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第二章 方程与不等式
第一节 一次方程（组）
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 一元一次方程的解法及解的应用 ☆☆ 吉林中考中，有关一次方程（组）的部分，每年考查1~3道题,分值为3~10分，通常以选择题、 填空题和解答题的形式考察。对于一次方程（组）的复习，需要熟练掌握一元一次方程、二元一次方程（组）的相关概念、解法及其实际应用等考点。
考点2 二元一次方程（组）及其解法 ☆☆
考点3 二元一次方程（组）的实际应用 ☆☆
考点4 列一次方程（组）解应用题的常用分析 ☆☆
■考点一　一元一次方程的解法及解的应用
1.方程： 叫做方程．
2.一元一次方程：只含有 未知数（元），未知数的次数都是 ，这样的方程叫做 ．
要点诠释：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：
①只含有 未知数，未知数的次数为 ；②未知数所在的式子是 ，即分母中不含 ．
3.方程的解：使方程的 相等的未知数的值叫做这个方程的 ．
4.解方程：求方程的解的过程叫做 ．
5.解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的 ．
(2)去括号：依据 和 ，先去 ，再去 ，最后去 ．
(3)移项：把 移到方程一边， 移到方程另一边．
(4)合并：逆用 ，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．
(5)系数化为1：方程两边同 得到方程的解(a≠0)．
(6)检验：把 代入原方程，若方程左右两边的值相等，则 ；若方程左右两边的值不相等，则 ．
6.一元一次方程应用
（1）行程问题：路程＝ 。
（2）和差倍分问题：增长量＝ 。
（3）利润问题：商品利润＝ 。
（4）工程问题：工作量＝ ，各部分劳动量之和＝总量
（5）银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝ 。
（6）数字问题：多位数的表示方法：例如：.
■考点二　二元一次方程（组）及其解法
1.二元一次方程：含有 ，并且含有未知数的项的次数都是 ，像这样的方程叫做 ．
注：二元一次方程满足的三个条件：
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
2.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程 的 未知数的值，叫做 ．
注：（1）二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：．
（2）一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．
3.二元一次方程组：把具有 的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个 .
注：（1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）．
（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．
（3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思．
（4）组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例 也是二元一次方程组.
4.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的 ，叫做 .
注：（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两
个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.
（2）二元一次方程组的解是一组数对，必须同时满足方程组中每一个方程一般写成的形式．
（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个．
解二元一次方程组的思想
解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法
（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
①从方程组中选定一个 的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式；
②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出（或）的值；
④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；
⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解.
注： (1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；
(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；
(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率.
（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
①根据“ ”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；
②根据“ ”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；
⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可.
■考点三　二元一次方程（组）的实际应用
二元一次方程组
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
■考点四　列一次方程（组）解应用题的常用分析
用方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
■易错提示
1.利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算.
2.运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0，因为0不能作除数或分母.
3. 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数.
4. 一元一次方程只含有一个未知数,未知数的次数都为1.
5. 解方程的五个步骤有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定有固定的顺序，要根据方程的特点灵活运用．
6. 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数为整数．
7.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解.
8.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值.
9.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数.
10.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．
■考点一　一元一次方程的解法及解的应用
◇典例1： （2023上·河南商丘·七年级校考阶段练习）若单项式与是同类项，则方程的解为（ ）
A． B．23 C． D．29
◆变式训练
1．（2023上·安徽合肥·七年级合肥市庐阳中学校考期中）运用等式性质进行的变形，错误的是（ ）
A．如果 ，那么
B．如果 ，那么
C．如果 ，那么
D．如果 ，那么
2．（2022下·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）足球比赛的记分为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一队打了14场比赛，负5场，共得19分，那么这个队胜了（ ）场．
A．2 B．3 C．4 D．5
■考点二　二元一次方程（组）及其解法
◇典例2：（2022下·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）已知方程组的解满足，求的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
2．（2023下·山西晋城·七年级期末）《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八盈三；人出七不足四．问人数、物价各几何？”其大意是“现在有几个人共同买一件物品，若每人出8钱就多出3钱，若每人出7钱就差4钱，问人数、物品价格各是多少？”设人数为x人，物品价格为y钱，根据题意可列方程组为（　　）．
A． B．
C． D．
■考点三　二元一次方程（组）的实际应用
◇典例3：（2023上·四川达州·九年级校考期末）如图，矩形的周长为68，它被分成7个全等的矩形，则矩形的面积为（　　）
A．98 B．196 C．280 D．284
◆变式训练
1．（2023上·河南平顶山·八年级统考阶段练习）已知某首歌曲的歌词的字数是一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大4，则这首歌的歌词的字数是（ ）
A．84 B．48 C．41 D．148
2．（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）《九章算术》中有题如下：把一封信送到里外的地方，若用慢马送，则晚1天送达；若用快马送，则早3天送达，已知快马的速度是慢马的2倍．甲、乙两人所列方程如下，甲：设规定时间为x天，则；乙：设慢马的速度为y里/天，则，则正确的是（ ）
A．只有甲对 B．只有乙对 C．两人都对 D．两人都错
■考点四　列一次方程（组）解应用题的常用分析
◇典例4：（2023上·安徽淮南·七年级校考阶段练习）某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是135元，若按成本计，其中一件盈利，另一件亏本，在这次买卖中他（ ）
A．不赚不赔 B．赔9元 C．赔18元 D．赚18元
◆变式训练
1．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期中）2023年杭州亚运会期间，吉祥物琮琮、宸宸、莲莲因其灵动可爱的形象受到了大家的喜爱．为了提高销量，某店家推出了吉祥物套装礼盒，一个套装礼盒里包含1个吉祥物宸宸玩偶和2个其他吉祥物的钥匙扣．已知一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，该店家计划用5000元购进一批玩偶和钥匙扣，使得刚好配套，设购进个玩偶，个钥匙扣，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·吉林·统考中考真题）古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，若设这个数是，则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
1．（2023·吉林·统考中考真题）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为 ．
2．（2022·吉林长春·统考中考真题）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，设店中共有x间房，可求得x的值为 ．
3．（2022·吉林·统考中考真题）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒斛、1个小桶可以盛酒斛．根据题意，可列方程组为 ．
4．（2022下·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）解二元一次方程组：
(1)
(2)
5．（2023·吉林松原·统考二模）（1）问题解决：粘豆包，又称豆包，是东北特色食品．将一些粘豆包分给若干人．如果每人分6个粘豆包，还剩余3个粘豆包；如果每人分9个粘豆包，还有5人没有分到粘豆包．共有多少人？粘豆包有多少个？
（2）反思归纳：如果每人分个粘豆包，还剩余个粘豆包；如果每人分个粘豆包，还剩余个粘豆包．则共有多少人_________（用的式子表示）．
6．（2023·吉林松原·校联考二模）盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了年轻人的青睐，某商场计划采购潮玩盲盒和高品质精品盲盒，计划采购两种盲盒共500盒，这两种盲盒的进价、售价如下表：
类型 进价（元/盒） 售价（元/盒）
潮玩盲盒 20 25
高品质精品盲盒 68 88
若采购共用去14800元，则两种盲盒各采购了多少盒？
7．（2022·吉林四平·统考一模）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问物价几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问这个物品的价格是多少元？
8．（2023·吉林·统考中考真题）2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A，B两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A种鱼和2箱B种鱼需花费1300元：如果购买2箱A种鱼和3箱B种鱼需花费2300元．分别求每箱A种鱼和每箱B种鱼的价格．
9．（2021·吉林·统考中考真题）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共．其中桥梁长度比隧道长度的9倍少．求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．
10．（2023·吉林松原·校联考三模）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”

11．（2023·吉林松原·校联考二模）今年，流感病毒来势汹汹，疫情刻不容缓．某医用材料厂紧急召回放假的工人生产防病口罩，已知甲车间和乙车间共同生产3天可完成336万只，且甲车间比乙车间每天少生产56万只．求甲车间和乙车间每天各生产防病毒口罩多少万只？
12．（2023·吉林松原·校联考三模）某旅行团人在景区A游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童人，成人比少年多人．求该旅行团中成人与少年分别是多少人？
1．（2023上·内蒙古呼和浩特·七年级校考期中）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·全国·七年级期末）现定义运算“*”，对于任意有理数a与b，满足，例如，，若有理数x满足，则x的值为（　　）
A．4 B．5 C．21 D．5或21
3．（2023上·湖北孝感·七年级期中）如果单项式与的和是单项式，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·河南周口·七年级校联考阶段练习）已知关于的方程与的解互为相反数，则（ ）
A． B． C．5 D．－5
5．（2023上·江苏镇江·七年级统考期中）某地铁站共有四个闸机口A、B、C、D、E，假设每个闸机口每5分钟内通过的人数是不变的，现统计出5分钟内某两个闸机口通过的人数如下表，下列结论中正确的个数为（　　）
A、B B、C C、D D、E E、A
18 21 24 22
（1）A闸机口5分钟内通过的人数比C多；
（2）B闸机口5分钟内通过的人数比D少3人；
（3）假设C闸机口每5分钟通过的人数比D多2人，则；
（4）B、E同时开放，则5分钟内通过的人数为19人．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023上·广东韶关·七年级统考阶段练习）韶关市某次数学竞赛共有20道题，已知做对一道得4分，做错一道或不做扣1分，某同学最后的得分是50分，则他做对（ ）道题．
A．16 B．15 C．14 D．13
7．（2023上·湖北荆门·七年级校考期末）下表是某学校七~九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．则的值为（　　）
课外小组活动总时间/h 文艺小组活动次数／次 科技小组活动次数／次
七年级 12.5 4 3
八年级 10.5 3 3
九年级 7 m n
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2023上·陕西西安·八年级校联考阶段练习）如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，则每块墙砖的截面面积是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·河南信阳·七年级校考阶段练习）《乌鸦喝水》的故事我们都听过，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水．根据如图信息，若放入一个钢珠可以使液面上升厘米，当在玻璃桶内同时放入相同数量的小球和钢珠时，水面上升到厘米，则的整数值有（ ）个．
A． B． C． D．
10．（2023上·新疆克孜勒苏·七年级校考期末）若是方程的解，则a的值为 ．
11．（2022上·河北石家庄·九年级校考期末）一张试卷只有20道选择题，做对一题的3分，做错一题倒扣1分，欢欢做了全部试题共得了48分，她做对了 道题．
12．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）若关于，的方程是二元一次方程，则 .
13．（2023上·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期末）已知方程组，则 ．
14．（2023上·山东滨州·七年级校考期末）A，B两地相距80千米，一船从A出发顺水行驶4小时到达B，而从B出发逆水行驶5小时才能到达A，则船在静水中的航行速度是 千米/时．
15．（2023上·辽宁沈阳·七年级统考期末）解方程
(1)；
(2)．
16．（2023上·四川达州·八年级校考期末）解方程组：
(1)；
(2)．
17．（2023上·山东滨州·七年级校考期末）列方程解应用题：
(1)A车和B车从甲，乙两地同时出发，沿同一路线相向匀速而行．出发后1.5小时两车相距75公里，之后再行驶2.5小时A车到达乙地，而B车还差40公里才能到达甲地．求甲地和乙地相距多少公里？
(2)某工厂车间有60个工人生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件15个或B零件20个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件可获利5元．
①求该工厂有多少工人生产A零件？
②因市场需求，该工厂每天要多生产出一部分A零件供商场零售使用，现从生产B零件的工人中调出多少名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利比调动前多600元？
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第二章 方程与不等式
第一节 一次方程（组）
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 一元一次方程的解法及解的应用 ☆☆ 吉林中考中，有关一次方程（组）的部分，每年考查1~3道题,分值为3~10分，通常以选择题、 填空题和解答题的形式考察。对于一次方程（组）的复习，需要熟练掌握一元一次方程、二元一次方程（组）的相关概念、解法及其实际应用等考点。
考点2 二元一次方程（组）及其解法 ☆☆
考点3 二元一次方程（组）的实际应用 ☆☆
考点4 列一次方程（组）解应用题的常用分析 ☆☆
■考点一　一元一次方程的解法及解的应用
1.方程：含有未知数的等式叫做方程．
2.一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．
要点诠释：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：
①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．
3.方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．
4.解方程：求方程的解的过程叫做解方程．
5.解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．
(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．
(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．
(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)．
(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．
6.一元一次方程应用
（1）行程问题：路程＝速度×时间
（2）和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
（3）利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价
（4）工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
（5）银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数
（6）数字问题：多位数的表示方法：例如：.
■考点二　二元一次方程（组）及其解法
1.二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
注：二元一次方程满足的三个条件：
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
2.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解．
注：（1）二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：．
（2）一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．
3.二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
注：（1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）．
（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．
（3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思．
（4）组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例 也是二元一次方程组.
4.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
注：（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两
个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.
（2）二元一次方程组的解是一组数对，必须同时满足方程组中每一个方程一般写成的形式．
（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个．
解二元一次方程组的思想
解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法
（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式；
②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出（或）的值；
④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；
⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解.
注： (1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；
(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；
(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率.
（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；
②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；
⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可.
■考点三　二元一次方程（组）的实际应用
二元一次方程组
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
■考点四　列一次方程（组）解应用题的常用分析
用方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
■易错提示
1.利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算.
2.运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0，因为0不能作除数或分母.
3. 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数.
4. 一元一次方程只含有一个未知数,未知数的次数都为1.
5. 解方程的五个步骤有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定有固定的顺序，要根据方程的特点灵活运用．
6. 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数为整数．
7.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解.
8.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值.
9.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数.
10.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．
■考点一　一元一次方程的解法及解的应用
◇典例1： （2023上·河南商丘·七年级校考阶段练习）若单项式与是同类项，则方程的解为（ ）
A． B．23 C． D．29
【答案】A
【分析】本题考查同类项、解一元一次方程，先根据同类项中相同字母的指数相同求出m的n的值，再解一元一次方程即可．
【详解】解：单项式与是同类项，
，，
，
去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项得，
解得，
故选：A．
◆变式训练
1．（2023上·安徽合肥·七年级合肥市庐阳中学校考期中）运用等式性质进行的变形，错误的是（ ）
A．如果 ，那么
B．如果 ，那么
C．如果 ，那么
D．如果 ，那么
【答案】B
【分析】本题主要考查等式的性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案．
【详解】解：．如果 ，那么 成立，故本选项不符合题意；
．如果 ，当，那么 不成立，故本选项符合题意；
．如果 ，因为，那么 成立，故本选项不符合题意；
．如果 ，那么 成立，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．（2022下·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）足球比赛的记分为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一队打了14场比赛，负5场，共得19分，那么这个队胜了（ ）场．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设这个队胜了x场，则这个队平了场，根据总积分为19分列出方程求解即可．
【详解】解：设这个队胜了x场，则这个队平了场，
由题意得，，
解得，
∴这个队胜了5场，
故选：D．
■考点二　二元一次方程（组）及其解法
◇典例2：（2022下·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义逐个判断即可．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
【详解】解：A．含有三个未知数，它不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B．是二元一次方程组，故本选项符合题意；
C．第一个方程的最高次数是2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
D．含有三个未知数，它不是二元一次方程组，故本选项不符合题意．
故选：B．
◆变式训练
1．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）已知方程组的解满足，求的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程组的解的意义和解二元一次方程组，先将已知方程组中不含字母k的方程与组成方程组求出x、y的值，再把x、y的值代入含k的方程求即可．
【详解】解：由题意得：
，解得：，
把代入得：
解之得：，
故选C．
2．（2023下·山西晋城·七年级期末）《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八盈三；人出七不足四．问人数、物价各几何？”其大意是“现在有几个人共同买一件物品，若每人出8钱就多出3钱，若每人出7钱就差4钱，问人数、物品价格各是多少？”设人数为x人，物品价格为y钱，根据题意可列方程组为（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了方程组的应用，正确理解题意是解题的关键．
【详解】解： 设人数为x人，物品价格为y钱，
由题意，得．
故答案为：D．
■考点三　二元一次方程（组）的实际应用
◇典例3：（2023上·四川达州·九年级校考期末）如图，矩形的周长为68，它被分成7个全等的矩形，则矩形的面积为（　　）
A．98 B．196 C．280 D．284
【答案】C
【分析】考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长、宽分别为x、y，根据和周长为68列出方程组，求出x、y，再算出长、宽即可得面积．解题的关键是根据图示找到所需要的数量关系．
【详解】解：设小长方形的长、宽分别为x、y，
依题意得：，
解得：，
∴矩形的面积为．
故选C．
◆变式训练
1．（2023上·河南平顶山·八年级统考阶段练习）已知某首歌曲的歌词的字数是一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大4，则这首歌的歌词的字数是（ ）
A．84 B．48 C．41 D．148
【答案】A
【分析】设这首歌的歌词的字数的十位数字为x，个位数字为y，由题意：十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大4，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设这个两位数的个位数是x，十位数是y．
根据题意，得
解得
则这首歌的歌词的字数是84个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
2．（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）《九章算术》中有题如下：把一封信送到里外的地方，若用慢马送，则晚1天送达；若用快马送，则早3天送达，已知快马的速度是慢马的2倍．甲、乙两人所列方程如下，甲：设规定时间为x天，则；乙：设慢马的速度为y里/天，则，则正确的是（ ）
A．只有甲对 B．只有乙对 C．两人都对 D．两人都错
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列分式方程．
设规定时间为x天，慢马用时天，快马用时天，根据速度关系列分式方程得，；设慢马的速度为y里/天，则快马的速度为里/天，根据时间关系列分式方程得，；然后进行判断作答即可．
【详解】解：设规定时间为x天，慢马用时天，快马用时天，
依题意得，；甲正确，故符合要求；
设慢马的速度为y里/天，则快马的速度为里/天，
依题意得，，乙错误，故不符合要求；
故选：A．
■考点四　列一次方程（组）解应用题的常用分析
◇典例4：（2023上·安徽淮南·七年级校考阶段练习）某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是135元，若按成本计，其中一件盈利，另一件亏本，在这次买卖中他（ ）
A．不赚不赔 B．赔9元 C．赔18元 D．赚18元
【答案】C
【分析】题考查了一元一次方程，解题的关键是先算出两件衣服的原价，要算出原价就要先设出未知数，然后根据题中的等量关系列方程．
【详解】解：设在这次买卖中第一件的原价是x元，
则可列方程：，
解得：108，
设第二件的原价为y元，
则可列方程：，，
解得：，
∵元，
两件相比则一共亏了元．
故选：C．
◆变式训练
1．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期中）2023年杭州亚运会期间，吉祥物琮琮、宸宸、莲莲因其灵动可爱的形象受到了大家的喜爱．为了提高销量，某店家推出了吉祥物套装礼盒，一个套装礼盒里包含1个吉祥物宸宸玩偶和2个其他吉祥物的钥匙扣．已知一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，该店家计划用5000元购进一批玩偶和钥匙扣，使得刚好配套，设购进个玩偶，个钥匙扣，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，利用总价单价数量，结合购进玩偶和钥匙扣数量间的关系，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：∵一个套装礼盒里包含1个吉祥物宸宸玩偶和2个其他吉祥物的钥匙扣，
∴购进钥匙扣的数量是购进宸宸玩偶数量的2倍，
∴；
∵一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，且店家共花费5000元，
∴．
根据题意可列出方程组．
故选：C．
2．（2021·吉林·统考中考真题）古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，若设这个数是，则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意列方程．
【详解】解：由题意可得．
故选C
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找等量关系是解题的关键．
1．（2023·吉林·统考中考真题）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为 ．
【答案】
【分析】根据题中钱的总数列一元一次方程即可．
【详解】解：设合伙人数为x人，
根据题意列方程；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键．
2．（2022·吉林长春·统考中考真题）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，设店中共有x间房，可求得x的值为 ．
【答案】8
【分析】设店中共有x间房，根据“今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住”可列一元一次方程，求解即可．
【详解】设店中共有x间房，
由题意得，，
解得，
所以，店中共有8间房，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意，找到等量关系是解题的关键．
3．（2022·吉林·统考中考真题）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒斛、1个小桶可以盛酒斛．根据题意，可列方程组为 ．
【答案】
【分析】根据题中两个等量关系：5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛；1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，列出方程组即可．
【详解】由题意得：
故答案为：．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题，理解题意、找到等量关系并列出方程组是解题的关键．
4．（2022下·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）解二元一次方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
（1）方程组利用代入消元法求解即可；
（2）方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：
解：由①得③，
将③代入②，得，
解得：，
将代入③，得，
解得：，
∴原方程组的解为：；
（2）解：
解：，得，
解得：，
将代入①，得，
解得：，
∴原方程组的解为：．
5．（2023·吉林松原·统考二模）（1）问题解决：粘豆包，又称豆包，是东北特色食品．将一些粘豆包分给若干人．如果每人分6个粘豆包，还剩余3个粘豆包；如果每人分9个粘豆包，还有5人没有分到粘豆包．共有多少人？粘豆包有多少个？
（2）反思归纳：如果每人分个粘豆包，还剩余个粘豆包；如果每人分个粘豆包，还剩余个粘豆包．则共有多少人_________（用的式子表示）．
【答案】（1）人，个；（2）
【分析】（1）设共有人，根据粘豆包的数量不变列一元一次方程解答；
（2）设共有y人，仿照（1）解答即可．
【详解】解：（1）设共有x人，
根据题意，得．
解得．
．
答：共有16人，粘豆包有99个．
（2）设共有y人，
根据题意，得，
解得，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列得方程是解题的关键．
6．（2023·吉林松原·校联考二模）盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了年轻人的青睐，某商场计划采购潮玩盲盒和高品质精品盲盒，计划采购两种盲盒共500盒，这两种盲盒的进价、售价如下表：
类型 进价（元/盒） 售价（元/盒）
潮玩盲盒 20 25
高品质精品盲盒 68 88
若采购共用去14800元，则两种盲盒各采购了多少盒？
【答案】商场采购潮玩盲盒400盒，高品质精品盲盒100盒
【分析】审题确定等量关系：潮玩盲盒采购金额高品质精品盲盒采购金额元，列方程求解．
【详解】解：设商场采购潮玩盲盒盒，则采购高品质精品盲盒盒，
由题意，得，
解得，
答：商场采购潮玩盲盒400盒，高品质精品盲盒100盒．
【点睛】本题考查一元一次方程的运用，审题确定等量关系是解题的关键．
7．（2022·吉林四平·统考一模）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问物价几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问这个物品的价格是多少元？
【答案】这个物品的价格是53元
【分析】设共同购买该物品的有x人，根据“每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入（8x-3）中即可求出结论．
【详解】解：设共同购买该物品的有x人，
依题意得：8x-3=7x+4，
解得：x=7，
∴8x-3=8×7-3=56-3=53．
答：这个物品的价格是53元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8．（2023·吉林·统考中考真题）2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A，B两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A种鱼和2箱B种鱼需花费1300元：如果购买2箱A种鱼和3箱B种鱼需花费2300元．分别求每箱A种鱼和每箱B种鱼的价格．
【答案】每箱A种鱼的价格是700元，每箱B种鱼的价格是300元．
【分析】设每箱A种鱼的价格是元，每箱B种鱼的价格是元，根据题意建立方程组，解方程组即可得．
【详解】解：设每箱A种鱼的价格是元，每箱B种鱼的价格是元，
由题意得：，
解得，
答：每箱A种鱼的价格是700元，每箱B种鱼的价格是300元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确建立方程组是解题关键．
9．（2021·吉林·统考中考真题）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共．其中桥梁长度比隧道长度的9倍少．求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．
【答案】港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为和
【分析】设港珠澳大桥隧道长度为，桥梁长度为．由桥梁和隧道全长共，得．桥梁长度比隧道长度的9倍少，得，然后列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设港珠澳大桥隧道长度为，桥梁长度为．
由题意列方程组得：．
解得：．
答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为和．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．
10．（2023·吉林松原·校联考三模）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”

【答案】马每匹两，牛每头7两
【分析】设4每匹两，牛每匹两，根据“马四匹、牛六头，共价四十八两，马二匹、牛五头，共价三十八两”列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设4每匹两，牛每匹两，
根据题意得：
，
解得：，
马每匹两，牛每头7两．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11．（2023·吉林松原·校联考二模）今年，流感病毒来势汹汹，疫情刻不容缓．某医用材料厂紧急召回放假的工人生产防病口罩，已知甲车间和乙车间共同生产3天可完成336万只，且甲车间比乙车间每天少生产56万只．求甲车间和乙车间每天各生产防病毒口罩多少万只？
【答案】甲车间和乙车间每天分别生产防病毒口罩28万只和84万只
【分析】设甲车间和乙车间每天分别生产防病毒口罩x万只和y万只，根据：甲车间和乙车间共同生产3天可完成336万只，且甲车间比乙车间每天少生产56万只，即可列出关于x、y的方程组，求解即可．
【详解】解：设甲车间和乙车间每天分别生产防病毒口罩x万只和y万只，
由题意，得，
解得，
答：甲车间和乙车间每天分别生产防病毒口罩28万只和84万只．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
12．（2023·吉林松原·校联考三模）某旅行团人在景区A游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童人，成人比少年多人．求该旅行团中成人与少年分别是多少人？
【答案】该旅行团中成人有人，少年有5人
【分析】设该旅行团中成人有x人，少年有y人，根据题意列出方程组求解即可．
【详解】解：设该旅行团中成人有x人，少年有y人，
依题意，得，
解得．
答：该旅行团中成人有人，少年有5人．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意列出方程组是解题关键．
1．（2023上·内蒙古呼和浩特·七年级校考期中）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的定义：“只含有一个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做一元一次方程”，进行判断即可．
【详解】解：A、有两个未知数，不是一元一次方程；
B、有两个未知数，不是一元一次方程；
C、含未知数的最高项的次数为2，不是一元一次方程；
D、是一元一次方程；
故选D．
2．（2023上·全国·七年级期末）现定义运算“*”，对于任意有理数a与b，满足，例如，，若有理数x满足，则x的值为（　　）
A．4 B．5 C．21 D．5或21
【答案】B
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据“*”的定义，分当和，两种情况写出对应的方程并求解即可．
【详解】解：若，则，解得，符合题意；
若，，解得（不符合题意，舍去）．
综上，，
故选：B．
3．（2023上·湖北孝感·七年级期中）如果单项式与的和是单项式，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查同类项的定义．由题意推出与是同类项，再根据同类项的定义“所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同”列式计算即可求解．
【详解】解：由题意得：与是同类项，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
4．（2023上·河南周口·七年级校联考阶段练习）已知关于的方程与的解互为相反数，则（ ）
A． B． C．5 D．－5
【答案】B
【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握一元一次方程的解，相反数的定义，即可．
【详解】∵，
解得：，
∵的方程与的解互为相反数，
∴方程的解为：，
∴，
解得：．
故选：B．
5．（2023上·江苏镇江·七年级统考期中）某地铁站共有四个闸机口A、B、C、D、E，假设每个闸机口每5分钟内通过的人数是不变的，现统计出5分钟内某两个闸机口通过的人数如下表，下列结论中正确的个数为（　　）
A、B B、C C、D D、E E、A
18 21 24 22
（1）A闸机口5分钟内通过的人数比C多；
（2）B闸机口5分钟内通过的人数比D少3人；
（3）假设C闸机口每5分钟通过的人数比D多2人，则；
（4）B、E同时开放，则5分钟内通过的人数为19人．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了有理数加减法的应用、一元一次方程的应用，理解表格中数据之间的联系是解题关键．根据与两个闸机口通过的人数比较即可得（1）错误；根据与两个闸机口通过的人数即可得（2）正确；设闸机口每5分钟通过的人数为人，则闸机口每5分钟通过的人数为人，建立方程即可得，再分别求出闸机口每5分钟通过的人数，由此建立方程，解方程即可得（3）正确；利用与通过的人数之和减去通过的人数即可得（4）正确．
【详解】解：∵两个闸机口通过的人数为18，两个闸机口通过的人数为21，
∴闸机口5分钟内通过的人数比少，则结论（1）错误；
∵两个闸机口通过的人数为21，两个闸机口通过的人数为21，
∴闸机口5分钟内通过的人数比少（人），则结论（2）正确；
设闸机口每5分钟通过的人数为人，则闸机口每5分钟通过的人数为人，
由题意得：，
解得，
，
闸机口每5分钟通过的人数为（人），闸机口每5分钟通过的人数为（人），
闸机口每5分钟通过的人数为（人），
则，
解得，结论（3）正确；
同时开放，则5分钟内通过的人数为（人），结论（4）正确；
综上，结论中正确的个数为3个，
故选：C．
6．（2023上·广东韶关·七年级统考阶段练习）韶关市某次数学竞赛共有20道题，已知做对一道得4分，做错一道或不做扣1分，某同学最后的得分是50分，则他做对（ ）道题．
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设他做对道，则做错一道或不做道，根据等量关系列出方程并解方程即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键．
【详解】解：设他做对道，则做错一道或不做道，
依题意得：，
解得：，
答：他做对14道题，
故选C．
7．（2023上·湖北荆门·七年级校考期末）下表是某学校七~九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．则的值为（　　）
课外小组活动总时间/h 文艺小组活动次数／次 科技小组活动次数／次
七年级 12.5 4 3
八年级 10.5 3 3
九年级 7 m n
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】考查一元一次方程的应用，正确地列出方程是正确解答的关键．根据七、八年级表格中的数据，列方程求出每次文艺小组活动时间、科技小组的活动时间，再利用九年级的活动时间，求出活动次数的正整数解即可．
【详解】解：设文艺小组每次活动时间为x小时，
根据题意得，
解得，
∴文艺小组每次活动时间为2小时，
设科技小组每次活动时间为y小时，
根据题意得，
解得，
∴科技小组每次活动时间为小时，
根据题意得，，
又∵m、n都是正整数，
∴，，
∴．
故选：C．
8．（2023上·陕西西安·八年级校联考阶段练习）如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，则每块墙砖的截面面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设每块墙砖的长为，宽为，根据图形找到两个等量关系，求解即可
【详解】解：设每块墙砖的长为，宽为，
根据题意得：，
解得：
∴每块墙砖的截面面积：，
故选：C
9．（2023上·河南信阳·七年级校考阶段练习）《乌鸦喝水》的故事我们都听过，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水．根据如图信息，若放入一个钢珠可以使液面上升厘米，当在玻璃桶内同时放入相同数量的小球和钢珠时，水面上升到厘米，则的整数值有（ ）个．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是根据题意，得一个小球上升，设同时放入个小球和钢珠，水位上升到厘米，则，即可．
【详解】由题意得，一个小球上升，
∴设同时放入个小球和钢珠，水位上升到厘米，
∴，
整理得：，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
∴整数值可以取：，，，．
故选：C．
10．（2023上·新疆克孜勒苏·七年级校考期末）若是方程的解，则a的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．将代入得到关于a的一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：将代入，
得，
解得．
故答案为：．
11．（2022上·河北石家庄·九年级校考期末）一张试卷只有20道选择题，做对一题的3分，做错一题倒扣1分，欢欢做了全部试题共得了48分，她做对了 道题．
【答案】17
【分析】本题考查一元一次方程的应用．
设她做对了x道题，则做错了道题，做对的题得分，做错的题倒扣分，根据“做了全部试题共得了48分”即可列出方程，求解即可解答．
【详解】设她做对对了x道题，根据题意，得
，
解得：．
∴她做对了17道题．
12．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）若关于，的方程是二元一次方程，则 .
【答案】2
【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，据此解答即可．
【详解】解：根据题意得：
，
解得．
故答案为：．
13．（2023上·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期末）已知方程组，则 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，把方程组中两个方程相加得到，则．
【详解】解：
得：，
∴，
故答案为：2．
14．（2023上·山东滨州·七年级校考期末）A，B两地相距80千米，一船从A出发顺水行驶4小时到达B，而从B出发逆水行驶5小时才能到达A，则船在静水中的航行速度是 千米/时．
【答案】18
【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用．设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，根据题意列出二元一次方程组即可求解．
【详解】解：设船在静水中的航行速度是x千米/时，水流速度为y千米/时，根据题意得： ，
解得：，
答：船在静水中的航行速度是18千米/时．
故答案为：18
15．（2023上·辽宁沈阳·七年级统考期末）解方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了解一元一次方程．
（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【详解】（1）解：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
16．（2023上·四川达州·八年级校考期末）解方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
（1）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【详解】（1）解：整理得：
得：，
解得：，
把代入得：
解得：，
∴；
（2）解：整理得：，
得：，
解得：，
把代入得：
解得：，
∴；
17．（2023上·山东滨州·七年级校考期末）列方程解应用题：
(1)A车和B车从甲，乙两地同时出发，沿同一路线相向匀速而行．出发后1.5小时两车相距75公里，之后再行驶2.5小时A车到达乙地，而B车还差40公里才能到达甲地．求甲地和乙地相距多少公里？
(2)某工厂车间有60个工人生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件15个或B零件20个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件可获利5元．
①求该工厂有多少工人生产A零件？
②因市场需求，该工厂每天要多生产出一部分A零件供商场零售使用，现从生产B零件的工人中调出多少名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利比调动前多600元？
【答案】(1)甲地和乙地相距240公里
(2)①该工厂有24名工人生产A零件；②应从生产B零件的工人中调出12名工人生产A零件
【分析】本题主要考查二元一次方程组和一元一次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键．
（1）设车的速度是公里/小时，车的速度是公里/小时，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）①设该工厂有a名工人生产零件，b名工人生产零件，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
②设应从生产零件的工人中调出名工人生产零件，拫据题意列出一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：设车的速度是公里/小时，车的速度是公里/小时，
根据题意得：，
解得，
答：甲地和乙地相距240公里．
（2）解：①设该工厂有a名工人生产零件，b名工人生产零件，
根据题意得：，解得
答：该工厂有24名工人生产零件．
②设应从生产零件的工人中调出名工人生产零件．
拫据题意得：
解得：．
答：应从生产零件的工人中调出12名工人生产零件．
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