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广东省广州市荔湾区 2023-2024学年第一学期九年级期末数学模拟试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图形中，为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4 . 反比例函数的图象在直角坐标系中的位置如图，
若点，，的在函数的图象上，
则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5 .寒假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，
小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（ ）
A． B． C． D．
6 . 抛物线与y轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
7 . 如图，四边形是的内接四边形，点E是延长线上一点，
若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8 . 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，
使点落在边上，连接，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长），拱高（弧的中点到弦的距离），
则求拱桥的半径为（ ）
A． B． C． D．
如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，
点C、D在x轴上，分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11 .若2是关于的方程的一个根，则 ．
12. 点（2，3）绕原点逆时针旋转90°对应点的坐标是 _____．
13 .一口袋中装有10个红球和若干个黄球（这些球除颜色外都相同），通过大量重复实验得知，
摸到红球的频率为0.4．据此估计：口袋中约有 个黄球．
已知三点都在二次函数的图象上，
则的大小关系为___________
如图，已知第一象限内的点在反比例函数上，第二象限的点在反比例函数上，
且，，则的值为 ．
16 .已知二次函数的y＝ax2+bx+c （a≠0）图象如图所示，有下列4个结论：
①abc＜0；②b＜a+c；③2a+b＝0；④a+b＜m （am+b） （m≠1的实数），
其中正确的结论有 ．
解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．解下列方程：
（1）

（2）；
18. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，，．
试画出绕点逆时针旋转90°的，并写出、坐标．
19 . 如图，在中，已知，，
将绕点B按逆时针方向旋转一定的角度后得到，
若恰好经过点A，设与相交于点F，求的大小．
20 . 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，
为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：
．音乐；．体育；．美术；．阅读；．人工智能．
为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，
绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
①此次调查一共随机抽取了______名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角______度；
若该校有2800名学生，估计该校参加组（阅读）的学生人数；
(3) 学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
21 . 某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：
如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．
（1）求出每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大？
22 . 如图，AB＝BC，以BC为直径作⊙O，AC交⊙O于点E，
过点E作EG⊥AB于点F，交CB的延长线于点G．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若GF＝2，GB＝4，求⊙O的半径．

23 . 如图，一次函数的图象与y轴交于点C，
与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式；
(2)连接、，求的面积；
(3)在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标．
24 . 如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点．
求该抛物线的函数表达式；
(2) 点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标；
(3) 若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值；
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广东省广州市荔湾区 2023-2024学年第一学期九年级期末数学模拟试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图形中，为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的顶点式，直接写出顶点坐标即可．
【详解】抛物线的顶点坐标是：．
故选B．
3．如图，点在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接根据圆周角定理即可得出答案．
【详解】解：，
，
故选：C．
4 . 反比例函数的图象在直角坐标系中的位置如图，
若点，，的在函数的图象上，
则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【详解】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴，
∴点在第二象限，
∴，
∵，
∴，两点在第四象限，
∴，
∵函数图象在第四象限内为增函数，
∴．
∴，，的大小关系为．
故选：D．
5 .寒假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，
小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小明和小亮选到同一社区参加实践活动的有3种情况，
∴小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为：
故选B
6.抛物线与y轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识．根据题意得出，然后求出的值，即可以得到与轴的交点坐标．
【详解】解：令，得，
故与轴的交点坐标是：．
故选：B．
7 .如图，四边形是的内接四边形，点E是延长线上一点，
若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解即可．
【详解】解：，
，
故选：D．
8 . 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，
使点落在边上，连接，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由旋转的性质可知，，进而得出为等边三角形，进而求出．
【详解】解：∵
由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，
∴cm，
又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，
由旋转的性质可知：，且，
∴为等边三角形，
∴．
故选：B．
某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长），拱高（弧的中点到弦的距离），
则求拱桥的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图所示（见详解），设圆弧形拱桥所在为位置的圆的圆心为，可得半径，根据垂径定理，可知，设，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，设圆弧形拱桥所在为位置的圆的圆心为，
∵圆弧形拱桥的跨度（弧所对的弦的长），拱高（弧的中点到弦的距离）米，
∴，，且半径，
设，在中，，，
∴，解方程得，，
∴拱桥的半径为，
故选：．
如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，
点C、D在x轴上，分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】设、，根据题意：利用函数关系式表示出线段，然后利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：设点A的坐标为，．则．
∴点B的纵坐标为．
∴点B的横坐标为．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴．
．
∴．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11 .若2是关于的方程的一个根，则 ．
【答案】4
【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得．
【详解】解：由题意，将代入方程得：，
解得，
故答案为：4．
12. 点（2，3）绕原点逆时针旋转90°对应点的坐标是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】先画出平面直角坐标系，再根据旋转的性质即可得出答案．
【详解】解：由题意，画出图形如下，其中点的坐标为：
过点作轴于点，则，
因为点分别是点绕原点逆时针旋转的对应点，
所以轴，
又因为点位于第二象限，
所以点的坐标为，
故答案为：．
13 .一口袋中装有10个红球和若干个黄球（这些球除颜色外都相同），通过大量重复实验得知，
摸到红球的频率为0.4．据此估计：口袋中约有 个黄球．
【答案】15
【分析】通过大量重复实验得知，摸到红球的频率为0.4，即红球占总数的0.4，列方程求解即可．
【详解】解：设有黄球x个，由题意得，，
解得，，
经检验，是原方程的解，
故答案为：15
14.已知三点都在二次函数的图象上，
则的大小关系为___________
【答案】
【分析】根据二次函数的图象和性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴二次函数图象开口向上，
∵，
∴二次函数的对称轴为直线，
∵抛物线的图象上有三个点，，
∴，
故答案为：
如图，已知第一象限内的点在反比例函数上，第二象限的点在反比例函数上，
且，，则的值为 ．
【答案】
【分析】作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，易证∽，则面积的比等于相似比的平方，然后根据反比例函数中比例系数k的几何意义即可求解．
【详解】解：作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D．
则∠BDO＝∠ACO＝90°，
则∠BOD＋∠OBD＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠BOD＋∠AOC＝90°，
∴∠OBD＝∠AOC，
∴∽，
∴，
又∵S△AOC＝×4＝2，
∴S△OBD＝，
∵第二象限的点在反比例函数上
∴k＝．
故答案为．
16 .已知二次函数的y＝ax2+bx+c （a≠0）图象如图所示，有下列4个结论：
①abc＜0；②b＜a+c；③2a+b＝0；④a+b＜m （am+b） （m≠1的实数），
其中正确的结论有 ．
【答案】①③
【分析】①由抛物线开口向下a＜0，抛物线和y轴的正半轴相交，c＞0， ＝1＞0，b＞0，②令x＝﹣1，时y＜0，即a﹣b+c＜0，③＝1，即2a+b＝0，④把x＝m代入函数解析式中表示出对应的函数值，把x＝1代入解析式得到对应的解析式，根据图形可知x＝1时函数值最大，所以x＝1对应的函数值大于x＝m对应的函数值，化简得到不等式．
【详解】解：①∵抛物线开口向下，抛物线和y轴的正半轴相交，
∴a＜0，c＞0，
∵＝1＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②令x＝﹣1，时y＜0，即a﹣b+c＜0，故②错误；
③∵＝1，
∴2a+b＝0，
故③正确；
④x＝m对应的函数值为y＝am2+bm+c，
x＝1对应的函数值为y＝a+b+c，又x＝1时函数取得最大值，
∴a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm＝m（am+b），
故④错误；
故答案为①③．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．解下列方程：
（1）
（2）；
【答案】（1），（2）
【分析】（1）选择因式分解法求解即可．
（2）选择因式分解法求解即可．
【详解】(1)因为，
所以，
所以，
解得．
(2) 因为，
所以，
所以，
解得．
18. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，，．
试画出绕点逆时针旋转90°的，并写出、坐标．
【答案】图见解析，、
【解析】
【分析】先画出点A、B、C绕点逆时针旋转90°的对应点，再一次连接即可，最后根据图形写出、坐标即可．
【详解】解：如图：
由图可知：、．
19 . 如图，在中，已知，，
将绕点B按逆时针方向旋转一定的角度后得到，
若恰好经过点A，设与相交于点F，求的大小．
【答案】
【分析】根据“等边对等角”与“三角形内角和定理”求得大小，然后根据旋转的性质得，，再求出，然后根据三角形的外角性质即可得解．
【详解】解：，，
，
，
将绕点B按逆时针方向旋转一定的角度后得到，若恰好经过点A，
，，
在中，，
，
，
，
；
的大小为．
20 . 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，
为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：
．音乐；．体育；．美术；．阅读；．人工智能．
为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，
绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
①此次调查一共随机抽取了______名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角______度；
若该校有2800名学生，估计该校参加组（阅读）的学生人数；
(3) 学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
【答案】(1)①400；②图见解析③54
(2)参加组（阅读）的学生人数为980人
(3)恰好抽中甲、乙两人的概率为
【分析】（1）①利用参加体育活动小组的人数除以所占的百分比求出总人数；②先求出参加小组的人数，再补全条形图即可；③用小组人数所占的百分比求出圆心角度数即可；
（2）用总人数乘以参加组在样本中所占的百分比，进行求解即可；
（3）利用列表法求出概率即可．
【详解】（1）解：①（人）；
故答案为：；
②参加组的学生人数为：（人）；
参加组的学生人数为：（人）；
补全条形图如下：
③；
故答案为：54；
（2）解：（人）；
答：参加组（阅读）的学生人数为980人．
（3）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 甲，乙 甲，丙 甲，丁
乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁
丙 丙，甲 丙，乙 丙，丁
丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙
共有12种等可能的结果，其中抽到甲、乙两人的情况有2种，
∴；
答：恰好抽中甲、乙两人的概率为．
21 . 某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：
如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．
（1）求出每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大？
【答案】（1）w=-10（x-10）2+2250（0≤x≤25）（2）销售单价为35元时，该商品每天的销售利润最大
【分析】（1）利用销量×每件利润=总利润，进而求出即可；
（2）利用二次函数的性质得出销售单价.
【详解】（1）根据题意得：w =（25+x-20)(250-10x）
即：w =-10x2+200x+1250或w=-10（x-10）2+2250（0≤x≤25）
（2）∵-10＜0，∴抛物线开口向下，二次函数有最大值，
当时，销售利润最大
此时销售单价为：10+25=35（元）
答：销售单价为35元时，该商品每天的销售利润最大．
22 . 如图，AB＝BC，以BC为直径作⊙O，AC交⊙O于点E，
过点E作EG⊥AB于点F，交CB的延长线于点G．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若GF＝2，GB＝4，求⊙O的半径．

【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径为4
【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论；
（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：（1）连接OE．
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C；
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠C，
∴∠A＝∠OEC，
∴OE∥AB，
∵BA⊥GE，
∴OE⊥EG，且OE为半径；
∴EG是⊙O的切线；
（2）∵BF⊥GE，
∴∠BFG＝90°，
∵，GB＝4，
∴，
∵BF∥OE，
∴△BGF∽△OGE，
∴，
∴，
∴OE＝4，
即⊙O的半径为4．

23 . 如图，一次函数的图象与y轴交于点C，
与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式；
(2)连接、，求的面积；
(3)在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标．
【答案】(1)、；
(2)4
(3)
【分析】（1）把，两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出m、n的值，再把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值；
（2）求得C的坐标，然后根据求得即可；
（3）作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，则，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标．
【详解】（1）解：把，两点的坐标代入，
得，
，解得，
则、，
把代入，得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵一次函数的图象与y轴交于点C，
∴，
∴，
∵、，
∴；
（3）解：作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，则，
∵，
∴此时的值最小，
设直线的解析式为，
把点，的坐标代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，解得：，
∴点P的坐标为．
24 . 如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点．
求该抛物线的函数表达式；
(2) 点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标；
(3) 若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值；
【答案】(1)
(2)
(3)面积的最大值为2
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据对称轴得出当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，求出直线的解析式，求出抛物线的对称轴为直线，把代入求出点G的坐标即可；
（3）连接，过点P作轴，交于点Q，根据点D是的中点，得出，当面积最大时，面积最大，设，则，用m表示出，求出其最大值，即可得出答案．
【详解】（1）解：把代入抛物线得：
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵点G是该抛物线对称轴上的动点，
∴，
∴，
∴当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，
把代入得：，
∴点C的坐标为：，
设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴ 直线的解析式为：，
抛物线的对称轴为直线，
把代入得：，
∴点G的坐标为：；
（3）解：连接，过点P作轴，交于点Q，如图所示：
∵点D是的中点，
∴，
∴当面积最大时，面积最大，
设，则，
，
，
∴当时，面积取最大值4，
∴面积的最大值为．
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