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第二章 方程与不等式
第二节 分式方程
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 分式方程的解法 ☆☆ 吉林中考中，中考中本考点考查内容以分式方程解法、分式方程问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和一次函数、二次函数结合考察，年年考查，分值为10分左右，预计2024年中考还将继续考查分式方程解法、分式方程问题（较难）、分式方程的应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握。
考点2 分式方程的应用 ☆☆
■考点一　分式方程的解法
1.分式方程的概念：分母中 的方程叫做 ．
2.分式方程的解法:① (方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);② 求出未知数的值;③ (求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).
3.增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.
■考点二　分式方程的应用
用分式方程解决实际问题的步骤：
：理解并找出实际问题中的等量关系;
：用代数式表示实际问题中的基础数据;
：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
：求解方程;
：考虑求出的解是否具有实际意义;+
1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.
2）检验所求的解是否符合实际意义.
：实际问题的答案.
■易错提示
1. 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.
2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.
3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．
5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.
6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.
■考点一　分式方程的解法
◇典例1： （2023上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）分式方程的解为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023上·山东聊城·八年级校考阶段练习）解分式方程，去分母后变形为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·湖南郴州·八年级校考阶段练习）若，那么x的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
■考点二　分式方程的应用
◇典例2：（2023·广东河源·统考三模）某工程队承接了60万平方米的绿化工程，由于情况有变，…．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，列方程为，根据方程可知省略的部分是（　　）
A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务
B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果延误30天完成了这一任务
C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果延误30天完成了这一任务
D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果提前30天完成了这一任务
◆变式训练
1．（2023上·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期中）某服装店1000元购进一批T恤衫，很快售完．该店又用1320元购进第二批这种T恤衫，所进件数比第一批多20%，每件T恤衫的进价比第一批多5元，求第一批购进多少件T恤衫．设第一批购进x件T恤衫，则所列方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·河北唐山·八年级校考阶段练习）某施工队计划修建一个长为1280米的隧道，第一周按原计划的速度修建，一周后以原来速度的1.4倍修建，结果比原计划提前两周完成任务，若设原计划一周修建隧道米，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
1．（2023·吉林长春·统考中考真题）随着中国网民规模突破亿、博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使伽瑶，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作个伽瑶玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务．问原计划平均每天制作多少个摆件？
2．（2022·吉林长春·统考中考真题）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？
4．（2021·吉林长春·统考中考真题）为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米的售价仅比普通大米多2元，用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同，求每千克有机大米的售价为多少元？
5．（2020·吉林长春·统考中考真题）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？
6．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考模拟预测）随着新能源汽车的普及，解决汽车快速充电技术已经成为新能源汽车发展的主要研究方向．据测试数据显示，从2023年开始，使用新的快速充电技术，每分钟充电量的续航里程（汽车所能行驶的路程）比采用过去的充电技术提高了，使用新的快速充电技术续航里程480公里的充电时间，比采用过去的充电技术续航里程400公里的充电时间节省2分钟，问采用新的快速充电技术，每分钟充电量的续航里程为多少公里？
7．（2023·吉林白山·校联考一模）2年月日晚，中国女足在亚洲杯决赛中以：逆转夺冠！全国各地掀起了一股学女足精神的热潮，某学校准备购买一批足球，第一次用元购进类足球若干个，第二次又用元购进类足球，购进数量比第一次多了个，已知类足球的单价是类足球单价的倍，求类足球的单价是多少元．
8．（2023·吉林白城·校联考三模）2022年北京冬奥会期间吉祥物冰墩墩受到了很多人的喜欢，一墩难求．某生产厂接到了要求几天内生产出14400个冰墩墩的加工任务，为了让更多人尽快拿到冰墩墩，工人们愿意奉献自己的休息时间来完成这项任务，厂长决定开足全厂生产线进行生产，实际每天加工的个数比原计划多，结果提前4天完成任务．求原计划每天加工多少个冰墩墩．
9．（2023·吉林白山·校联考三模）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的16倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部960兆的公益片，小明比小强所用的时间快150秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？
10．（2023·吉林长春·统考二模）某商场用800元购进一批新型衬衫，上架后很快的销售一空，商场又紧急购进第二批这种衬衫，数量是第一次的2倍．但进价每件涨了4元，结果用去1760元，求该商场第一批购进衬衫的件数．
1．（2023上·河北唐山·八年级唐山市第九中学校考阶段练习）定义：如果一个关于x的分式方程 的解等于我们就说这个方程叫和解方程. 比如 : 就是个和解方程. 如果关于x的分式方程是一个和解方程，那么 n的值是( )
A． B． C． D．
2．（2023下·江苏宿迁·八年级统考期末）已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
3．（2023上·四川达州·九年级校考期末）在实数范围内规定※，若※，则为（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．3
4．（2023上·山东东营·八年级校考期中）若关于x的方程有解，则a的值不能为（ ）
A．3 B．2 C． D．
5．（2023上·四川绵阳·八年级校联考阶段练习）若关于x的方程无解，则m的值是（ ）
A． B．2 C．1 D．
6．（2023上·山东聊城·八年级校联考阶段练习）若关于的方程无解,则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．（2023上·山东聊城·八年级校联考阶段练习）一项工程若由甲队单独去做，刚好能如期完成；若由乙队单独做，要比规定时间多用5天才完成；若甲乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独去做，也正好如期完成．设这项工程预期x天完成，那么下面所列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）甲、乙两人同时从地出发，到距离地30千米的地．甲比乙每小时少行3千米，结果甲比乙晚到40分钟．设甲每小时行千米，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023上·河北承德·八年级校考期末）某商场分两次购进应季服装，第一次花费元购进服装，由于服装特别畅销，很快全部售完．第二次花费比第一次多了元购进服装，且第二次的服装数量是第一次服装数量的，购进单价比第一次上涨了元．设第一批服装的单价是x元，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023下·上海·八年级专题练习）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2014上·黑龙江绥化·八年级统考期末）甲、乙两班学生植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·广东云浮·统考二模）“某学校改造过程中整修门口的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（　　）
A．每天比原计划多修，结果延期10天完成
B．每天比原计划多修，结果提前10天完成
C．每天比原计划少修，结果延期10天完成
D．每天比原计划少修，结果提前10天完成
13．（2023·广东云浮·统考二模）已知完成某项工程甲组需要12天，乙组需要若干天，甲组单独工作半天后，乙组加入，两组合作2天后，甲组又单独工作了3天半，工程完工，则乙组单独完成此项工程需要的天数比甲组（　　）
A．少6天 B．少8天 C．多3天 D．多6天
14．（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）甲、乙两人同时分别从，两地沿同一条公路骑自行车到地，已知，两地间的距离为千米，，两地间的距离为千米，甲骑自行车的平均速度比乙快千米时，结果两人同时到达地，求两人的平均速度分别为多少．为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为千米时，由题意列出方程，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2023下·四川宜宾·八年级统考阶段练习）在方程，，，中，分式方程有 个．
16．（2023上·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）对于非零实数、，规定，若，则的值为 ．
17．（2023上·上海徐汇·八年级上海民办南模中学校考阶段练习）若方程有增根，则 ．
18．（2023上·青海果洛·八年级统考期末）若关于的分式方程无解，则 ．
19．（2023上·福建福州·八年级校考阶段练习）甲做180个零件与乙做240个零件所用的时间相等，如果两个人每小时共做140个零件，那么甲、乙两个人每小时各做多少个零件？若设甲每小时做x个零件，所列方程为 ．
20．（2023上·吉林·八年级吉林松花江中学校考期末）解分式方程：．
21．（2023上·吉林·八年级吉林松花江中学校考期末）已知分式的值与分式的值互为相反数，求的值．
22．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）皮薄汁甜，好吃不上火的爱媛果冻橙近年来备受人们欢迎，某爱媛果冻橙基地11月15日开始采摘发售．采摘发售第一周，大果累计卖了20000元，中果卖了14400元，已知大果每箱单价比中果每箱多，且销量比中果多20箱．
(1)求每箱大果、中果的售价分别是多少元？
(2)由于供不应求，该批发商开始调整价格，第二周每箱大果价格在第一周基础上上涨了，销量减少了20箱，同时每箱中果比第一周多元，销量增加了，最终销售总额比第一周多了7000元，求的值．
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第二章 方程与不等式
第二节 分式方程
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 分式方程的解法 ☆☆ 吉林中考中，中考中本考点考查内容以分式方程解法、分式方程问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和一次函数、二次函数结合考察，年年考查，分值为10分左右，预计2024年中考还将继续考查分式方程解法、分式方程问题（较难）、分式方程的应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握。
考点2 分式方程的应用 ☆☆
■考点一　分式方程的解法
1.分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③检验(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).
3.增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.
■考点二　分式方程的应用
用分式方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;+
1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.
2）检验所求的解是否符合实际意义.
答：实际问题的答案.
■易错提示
1. 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.
2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.
3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．
5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.
6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.
■考点一　分式方程的解法
◇典例1： （2023上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）分式方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验，进行计算即可得出答案，熟练掌握解分式方程的步骤是解此题的关键．
【详解】解：去分母得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
原分式方程的解为，
故选：B．
◆变式训练
1．（2023上·山东聊城·八年级校考阶段练习）解分式方程，去分母后变形为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解分式方程，把方程两边同时乘以去分母即可得到答案．
【详解】解：
方程两边同时乘以去分母得：，
故选C．
2．（2023上·湖南郴州·八年级校考阶段练习）若，那么x的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】本题考查解分式方程，根据计算即可．
【详解】解：∵
∴，
∴，
经检验，为原方程的解．
故选：B
■考点二　分式方程的应用
◇典例2：（2023·广东河源·统考三模）某工程队承接了60万平方米的绿化工程，由于情况有变，…．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，列方程为，根据方程可知省略的部分是（　　）
A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务
B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果延误30天完成了这一任务
C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果延误30天完成了这一任务
D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果提前30天完成了这一任务
【答案】C
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据给定的分式方程，找出省略的条件是解题的关键．根据工作时间=工作总量÷工作效率结合所列分式方程，即可找出省略的条件，此题得解．
【详解】解：设原计划每天绿化的面积为x万平方米，
∵所列分式方程为，
∴为实际工作时间，为原计划工作时间，
∴省略的条件为：实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果延误30天完成了这一任务．
故选：C．
◆变式训练
1．（2023上·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期中）某服装店1000元购进一批T恤衫，很快售完．该店又用1320元购进第二批这种T恤衫，所进件数比第一批多20%，每件T恤衫的进价比第一批多5元，求第一批购进多少件T恤衫．设第一批购进x件T恤衫，则所列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；由题意可直接列出方程即可．
【详解】解：由题意可得方程为；
故选Aa．
2．（2023上·河北唐山·八年级校考阶段练习）某施工队计划修建一个长为1280米的隧道，第一周按原计划的速度修建，一周后以原来速度的1.4倍修建，结果比原计划提前两周完成任务，若设原计划一周修建隧道米，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由一周后以原来速度的倍修建，可得出一周后每周修建隧道米，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合结果比原计划提前一周完成任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【详解】解：∵一周后以原来速度的倍修建，原计划一周修建隧道x米，
∴第一周修建了x米隧道，一周后每周修建隧道米．依题意得：，
故选D．
1．（2023·吉林长春·统考中考真题）随着中国网民规模突破亿、博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使伽瑶，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作个伽瑶玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务．问原计划平均每天制作多少个摆件？
【答案】原计划平均每天制作个摆件．
【分析】设原计划平均每天制作个，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设原计划平均每天制作个，根据题意得，
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：原计划平均每天制作个摆件．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
2．（2022·吉林长春·统考中考真题）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？
【答案】乙班每小时挖400千克的土豆
【分析】设乙班每小时挖x千克的土豆，则甲班每小时挖(100+x)千克的土豆，根据题意列出分式方程即可求解．
【详解】设乙班每小时挖x千克的土豆，则甲班每小时挖(100+x)千克的土豆，
根据题意有：，
解得：x=400，
经检验，x=400是原方程的根，
故乙班每小时挖400千克的土豆．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，明确题意列出分式方程是解答本题的关键．
3．（2022·吉林·统考中考真题）刘芳和李婷进行跳绳比赛．已知刘芳每分钟比李婷多跳20个，刘芳跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等．求李婷每分钟跳绳的个数．
【答案】160个
【分析】设李婷每分钟跳绳的个数为个，则刘芳每分钟跳绳的个数为个，根据“刘芳跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等”建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设李婷每分钟跳绳的个数为个，则刘芳每分钟跳绳的个数为个，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
答：李婷每分钟跳绳的个数为160个．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，正确找出等量关系，并建立方程是解题关键．
4．（2021·吉林长春·统考中考真题）为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米的售价仅比普通大米多2元，用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同，求每千克有机大米的售价为多少元？
【答案】每千克有机大米的售价为7元．
【分析】设每千克有机大米的售价为x元，则每千克普通大米的售价为（x-2）元，根据“用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同”，列出分式方程，即可求解．
【详解】解：设每千克有机大米的售价为x元，则每千克普通大米的售价为（x-2）元，
根据题意得：，解得：x=7，
经检验：x=7是方程的解，且符合题意，
答：每千克有机大米的售价为7元．
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程，是解题的关键．
5．（2020·吉林长春·统考中考真题）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？
【答案】2万斤
【分析】由题意设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，根据单价=总价÷数量结合今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设该村企去年黑木耳的年销量为万斤
依题意得
解得：
经检验是原方程的根，且符合题意．
答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．
【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考模拟预测）随着新能源汽车的普及，解决汽车快速充电技术已经成为新能源汽车发展的主要研究方向．据测试数据显示，从2023年开始，使用新的快速充电技术，每分钟充电量的续航里程（汽车所能行驶的路程）比采用过去的充电技术提高了，使用新的快速充电技术续航里程480公里的充电时间，比采用过去的充电技术续航里程400公里的充电时间节省2分钟，问采用新的快速充电技术，每分钟充电量的续航里程为多少公里？
【答案】采用新的快速充电技术，每分钟充电量的续航里程为60公里；
【分析】设采用过去的充电技术，每分钟充电量的续航里程为x公里，则采用新的快速充电技术，每分钟充电量的续航里程为公里，根据使用新的快速充电技术续航里程480公里的充电时间，比采用过去的充电技术续航里程400公里的充电时间节省2分钟，列出分式方程．
【详解】解：设采用过去的充电技术，每分钟充电量的续航里程为x公里，则采用新的快速充电技术，每分钟充电量的续航里程为公里，
根据题意得：
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴，
答：采用新的快速充电技术，每分钟充电量的续航里程为60公里；
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，找准等量关系正确列出分式方程是解题的关键．
7．（2023·吉林白山·校联考一模）2年月日晚，中国女足在亚洲杯决赛中以：逆转夺冠！全国各地掀起了一股学女足精神的热潮，某学校准备购买一批足球，第一次用元购进类足球若干个，第二次又用元购进类足球，购进数量比第一次多了个，已知类足球的单价是类足球单价的倍，求类足球的单价是多少元．
【答案】60元
【分析】设类足球单价为元，可得购进的类足球的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解．
【详解】解：设类足球单价为元，可得购进的类足球的单价为元，
根据题意可得，
解得．
经检验是原方程的解，且符合题意．
答：类足球的单价为元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
8．（2023·吉林白城·校联考三模）2022年北京冬奥会期间吉祥物冰墩墩受到了很多人的喜欢，一墩难求．某生产厂接到了要求几天内生产出14400个冰墩墩的加工任务，为了让更多人尽快拿到冰墩墩，工人们愿意奉献自己的休息时间来完成这项任务，厂长决定开足全厂生产线进行生产，实际每天加工的个数比原计划多，结果提前4天完成任务．求原计划每天加工多少个冰墩墩．
【答案】900个
【分析】设原计划每天加工个冰墩墩，则实际每天加工个冰墩墩，利用工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前4天完成任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设原计划每天加工个冰墩墩，则实际每天加工个冰墩墩，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天加工900个冰墩墩．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9．（2023·吉林白山·校联考三模）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的16倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部960兆的公益片，小明比小强所用的时间快150秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？
【答案】该地4G的下载速度是每秒6兆，则该地5G的下载速度是每秒96兆
【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒兆，根据题意可得等量关系：4G下载960兆所用时间-5G下载960兆所用时间秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．
【详解】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒兆，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
则，
答：该地4G的下载速度是每秒6兆，则该地5G的下载速度是每秒96兆．
【点睛】本题主要考查的是分式方程的应用；解答此题，首先确定5G与4G下载的速度关系，再根据题意找出下载960兆的公益片所用时间的等量关系．
10．（2023·吉林长春·统考二模）某商场用800元购进一批新型衬衫，上架后很快的销售一空，商场又紧急购进第二批这种衬衫，数量是第一次的2倍．但进价每件涨了4元，结果用去1760元，求该商场第一批购进衬衫的件数．
【答案】商场第一批购进衬衫20件
【分析】设该商场第一批购进衬衫件，由进价每件涨了4元，列分式方程求解即可得到答案．
【详解】解：设该商场第一批购进衬衫件，
由题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：商场第一批购进衬衫20件．
【点睛】本题考查分式方程解实际应用题，读懂题意，找准等量关系列方程式解决问题的关键．
1．（2023上·河北唐山·八年级唐山市第九中学校考阶段练习）定义：如果一个关于x的分式方程 的解等于我们就说这个方程叫和解方程. 比如 : 就是个和解方程. 如果关于x的分式方程是一个和解方程，那么 n的值是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了新定义和分式方程，弄清题中的新定义的含义、正确利用分式方程的解是解此题的关键．
根据题中和解方程的定义得出未知数x的解，把x的值代入分式方程就可求出答案．
【详解】关于x的分式方程是一个和解方程
根据题中新定义得：
解得：
将代入得
故选：D
2．（2023下·江苏宿迁·八年级统考期末）已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
【答案】A
【分析】先求解分式方程，根据“方程无增根”和“解是正数”即可求出的取值范围．
【详解】解：去分母：
解得：
∵
∴
∵方程的解是正数
∴
∴
综上：且
故选：A
【点睛】本题考查根据分式方程的解求解参数．正确解出分式方程是求解此题的前提．
3．（2023上·四川达州·九年级校考期末）在实数范围内规定※，若※，则为（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题主要考查定义新运算，解分式方程的运用，根据定义新运算的规则将变形为分式方程，再根据解分式方程的方法即可求解，理解定义新运算的运算法则，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
等式两边同时乘以去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为得，，
检验，当时，原分式方程的分母，原分式方程有意义，
∴是原分式方程的解，
故选：B．
4．（2023上·山东东营·八年级校考期中）若关于x的方程有解，则a的值不能为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式方程有解问题，根据无解即不是增根求出值即可得到有解的取值范围；
【详解】解：两边同时乘以得，
，
解得：，
∵方程有解，
∴当时不等于0，
即：，，
解得：，
故选：D．
5．（2023上·四川绵阳·八年级校联考阶段练习）若关于x的方程无解，则m的值是（ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】B
【分析】本题考查分式方程的解法，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程的解，这个整式方程的解使原分式方程的分母等于．
【详解】方程去分母得：，
当时分母为0，方程无解，
即，
解得：，
故选B．
6．（2023上·山东聊城·八年级校联考阶段练习）若关于的方程无解,则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查解分式方程的解,分式方程无解即最简公分母为0．分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程无解确定出的值,代入整式方程计算即可求出的值．
【详解】解:∵无解,
∴去分母得:,解得,
∵当时,即,方程无解;
∵由分式方程无解,得,解得:,
∴把代入整式方程得:,解得:,
∴方程无解则的值为或．
故选:D．
7．（2023上·山东聊城·八年级校联考阶段练习）一项工程若由甲队单独去做，刚好能如期完成；若由乙队单独做，要比规定时间多用5天才完成；若甲乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独去做，也正好如期完成．设这项工程预期x天完成，那么下面所列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了分式方程的应用，首先规定的工期是x天，则甲队完成这项工程要x天，乙队完成这项工程要天．根据题意可得等量关系：甲干4天的工作量乙干x天的工作量，根据等量关系列出方程即可．
【详解】解：规定的工期是x天，则甲队完成这项工程要x天，乙队完成这项工程要天．
由题意可列方程：，
故选：A．
8．（2024上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）甲、乙两人同时从地出发，到距离地30千米的地．甲比乙每小时少行3千米，结果甲比乙晚到40分钟．设甲每小时行千米，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设甲每小时行千米，则乙每小时走千米，根据时间路程速度，结合甲比乙晚到40分钟（小时），即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设甲每小时行千米，则乙每小时走千米，
依题意得：．
故选：B．
9．（2023上·河北承德·八年级校考期末）某商场分两次购进应季服装，第一次花费元购进服装，由于服装特别畅销，很快全部售完．第二次花费比第一次多了元购进服装，且第二次的服装数量是第一次服装数量的，购进单价比第一次上涨了元．设第一批服装的单价是x元，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的应用．根据题意正确的列分式方程是解题的关键．
根据服装的数量关系列分式方程为，然后判断作答即可．
【详解】解：设第一批服装的单价是x元，则第二批服装的单价是元．
依题意得，，即，
故选：D．
10．（2023下·上海·八年级专题练习）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式方程的实际应用．设实际工作时每天绿化的面积x万平方米，根据工作时间工作总量工作效率，结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x的分式方程．
【详解】解：设实际工作时每天绿化的面积x万平方米，则原计划每天绿化的面积万平方米，
依题意得： 即．
故选：C．
11．（2014上·黑龙江绥化·八年级统考期末）甲、乙两班学生植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系．设甲班每天植树x棵，则乙班每天植树棵，根据甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，列方程即可．
【详解】解：设甲班每天植树x棵，则乙班每天植树棵，
由题意得，．
故选：D．
12．（2023·广东云浮·统考二模）“某学校改造过程中整修门口的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（　　）
A．每天比原计划多修，结果延期10天完成
B．每天比原计划多修，结果提前10天完成
C．每天比原计划少修，结果延期10天完成
D．每天比原计划少修，结果提前10天完成
【答案】B
【分析】本题主要考查分式的实际运用．根据设实际每天整修道路，可得表示的含义，由此可得，表示的含义，由此即可求解．
【详解】解：设实际每天整修道路，则表示：实际施工时，每天比原计划多修，
∵方程，
其中表示原计划施工所需时间，表示实际施工所需时间，
∴原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前10天完成．
故选：B．
13．（2023·广东云浮·统考二模）已知完成某项工程甲组需要12天，乙组需要若干天，甲组单独工作半天后，乙组加入，两组合作2天后，甲组又单独工作了3天半，工程完工，则乙组单独完成此项工程需要的天数比甲组（　　）
A．少6天 B．少8天 C．多3天 D．多6天
【答案】B
【分析】题目主要考查分式方程的应用，设乙组单独完成此项工程需要x天，根据题意列出方程求解即可，注意进行检验．
【详解】解：设乙组单独完成此项工程需要x天，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
故选：B．
14．（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）甲、乙两人同时分别从，两地沿同一条公路骑自行车到地，已知，两地间的距离为千米，，两地间的距离为千米，甲骑自行车的平均速度比乙快千米时，结果两人同时到达地，求两人的平均速度分别为多少．为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为千米时，由题意列出方程，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了列分式方程，根据甲骑千米所用时间乙骑千米所用时间，据此列出方程即可，解题的关键是弄清题意，找出题目中的等量关系列出方程．
【详解】解：由题意得：甲骑千米所用时间乙骑千米所用时间，
∴，
故选：．
15．（2023下·四川宜宾·八年级统考阶段练习）在方程，，，中，分式方程有 个．
【答案】3
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．
【详解】解：在方程，，，中，
分式方程有，，，一共有3个．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟记相关定义是解本题的关键．
16．（2023上·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）对于非零实数、，规定，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键．根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：由题意得：
，
等式两边同时乘以得，
，
解得：，
经检验，是原方程的根，
∴，
故答案为：．
17．（2023上·上海徐汇·八年级上海民办南模中学校考阶段练习）若方程有增根，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的增根问题；将分式方程去分母后，将代入求出值即可.
【详解】解：去分母得
方程有增根，
最简公分母，即增根是，把代入整式方程，得．
故答案为：．
18．（2023上·青海果洛·八年级统考期末）若关于的分式方程无解，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查了分式方程无解问题，先将分式方程移项，去分母，合并同类项得，再由原方程无解得，联立方程组，求解即可．
【详解】解：原方程移项得：，
去分母得：，
合并同类项得：，
原方程无解，
，解得，
故答案为：3．
19．（2023上·福建福州·八年级校考阶段练习）甲做180个零件与乙做240个零件所用的时间相等，如果两个人每小时共做140个零件，那么甲、乙两个人每小时各做多少个零件？若设甲每小时做x个零件，所列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．
设甲每小时做x个零件，表示出乙每小时做的零件个数，然后根据“甲做180个零件与乙做240个零件所用的时间相同”列出方程即可．
【详解】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做个零件，
根据题意得，，
故答案为：．
20．（2023上·吉林·八年级吉林松花江中学校考期末）解分式方程：．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，通过去分母把分式方程转化为整式方程求解．先找出最简公分母，去分母后求出x的值，然后检验确定分式方程的解即可．
【详解】解：方程两边同乘，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
解得，
检验：当时，
∴是原分式方程的解．
21．（2023上·吉林·八年级吉林松花江中学校考期末）已知分式的值与分式的值互为相反数，求的值．
【答案】
【分析】此题考查了相反数的定义，解分式方程，根据相反数的定义列出分式方程，解分式方程，即可得到x的值即可．
【详解】解：由题意得：，
等号左右两边乘以最简公分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
故的值为．
22．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）皮薄汁甜，好吃不上火的爱媛果冻橙近年来备受人们欢迎，某爱媛果冻橙基地11月15日开始采摘发售．采摘发售第一周，大果累计卖了20000元，中果卖了14400元，已知大果每箱单价比中果每箱多，且销量比中果多20箱．
(1)求每箱大果、中果的售价分别是多少元？
(2)由于供不应求，该批发商开始调整价格，第二周每箱大果价格在第一周基础上上涨了，销量减少了20箱，同时每箱中果比第一周多元，销量增加了，最终销售总额比第一周多了7000元，求的值．
【答案】(1)每箱大果的售价100元、每箱中果的售价分80元
(2)10
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
（1）设中果的售价为元，则大果的售价；再根据“大果累计卖了20000元，中果卖了14400元，已知大果每箱单价比中果每箱多，且销量比中果多20箱”列方程即可；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的方程，从而可以求得的值．
【详解】（1）解：设每箱中果的售价为元，则每箱大果的售价
由题意可得：，
解得，
经检验是原方程的解，
∴大果的售价元
答：每箱大果的售价100元、每箱中果的售价分80元；
（2）由题意可得，
，
解得，
即的值是10．
答：的值是10．
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