路程都一定是10 cm
D．振动周期为2 s，振幅为10 cm
2．一弹簧振子的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin (2.5πt)，位移x的单位为m，时间t的单位为s.则(　　)
A．弹簧振子的振幅为0.2 m
B．弹簧振子的周期为1.25 s
C．在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零
D．在任意0.2 s时间内，振子的位移均为0.1 m
3．一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知(　　)
A．质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm
B．质点经过1 s通过的路程总是2 cm
C．0～3 s内，质点通过的路程为6 cm
D．t＝3 s时，质点的振幅为零
4．某质点做简谐运动的振动图像如图所示，求：
(1)在前10 s内质点通过的路程s；
(2)质点做简谐运动的位移随时间变化的关系式．
2．简谐运动的描述
必备知识·自主学习
一、
平衡位置　幅度大小
二、
1．回到　向左　完整
2．秒　s
3．赫兹　赫　Hz　
三、
2．相同频率　φ1－φ2
3．A sin (ωt＋φ)　振幅
思考辨析
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
关键能力·合作探究
探究点一
　提示：振幅为10 cm，最大位移的大小为10 cm，但最大位移有正、负．振幅和最大位移不同，振幅是标量，位移是矢量．
【例1】　【解析】　(1)设振幅为A，由题意bc＝2A＝20 cm，所以A＝10 cm.振子从O到b所用时间t＝0.5 s，为周期T的，所以T＝2.0 s，f＝＝ Hz.(2)振子从平衡位置开始运动，在1个周期内通过的路程为4A，故在t′＝5.5 s＝T内通过的路程s＝×4A＝110 cm.5.5 s内振子振动了个周期，所以5.5 s末振子到达c点，所以它的位移为－10 cm.(3)5.5 s末振子到达c点，所以它的位移为－10 cm，振子加速度a＝－＝－ m/s2＝20 m/s2，方向与位移的方向相反，向右．
【答案】　(1) Hz　10 cm
(2)110 cm　－10 cm
(3)20 m/s2　向右
针对训练1　解析：A错：分析振动图像可知，周期T＝4 s，振幅A＝5 cm，而不是5 m；B错：前2 s内，即半个周期内，质点运动的路程为2A＝10 cm；C对：t＝1 s时，质点位于正向最大位移处，速度为零；D错：t＝2 s时，质点运动方向沿x轴负方向．
答案：C
针对训练2　解析：做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过M、N两点，则可判定M、N两点关于平衡位置O点对称，所以质点由M到O的时间与由O到N的时间相等．那么质点从平衡位置O点到N点的时间t1＝0.5 s，因过N点后再经过t＝1 s质点再次通过N点，则质点从N点到最大位移的时间t2＝0.5 s．因此，质点振动的周期T＝4×(t1＋t2)＝4 s．质点总路程的一半，即为振幅，所以振幅A＝ cm＝6 cm.
答案：C
探究点二
【例2】　【解析】　
A错：振子的位移为x和－x的两个时刻，振子的速度一定大小相等，方向可能相同，如图中a、d两点．B对：振子的速度为v和－v的两个时刻，位移具有对称性，位移一定大小相等，方向不一定相同．C对：相隔一个周期T的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，速度也相同．D错：相隔的两个时刻，振子的位移大小相等、方向相反，其位置关于平衡位置对称，弹簧分别处于压缩和拉伸状态，弹簧的长度并不相等，只有两时刻均在平衡位置时，弹簧长度才相等．
【答案】　BC
针对训练3　解析：由题可知，a、b两点关于平衡位置对称，从a到b历时t1＝0.2 s，从b再回到a的最短时间为0.4 s，即从b到c所用时间为t2＝ s＝0.1 s，所以弹簧振子振动的周期为T＝2t1＋4t2＝0.8 s，则该振子振动频率为f＝＝1.25 Hz.
答案：B
探究点三
【例3】　【解析】　A错：根据题意可知，振幅为3 cm.B对、C错：根据题意可知，圆频率为ω＝ rad/s，故周期T＝＝3 s．D对：t＝0.75 s时，代入解得x＝0，故质点回到平衡位置．
【答案】　BD
【例4】　【解析】　振子振动范围为0.8 cm，所以2A＝0.8 cm，振幅A＝0.4 cm，周期为0.5 s，所以ω＝＝4π rad/s，而初始时刻具有正向最大加速度，即在负的最大位移处，综上可得：x＝4×10－3sin m.
【答案】　B
针对训练4　解析：(1)简谐运动振动方程的一般表达式为x＝A sin (ωt＋φ0)
根据题给条件有A＝0.08 m，ω＝2πf＝2π×0.5 rad/s＝π rad/s，所以x＝0.08 sin (πt＋φ0) m
将t＝0时，x0＝0.08 m代入解得φ0＝
故振动方程为x＝0.08 sin m
(2)周期为T＝＝2 s，
故10 s内通过的路程为s＝×4A＝×4×0.08 m＝1.6 m.
答案：(1)x＝0.08 sin m
(2)1.6 m
课堂检测·素养提升
1．解析：A错：由B→C运动时间最短为1 s，则周期T＝2 s，则从B开始经过0.25 s＝，振子通过的路程小于2.5 cm.B错：一次全振动振子运动的路程为20 cm，则经过两次全振动，振子通过的路程为40 cm.C对：由运动的对称性可知，该振子任意1 s内通过的路程一定是10 cm.D错：振动周期为2 s，振幅为5 cm.
答案：C
2．解析：由x＝0.1sin (2.5πt)知，弹簧振子的振幅为0.1 m，选项A错误；弹簧振子的周期为T＝＝ s＝0.8 s，选项B错误；在t＝0.2 s时，x＝0.1 m，即振子到达最高点，此时振子的运动速度为零，选项C正确；只有当振子从平衡位置或者从最高点(或最低点)开始计时时，经过0.2 s，振子的位移才为A＝0.1 m，选项D错误．
答案：C
3．解析：A错：由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz.B错：质点在1 s即个周期内通过的路程不一定等于一个振幅．C对：因为t＝0时质点在最大位移处，0～3 s为T，质点通过的路程为3A＝6 cm.D错：振幅等于质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有着本质的区别，t＝3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm.
答案：C
4．解析：(1)因T＝4 s，则10 s＝2.5T，则质点在前10 s内通过的路程s＝2.5×4A＝100 cm＝1 m
(2)由图知，质点的振动周期为T＝4 s，圆频率为ω＝＝ rad/s
则质点做简谐运动的位移随时间变化的关系式为
y＝A sin ωt＝10sin t(cm)
答案：(1)1 m　(2)y＝10sin t(cm)3.简谐运动的回复力和能量
新课程标准 核心素养目标
1.理解回复力的概念和特点 2．会用动力学方法分析简谐运动中位移、速度、回复力和加速度的变化规律 3．会用能量守恒的观点分析弹簧振子动能、势能、总能量的变化规律 物理观念 回复力、简谐运动的能量
科学思维 (1)利用能量守恒研究弹簧振子； (2)模型法理解简谐运动
科学探究 探究弹簧振子系统的机械能守恒
科学态度 与责任 能应用回复力特点分析日常生活中的振动问题
必备知识·自主学习——突出基础性　素养夯基
一、简谐运动的回复力
1.简谐运动回复力
(1)定义：使物体在平衡位置附近做________的力称为回复力．
(2)方向：总是指向________．
(3)大小：F＝________．
(4)效果：总是要把物体拉回到________．
2．简谐运动的动力学定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小________，并且总是指向________，质点的运动就是简谐运动．
二、简谐运动的能量
1．理论上可以证明，如果不考虑摩擦等阻力造成的损耗，在弹簧振子振动的任意位置，系统的动能和势能之和是________，即简谐运动的能量是________．一旦供给系统一定的能量，使它开始振动，它就以一定的振幅永不停息地持续振动．简谐运动是一种________的振动．
2．简谐运动中的能量跟________有关，________越大，振动的能量越大．将物体释放后，若只有重力或弹簧的弹力做功，则振动物体在振动过程中，________能和________能相互转化，总________能不变。
【思考辨析】　判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)回复力的方向总是与速度的方向相反．(　　)
(2)回复力的方向总是与加速度的方向相反．(　　)
(3)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此能量一定为零．(　　)
(4)回复力的大小与速度大小无关，速度增大时，回复力可能增大，也可能减小．(　　)
(5)简谐运动是一种理想化的振动．(　　)
(6)弹簧振子位移最大时，势能也最大．(　　)
情境思考：
水平弹簧振子运动到平衡位置O时(如图所示)，它的位移、速度、回复力、加速度都有什么特点呢？
提示：水平弹簧振子运动到平衡位置时，位移为0、速度最大、回复力为0、加速度为0.
关键能力·合作探究——突出综合性　素养形成
探究点一　简谐运动的回复力
导学探究
如图所示为放在光滑水平面上的弹簧振子的模型，O点为振子的平衡位置，A、O间和B、O间距离都是x.
(1)振子在O点时受到几个力的作用？分别是什么力？
(2)振子在A、B点时受到哪些力的作用？
(3)除重力、支持力、弹簧弹力外，振子在O、A、B点还受到回复力的作用吗？
探究总结
1.回复力的来源
(1)回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，是按照力的作用效果来命名的，分析物体的受力时，不分析回复力．
(2)回复力可以由某一个力提供(如弹力)，也可以由几个力的合力或某一个力的分力提供．
2．简谐运动的加速度：据牛顿第二定律，a＝＝－x，表明简谐运动的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反．
典例示范
例1 [对回复力的理解](多选)下列关于简谐运动回复力的说法正确的是(　　)
A．回复力是使物体回到平衡位置的力
B．回复力一定是变力
C．回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同
D．回复力的方向总是跟物体的速度方向相反
课堂笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2 [物体是否做简谐运动的判断](多选)
如图所示，物体系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然状态．现在向右拉动物体，然后释放，物体在B、C间振动，O为平衡位置(不计阻力)，设向右为正方向，物体相对O点的位移为x，则下列判断正确的是(　　)
A．物体做简谐运动，OC＝OB
B．物体做简谐运动，OC≠OB
C．物体所受合力F＝－kx
D．物体所受合力F＝－3kx
课堂笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判断物体的运动是否为简谐运动的方法
(1)运动学角度判断：若振动质点的位移与时间满足关系式x＝A sin (ωt＋φ)或振动图像是正弦函数图像，则该振动为简谐运动．
(2)动力学角度判断：找出质点振动方向上的合力与位移关系，若满足F＝－kx，可判断该振动是简谐运动．
针对训练1　如图所示，A、B两物体组成弹簧振子，在振动过程中，A、B始终保持相对静止．图中能正确反映振动过程中A所受摩擦力Ff与振子的位移x关系的图像应为(　　)
探究点二　简谐运动的能量
探究总结
1.对简谐运动能量的三点认识
(1)决定因素：对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由振幅决定，振幅越大，系统的能量越大．
(2)能量获得：系统开始振动的能量是通过外力做功由其他形式的能转化来的．
(3)能量转化：当振动系统自由振动后，如果不考虑阻力作用，系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒．
2．动能、势能随位置的变化情况
(1)在最大位移处，势能最大，动能为零．
(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小．
3．实际的运动都有一定的能量损耗，所以简谐运动是一种理想化的物理模型．
典例示范
例3 如图所示，由轻质弹簧下面悬挂一物块组成一个沿竖直方向振动的弹簧振子，弹簧的上端固定于天花板上，当物块处于静止状态时，取它的重力势能为零，现将物块向下拉一小段距离后放手，此后弹簧振子在平衡位置附近上下做简谐运动，不计空气阻力，则(　　)
A．弹簧振子速度最大时，振动系统的势能为零
B．弹簧振子速度最大时，物块的重力势能与弹簧的弹性势能相等
C．弹簧振子经平衡位置时，振动系统的势能最小
D．弹簧振子在振动过程中，振动系统的机械能不守恒
课堂笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
针对训练2　(多选)如图所示是弹簧振子做简谐运动的振动图像，可以判定(　　)
A．从t1到t2时间内系统的动能不断增大，势能不断减小
B．从t2到t3时间内振幅不断增大
C．t3时刻振子处于平衡位置处，动能最大
D．t1、t4时刻振子的动能、速度都相同
课堂检测·素养提升——突出创新性　素养达标
1.(多选)物体做简谐运动时，下列叙述正确的是(　　)
A．平衡位置就是回复力为零的位置
B．处于平衡位置的物体，一定处于平衡状态
C．物体到达平衡位置，合力一定为零
D．物体到达平衡位置，回复力一定为零
2．弹簧振子在光滑的水平面上做简谐运动，在振子向着平衡位置运动的过程中(　　)
A．振子所受的回复力逐渐增大
B．振子相对平衡位置的位移逐渐增大
C．振子的速度逐渐增大
D．振子的加速度逐渐增大
3．(多选)如图所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M.则振子在振动过程中，下列说法中正确的是(　　)
A．振子在平衡位置，动能最大，势能最小
B．振子在最大位移处，势能最大，动能最小
C．振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D．在任意时刻，动能与势能之和保持不变
4．如图是一弹簧振子在水平面内做简谐运动的x t图像，则下列说法正确的是(　　)
A．t1时刻和t2时刻具有相同的动能和动量
B．t2到1.0 s时间内加速度变小，速度减小
C．弹簧振子的振动方程是x＝0.10 sin (πt) m
D．t2等于3倍的t1
5．劲度系数为20 N/cm的弹簧振子，它的振动图像如图所示，在图中A点对应的时刻(　　)
A．振子所受的回复力大小为0.5 N，方向指向x轴的负方向
B．振子的速度方向指向x轴的正方向
C．在0～4 s内振子做了1.75次全振动
D．在0～4 s内振子通过的路程为0.35 cm，位移为0
3．简谐运动的回复力和能量
必备知识·自主学习
一、
1．往复运动　平衡位置　－kx　平衡位置
2．成正比　平衡位置
二、
1．一定的　守恒的　能量守恒
2．振幅　振幅　动　势　机械
思考辨析
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√
关键能力·合作探究
探究点一
　提示：(1)两个力；重力、支持力．
(2)在A点时，受重力、支持力、弹簧对其向右的弹力；在B点时，受重力、支持力、弹簧对其向左的弹力．
(3)不受．回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，是按照力的作用效果来命名的，不是一种另外受到的力，所以分析物体的受力时，不分析回复力．
【例1】　【解析】　A、B对：回复力是做简谐运动的物体所受到的指向平衡位置的力，由F＝－kx可知，回复力是变力．C、D错：回复力的方向总是指向平衡位置，跟物体离开平衡位置的位移方向相反，可能跟物体的速度方向相反，也可能跟物体的速度方向相同．
【答案】　AB
【例2】　【解析】　通过题图可以得到以下信息：(1)振动物体在水平方向受两弹簧的弹力，且两弹力的方向相同．(2)物体做简谐运动时其振动范围关于O点对称．C错，D对：物体的位移为x，则物体所受的合力F＝－k1x－k2x＝－(k2＋k1)x＝－3kx.A对，B错：物体做的是简谐运动，由简谐运动的对称性可得OC＝OB.
【答案】　AD
针对训练1　解析：A、B整体在水平方向只受到弹簧的弹力作用，因此，应做简谐运动，故A也应做简谐运动，即A的回复力也应满足F＝－kx，即选C.当然本题也可从整体法与隔离法的思想求出A受到的静摩擦力的表达式．在振动过程中A、B始终保持相对静止，可以把A、B看成整体．设A、B的质量为mA、mB，弹簧的劲度系数为k，则有(mA＋mB)a＝－kx，得a＝－，A受到的摩擦力Ff＝mAa＝－kx.
答案：C
探究点二
【例3】　【解析】　A、B错：弹簧振子在平衡位置时的速度最大，此时的重力势能为零，但是弹簧的弹性势能不为零，故振动系统的势能不为零．在平衡位置时，物块的重力势能与弹簧的弹性势能不相等．C对，D错：因为只有重力和弹簧弹力做功，则弹簧振子的动能、重力势能及弹簧的弹性势能守恒；在平衡位置时动能最大，故振动系统的势能最小．
【答案】　C
针对训练2　解析：t1到t2时间内，x减小，弹力做正功，系统的动能不断增大，势能不断减小，A项正确；振幅不随时间而改变，B项错误；t3时刻振子位移为零，速度最大，动能最大，C项正确；t1和t4时刻振子位移相同，即位于同一位置，其动能相同，但速度等大反向，D项错误．
答案：AC
课堂检测·素养提升
1．解析：平衡位置是回复力等于零的位置，但在平衡位置物体所受合力不一定为零，物体也就不一定处于平衡状态，故A、D正确，B、C错误．
答案：AD
2．解析：在振子向着平衡位置运动的过程中，振子所受的回复力逐渐减小，振子相对平衡位置的位移逐渐减小，振子的速度逐渐增大，振子的加速度逐渐减小，选项C正确．
答案：C
3．解析：振子在平衡位置两侧往复运动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变最大，势能最大，所以B正确；在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，D正确；到平衡位置处速度达到最大，动能最大，势能最小，所以A正确；振幅的大小与振子的位置无关，所以C错误．故选A、B、D.
答案：ABD
4．解析：由x t图像知，t1时刻和t2时刻振子的速度大小相等、方向相反，弹簧振子具有相同的动能，动量大小相等、方向相反，A错误；由题图知t2到1.0 s时间内位移变小，则加速度变小，速度增大，B错误；由题图知弹簧振子振动周期T＝2.0 s，则ω＝＝π rad/s，故振动方程为x＝A sin ωt＝0.10sin (πt) m，C正确；由三角函数知识可知，t2应为t1的5倍，D错误．
答案：C
5．解析：由题图可知A在t轴上方，位移x＝0.25 cm，所以回复力F＝－kx＝－5 N，即回复力大小为5 N，方向指向x轴的负方向，A错误；由图像可知振子此时向正向最大位移处运动，则知振子的速度方向指向x轴的正方向，B正确；在0～4 s内振子完成了两次全振动，在这段时间内振子通过的路程为2×4×0.5 cm＝4 cm，C、D错误．
答案：B4.单摆
新课程标准 核心素养目标
1.通过实验，探究单摆的周期与摆长的定量关系 2．知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系 物理观念 知道什么是单摆，初步形成单摆的回复力及周期的概念
科学思维 理解单摆振动的特点及其做简谐运动的条件；知道单摆周期的决定因素，掌握其周期公式
科学探究 能用实验探究影响单摆周期的因素，能定量探究单摆周期与摆长的关系
科学态度与责任 学会观察、实验、分析及归纳判断的方法和能力
必备知识·自主学习——突出基础性　素养夯基
一、单摆的回复力
1.单摆
如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以________，球的直径与线的长度相比也可以________，这样的装置就叫作单摆．
2．单摆的回复力
(1)回复力的来源：摆球的重力沿________方向的分力．
(2)回复力的特点：在偏角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成________，方向总指向________，即F＝________．
二、单摆的周期
1．定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响
(1)探究方法：________法．
(2)实验结论：
①单摆振动的周期与摆球的质量________．
②振幅较小时，周期与振幅________．
③摆长越长，周期________；摆长越短，周期________．
2.定量探究单摆的周期与摆长的关系
(1)周期的测量：用停表测出单摆N(30～50)次全振动的时间t，利用________计算它的周期．
(2)摆长的测量：用________测出细线长度l0，用________测出小球直径D，利用l＝l0＋求出摆长．
(3)数据处理：改变________，测量不同________及对应周期，作出T l、T l2或T 图像，得出结论．
3．周期公式
(1)公式的提出：意大利物理学家________发现了单摆的________性，荷兰物理学家________首先提出了单摆的周期公式T＝2π，并发明了钟摆．
(2)公式：T＝2π，即T与摆长l的二次方根成________，与重力加速度g的二次方根成________．
【思考辨析】　判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)实际上，摆的摆动都可以看作是简谐运动．(　　)
(2)单摆回复力的方向总是指向悬挂位置．(　　)
(3)单摆的回复力是由摆球重力的分力提供的．(　　)
(4)单摆的振幅越大周期越大．(　　)
(5)单摆的周期与摆球的质量无关．(　　)
(6)摆长应是从悬点到摆球球心的距离．(　　)
情境思考：
如图所示，荡秋千是人们特别是小孩子们一项喜闻乐见的运动．那么，荡秋千时小孩的运动有什么特点？其运动是简谐运动吗？
提示：荡秋千时小孩在竖直平面内做往复运动，在满足一定的条件下可看成是简谐运动．
关键能力·合作探究——突出综合性　素养形成
探究点一　单摆及其回复力
探究总结
1.单摆
(1)单摆是实际摆的理想化模型．
(2)实际摆看作单摆的条件
①摆线的形变量与摆线长度相比可忽略；
②摆线的质量与摆球质量相比可忽略；
③摆球的直径与摆线长度相比可忽略；
④空气等阻力与摆球的重力及细线的拉力相比可忽略．
2．单摆的回复力
如图所示，重力G沿圆弧切线方向的分力G2是摆球沿运动方向的合力，正是这个力提供了使摆球做简谐运动的回复力F＝G2＝G sin θ(θ很小)．
3．单摆的运动特点
(1)摆球以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v≠0，半径方向都受向心力(最高点其向心力为零)．向心力由细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力提供．
(2)摆球在平衡位置附近做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，轨迹的切线方向都受回复力．
典例示范
例1 关于做简谐运动的单摆，下列说法正确的是(　　)
A．摆球经过平衡位置时所受合力为零
B．摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比
C．只有在最高点时，回复力才等于重力和摆线拉力的合力
D．摆球在任意位置处，回复力都不等于重力和摆线拉力的合力
课堂笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
针对训练1　[2022·福建三明高二上月考]如图所示，O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中(　　)
A．摆球在A点和C点处，速度为零，合力也为零
B．摆球在A点和C点处，速度为零，回复力也为零
C．摆球在B点处，速度最大，回复力也最大
D．摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大
针对训练2　一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是(　　)
A.t1时刻摆球速度最大，摆球的回复力最大
B．t2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小
C．t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最小
D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
探究点二　单摆的周期
探究总结
单摆周期公式T＝2π，成立条件是摆角很小．
(1)摆长＝细线长度＋摆球半径．
(2)单摆周期与摆长和重力加速度有关，与振幅和质量无关．
(3)摆长、重力加速度一定时，周期和频率也一定，通常称为单摆的固有周期和固有频率．
(4)可以通过改变摆长来改变单摆的周期．
典例示范
例2 将秒摆(周期为2 s)的周期变为1 s，下列措施可行的是(　　)
A．将摆球的质量减半 B．摆长减为原来的
C．摆长减半 D．振幅减半
课堂笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
针对训练3　(多选)如图所示，三根细线于O点处打结，A、B两端固定在同一水平面上相距为L的两点上，使AOB成直角三角形，∠BAO＝30°.已知OC线长是L，下端C点系着一个小球(忽略小球半径)，下面说法正确的是(　　)
A．让小球在纸面内小角度摆动，周期T＝2π
B．让小球垂直纸面小角度摆动，周期T＝2π
C．让小球在纸面内小角度摆动，周期T＝2π
D．让小球垂直纸面小角度摆动，周期T＝π
针对训练4　小明在实验室做单摆实验时得到如图甲所示的单摆振动情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的左右最远位置．小明通过实验测得当地重力加速度为g＝9.8 m/s2，并且根据实验情况绘制了单摆的振动图像如图乙所示．设图甲中单摆向右摆动为正方向，g≈π2，则下列选项正确的是(　　)
A.此单摆的振动频率是2 Hz
B．根据图乙可知开始计时时摆球在C点
C．图中P点向正方向振动
D．根据已知数据可以求得此单摆的摆长为1.0 m
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学科素养提升 单摆模型的应用
理想模型
如图是一半径为R的光滑凹槽，现将一半径为r的小球从稍稍偏离最低点的位置释放，小球做往复运动的回复力与单摆振动的回复力均为重力沿圆弧切线方向的分力，其运动与摆长为(R－r)的单摆等效，故其周期T＝2π.
素养训练
1．如图所示是半径很大的光滑凹球面的一部分，有一个小球第一次自A点由静止开始滑下，到达最低点O时的速度为v1，用时为t1；第二次自B点由静止开始滑下，到达最低点O时的速度为v2，用时为t2，下列关系正确的是(　　)
A．t1＝t2，v1>v2B．t1>t2，v1C.t1v2 D．t1>t2，v1>v2
2．如图所示，光滑的半球壳半径为R，O点在球心的正下方，一小球M在距O点很近的A点由静止释放，同时在O点正上方另有一小球N(图中未画出)自由落下，若运动中阻力不计．求：小球应从多高处自由落下时，两球在O点第一次相碰( R)．
迁移拓展　在上述[T2]中，若去掉“第一次”，其余条件不变，即问题变为：为使两球在O点相碰，小球应从多高处自由落下？( R)．
课堂检测·素养提升——突出创新性　素养达标
1.在如图所示的装置中，可视为单摆的是(　　)
2．(多选)对于做简谐运动的单摆，当所受回复力逐渐增大时，随之变小的物理量是(　　)
A．摆线上的张力 B．摆球的振幅
C．摆球的重力势能 D．摆球的动能
3．如图所示，长为l的细绳下方悬挂一小球a，绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方l的O′处有一固定细铁钉．将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放，并从释放时开始计时．当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡．设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正．下列图像中，能描述小球在开始一个周期内的x t关系的是(　　)
A
B
C
D
4．甲、乙两个单摆的振动图像如图所示，根据振动图像可以断定(　　)
A．甲、乙两单摆振动的周期之比是3∶2
B．甲、乙两单摆振动的频率之比是2∶3
C．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆摆长之比是9∶4
D．若甲、乙两单摆摆长相同，在不同地点摆动，则甲、乙两单摆所在地的重力加速度之比为9∶4
5．(多选)如图甲所示是演示简谐运动图像的装置，它由一根较长的细线和较小的沙漏组成．当沙漏摆动时，漏斗的细沙均匀流出，同时匀速拉出沙漏正下方的木板，漏出的细沙在板上会形成一条曲线，这条曲线可以理解为沙漏摆动的振动图像，图乙是同一个沙漏分别在两块木板上形成的曲线(图中的虚线)，已知P、Q分别是木板上的两点，木板1、2的移动速度分别为v1、v2，则(　　)
A．P处堆积的细沙与Q处一样多
B．P处堆积的细沙比Q处多
C．v1∶v2＝4∶3
D．v1∶v2＝3∶4
4．单摆
必备知识·自主学习
一、
1．忽略　忽略
2．圆弧切线　正比　平衡位置　－x
二、
1．(1)控制变量　(2)无关　无关　越长　越短
2．(1)T＝　(2)刻度尺　游标卡尺　(3)摆长　摆长
3．(1)伽利略　等时　惠更斯　(2)正比　反比
思考辨析
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√
关键能力·合作探究
探究点一
【例1】　【解析】　A错：摆球经过平衡位置时，回复力为零，合力不为零，合力提供向心力，方向指向悬点。B错：摆球所受回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，重力沿摆线方向的分力与摆线对摆球的拉力的合力提供向心力，所以摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小不成正比。C对，D错：根据牛顿第二定律可知，摆球在最大位移处时，速度为零，向心加速度为零，重力沿摆线方向的分力等于摆线对摆球的拉力，回复力才等于重力和摆线拉力的合力，在其他位置时，速度不为零，向心加速度不为零，重力沿摆线方向的分力小于摆线对摆球的拉力，回复力不等于重力和摆线拉力的合力．
【答案】　C
针对训练1　解析：A错，D对：摆球在重力和细线拉力作用下沿圆弧AC做圆周运动，在最高点A、C处速度为零，所受合力不为零，在最低点B处，速度最大，细线上拉力最大．B、C错：摆球的回复力F＝mg sin θ中，θ为摆线偏离竖直方向的角度，所以摆球在摆动过程中，在最高点A、C处回复力最大，在最低点B处回复力为零．
答案：D
针对训练2　解析：由振动图像知，t1和t3时刻摆球偏离平衡位置的位移最大，此时摆球的速度为零，摆球的回复力最大，A、C项不合题意；t2和t4时刻摆球位移为零，正在通过平衡位置，速度最大，由于摆球做圆周运动，由牛顿第二定律得出悬线对摆球拉力最大，故B项不合题意，D项符合题意．
答案：D
探究点二
【例2】　【解析】　秒摆的周期由2 s变为1 s，周期变为原来的，由单摆周期公式T＝2π可知：A错：单摆的周期与摆球质量无关，将摆球的质量减半，周期不变．B对：将摆长减为原来的，周期变为原来的，即秒摆(周期为2 s)的周期变为1 s．C错：将摆长减半，周期变为原来的倍，即周期变为 s．D错：单摆的周期与振幅无关，振幅减半，周期不变．
【答案】　B
针对训练3　解析：A对，C错：当小球在纸面内小角度摆动时，圆心是O点，摆长为L，故周期为T＝2π.B错，D对：当小球在垂直纸面方向小角度摆动时，圆心在水平面AB上且在O点正上方，等效摆长为l′＝(1＋)L，故周期为T＝2π＝π.
答案：AD
针对训练4　解析：由单摆的振动图线可知，单摆的周期T＝2.0 s，则单摆的频率f＝＝0.5 Hz，故A错误；单摆向右摆动为正方向，可知在t＝0时刻，单摆处于负的最大位移处，即在图中的B点，故B错误；图中P点处于正向位移处，且位移减小，可知P向负方向运动，故C错误；根据T＝2π得单摆的摆长为L＝＝1.0 m，故D正确．
答案：D
学科素养提升
素养训练
1．解析：小球从A、B点由静止开始下滑均做等效单摆的运动，t1＝＝，t2＝＝，R为球面半径，故t1＝t2；A点离平衡位置远些，与平衡位置的高度差较大，由机械能守恒定律可知从A点下滑到达平衡位置O时的速度较大，即v1>v2.故A正确．
答案：A
2．解析：小球由A点开始沿球内表面运动时，只受重力和支持力作用，等效为单摆的运动．因为 R，所以小球自A点释放后做简谐运动，要使两球在O点第一次相碰，两者到O点的运动时间相等．小球从A点由静止释放运动到O点的时间为t＝＝，由于从O点正上方自由落下的小球到O点的时间也为时两球才能在O点相碰，所以所求高度h＝gt2＝.
答案：
迁移拓展　解析：小球由A点开始沿球内表面运动时，只受重力和支持力作用，等效为单摆的运动．因为 R，所以小球自A点释放后做简谐运动，要使两球在O点相碰，两者到O点的运动时间相等．小球从A点由静止释放运动到O点的时间为T＝(2n－1)(n＝1，2，3，…)，由于从O点正上方自由落下的小球到O点的时间也为(2n－1)时两球才能在O点相碰，所以h＝gt2＝g·(2n－1)2＝(2n－1)2(n＝1，2，3…)
答案：(2n－1)2(n＝1，2，3…)
课堂检测·素养提升
1．解析：单摆是由不可伸长的细线和金属小球组成的，其悬点应在摆球摆动过程中固定不变，故只有A项正确．
答案：A
2．解析：回复力逐渐增大时，摆球的重力沿切线方向的分力增大，速度变小，动能变小，重力势能增大，向心力减小，张力减小，振幅不变．
答案：AD
3．解析：由单摆的周期公式T＝2π可知，小球在钉子右侧时，振动周期为在左侧时振动周期的2倍，所以B、D项错误；由机械能守恒定律可知，小球在左、右最大位移处距离最低点的高度相同，但由于摆长不同，所以小球在左、右两侧摆动时相对平衡位置的最大水平位移不同，当小球在右侧摆动时，最大水平位移较大，故A正确，C错误．
答案：A
4．解析：A错：根据图像可知，甲和乙的周期之比为T甲∶T乙＝2∶3.B错：因为f＝，所以甲、乙的频率之比为f甲∶f乙＝3∶2.C错：根据单摆的周期公式可知T＝2π，同一地点，重力加速度相同，则甲、乙的摆长之比和周期的平方成正比，即为4∶9.D对：摆长相同，重力加速度和周期的平方成反比，即甲、乙两单摆所在地的重力加速度之比为9∶4.
答案：D
5．解析：设单摆的周期为T，木板1运动的时间t1＝2T，木板2运动的时间t2＝T.由v＝得，＝＝.由于单摆在最大位移处速度小，经历的时间会长一些，故P处堆积的细沙比Q处多．
答案：BD5.实验：用单摆测量重力加速度
新课程标准 核心素养目标
会用单摆测量重力加速度的大小 (1)明确用单摆测定重力加速度的原理和方法
(2)知道如何选择实验器材，能熟练地使用停表
(3)会用游标卡尺测量摆球的直径，会测量实际单摆的摆长
(4)会测量单摆的振动时间，用平均值法求周期
实验属性 学生必做实验 (5)会用平均值法、图像法求重力加速度
(6)通过实验培养学生的动手操作能力，数据处理能力及实事求是的科学思维
实验必备·自主学习——突出基础性　素养夯基
一、实验思路
当摆角较小时，单摆做简谐运动，根据其周期公式可得g＝________．
要根据上式测量重力加速度，需要测量单摆的________和________.
1．测量摆长需要________．
2．测量周期需要________．
二、实验装置
如图所示，在细线的一端打一个比小球上的孔径________些的结，将细线穿过球上的________，并把细线上端固定在铁架台上，就制成一个________．将铁夹固定在铁架台的上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，方便使用不同长度的摆线．
三、物理量的测量
1．摆长的测量
摆长是摆线长度和小球半径之和．
方法①：用刻度尺直接测量小球________与悬挂点之间的距离作为________的测量值，用如图所示的方法减小误差；
方法②：用游标卡尺测量小球的______________，算出它的______________，再测量悬挂点与小球上端之间的______________，以两者之和作为______________的测量值．
2．周期的测量
用停表测量单摆的周期．
方法①：测量单摆做一次________的时间作为它的________的测量值．
方法②：测量单摆做多次________(例如几十次)的时间，然后通过计算求出它的________的测量值．
方法②可以减少停表的测量误差，是最优方法．
四、数据分析
方法①：计算法→从测量的数据中选择几组，根据前面推导的公式，分别计算重力加速度，然后取平均值作为测量结果．
方法②：图像法→根据g＝得，T2＝l画出T2 l图像，则是一条过原点的________，直线的斜率k＝，由斜率k的值可求得重力加速度g.
精析典例·提升能力——突出综合性　素养形成
类型一　实验原理与实验操作
探究总结
1.实验器材
铁架台及铁夹、金属小球(上面有一个通过球心的小孔)、秒表、细线(长1 m左右)、刻度尺(最小刻度为1 mm)、游标卡尺．
2．实验步骤
(1)做单摆：让细线穿过球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆．
(2)记录平衡位置：将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸出桌面之外，然后把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂．在单摆平衡位置处做上标记．
(3)测摆长：用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d(准确到mm)，然后计算出悬点到球心的距离l＝l′＋，即为摆长．
(4)测周期：把此单摆从平衡位置拉开一个很小的角度(这个角度最好不大于5°)，再释放小球．当摆球摆动稳定以后，经过最低位置时，用停表开始计时，测量单摆全振动30次(或50次)的时间，求出一次全振动的时间，即单摆的振动周期．
(5)变摆长：将单摆的摆长变短(或变长)，重复步骤3、4，将数据填入表格．
(6)根据单摆的周期公式，计算出每次实验的重力加速度；求出几次实验得到的重力加速度的平均值，即本地区的重力加速度的值．
(7)将测得的重力加速度数值与当地重力加速度数值加以比较，如有误差，分析产生误差的原因．
典例示范
例1 实验小组的同学做“用单摆测量重力加速度”的实验．
(1)实验前他们根据单摆周期公式导出了重力加速度的表达式g＝，其中l表示摆长，T表示周期．对于此式的理解，四位同学说出了自己的观点：
同学甲：T一定时，g与l成正比
同学乙：l一定时，g与T2成反比
同学丙：l变化时，T2是不变的
同学丁：l变化时，l与T2的比值是定值
其中正确的是同学________(选填“甲”“乙”“丙”或“丁”)的观点．
(2)实验室有如下器材可供选用：
A．长约1 m的细线
B．长约1 m的橡皮绳
C．直径约2 cm的均匀铁球
D．直径约5 cm的均匀木球
E．停表
F．时钟
G．最小刻度为毫米的米尺
实验小组的同学选用了最小刻度为毫米的米尺，他们还需要从上述器材中选择________(填写器材前面的字母)．
(3)他们将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，将其上端固定，下端自由下垂(如图所示)．用刻度尺测量悬点到________之间的距离记为单摆的摆长l.
(4)在小球平稳摆动后，他们记录小球完成n次全振动的总时间t，则单摆的周期T＝________．
(5)如果实验得到的结果是g＝10.29 m/s2，比当地的重力加速度值大，分析可能是哪些不当的实际操作造成这种结果，并写出其中一种：________．
针对训练1　根据单摆周期公式T＝2π，可以通过实验测量当地的重力加速度．如图甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆．
(1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图乙所示，读数为________ mm.
(2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有________．
a．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些
b．摆球尽量选择质量大些、体积小些的
c．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度
d．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt即为单摆周期T
e．拉开摆球，使摆线偏离平衡不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝
类型二　数据处理与误差分析
典例示范
例2 在用单摆测“重力加速度”的实验中
(1)小博同学制作了如图所示的甲、乙、丙三个单摆，你认为他应选用 ________图所示的单摆来做实验．
(2)实验过程中小博同学分别用了如图(a)、(b)所示的两种不同方式悬挂小球，你认为________[选填“(a)”或“(b)”]悬挂方式较好．
(3)某同学用停表测得单摆完成40次全振动的时间如图所示，则单摆的周期为________s.
(4)若单摆在任意摆角θ时的周期公式可近似为T＝T0(1＋a sin2)，式中T0为摆角趋近于0°时的周期，a为常数．为了用图像法验证该关系式，需要测量的物理量有________；某同学在实验中得到了如图所示的图线，则图线的斜率表示________．
针对训练2　物理实验小组的同学做“用单摆测重力加速度”的实验．
(1)实验室有如下器材可供选用：
A．长约1m的细线
B．长约1 m的橡皮绳
C．直径约2 cm的均匀铁球
D．直径约5 cm的均匀木球
E．停表
F．时钟
G．最小刻度为1毫米的刻度尺
实验小组的同学需要从上述器材中选择________(填写器材前面的字母)．
(2)下列振动图像真实地描述了对摆长约为1 m的单摆进行周期测量的四种操作过程，图中横坐标原点O为计时起点，A、B、C均为30次全振动的图像，已知sin 5°＝0.087，sin 15°＝0.26，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是________(填字母代号)．
(3)某同学利用单摆测重力加速度，测得的g值与真实值相比偏大，可能的原因是________．
A．测摆长时记录的是摆线的长度
B．开始计时时，秒表过早按下
C．摆线上端未牢固地系于悬点，摆动中出现松动，使摆线长度增加了
D．实验中误将29次全振动记为30次
针对训练3　在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中：
(1)图1操作中正确的是________(选填选项前的字母)．
A．甲图：小球从偏离平衡位置60°开始摆动
B．乙图：细线上端用铁夹固定住
C．丙图：小球到达最高点时作为计时开始与终止位置
D．丁图：小球自由下垂时测量摆长
(2)实验过程中，改变摆长，测量多组不同摆长情况下单摆的周期，以摆长为横坐标，周期的平方T2为纵坐标，作出了T2 l图像，理论上T2 l图线是一条过坐标原点的直线，但小周同学根据实验数据作出的图线如图2所示，则造成图线不过坐标原点的原因可能是______________________________________________；由图像求出的重力加速度g＝________m/s2.(取π2＝9.86)
课堂检测·素养提升——突出创新性　素养达标
1.(多选)在“用单摆测量重力加速度”的实验中，如果测得g值偏小，可能的原因是(　　)
A．测摆线长时摆线拉得过紧
B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加
C．开始计时时，停表过早按下
D．单摆振动时，振幅较小
2．在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝________．若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是________m．若测定了40次全振动的时间如图乙中停表所示，则停表读数是________s，单摆摆动周期是________s．
　
3．下表是用单摆测定重力加速度实验中获得的有关数据：
摆长l/m 0.5 0.6 0.8 1.1
周期T2/s2 2.0 2.4 3.2 4.4
(1)利用上述数据，在坐标系中描绘出l T2图像．
(2)利用图像，取T2＝4.2 s2时，l＝________m．重力加速度g＝________m/s2.
4．用单摆测定重力加速度的实验装置如图所示．
(1)组装单摆时，应在下列器材中选用________(选填选项前的字母)．
A．长度为1 m左右的细线
B．长度为30 cm左右的细线
C．直径为1.8 cm的塑料球
D．直径为1.8 cm的铁球
(2)测出悬点O到小球球心的距离(摆长)L及单摆完成n次全振动所用的时间t，则重力加速度g＝________(用L、n、t表示)．
(3)下表是某同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理．
组次 1 2 3
摆长L/cm 80.00 90.00 100.00
50次全振动时间t/s 90.0 95.5 100.5
振动周期T/s 1.80 1.91
重力加速度g/(m·s－2) 9.74 9.73
请计算出第3组实验中的T＝________s，g＝________m/s2.
5．实验：用单摆测量重力加速度
实验必备·自主学习
一、
　摆长　周期
1．刻度尺
2．停表
二、
稍大　小孔　单摆
三、
1．球心　摆长　直径　半径　距离　摆长
2．全振动　周期　全振动　周期
四、
　直线
精析典例·提升能力
类型一
【例1】　【解析】　(1)重力加速度g的大小只由星球、纬度、高度决定，而与摆长和周期的大小无关；表达式g＝为计算式，可知l变化时，T2是变化的，但是l与T2的比值不变．故正确的是同学丁的观点．(2)单摆模型中，摆球密度要大，体积要小，空气阻力的影响才小，小球视为质点，故要选择直径约2 cm的均匀铁球，长度1 m左右的细线，不能用橡皮绳，否则摆长会变化，停表可以控制开始计时和结束计时的时刻，还需要ACE.(3)摆长为悬点到球心之间的距离．(4)根据题意可知，周期T＝.(5)g比当地的重力加速度值大，根据表达式g＝可知，可能是周期偏小(即可能是振动次数n计多了或在计时的时候停表开始计时晚了)、可能是测得的摆长l偏大(从悬点量到了小球底部记为摆长)．
【答案】　(1)丁　(2)ACE　(3)摆球球心　(4)　(5)见解析
针对训练1　解析：(1)(18＋6×0.1) mm＝18.6 mm.
(2)摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些，摆球尽量选择质量大些、体积小些的，都是为了更加符合单摆的构成条件，故a、b是正确的；摆线相距平衡位置的角度，以不大于5°为宜，故c是错误的；拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝，故d错，e对．
答案：(1)18.6　(2)a、b、e
类型二
【例2】　【解析】　(1)单摆在摆动过程中，空气等对它的阻力要尽量小，甚至忽略不计，所以摆球选铁球；摆线要尽可能细一些，摆长不能过短，一般取1 m左右的细线，选乙．
(2)如果选(a)所示悬挂方式，摆动过程中，摆长在不断变化，无法准确测量，故选(b)悬挂方式较好．(3)由题图可知，单摆完成40次全振动的时间t＝60 s＋15.6 s＝75.6 s，所以单摆的周期为T＝ s＝1.89 s．(4)根据T＝T0(1＋a sin2)可知，需要测量的物理量有T(或t、n)、θ.由T＝T0(1＋a sin2)，可得sin2＝T－，所以图示图线的斜率为.
【答案】　(1)乙　(2)(b)　(3)1.89　(4)T(或t，n)、θ　
针对训练2　解析：(1)需要选择：长约1m的细线，直径约2 cm的均匀铁球，停表(测量30次全振动的时间)，最小刻度为1毫米的刻度尺(测量摆线长)．
(2)单摆振动的摆角θ<5°，当θ＝5°时单摆振动的振幅A＝l sin 5°＝0.087 m＝8.7 cm，为计时准确，在摆球摆至平衡位置时开始计时且记录多次全振动的时间，故四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是选项A.
(3)根据单摆的周期公式推导出重力加速度的表达式g＝.将摆线的长误认为摆长，即测量值偏小，所以重力加速度的测量值偏小，故A错误；开始计时时，秒表过早按下，周期的测量值大于真实值，所以重力加速度的测量值偏小，故B错误；摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，即摆长L的测量值偏小，所以重力加速度的测量值就偏小，故C错误；设单摆29次全振动的时间为t，则单摆的周期T＝，若误计为30次，则T测＝<，即周期的测量值小于真实值，所以重力加速度的测量值偏大，故D正确．
答案：(1)ACEG　(2)A　(3)D
针对训练3　解析：(1)摆线与竖直方向的夹角要很小时，可以认为摆球的运动为简谐运动，故A错误；细线上端应用铁夹子固定，防止松动引起摆长的变化，故B正确；当小球运动到最低点时开始计时误差较小，故C错误；实验时应该让小球自由下垂时测量摆长，故D正确．故选BD.
(2)图像不通过坐标原点，将图像向右平移就会通过坐标原点，故相同的周期下，摆长偏小，故可能是漏加小球半径；由T＝2π得，T2＝4π2，
则有＝k
解得：g＝＝ m/s2＝9.86 m/s2
答案：(1)BD　(2)计算摆长时漏加小球半径　9.86
课堂检测·素养提升
1．解析：测摆线长时摆线拉得过紧，l偏大，由g＝可知，所测重力加速度g偏大，故A错误；摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了，即所测摆长偏小，由g＝可知，所测重力加速度偏小，故B正确；开始计时时，停表过早按下，所测周期T偏大，由g＝可知，所测重力加速度偏小，故C正确；单摆振动时，振幅大小不影响周期，不影响重力加速度的测量，故D错误．
答案：BC
2．解析：由T＝2π可知g＝.
由题图甲可知摆长
l＝(88.50－1.00) cm＝87.50 cm＝0.875 0 m.
停表的读数t＝60 s＋15.2 s＝75.2 s，
所以T＝＝1.88 s.
答案：　0.875 0　75.2　1.88
3．解析：
(1)由T＝2π得l＝·T2，所以图像是过原点且斜率为的一条直线．
l T2图像如图所示．
(2)由周期公式T＝2π得，l＝·T2.由l T2图像可得＝ m/s2＝m/s2，即l＝T2.当T2＝时l＝1.05 m．由＝ m/s2得g＝9.86 m/s2.
答案：(1)见解析　(2)1.05　9.86
4．解析：(1)为减小实验误差，应选择1 m左右的细线，故选A；为减小空气阻力影响，摆球应选质量大而体积小的金属球，故选D.
(2)单摆的周期：T＝，由单摆周期公式T＝2π，
解得g＝＝.
(3)由表中实验数据可知，第三组实验中，周期T＝ s＝2.01 s，
代入数据有g＝＝ m/s2≈9.76 m/s2.
答案：(1)AD　(2)　(3)2.01　9.766.受迫振动　共振
新课程标准 核心素养目标
1.通过实验，认识受迫振动的特点 2．了解产生共振的条件及其应用 物理观念 知道什么是固有振动和固有频率，知道什么是阻尼振动，什么是驱动力，什么是受迫振动，初步形成共振的概念
科学思维 了解阻尼振动中的能量转化，知道受迫振动的频率等于驱动力的频率，能根据共振曲线研究共振
科学探究 通过实验研究受迫振动的频率，通过实验探究共振现象的产生条件及其特点
科学态度 与责任 通过实验探究受迫振动及共振，培养学生的团队协作意识及实事求是的科学精神，通过理解共振的应用与防止，培养学生学以致用的意识与能力
必备知识·自主学习——突出基础性　素养夯基
一、振动中的能量损失
1.固有振动：没有外力干预的情况下的振动，周期或频率与振幅________，仅由________自身的性质决定，我们把这种振动称为固有振动，其振动频率称为________．
2．阻尼振动
(1)定义：振幅随时间逐渐________的振动称为阻尼振动，其振动图像如图所示．
(2)能量衰减的两种方式
①由于振动系统受到摩擦________的作用，使振动系统的机械能逐渐转化为________．
②由于振动系统引起邻近介质中各质点的振动，使能量向四周________出去，从而自身机械能减少．
二、受迫振动
1．驱动力：周期性的________作用于振动系统，外力对系统做功，补偿系统的________损耗，使系统的振动维持下去．这种________的外力叫作驱动力．
2．受迫振动：系统在________作用下的振动叫作受迫振动．
3．受迫振动的频率：做受迫振动的物体振动稳定后，其振动频率等于________的频率，与物体的________无关．
三、共振现象及其应用
1．共振：当驱动力的频率等于________时，物体做受迫振动的振幅达到________值，这种现象称为共振．
2．条件：驱动力频率________物体的固有频率．
3.受迫振动振幅与驱动力频率的关系
4．共振的应用与防止
(1)应用：①共振破碎机　②音叉共鸣箱　③电磁波接收中的电谐振
(2)防止：在桥梁、码头等各种建筑的设计施工中，以及飞机、汽车、轮船的发动机等机器设备的设计、制造、安装中，都必须考虑防止共振产生的危害，以保证建筑和设备的安全．
【思考辨析】　判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)固有频率由系统本身决定．(　　)
(2)阻尼振动的频率不断减小．(　　)
(3)阻尼振动的振幅不断减小．(　　)
(4)受迫振动的频率等于振动系统的固有频率．(　　)
(5)生活中应尽量使驱动力的频率接近振动系统的固有频率．(　　)
(6)驱动力的频率等于系统的固有频率时，发生共振现象．(　　)
情境思考：
生活中会见到阵风吹过树枝，使树枝左右摇摆，一会儿树枝就会停下来，而荡秋千的小朋友在一旁大人的不断推动下不停地摆动．
(1)树枝的运动是什么运动？
(2)秋千的摆动是什么运动？
提示：(1)阻尼振动　(2)受迫振动
关键能力·合作探究——突出综合性　素养形成
探究点一　阻尼振动与受迫振动
探究总结
1.认识三种振动
(1)简谐运动是一种理想化模型，物体运动过程中的一切阻力都不考虑．
(2)阻尼振动考虑阻力的影响，是更实际的一种运动．
(3)受迫振动是物体做阻尼振动时受到周期性驱动力作用下的振动．
2．简谐运动、阻尼振动与受迫振动的比较
振动 类型 简谐运动 阻尼振动 受迫振动
产生 条件 不受阻力作用 受阻力作用 受阻力和 驱动力作用
频率 固有频率 固有频率 驱动力频率
振幅 不变 减小 大小变 化不确定
振动 图像 形状不 确定
实例 弹簧振子振动，单摆做小角度摆动 敲锣打鼓发出的声音越来越弱，是因振幅越来越小 扬声器纸盆振动发声，钟摆的摆动
典例示范
例1 [2022·陕西铜川一中高二上期中](多选)如图所示，曲轴上挂一个弹簧振子，转动摇把，曲轴可带动弹簧振子上下振动．开始时不转动摇把，让振子自由振动，测得其频率为2 Hz.现匀速转动摇把，转速为240 r/min.则(　　)
A．当振子稳定振动时，它的振动周期是0.5 s
B．当振子稳定振动时，它的振动频率是4 Hz
C．当转速增大时，弹簧振子的振幅先增大后减小
D．当转速减小时，弹簧振子的振幅先增大后减小
课堂笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
针对训练1　如图所示，摆球质量相同的四个摆的摆长分别为L1＝2 m，L2＝1.5 m，L3＝1 m，L4＝0.5 m，悬于同一根绷紧的横线上，用一周期为2 s的驱动力作用在横线上，使它们做受迫振动，稳定时(　　)
A．摆1的周期最长
B．摆2的振幅最大
C．摆3的振幅最大
D．四个摆的周期不同，但振幅相等
针对训练2　(多选)如图所示是单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法中正确的是(　　)
A．摆球A时刻的动能等于B时刻的动能
B．摆球A时刻的势能等于B时刻的势能
C．摆球A时刻的机械能等于C时刻的机械能
D．摆球B时刻的机械能大于C时刻的机械能
探究点二　共振
探究总结
1.共振的条件：驱动力的频率等于系统的固有频率．
2．共振现象的特点：发生共振时，振动物体的振幅最大．
如图所示，由共振曲线可知，当驱动力的频率与物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大；驱动力的频率跟固有频率相差越大，振幅越小．
3．共振的防止与应用
(1)防止时，应尽量使驱动力的频率和物体的固有频率不相等，而且相差越大越好．
(2)应用时，应尽量使驱动力的频率与物体的固有频率一致．
典例示范
例2 (多选)如图甲所示，竖直圆盘转动时，可带动固定在圆盘上的T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个弹簧和小球，共同组成一个振动系统．当圆盘静止时，小球可稳定振动．现使圆盘以4 s的周期匀速转动，经过一段时间后，小球振动达到稳定．改变圆盘匀速转动的周期，其共振曲线(振幅A与驱动力的频率f的关系)如图乙所示，则(　　)
A.此振动系统的固有频率约为0.25 Hz
B．此振动系统的固有频率约为3 Hz
C．若圆盘匀速转动的周期增大，系统振动的固有频率不变
D．若圆盘匀速转动的周期增大，共振曲线的“峰”将向右移动
课堂笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　分析共振问题的方法
(1)在分析解答有关共振问题时，要抓住产生共振的条件：驱动力的频率等于振动系统的固有频率时，振动的振幅最大．
(2)利用与防止共振问题：利用共振时要使物体所受驱动力的频率等于或接近物体的固有频率；防止共振时，要使驱动力频率远离物体的固有频率．
针对训练3 (多选)如图所示为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，下列说法正确的是(　　)
A．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B．若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比l1∶l2＝25∶4
C．图线Ⅱ若是在地球上完成的，则该摆摆长约为1 m
D．若摆长均为1 m，则图线Ⅰ是在地球上完成的
学科素养提升 生活中的共振现象
素养训练
1.[蜘蛛感知昆虫“落网”](多选)蜘蛛会根据丝网的振动情况感知是否有昆虫“落网”，若丝网的固有频率为200 Hz，下列说法正确的是(　　)
A.“落网”昆虫翅膀振动的频率越大，丝网的振幅越大
B.当“落网”昆虫翅膀振动的频率低于200 Hz时，丝网不振动
C.当“落网”昆虫翅膀振动的周期为0.005 s时，丝网的振幅最大
D.昆虫“落网”时，丝网振动的频率由“落网”昆虫翅膀振动的频率决定
2．[汽车过减速带]为了交通安全，常在公路上设置如图所示的减速带，减速带使路面稍微拱起以达到使车辆减速的目的．如果某路面上的一排减速带的间距为1.5 m，一辆固有频率为2 Hz的汽车匀速驶过这排减速带，下列说法正确的是(　　)
A.当汽车以5 m/s的速度行驶时，其振动频率为2 Hz
B.当汽车以5 m/s的速度行驶时，其振动频率为0.3 Hz
C.当汽车以3 m/s的速度行驶时颠簸最厉害
D.汽车速度越大，颠簸越厉害
3．[共振筛](多选)把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，如图甲所示．该共振筛的共振曲线如图乙所示，已知增大电压，可使偏心轮转速提高，增大筛子质量，可增大筛子的固有周期．现在，在某电压下电动偏心轮的转速是42 r/min.为了使筛子的振幅增大，下列说法正确的是(　　)
A．提高输入电压 B．降低输入电压
C.增大筛子质量 D．减小筛子质量
课堂检测·素养提升——突出创新性　素养达标
1.(多选)关于阻尼振动，以下说法中正确的是(　　)
A．机械能不断减小 B．动能不断减小
C．振幅不断减小 D．一定不是简谐运动
2．在飞机的发展史中有一个阶段，飞机上天后不久，飞机的机翼很快就抖动起来，而且越抖越厉害，后来人们经过了艰苦地探索，利用在飞机机翼前缘处装置一个配重杆的方法，解决了这一问题．在飞机机翼前装置配重杆的主要目的是(　　)
A．加大飞机的惯性 B．使机体更加平衡
C．使机翼更加牢固 D．改变机翼的固有频率
3．脱水机把衣服脱完水后切断电源，电动机还要转一会儿才能停下来，在这一过程中，发现脱水机在某一时刻振动得很剧烈，然后又慢慢振动直至停止运转，其中振动很剧烈的原因是(　　)
A．脱水机没有放平稳
B．电动机在这一时刻转快了
C．电动机在这一时刻的转动频率跟脱水机的固有频率相等
D．是脱水机出现了故障
4．A、B两个单摆，A摆的固有频率为4f，B摆的固有频率为f，若让它们在频率为5f的驱动力作用下做受迫振动，则两单摆比较(　　)
A．A摆振幅较大，振动频率为f
B．B摆振幅较大，振动频率为4f
C．A摆振幅较大，振动频率为5f
D．B摆振幅较大，振动频率为5f
6．受迫振动　共振
必备知识·自主学习
一、
1．无关　系统　固有频率
2．(1)减小　(2)阻力　内能　辐射
二、
1．外力　能量　周期性
2．驱动力
3．驱动力　固有频率
三、
1．固有频率　最大
2．等于
思考辨析
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×　(6)√
关键能力·合作探究
探究点一
【例1】　【解析】　A错，B对：现匀速转动摇把，转速为240 r/min，知驱动力的周期T＝0.25 s，则f＝4 Hz，知振子稳定振动时，它的振动周期为0.25 s，振动频率为4 Hz.C错，D对：当转速从240 r/min减小时，驱动力的频率减小，等于振子的固有频率时，发生共振，故振子的振幅先增大后减小；当转速从240 r/min增大时，同理可知，振子的振幅将减小．
【答案】　BD
针对训练1　解析：根据单摆的周期公式T＝2π可知，将四个单摆的摆长代入公式，分别求得它们的周期约为2.84 s、2.45 s、2.01 s、1.42 s，由于四个摆的摆长不同，所以四个摆的固有周期不同，但四个摆振动起来后，驱动力使得摆做受迫振动，振动的周期都等于2 s，所以各摆振动的周期都相等；由于摆3的固有周期与驱动力的周期最接近，故摆3振幅最大．
答案：C
针对训练2　解析：单摆做阻尼振动，因此机械能不断减小，选项D正确，C错误；A、B两时刻关于平衡位置对称，高度相等，重力势能相同，B正确；因机械能越来越小，所以B时刻动能小于A时刻动能，选项A错误．
答案：BD
探究点二
【例2】　【解析】　A错，B对：由共振曲线可得，此振动系统的固有频率约为3 Hz.C对，D错：共振曲线的峰值对应振子的固有频率，它是由振动系统本身的性质决定的，与驱动力的频率无关，共振曲线的“峰”不因驱动力周期的变化而改变．
【答案】　BC
针对训练3　解析：图线中振幅最大处对应频率应与做受迫振动的单摆的固有频率相等，从图线上可以看出，两摆的固有频率f1＝0.2 Hz，f2＝0.5 Hz
根据周期公式可得f＝＝
当两摆分别在月球上和地球上做受迫振动且摆长相等时，g越大，f越大，所以g2>g1，由于月球上的重力加速度比地球上的小，所以图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线，选项A正确．若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则g相同，两次摆长之比l1∶l2＝＝25∶4，所以选项B正确．
图线Ⅱ若是在地球上完成的，将g＝9.8 m/s2和f2＝0.5 Hz代入频率的计算公式可解得l2＝1 m，所以选项C正确．D错误．
答案：ABC
学科素养提升
素养训练
1．解析：根据共振的条件可知，当驱动力的频率越接近系统的固有频率时，系统的振幅越大，A错误；当“落网”昆虫翅膀振动的频率低于200 Hz时，丝网仍然振动，B错误；当“落网”昆虫翅膀振动的周期为0.005 s时，其频率f＝＝ Hz＝200 Hz，与丝网的固有频率相等，所以丝网的振幅最大，C正确；受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以昆虫“落网”时，丝网振动的频率由“落网”昆虫翅膀振动的频率决定，D正确．
答案：CD
2．解析：A、B错：当汽车以5 m/s的速度行驶时，振动的驱动力的周期T＝＝＝0.3 s，受迫振动的周期等于驱动力的周期，故振动周期为0.3 s，振动频率f＝≈3.3 Hz.C对，D错：由T＝可知汽车的固有周期为T0＝ s，则汽车的速度为v＝＝ m/s＝3 m/s时，汽车发生共振，颠簸最厉害．
答案：C
3．解析：根据题意，在某电压下，电动偏心轮的转速是42 r/min，所以驱动力的频率为0.7 Hz；筛子的固有频率f0＝0.8 Hz>f；由于驱动力的频率小于筛子的固有频率，所以要使振幅变大，要增大驱动力的频率，或减小筛子的固有频率(即增大固有周期)，可以提高偏心轮的电压或增大筛子的质量．
答案：AC
课堂检测·素养提升
1．解析：阻尼振动是振幅不断减小的振动，故阻尼振动一定不是简谐运动，而振幅是振动能量的标志，故阻尼振动中机械能不断减小，但动能在振动过程中是不断变化的，并不是不断减小，故B错误，A、C、D正确．
答案：ACD
2．解析：当驱动力的频率与物体的固有频率相等时，发生共振，振幅最大，因此要减弱机翼的振动，必须改变机翼的固有频率，D正确．
答案：D
3．解析：电动机的转动使脱水机做受迫振动．切断电源后，电动机转动的频率是逐渐变化的，当它的频率等于脱水机的固有频率时，发生共振现象，脱水机振动得很剧烈，C正确．
答案：C
4．解析：受迫振动的频率等于驱动力的频率，当系统的固有频率等于驱动力的频率时，系统达到共振，振幅最大．故A、B两个单摆都做受迫振动，频率为5f，A摆的固有频率接近驱动力的频率，则A摆的振幅较大．
答案：C

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