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第二章 方程与不等式
第三节 一元二次方程
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 一元二次方程及其解法 ☆☆ 吉林中考中，有关一元二次方程的部分，每年考查1~3道题,分值为3~9分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考察。对于一元二次方程的复习，需要熟练掌握一元二次方程的解法和应用等考点。
考点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 ☆☆
考点3 一元二次方程的应用 ☆
■考点一　一元二次方程及其解法
一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有 (一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做 ．
2. 一元二次方程的一般式：
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的 叫做 ，也叫做一元二次方程的 .
注：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；
其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，
看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.
对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．
4.一元二次方程的解法
（1）基本思想
一元二次方程 。
（2）基本解法
．
注：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．
■考点二　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的 ，通常用“”来表示，即.
（1）当△>0时，一元二次方程有 ；
（2）当△=0时，一元二次方程有 ；
（3）当△<0时，一元二次方程 。
2.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.注意它的使用条件为 .
注：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：　
（1）不解方程判定方程根的情况；
（2）根据参系数的性质确定根的范围；
（3）解与根有关的证明题．
2. 一元二次方程根与系数的应用很多：
（1）已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
（2）已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
（3）已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
■考点三　一元二次方程的应用
1.列方程解实际问题的三个重要环节：
一是整体地、系统地 ；
二是把握问题中的 ；
三是正确 .
2.利用方程解决实际问题的关键是 .
3.解决应用题的一般步骤：
(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
(根据题目中的等量关系，列出方程)；
(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；
(写出答案，切忌答非所问).
4.常见应用题型
数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.
注：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.
■易错提示
1. 如果明确了是一元二次方程,就隐含了a≠0这个条件（当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程）.
2. 一元二次方程必须具备三个条件：
①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2.
3. 在判断一个方程是不是一元二次方程时,要先化成一般形式，再判断.
4. 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的.所以在确定一元二次方程各项的系数时,应先将方程化为一般形式.
5. 一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明x1，x2．
6. 用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，且它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.
7. 利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0.
8. 求根公式的使用条件：a≠0且b2-4ac≥0.
9. 使用一元二次方程根的判别式，应先将方程整理成一般形式，再确定a,b,c 的值.
10如果方程x2+px+q＝0的两个根为x1,x2，+＝， ＝.
11. 以两个数x1,x2x2 -（+）x+＝0.
12. 运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定 a、b、c的值.
13. 一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0.
■考点一　一元二次方程及其解法
◇典例1： （2023上·广西南宁·九年级校考阶段练习）关于x的一元二次方程的一次项系数是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
◆变式训练
1．（2023上·广西南宁·九年级校考阶段练习）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）已知m是方程的一个根，则的值为（　　）
A． B．4046 C． D．2026
■考点二　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
◇典例2：（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023上·山西晋中·九年级校联考期末）一元二次方程的根情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
2．（2023上·重庆沙坪坝·九年级校考阶段练习）已知多项式，其中x为任意实数，则下列结论正确的有（ ）
①若，则，；
②若，则；
③若，则此关于x的方程一定有4个互不相等的实数解；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
■考点三　一元二次方程的应用
◇典例3：（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有169个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1．（2023上·重庆沙坪坝·九年级校考阶段练习）重庆某果园种有若干枇杷树，2021年平均每棵结40斤枇杷．2022年开始采用枇杷套袋技术，不加催熟剂，不打农药，不施化肥，物理除虫，有机种植，由于实施新的栽培技术，枇杷产量逐年增加，2023年每棵枇杷树产量为57.6斤．若年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·吉林长春·九年级校考期中）《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，是晋商数学家王文素的数学著作．书中研究了一元高次方程的数值解法，内容详实可贵，代表了我国明代数学的最高水平，《算学宝鉴》卷28中记载了这样一个问题“门厅一座，高广难知．长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两阴斜进，恰好方齐．”译文：现在有一座门，不知道宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺．沿对角线斜着进，恰好通过，问竹竿的长度是多少尺（）
A．2 B．10 C．8 D．2或10
1．（2023·吉林长春·统考一模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．9 B．6 C．4 D．－1
2．（2023·吉林·统考中考真题）一元二次方程根的判别式的值是（ ）
A．33 B．23 C．17 D．
3．（2021·吉林长春·统考中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．（2023·吉林松原·校联考二模）一元二次方程的根的情况为（ ）
A．无实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能判定
5．（2023·吉林长春·统考二模）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A． B．0 C．4 D．8
6．（2023·吉林长春·统考一模）方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
7．（2021·吉林·三模）关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有一根为2，则m的值为 ．
8．（2020·吉林长春·统考模拟预测）一元二次方程3x2+5x+1＝0 实数根．（填“有”或“没有”）
9．（2022·吉林长春·统考中考真题）若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为 ．
10．（2021·吉林·统考中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
11．（2022·吉林长春·校考模拟预测）某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利元，平均每天可售出千克，经市场调查发现，若每千克每涨价一元，平均日销量将减少千克，要使商场每天获利最多，那么每千克应涨价 元．
12．（2020·吉林白城·统考二模）如图，在一块长8m、宽6m的矩形绿地内，开辟出一块矩形的花圃，使花圃四周的绿地等宽，已知绿地的面积与花圃的面积相等，求花圃四周绿地的宽．设花圃四周绿地的宽为xm，可列方程为 (不需要化简)．
1．（2023上·云南昭通·九年级统考期中）把一元二次方程化为一般形式,二次项系数,一次项系数,常数项分别为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·浙江金华·九年级校考阶段练习）已知二次方程的两根为和5，则一次函数图象不经过第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
3．（2023上·陕西安康·九年级统考期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ）
A． B．2023 C． D．2024
4．（2023上·内蒙古通辽·九年级校考阶段练习）等腰三角形的底和腰是方程的两根，则这个三角形的周长为（ ）
A．8 B．8或10 C．10 D．无法确定
5．（2023上·新疆昌吉·九年级校考阶段练习）一元二次方程的根为（ ）
A． B． C．， D．，
6．（2023上·重庆南岸·九年级校考期中）已知两个整式，我们在代数式中的“_”上添加加减乘除的运算符号，将运算结果叫做关于A，B的“三连运算”，比如就是关于A，B的一种“三连运算”．下列说法正确的个数是( )
①只存在一种关于A，B的“三连运算”使得结果为1；
②将分解因式后为；
③三连运算的解为
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．（2023上·山东临沂·九年级统考期中）某商店将一批秋装降价处理，经过两次降价后，由每件元降至元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为，可列方程（ ）
A． B． C． D．
8．（2023上·云南昭通·九年级统考期中）如图，一边靠学校院墙，其它三边用米长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形的边米，面积平方米，则下面关系式正确的是( )
A． B．
C． D．
9．（2023上·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩，据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023上·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有400人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染的人数为，则可列方程是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023上·河南周口·九年级校联考阶段练习）哈尔滨市政府为了申办2018年冬奥会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年的时间，绿地面积增加，这两年平均每年绿地面积的增长率为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023上·山东青岛·九年级校考期中）某文具店销售一种文具盒，每个成本价为元，经市场调研发现：售价为元时，可销售个，售价每上涨1元，销量将减少个．如果这种文具盒全部销售完，那么该文具店可获利元，设这种文具盒的售价上涨元，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
13．（2022上·河北石家庄·九年级校考期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项之和为 ，m是的一个根，则的值为 ．
14．（2023·广东阳江·三模）关于x的一元二次方程有一个根为2，则m的值为 ．
15．（江苏省南京市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）方程 的解是 ．
16．（2023上·四川成都·九年级校考期中）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
17．（2022上·河北石家庄·九年级校考期末）骑行带头盔，安全有保障，“一盔一带”政策的推行致头盔销量大幅增长，从2019年到2021年我国头盔销售额从23.4亿元增长到39.546亿元，则我国头盔从2019年到2021年平均每年增长率是 ．
18．（2022上·河北石家庄·九年级校考期末）解下列方程
(1)；
(2)；
(3)．
19．（2023上·山东临沂·九年级校考阶段练习）已知都是方程的根，求a、b的值和这个一元二次方程的一般形式．
20．（辽宁省五校协作体（沈阳七中，育才，丹东，锦州等）2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）随着新能源技术的提高，新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．沈阳某店新能源汽车销售量自2023年起逐月增加，据统计，该店1月份销售新能源汽车50辆，3月份销售了72辆．
(1)求该店这两个月的月平均增长率；
(2)若月平均增长率保持不变，求该店4月份卖出多少辆新能源汽车．（答案若含有小数则只取整数部分，不四舍五入）
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第二章 方程与不等式
第三节 一元二次方程
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 一元二次方程及其解法 ☆☆ 吉林中考中，有关一元二次方程的部分，每年考查1~3道题,分值为3~9分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考察。对于一元二次方程的复习，需要熟练掌握一元二次方程的解法和应用等考点。
考点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 ☆☆
考点3 一元二次方程的应用 ☆
■考点一　一元二次方程及其解法
一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
2. 一元二次方程的一般式：
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
注：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；
其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，
看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.
对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．
4.一元二次方程的解法
（1）基本思想
一元二次方程一元一次方程
（2）基本解法
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
注：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．
■考点二　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根
2.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
注：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：　
（1）不解方程判定方程根的情况；
（2）根据参系数的性质确定根的范围；
（3）解与根有关的证明题．
2. 一元二次方程根与系数的应用很多：
（1）已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
（2）已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
（3）已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
■考点三　一元二次方程的应用
1.列方程解实际问题的三个重要环节：
一是整体地、系统地审题；
二是把握问题中的等量关系；
三是正确求解方程并检验解的合理性.
2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
3.解决应用题的一般步骤：
审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；
解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；
答 (写出答案，切忌答非所问).
4.常见应用题型
数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.
注：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.
■易错提示
1. 如果明确了是一元二次方程,就隐含了a≠0这个条件（当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程）.
2. 一元二次方程必须具备三个条件：
①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2.
3. 在判断一个方程是不是一元二次方程时,要先化成一般形式，再判断.
4. 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的.所以在确定一元二次方程各项的系数时,应先将方程化为一般形式.
5. 一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明x1，x2．
6. 用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，且它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.
7. 利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0.
8. 求根公式的使用条件：a≠0且b2-4ac≥0.
9. 使用一元二次方程根的判别式，应先将方程整理成一般形式，再确定a,b,c 的值.
10如果方程x2+px+q＝0的两个根为x1,x2，+＝， ＝.
11. 以两个数x1,x2x2 -（+）x+＝0.
12. 运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定 a、b、c的值.
13. 一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0.
■考点一　一元二次方程及其解法
◇典例1： （2023上·广西南宁·九年级校考阶段练习）关于x的一元二次方程的一次项系数是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的一般式，根据一元二次方程一般式中的常数b为一次项系数求解即可．
【详解】解：一元二次方程的一次项系数是4，
故选：D．
◆变式训练
1．（2023上·广西南宁·九年级校考阶段练习）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，根据一元二次方程的定义逐项判断即可，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键．
【详解】解：A、，是一元二次方程，符合题意；
B、，是二元一次方程，不符合题意；
C、，是分式方程，不符合题意；
D、，是一元一次方程，不符合题意；
故选：A．
2．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）已知m是方程的一个根，则的值为（　　）
A． B．4046 C． D．2026
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，由此可得，再由利用整体代入法求解即可．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故选B．
■考点二　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
◇典例2：（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键；因此此题可根据配方法的关键点“等式两边加上一次项系数一半的平方”进行求解即可．
【详解】解：
；
故选D．
◆变式训练
1．（2023上·山西晋中·九年级校联考期末）一元二次方程的根情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
【答案】C
【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．计算出即可得到答案．
【详解】解：，，，
，
故有两个不相等的实数根，
故选C．
2．（2023上·重庆沙坪坝·九年级校考阶段练习）已知多项式，其中x为任意实数，则下列结论正确的有（ ）
①若，则，；
②若，则；
③若，则此关于x的方程一定有4个互不相等的实数解；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】本题考查了解一元二次方程，完全平方公式变形求值，根据解一元二次方程对①③进行判断，根据完全平方公式变形对②进行判断，即可求解．
【详解】解：①∵
∴
∵
∴
即
解得：，；故①正确；
∵，设，
则，
∴，
，即，故②正确；
③∵，
∴或
∴，，则有2个不等实数根，
解得：或
当，，则有2个不等实数根，
解得：或
∴若，此关于x的方程一定有4个互不相等的实数解，故③正确
故选：D．
■考点三　一元二次方程的应用
◇典例3：（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有169个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由每轮传染中平均一个人传染了个人，可得出第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染，结合经过两轮传染后共有169个人患了流感，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：若每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染，
根据题意得：．
故选：A．
◆变式训练
1．（2023上·重庆沙坪坝·九年级校考阶段练习）重庆某果园种有若干枇杷树，2021年平均每棵结40斤枇杷．2022年开始采用枇杷套袋技术，不加催熟剂，不打农药，不施化肥，物理除虫，有机种植，由于实施新的栽培技术，枇杷产量逐年增加，2023年每棵枇杷树产量为57.6斤．若年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2021年和2023年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
【详解】解：设年平均增长率为x，则可列方程为，
故选B．
2．（2023上·吉林长春·九年级校考期中）《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，是晋商数学家王文素的数学著作．书中研究了一元高次方程的数值解法，内容详实可贵，代表了我国明代数学的最高水平，《算学宝鉴》卷28中记载了这样一个问题“门厅一座，高广难知．长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两阴斜进，恰好方齐．”译文：现在有一座门，不知道宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺．沿对角线斜着进，恰好通过，问竹竿的长度是多少尺（）
A．2 B．10 C．8 D．2或10
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设竹竿的长度为尺，则门宽尺，门高尺，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，取其符合题意的值代入中即可求出结论．
【详解】设竹竿的长度为尺，则门宽尺，门高尺，
依题意得：，
整理得：，
解得：(不合题意，舍去)，，
答：竹竿的长度是10尺．
故选：B．
1．（2023·吉林长春·统考一模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．9 B．6 C．4 D．－1
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的情况的判别式可得，把各系数代入即可求出m的取值范围．
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握通过判别式判断一元二次方程根的情况是解题的关键．
2．（2023·吉林·统考中考真题）一元二次方程根的判别式的值是（ ）
A．33 B．23 C．17 D．
【答案】C
【分析】直接利用一元二次方程根的判别式求出答案．
【详解】解：∵，，，
∴．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
3．（2021·吉林长春·统考中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【分析】先根据判别式＞0，求出m的范围，进而即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得：m＜9，
m的值可能是：8．
故选：A.
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，掌握一元二次方程有两个不等的实数解，则，是解题的关键．
4．（2023·吉林松原·校联考二模）一元二次方程的根的情况为（ ）
A．无实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能判定
【答案】B
【分析】利用判别式，判断其结果的符号即可得出结论．
【详解】解：，
有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．
5．（2023·吉林长春·统考二模）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A． B．0 C．4 D．8
【答案】C
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根得出，求解即可得到答案．
【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式的应用，注意：一元二次方程（为常数，），当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
6．（2023·吉林长春·统考一模）方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的判别式，可以判断该方程根的情况，从而可以解答本题．
【详解】解：∵
∴
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点睛】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确题意，会用根的判别式判断根的情况．
7．（2021·吉林·三模）关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有一根为2，则m的值为 ．
【答案】-8
【分析】把代入原方程，解出m即可．
【详解】解：把x＝2代入方程得：，
解得：，
故答案为：-8．
【点睛】考查了一元二次方程的解的知识，解题的关键是了解方程的解能使得方程两边相等，难度不大．
8．（2020·吉林长春·统考模拟预测）一元二次方程3x2+5x+1＝0 实数根．（填“有”或“没有”）
【答案】有
【分析】根据方程计算出△＝b2﹣4ac的值，即可知方程根的情况．
【详解】解：∵b2﹣4ac＝52﹣4×3×1＝13＞0，
∴方程有两个不相等实数根，
故答案为：有．
【点睛】本题考查了一元二次方程判别式，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．
9．（2022·吉林长春·统考中考真题）若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为 ．
【答案】/0.25
【分析】根据方程有两个相等的实数根，可得，计算即可．
【详解】关于x的方程有两个相等的实数根，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程有两个不相等的实数根时，；有两个相等的实数根时，；没有实数根时，；熟练掌握知识点是解题的关键．
10．（2021·吉林·统考中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据判别式求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
11．（2022·吉林长春·校考模拟预测）某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利元，平均每天可售出千克，经市场调查发现，若每千克每涨价一元，平均日销量将减少千克，要使商场每天获利最多，那么每千克应涨价 元．
【答案】7.5
【分析】设每千克应涨价x元，商场每天的利润为y元，再根据利润=每千克盈利×日销售量，列出y与x的函数关系式，然后配方求最值即可．
【详解】解：设每千克应涨价x元，商场每天的利润为y元，
根据题意得：
当时，y取得最大值，最大值为6 125．
所以要使商场每天获利最多，每千克应涨价7.5元．
故答案为：7.5．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，属于销售利润问题，明确利润=每千克盈利×日销售量是本题的关键，重点理解“每千克涨价一元，日销售量将减少20千克”根据所设的未知数表示此时的销售量，与二次函数的最值结合，求出结论．
12．（2020·吉林白城·统考二模）如图，在一块长8m、宽6m的矩形绿地内，开辟出一块矩形的花圃，使花圃四周的绿地等宽，已知绿地的面积与花圃的面积相等，求花圃四周绿地的宽．设花圃四周绿地的宽为xm，可列方程为 (不需要化简)．
【答案】(8-2x)(6-2x)= ×8×6
【分析】根据题意，即可得到矩形花圃的面积为矩形的一半，根据题意表示出矩形花圃的宽和长，根据矩形的面积列出等式即可．
【详解】解：矩形花圃的宽为6-2x，矩形花圃的长为8-2x，
∵绿地的面积与花圃面积相等，
∴（6-2x）（8-2x）=×8×6，
故答案为：（6-2x）（8-2x）=×8×6.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
1．（2023上·云南昭通·九年级统考期中）把一元二次方程化为一般形式,二次项系数,一次项系数,常数项分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程定义问题,完全平方公式．形如“”的形式是关于的一元二次方程的一般形式，根据定义即可选出答案．
【详解】解:∵,
∴,
∴一般形式为:,
∴二次项系数为,一次项系数,常数项,
故选:C．
2．（2023上·浙江金华·九年级校考阶段练习）已知二次方程的两根为和5，则一次函数图象不经过第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】A
【分析】本题考查通过二次方程的解建立二元一次方程组求解一次项系数和常数项，再结合一次函数的图象和性质与系数的关系，即可解题．
【详解】解：的两根为和5，
，解得，则一次函数为，
则一次函数图象不经过第一象限，
故选：A．
3．（2023上·陕西安康·九年级统考期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ）
A． B．2023 C． D．2024
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的根，代数式求值，先将代入，求出的值，再代入即可．
【详解】解：将代入，得，
，
，
故选B．
4．（2023上·内蒙古通辽·九年级校考阶段练习）等腰三角形的底和腰是方程的两根，则这个三角形的周长为（ ）
A．8 B．8或10 C．10 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题主要考查三角形的三边关系以及因式分解法解一元二次方程，熟记三角形三边关系以及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题关键，还需要注意的是对等腰三角形腰长和底的分类讨论．
【详解】解：，
，
解得：或4，
①当等腰三角形腰长为2，底为4时，
，不能构成三角形；
②当等腰三角形腰长为4，底为2时，
，，能构成三角形．
∴周长为．
故选：C．
5．（2023上·新疆昌吉·九年级校考阶段练习）一元二次方程的根为（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：，
即，
解得：，，
故选：C．
6．（2023上·重庆南岸·九年级校考期中）已知两个整式，我们在代数式中的“_”上添加加减乘除的运算符号，将运算结果叫做关于A，B的“三连运算”，比如就是关于A，B的一种“三连运算”．下列说法正确的个数是( )
①只存在一种关于A，B的“三连运算”使得结果为1；
②将分解因式后为；
③三连运算的解为
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题考查因式分解与方程，掌握因式分解与解方程便可解决问题．找到两种关于A、B的“三连运算”使得结果为1，可判断①，利用因式分解可判断②，利用已知建立方程，解出方程可判断③，从而可以得到答案．
【详解】解：，
，故①不符合题意；
，即故②符合题意；
∵，
∴，即，
∴，
∴，故③符合题意．
故选：C．
7．（2023上·山东临沂·九年级统考期中）某商店将一批秋装降价处理，经过两次降价后，由每件元降至元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为，可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用平均变化率问题．解决这类问题所用的等量关系一般是：．设平均每次降价的百分率为，那么第一次降价后的单价是原来的，那么第二次降价后的单价是原来的，根据题意列方程解答即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为，根据题意列方程得
．
故选：A．
8．（2023上·云南昭通·九年级统考期中）如图，一边靠学校院墙，其它三边用米长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形的边米，面积平方米，则下面关系式正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查矩形面积公式，根据题意先用代数式表示出长度，再利用矩形面积公式即可列出方程．
【详解】解：∵设矩形的边米，面积平方米，
∵一边靠学校院墙，其它三边用米长的篱笆围成一个矩形花圃，
∴，
∴，
∴可列出方程：，
故选：B．
9．（2023上·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩，据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设增长率记作，则第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元，再把三天的票房相加，结合三天后累计票房收入达18亿元列出方程即可．
【详解】解：设增长率记作，
由题意得，，
故选B．
10．（2023上·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有400人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染的人数为，则可列方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设每轮传染中平均一个人传染的人数为，则第一轮共有人被感染，第二轮又新感染人，则两轮共有人被感染，据此列出方程即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为，
由题意得，，即，
故选C．
11．（2023上·河南周口·九年级校联考阶段练习）哈尔滨市政府为了申办2018年冬奥会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年的时间，绿地面积增加，这两年平均每年绿地面积的增长率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查求平均变化率的方法．设这两年平均每年绿地面积的增长率是x，列方程是解题的关键．
【详解】解：设这两年平均每年绿地面积的增长率是x，则，
解之得或（舍去）
即．
答：这两年平均每年绿地面积的增长率是，
故选：B．
12．（2023上·山东青岛·九年级校考期中）某文具店销售一种文具盒，每个成本价为元，经市场调研发现：售价为元时，可销售个，售价每上涨1元，销量将减少个．如果这种文具盒全部销售完，那么该文具店可获利元，设这种文具盒的售价上涨元，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查一元二次方程应用题中的营销问题，直接依据题意设上涨，计算出销量，再把一件利润计算出来，直接作乘即可求出方程．
【详解】根据题意知，每件商品的利润为元，销售量为件，
则可列方程为，
故选：A．
13．（2022上·河北石家庄·九年级校考期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项之和为 ，m是的一个根，则的值为 ．
【答案】 6 2020
【分析】本题考查一元二次方程的概念，一元二次方程的根，整体代入求值；直接根据方程即可得到第一空的答案；根据m是的一个根可得，再对进行变形，最后代入求值即可得第二空的答案．
【详解】解：，
，，，
；
是的一个根，
，
，
；
故答案为：6；2020．
14．（2023·广东阳江·三模）关于x的一元二次方程有一个根为2，则m的值为 ．
【答案】8
【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，解题关键是方程的根一定满足方程，代入求解．把方程的根代入方程即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为2，
∴，
解得，，
故答案为：8．
15．（江苏省南京市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）方程 的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查解一元二次方程，分和两种情况，去绝对值，再解方程即可．
【详解】解：当时，变形为，
即，
解得（舍）；
当时，变形为，
即，
解得（舍）；
综上可知，的解是．
故答案为：．
16．（2023上·四川成都·九年级校考期中）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式“”列式，进一步计算即可求解．
【详解】解：根据题意得，，
∴，
故答案为：．
17．（2022上·河北石家庄·九年级校考期末）骑行带头盔，安全有保障，“一盔一带”政策的推行致头盔销量大幅增长，从2019年到2021年我国头盔销售额从23.4亿元增长到39.546亿元，则我国头盔从2019年到2021年平均每年增长率是 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的应用．
设我国头盔从2019年到2021年平均每年增长率是x，根据“从2019年到2021年我国头盔销售额从23.4亿元增长到39.546亿元”即可列出方程，求解即可解答．
【详解】设我国头盔从2019年到2021年平均每年增长率是x，根据题意，得
，
解得：，（不合题意，舍去）
∴我国头盔从2019年到2021年平均每年增长率是．
故答案为：
18．（2022上·河北石家庄·九年级校考期末）解下列方程
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要查了解一元一次方程，解分式方程，解一元二次方程：
（1）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解；
（2）先去分母，把分式方程化为整式方程，然后解出整式方程，再检验，即可求解；
（3）利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】（1）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：；
（2）解：
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
所以原方程的解为；
（3）解：，
∴，
∴，
解得：．
19．（2023上·山东临沂·九年级校考阶段练习）已知都是方程的根，求a、b的值和这个一元二次方程的一般形式．
【答案】，，
【分析】本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程的一般式．熟练掌握一元二次方程的根，一元二次方程的一般式是解题的关键．
将代入，计算求解可得的值，进而可求一元二次方程的一般式．
【详解】解：将代入得，，
解得，，
∴，
∴a、b的值分别为1，2；这个一元二次方程的一般形式为．
20．（辽宁省五校协作体（沈阳七中，育才，丹东，锦州等）2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）随着新能源技术的提高，新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．沈阳某店新能源汽车销售量自2023年起逐月增加，据统计，该店1月份销售新能源汽车50辆，3月份销售了72辆．
(1)求该店这两个月的月平均增长率；
(2)若月平均增长率保持不变，求该店4月份卖出多少辆新能源汽车．（答案若含有小数则只取整数部分，不四舍五入）
【答案】(1)月平均增长率为
(2)4月份卖86台
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确列出方程解题关键．
（1）设该店这两个月的月平均增长率为，利用增长率公式得出方程求出答案；
（2）用四月份的销售量=三月份的销售量+四月份的增长量得出结论．
【详解】（1）解：设该店这两个月的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：该店这两个月的月平均增长率为；
（2）解：（辆），
答：4月份卖86台．
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