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第一章 数与式
第四节 二次根式
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 二次根式的有关概念及性质 ☆☆ 吉林中考中，有关二次根式的部分，每年考查1~2道题,分值为3~6分，通常以选择题、 填空题的形式考察。对于二次根式的复习，需要熟练掌握二次根式的相关概念及其性质、二次根式的运算法则等考点。
考点2 二次根式的运算 ☆☆☆
考点3 二次根式的估值 ☆
■考点一　二次根式的有关概念及性质
二次根式的概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．
最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式.
■考点二　二次根式的运算
乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： = .
除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即（a≥0，b＞0）.
加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并.
【口诀】一化、二找、三合并.
分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.
【分母有理化方法】
(1)分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即：
(2)分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.
即：；
混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．
■考点三　二次根式的估值
■易错提示
1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果.
2.二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义.
3.在关于代数式有意义的问题中，要注意二次根式（被开方数大于或等于0）、分式（分母不等于0）等有意义的综合运用．
4.最简二次根式必须同时满足以下两个条件：
①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；
②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.
[补充]含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等.
5.几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式.
6.根据二次根式的性质化简时，前无“-”, 化简出来就不可能是一个负数.
7. 利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．
8. 化简后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．
9.在使用 = 时一定要注意
10.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意
11.合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变．
12.二次根式加减混合运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并．
13. 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式．
14.在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。而且运算结果应写成最简二次根式的形式.
■考点一　二次根式的有关概念及性质
◇典例1： （2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图在数轴上的位置，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．5
【答案】D
【分析】本题考查了数轴，算术平方根的非负性，绝对值的非负性，根据数轴，得到，再判断出的正负情况，利用算术平方根的非负性，绝对值的非负性化简即可．
【详解】解：由题意得：，
，
，
故选：D．
◆变式训练
1．（2023上·吉林长春·九年级统考期末）二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0．
【详解】解；∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故选C．
2．（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，根据二次根式的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，x有可能小于0，故不一定是二次根式，不符合题意；
B、是二次根式，符合题意；
C、，若时，无意义，不符合题意；
D、被开方数小于0，无意义，不符合题意；
故选：B．
■考点二　二次根式的运算
◇典例2：（2023上·吉林长春·八年级校考期中）一个长方形，面积为，一边长为，那么这条边的邻边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了二次根式的应用，用长方形的面积除以一边的长即可求得另一边的长，解题的关键是熟练掌握二次根式的除法法则．
【详解】解：由题意得：，
故选：．
◆变式训练
1．（2023上·福建泉州·九年级统考期中）下列运算中正确的是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
根据二次根式的乘法，除法，加法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
2．（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）下列运算中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的乘除法法则计算以及二次根式的加减法则计算即可判定．
【详解】解∶ A、与不是同类二次根式，不能合并，故原说法错误，符合题意；
B、，故原说法正确，不符合题意；
C、，故原说法正确，不符合题意；
D、，故原说法正确，不符合题意；
故选∶ A．
【点睛】此题主要考查了实数的运算．二次根式的运算法则与有理数的运算法则是一样的，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
■考点三　二次根式的估值
◇典例3：（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）若，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出不等式组的解集为，再求出，由此即可得到答案．
【详解】解：
解不等式得：，
∴，
∵，
∴，
∴四个选项中只有C选项符合题意，
故选C．
【点睛】本题主要考查了求不等式组的解集，比较二次根式的大小，正确求出不等式组的解集是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023下·河北石家庄·八年级统考阶段练习）的结果应在（ ）
A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间
【答案】B
【分析】根据二次根式的混合运算计算，并估算结果的值即可．
【详解】解：原式=
∵
∴
故选B．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算以及估算，熟练掌握二次根式的运算并能够估算根式的取值范围是解决本题的关键．
2．（2022上·辽宁沈阳·八年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校考期中）估计与最接近的整数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质，先估算出的范围，再求出与中点与比较大小，进而得到最接近的整数
【详解】解：，，，
，即，
，且，
，
，即，
与最接近的整数是，
故选：C．
【点睛】本题考查利用二次根式的性质估算无理数的范围，得出的范围是，并取与得中点与比较大小是解决问题的关键．
1．（2022·吉林长春·统考二模）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
解得，
故答案为．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件、解一元一次不等式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件．
2．（2023·吉林松原·校联考二模）在式子中，属于最简二次根式的是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的化简方法与最简二次根式的定义进行求解．
【详解】解：，
是最简二次根式，
，
，
是最简二次根式，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式的辨别能力，关键是能准确理解并运用二次根式的化简方法与最简二次根式的定义．
3．（2023·吉林白城·校考二模）计算：
【答案】
【分析】运用二次根式的乘法解题即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的乘法 ，掌握二次根式乘法的运算法则是解题的关键．
4．（2022·吉林长春·校考模拟预测） ， ， ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质，二次根式的乘除法运算，即可求出答案．
【详解】解：，
，
，
故答案为：，，
【点睛】本题考查二次根式的性质以及二次根式的乘除法运算，解题的关键是正确理解二次根式的性质．
5．（2021·吉林·统考模拟预测）计算： ．
【答案】2
【分析】直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可．
【详解】，
故填：2．
【点睛】本题考查二次根式的乘除法运算，熟练掌握二次根式乘除法运算法则是解题关键．
6．（2023·吉林松原·校联考三模）计算： ．
【答案】
【分析】根据二次根式的减法运算法则计算，即可求解．
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次根式的减法，熟练掌握二次根式的减法运算法则是解题的关键．
7．（2023·吉林松原·统考二模）计算： ．
【答案】
【分析】先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的加减，能正确根据二次根式的加减进行计算是解此题的关键．
8．（2022·吉林白山·统考一模）计算： ．
【答案】
【分析】原式先合并同类二次根式，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：原式＝
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式的性质和二次根式的加减，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题关键．
9．（2020·吉林长春·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，9
【分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值求解即可．
【详解】解：原式，
当时，原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值求解．
10．（2020·吉林·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】分别依据完全平方公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项，然后将代入即可．
【详解】解：原式=
=
将代入
原式=．
【点睛】本题考查整式的混合运算，二次根式的化简求值．熟练掌握完全平方公式和单项式乘多项式法则是解决此题的关键．
1．（2023上·吉林长春·九年级校考期中）化简后的值是（）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是二次根式化简．
根据二次根式化简的计算法则进行计算即可．
【详解】
故选：C．
2．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）若，则化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，根据题意先分析出和与的关系，再进行化简即可，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
【详解】解：由题可知，则，，
∴原式，
，
故选：．
3．（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）若为任意实数，则下列各式中是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A.当时，无意义，故该选项不正确，不符合题意；
B. 当时，无意义，故该选项不正确，不符合题意；
C. 是二次根式，故本选项符合题意；
D. 当时，无意义，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
4．（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据被开方数为非负数求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：．
故选A．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．掌握被开方数为非负数是解题关键．
5．（2023上·吉林长春·九年级统考阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】因为，所以A不符合题意；
因为，所以B不符合题意；
因为，所以C不符合题意；
因为是最简二次根式，所以D符合题意．
故选：D．
6．（2023上·吉林长春·九年级统考期中）关于，以下说法正确的是（ ）
A．是有理数 B．
C． D．是最简二次根式
【答案】B
【分析】根据无理数的定义：无理数是开方开不尽的实数或者无限不循环小数或；无理数的估算、二次根式的性质化简、最简二次根式的判断，可判定选择项．
【详解】解：A、是无理数，原来的说法错误，不符合题意；
B、因为，所以，原来的说法正确，符合题意；
C、，原来的说法错误，不符合题意；
D、不是最简二次根式，原来的说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了有理数，无理数的估算、二次根式的性质、最简二次根式，解题的关键是掌握有理数，无理数的范围以及分类方法．
7．（2023下·吉林长春·八年级吉林省实验校考阶段练习）下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的乘除法可进行求解．
【详解】A、，原等式不成立，故符合题意；
B、，原等式成立，故不符合题意；
C、，原等式成立，故不符合题意；
D、，原等式成立，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘除法是解题的关键．
8．（2022上·吉林长春·八年级统考期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的加减运算，直接利用二次根式的性质以及二次根式的加减运算法则计算得出答案，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】、，此选项计算错误，故此选项不合题意；
、，此选项计算正确，故此选项符合题意；
、，此选项计算错误，故此选项不合题意；
、与不能合并，此选项计算错误，故此选项不合题意；
故选：
9．（2023上·吉林长春·九年级统考期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用二次根式的除法、性质化简、加法、减法计算结果，再判断．
【详解】解：A、，正确，符合题意；
B、，错误，不符合题意；
C、与不能合并，错误，不符合题意；
D、，错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的除法法则和二次根式的性质是解决问题的关键．
10．（2023上·吉林长春·八年级吉林大学附属中学校考阶段练习）下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式性质进行化简，然后再进行判断即可．
【详解】解：A．，与不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意；
B．，与不是同类二次根式，不能合并，故B不符合题意；
C．与不是同类二次根式，不能合并，故C不符合题意；
D．，与是同类二次根式，能合并，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，同类二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和同类二次根式的性质．
11．（2023下·吉林白山·八年级校联考期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先根据二次根式的乘除法和加减法分别进行判断，即可求出正确答案．
【详解】解：A、与不能合并，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故符合题意；
D、，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．（2023下·吉林·八年级校考阶段练习）下列计算，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式加减乘除运算法则逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、由于与不是同类二次根式，不能合并，故计算错误，不符合题意；
B、根据二次根式乘法运算法则，，故计算错误，不符合题意；
C、根据二次根式除法运算法则，，故计算正确，符合题意；
D、根据二次根式减法运算法则，合并同类二次根式可知，故计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式混合运算，熟记二次根式各类运算法则是解决问题的关键．
13．（2023下·吉林松原·八年级期中）若y为实数，在“□y”的“□”中添上“＋，×，÷”中的一种运算符号后，其运算的结果为有理数，则y不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依据题意对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】当选择“＋”号时，y取，∵，是有理数，
∴y可能是，A选项不符合题意；
当选择“÷”号时，y取，∵，是有理数，
∴y可能是，B选项不符合题意；
当选择“×”号时，y取，∵，是有理数，
∴y可能是，C选项不符合题意．
综上可得：y不可能是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，分母有理化，依据题意对每个选项进行逐一判断是解题的关键．
14．（2023下·吉林松原·八年级期中）下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将每个二次根式化为最简二次根式，判断是否为的同类二次根式，即可判断各选项．
【详解】A、，不能与合并，故选项A不符合题意；
B、，能与合并，故选项B符合题意；
C、 ，不能与合并，故选项C不符合题意；
D、，不能与合并，故选项D不符合题意；．
故选：B．
【点睛】本题考查同类二次根式和化简二次根式，掌握同类二次根式概念和化简二次根式为最简二次根式方法是解题关键．
15．（2023下·吉林松原·八年级校联考阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合选项分别进行二次根式的加减运算和乘除运算，然后选择正确选项．
【详解】解：A、，故本选项不合题意；
B、，故本选项不合题意；
C、，原式计算正确，故本选项符合题意；
D、，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的加减法和乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的加减法则和乘除法则．
16．（2023·广东汕尾·统考二模）若式子有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解答本题的关键．
根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列出不等式，求出答案．
【详解】解：根据题意得：
式子有意义，
，
解得：，
故答案为：．
17．（2024下·全国·七年级假期作业）化简 ．
【答案】2024
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟记“”是解题关键．直接利用二次根式的性质求解即可．
【详解】解：，
故答案为：2024．
18．（2024上·山西太原·八年级校考阶段练习）计算的结果为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．根据平方差公式计算．
【详解】解：，
故答案为：2．
19．（2024上·山西太原·八年级校考阶段练习）将化成最简二次根式为 ．
【答案】
【分析】此题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质求解即可．
【详解】．
故答案为：
20．（2023上·山东泰安·九年级校考期末）根据如图所示的程序，计算y的值，若输入x的值是时，则输出的y值等于 ．
【答案】
【分析】此题是一道程序题，做题时要按照程序一步一步做，主要考查代数式求值，是一道常考的题型．
由题意输入然后平方得，然后再小于0，乘以，可得y的值．
【详解】解：当时，，
．
故答案为：．
21．（2023上·福建福州·八年级校考阶段练习）已知如图，化简代数式：．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简二次根式，根据数轴上点的位置得到，进而得到，据此化简二次根式和绝对值即可得到答案．
【详解】解；由题意得，，
∴，
∴
．
22．（2023上·上海奉贤·八年级校考期中）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，先化简二次根式，再根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
23．（2024上·山西太原·八年级校考阶段练习）已知刹车距离的计算公式，其中v表示车速（单位：），d表示刹车距离（单位：m），f表示摩擦系数，在一次交通事故中．测得，，而发生交通事故的路段限速为，通过计算说明肇事汽车是否违规行驶．
【答案】肇事汽车没有违规行驶
【分析】本题考查了二次根式运算的实际应用，将和的值代入计算，求出，再与比较大小，即可求解；能进行正确运算是解题的关键．
【详解】解：由题意得
（），
，
没有超速；
答：肇事汽车没有违规行驶．
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第一章 数与式
第四节 二次根式
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 二次根式的有关概念及性质 ☆☆ 吉林中考中，有关二次根式的部分，每年考查1~2道题,分值为3~6分，通常以选择题、 填空题的形式考察。对于二次根式的复习，需要熟练掌握二次根式的相关概念及其性质、二次根式的运算法则等考点。
考点2 二次根式的运算 ☆☆☆
考点3 二次根式的估值 ☆
■考点一　二次根式的有关概念及性质
二次根式的概念：一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做 ，“”称为 ，二次根号下的数叫做 ．
最简二次根式：开方数所含因数是 ，因式是 ，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做 ．
同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数 ，则这几个二次根式就是 .
■考点二　二次根式的运算
乘法法则: 两个二次根式相乘，把 相乘，根指数 .即： = .
除法法则：两个二次根式相除，把 相除，根指数 .即（a≥0，b＞0）.
加减法法则：先把各个二次根式化为 后，再将 的二次根式合并.
【口诀】一化、二找、三合并.
分母有理化：通过分子和分母同乘以 ，将分母中的 去掉的过程.
【分母有理化方法】
(1)分母为单项式时，分母的 是分母本身带根号的部分.即：
(2)分母为多项式时，分母的 是与分母相乘构成平方差的另一部分.
即：；
混合运算顺序：先 、再 ，最后 ，有 的先算括号里的(或先去掉括号)．
■考点三　二次根式的估值
■易错提示
1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果.
2.二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义.
3.在关于代数式有意义的问题中，要注意二次根式（被开方数大于或等于0）、分式（分母不等于0）等有意义的综合运用．
4.最简二次根式必须同时满足以下两个条件：
①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；
②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.
[补充]含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等.
5.几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式.
6.根据二次根式的性质化简时，前无“-”, 化简出来就不可能是一个负数.
7. 利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．
8. 化简后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．
9.在使用 = 时一定要注意
10.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意
11.合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变．
12.二次根式加减混合运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并．
13. 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式．
14.在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。而且运算结果应写成最简二次根式的形式.
■考点一　二次根式的有关概念及性质
◇典例1： （2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图在数轴上的位置，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．5
◆变式训练
1．（2023上·吉林长春·九年级统考期末）二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
■考点二　二次根式的运算
◇典例2：（2023上·吉林长春·八年级校考期中）一个长方形，面积为，一边长为，那么这条边的邻边长为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023上·福建泉州·九年级统考期中）下列运算中正确的是（）
A． B．
C． D．
2．（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）下列运算中错误的是（ ）
A． B． C． D．
■考点三　二次根式的估值
◇典例3：（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）若，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023下·河北石家庄·八年级统考阶段练习）的结果应在（ ）
A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间
2．（2022上·辽宁沈阳·八年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校考期中）估计与最接近的整数是（ ）
A． B． C． D．
1．（2022·吉林长春·统考二模）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
2．（2023·吉林松原·校联考二模）在式子中，属于最简二次根式的是 ．
3．（2023·吉林白城·校考二模）计算：
4．（2022·吉林长春·校考模拟预测） ， ， ．
5．（2021·吉林·统考模拟预测）计算： ．
6．（2023·吉林松原·校联考三模）计算： ．
7．（2023·吉林松原·统考二模）计算： ．
8．（2022·吉林白山·统考一模）计算： ．
9.（2020·吉林长春·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
10．（2020·吉林·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
1．（2023上·吉林长春·九年级校考期中）化简后的值是（）
A．8 B． C． D．
2．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）若，则化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）若为任意实数，则下列各式中是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·吉林长春·九年级统考阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·吉林长春·九年级统考期中）关于，以下说法正确的是（ ）
A．是有理数 B．
C． D．是最简二次根式
7．（2023下·吉林长春·八年级吉林省实验校考阶段练习）下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022上·吉林长春·八年级统考期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·吉林长春·九年级统考期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023上·吉林长春·八年级吉林大学附属中学校考阶段练习）下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023下·吉林白山·八年级校联考期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023下·吉林·八年级校考阶段练习）下列计算，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023下·吉林松原·八年级期中）若y为实数，在“□y”的“□”中添上“＋，×，÷”中的一种运算符号后，其运算的结果为有理数，则y不可能是（ ）
A． B． C． D．
14．（2023下·吉林松原·八年级期中）下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2023下·吉林松原·八年级校联考阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·广东汕尾·统考二模）若式子有意义，则的取值范围是 ．
17．（2024下·全国·七年级假期作业）化简 ．
18．（2024上·山西太原·八年级校考阶段练习）计算的结果为 ．
19．（2024上·山西太原·八年级校考阶段练习）将化成最简二次根式为 ．
20．（2023上·山东泰安·九年级校考期末）根据如图所示的程序，计算y的值，若输入x的值是时，则输出的y值等于 ．
21．（2023上·福建福州·八年级校考阶段练习）已知如图，化简代数式：．
22．（2023上·上海奉贤·八年级校考期中）计算：．
23．（2024上·山西太原·八年级校考阶段练习）已知刹车距离的计算公式，其中v表示车速（单位：），d表示刹车距离（单位：m），f表示摩擦系数，在一次交通事故中．测得，，而发生交通事故的路段限速为，通过计算说明肇事汽车是否违规行驶．
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